Cálculo Trascendentes Tempranas 8va. Edición

  • Uploaded by: Paulo Ortiz
  • 0
  • 0
  • May 2021
  • PDF
Download

This article was submit by member and they agreed that they have the permission to submit it. If you own the copyright of this article and want to remove it from our site, please report to us by using this DMCA form. Report DMCA


Overview

Download & View Cálculo Trascendentes Tempranas 8va. Edición as PDF for free.

More details

  • Words: 751,378
  • Pages: 1,418
  • Size: 38.7MB
JAMES STEWART

CÁ LCU LO TRASCENDENTES TEMPRANAS

Octava edición

CÁLCULO

TRASCENDENTES TEMPRANAS OCTAVA EDICIÓN JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO

Traducción Ana Elizabeth García Hernández Enrique C. Mercado González

Revisión técnica Ileana Borja Tecuatl Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN

Hiram Cárdenas Gordillo

Luz Citlaly Estrada López

Facultad de Ingeniería, Universidad La Salle, México

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniería, Universidad de Guadalajara, México

Pedro Vásquez Urbano Universidad de Puerto Rico - Mayaguez

Gilgamesh Luis Raya Universidad Politécnica de Pachuca, México

José Ignacio Cuevas González Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Armando Silva Castillo

Antonieta Martínez Velasco

Universidad Politécnica

Universidad Panamericana, campus Ciudad de México

de Pachuca, México

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición. James Stewart Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Editora de desarrollo Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Imagen de portada: © David Carrick | Dreamstime.com Composición tipográfica: Humberto Núñez Ramos Angélica Toledo Tirado Alejandro Hernández Hernández

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301. Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa. C.P. 05320. Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo, amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Reg 103 Traducido del libro Calculus: Early Transcendentals, Eighth Edition, International Metric Version. James Stewart. Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016. ISBN: 978-1-305-27237-8 Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James. Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición. ISBN: 978-607-526-549-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17

Contenido PREFACIO xi AL ESTUDIANTE xxiii CALCULADORAS, COMPUTADORAS Y OTROS DISPOSITIVOS DE GRAFICACIÓN xxiv PRUEBAS DE DIAGNÓSTICO xxvi

1

1

Funciones y modelos

9

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

© Pictura Collectus/Alamy

Cuatro maneras de representar una función 10 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales 23 Funciones nuevas a partir de funciones previas 36 Funciones exponenciales 45 Funciones inversas y logarítmicas 55 Repaso 68 Principios para la resolución de problemas 71

2

© Jody Ann / Shutterstock.com

Un adelanto del cálculo

Límites y derivadas

77

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Problemas de la tangente y la velocidad 78 El límite de una función 83 Cálculo de límites usando las leyes de los límites 95 Definición precisa de límite 104 Continuidad 114 Límites al infinito; asíntotas horizontales 126 Derivadas y razones de cambio 140 Proyecto de redacción · Primeros métodos para encontrar tangentes 152 2.8 La derivada como una función 152 Repaso 165 Problemas adicionales 169

iii

iv

Contenido

3

Reglas de derivación

171

3.1

© Mechanik / Shutterstock.com

Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales 172 Proyecto de aplicación · Construcción de una mejor Montaña Rusa 182 3.2 Reglas del producto y el cociente 183 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas 190 3.4 La regla de la cadena 197 Proyecto de aplicación · ¿Dónde debería un piloto iniciar el descenso? 208 3.5 Derivación implícita 208 Proyecto de laboratorio · Familia de curvas implícitas 217 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 218 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 224 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 237 Proyecto de aplicación · Controlar la pérdida de glóbulos rojos durante una cirugía 244 3.9 Razones relacionadas 245 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 251 Proyecto de laboratorio · Polinomios de Taylor 258 3.11 Funciones hiperbólicas 259 Repaso 266 Problemas adicionales 270

4

Aplicaciones de la derivada

© Tatiana Makotra / Shutterstock.com

4.1

Valores máximos y mínimos 276 Proyecto de aplicación · El cálculo de los arcoíris 285 4.2 Teorema del valor medio 287 4.3 Cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica 293 4.4 Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital 304 Proyecto de redacción · Los orígenes de la regla de L’Hôpital 314 4.5 Resumen para el trazo de curvas 315 4.6 Trazo de gráficas con cálculo y calculadoras 323 4.7 Problemas de optimización 330 Proyecto de aplicación · La forma de una lata 343 Proyecto de aplicación · Aviones y pájaros: minimización de la energía 344 4.8 El método de Newton 345 4.9 Antiderivadas 350 Repaso 358 Problemas adicionales 363

275

Contenido

5

Integrales

v

365

5.1 5.2

© JRC, Inc. / Alamy

Áreas y distancias 366 La integral definida 378 Proyecto de descubrimiento · Funciones de áreas 391 5.3 El teorema fundamental del cálculo 392 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto 402 Proyecto de redacción · Newton, Leibniz y la invención del cálculo 411 5.5 Regla de sustitución 412 Repaso 421 Problemas adicionales 425

6

Aplicaciones de la integral

427

6.1

© Richard Paul Kane / Shutterstock.com

Áreas entre curvas 428 Proyecto de aplicación · El índice de Gini 436 6.2 Volúmenes 438 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 449 6.4 Trabajo 455 6.5 Valor promedio de una función 461 Proyecto de aplicación · El cálculo y el béisbol 464 Proyecto de aplicación · Dónde sentarse en el cine 465 Repaso 466 Problemas adicionales 468

7

Técnicas de integración

© USDA

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Integración por partes 472 Integrales trigonométricas 479 Sustitución trigonométrica 486 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 493 Estrategias para la integración 503 Integración utilizando tablas y sistemas algebraicos computacionales 508 Proyecto de descubrimiento · Patrones en integrales 513 7.7 Integración aproximada 514 7.8 Integrales impropias 527 Repaso 537 Problemas adicionales 540

471

vi

Contenido

8

Aplicaciones adicionales de la integración

543

8.1

© planet5D LLC / Shutterstock.com

Longitud de arco 544 Proyecto de descubrimiento · Concurso de longitudes de arco 550 8.2 Área de una superficie de revolución 551 Proyecto de descubrimiento · Rotación sobre una pendiente 557 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería 558 Proyecto de descubrimiento · Tazas de café complementarias 568 8.4 Aplicaciones a la economía y la biología 569 8.5 Probabilidad 573 Repaso 581 Problemas adicionales 583

9

Ecuaciones diferenciales 9.1 9.2 9.3

© Dennis Donohue / Shutterstock.com

Modelado con ecuaciones diferenciales 586 Campos direccionales y método de Euler 591 Ecuaciones separables 599 Proyecto de aplicación · ¿Qué tan rápido se vacía un tanque? 608 Proyecto de aplicación · ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 609 9.4 Modelos para el crecimiento poblacional 610 9.5 Ecuaciones lineales 620 9.6 Sistemas presa-depredador 627 Repaso 634 Problemas adicionales 637

10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1

© Stocktrek / Stockbyte / Getty Images

585

10.2 10.3 10.4

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 640 Proyecto de laboratorio · Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 648 Cálculo con curvas paramétricas 649 Proyecto de laboratorio · Curvas de Bézier 657 Coordenadas polares 658 Proyecto de laboratorio · Familias de curvas polares 668 Áreas y longitudes en coordenadas polares 669

639

Contenido

vii

10.5 10.6

Secciones cónicas 674 Secciones cónicas en coordenadas polares 682 Repaso 689 Problemas adicionales 692

11

Sucesiones y series infinitas

693

11.1

© STScI / NASA / ESA / Galaxy / Galaxy Picture Library / Alamy

Sucesiones 694 Proyecto de laboratorio · Sucesiones logísticas 707 11.2 Series 707 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de sumas 719 11.4 Pruebas por comparación 727 11.5 Series alternantes 732 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 737 11.7 Estrategia para probar series 744 11.8 Series de potencias 746 11.9 Representación de funciones como series de potencias 752 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 759 Proyecto de laboratorio · Un límite escurridizo 773 Proyecto de redacción · Cómo descubrió Newton las series binomiales 773 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 774 Proyecto de aplicación · Radiación de las estrellas 783 Repaso 784 Problemas adicionales 787

12

Vectores y la geometría del espacio 12.1 12.2 12.3 12.4

Sistemas de coordenadas tridimensionales 792 Vectores 798 El producto punto 807 El producto cruz 814 Proyecto de descubrimiento · La geometría de un tetraedro 823 12.5 Ecuaciones de rectas y planos 823 Proyecto de laboratorio · Poner la tridimensionalidad en perspectiva 833 12.6 Cilindros y superficies cuádricas 834 Repaso 841 Problemas adicionales 844

791

viii

Contenido

13

847

13.1 13.2 13.3 13.4

© Natalia Davydenko/Shutterstock.com

Funciones vectoriales y curvas en el espacio 848 Derivadas e integrales de funciones vectoriales 855 Longitud de arco y curvatura 861 Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración 870 Proyecto de aplicación · Leyes de Kepler 880 Repaso 881 Problemas adicionales 884

14

Derivadas parciales

887

14.1 14.2 14.3 14.4

Cortesía de © Speedo y ANSYS, Inc.

Funciones de varias variables 888 Límites y continuidad 903 Derivadas parciales 911 Planos tangentes y aproximaciones lineales 927 Proyecto de aplicación · El Speedo LZR Racer 936 14.5 La regla de la cadena 937 14.6 Derivadas direccionales y el vector gradiente 946 14.7 Valores máximos y mínimos 959 Proyecto de aplicación · Diseño de un contenedor de desechos 970 Proyecto de descubrimiento · Aproximaciones cuadráticas y puntos críticos 970 14.8 Multiplicadores de Lagrange 971 Proyecto de aplicación · La ciencia de los cohetes 979 Proyecto de aplicación · Optimización de hidroturbinas 980 Repaso 981 Problemas adicionales 985

15

© Juan Gaertner/ Shutterstock.com

Funciones vectoriales

Integrales múltiples 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

Integrales dobles en rectángulos 988 Integrales dobles en regiones generales 1001 Integrales dobles en coordenadas polares 1010 Aplicaciones de las integrales dobles 1016 Área de una superficie 1026

987

Contenido

ix

15.6

Integrales triples 1029 Proyecto de descubrimiento · Volúmenes de hiperesferas 1040 15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas 1040 Proyecto de descubrimiento · La intersección de tres cilindros 1044 15.8 Integrales triples en coordenadas esféricas 1045 Proyecto de aplicación · Carrera sobre ruedas 1052 15.9 Cambio de variables en integrales múltiples 1052 Repaso 1061 Problemas adicionales 1065

16

1067

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8

© Everett Collection/Glow Images

Campos vectoriales 1068 Integrales de línea 1075 El teorema fundamental para integrales de línea 1087 Teorema de Green 1096 Rotacional y divergencia 1103 Superficies paramétricas y sus áreas 1111 Integrales de superficie 1122 Teorema de Stokes 1134 Proyecto de redacción · Tres hombres y dos teoremas 1140 16.9 El teorema de la divergencia 1141 16.10 Resumen 1147 Repaso 1148 Problemas adicionales 1151

17 © CS Stock/Shutterstock.com

Cálculo vectorial

Ecuaciones diferenciales de segundo orden 17.1 17.2 17.3 17.4

Ecuaciones lineales de segundo orden 1154 Ecuaciones lineales no homogéneas 1160 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden 1168 Soluciones con series de potencias 1176 Repaso 1181

1153

x

Contenido

Apéndices A B C D E F G H I

A1

Números, desigualdades y valores absolutos A2 Rectas y geometría usando coordenadas A10 Gráficas de ecuaciones de segundo grado A16 Trigonometría A24 Notación sigma A34 Demostración de teoremas A39 El logaritmo definido como una integral A50 Números complejos A57 Respuestas a los ejercicios con número impar A65

Índice analítico

I1

Referencias

R1

Prefacio Esta versión de la obra difiere de la versión regular de Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición, de varias maneras: Las unidades usadas en casi todos los ejemplos y ejercicios han sido cambiadas del sistema tradicional de Estados Unidos a unidades métricas. Hay un número reducido de excepciones: en algunas aplicaciones de ingeniería (principalmente en la sección 8.3) puede ser útil para algunos ingenieros estar familiarizados con las unidades usadas en Estados Unidos. Y yo quise conservar algunos ejercicios (por ejemplo, los relacionados con el beisbol) donde sería inapropiado usar unidades métricas. He cambiado los ejemplos y ejercicios relacionados con datos del mundo real para que sean de naturaleza más internacional, de manera que la inmensa mayoría de ellos procede ahora de países distintos a Estados Unidos. Por ejemplo, ahora hay ejercicios y ejemplos concernientes a las tarifas postales en Hong Kong; la deuda pública canadiense; las tasas de desempleo en Australia; las horas de luz del sol en Ankara, Turquía; las isotermas en China; el porcentaje de la población en la Argentina rural; poblaciones de Malasia, Indonesia, México e India, y consumo de energía eléctrica en Ontario, entre muchos otros. Además de cambiar ejercicios para que las unidades sean métricas y los datos tengan un sabor más internacional, otros ejercicios han sido cambiados también, el resultado de lo cual es que alrededor de 10% de los ejercicios son diferentes de los de la versión regular.

Filosofía del libro El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar al descubrimiento. Yo he tratado de escribir un libro que ayude a los estudiantes a descubrir el cálculo, tanto por su eficacia práctica como por su sorprendente belleza. En esta edición, como en las siete primeras, intento transmitir al estudiante una noción de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica, pero también me empeño en dar cierta apreciación de la belleza intrínseca del tema. Newton experimentó indudablemente una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Yo deseo que los estudiantes compartan parte de esa emoción. El énfasis está en la comprensión de conceptos. Pienso que casi todos están de acuerdo en que esta debería ser la meta primaria de la enseñanza de cálculo. De hecho, el ímpetu del actual movimiento de reforma del cálculo procedió de la Conferencia de Tulane de 1986, la cual formuló como su primera recomendación: Concentrarse en la comprensión conceptual. He tratado de implementar esta meta mediante la regla de tres: “Los temas deben presentarse geométrica, numérica y algebraicamente”. La visualización, la experimentación numérica y gráfica y otros enfoques han cambiado la forma en que se enseña el razonamiento conceptual de maneras fundamentales. Más recientemente, la regla de tres se ha ampliado para convertirse en la regla de cuatro enfatizando también el punto de vista verbal o descriptivo. Al escribir esta octava edición, mi premisa fue que sea posible alcanzar comprensión conceptual y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero en el contexto de un plan de estudios tradicional. xi

xii

Prefacio

Versiones alternas He escrito otros libros de texto de cálculo que podrían ser preferibles para algunos profesores. La mayoría de ellos también se presenta en versiones de una y varias variables. • Calculus, octava edición, versión métrica internacional, es similar al presente libro de texto excepto que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se cubren en el segundo semestre. • Essential Calculus, segunda edición, edición internacional, es un libro mucho más breve (840 páginas), que, sin embargo, contiene casi todos los temas de Calculus, octava edición, versión métrica internacional. La relativa brevedad se logra mediante una exposición más breve de algunos temas al trasladar algunas características al sitio web. • Essential Calculus: Early Transcendentals, segunda edición, edición internacional, se asemeja a Essential Calculus, edición internacional, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se cubren en el capítulo 3. • Calculus: Concepts and Contexts, cuarta edición, edición métrica internacional, enfatiza la comprensión conceptual con más fuerza todavía que este libro. La cobertura de temas no es enciclopédica y el material sobre funciones trascendentes y sobre ecuaciones paramétricas se entreteje a lo largo del libro en lugar de ser tratado en capítulos separados. • Calculus: Early Vectors presenta los vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra a todo lo largo del libro. Este es conveniente para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física al mismo tiempo que el de cálculo. • Brief Applied Calculus, edición internacional, está dirigido a estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. • Biocalculus: Calculus for the Life Sciences intenta mostrar a los estudiantes de las ciencias de la vida cómo se relaciona el cálculo con la biología. • Biocalculus: Calculus, Probability, and Statistics for the Life Sciences abarca todo el contenido de Biocalculus: Calculus for the Life Sciences, así como tres capítulos adicionales que cubren probabilidad y estadística.

¿Qué hay de nuevo en la octava edición? Los cambios resultaron de conversar con mis colegas y estudiantes en la Universidad de Toronto y de leer revistas, así como de sugerencias de usuarios y revisores. He aquí algunas de las muchas mejoras que he incorporado en esta edición: • Los datos en los ejemplos y ejercicios han sido actualizados para ser más oportunos. • Se han añadido nuevos ejemplos (véanse los ejemplos 6.1.5, 11.2.5 y 14.3.3, entre otros), y las soluciones de algunos de los ejemplos existentes se ampliaron. • Se agregaron tres nuevos proyectos: el proyecto Controlar la pérdida de glóbulos rojos durante una cirugía (página 244) describe el procedimiento anh, en el que se extrae sangre del paciente antes de una operación y se le reemplaza por una solución salina. Esto diluye la sangre del paciente para que se pierdan menos glóbulos rojos durante hemorragias y la sangre extraída es devuelta al paciente después de la cirugía. El proyecto Aviones y pájaros: minimización de la energía (página 344) pregunta cómo pueden las aves minimizar fuerza y energía al comparar entre batir sus alas y planear. En el proyecto El Speedo LZR Racer (página 936) se explica que este traje de baño reduce la fricción en el agua y, como consecuencia,

Prefacio

xiii

se han roto muchos récords en la natación. Se pregunta a los estudiantes por qué un pequeño decremento en la fricción puede tener un efecto tan grande en el desempeño. • He reestructurado el capítulo 15 (Integrales múltiples) combinando las dos primeras secciones para que las integrales iteradas se traten antes. • Más de 20% de los ejercicios en cada capítulo son nuevos. He aquí algunos de mis favoritos: 2.7.61, 2.8.36-38, 3.1.79-80, 3.11.54, 4.1.69, 4.3.34, 4.3.66, 4.4.80, 4.7.39, 4.7.67, 5.1.19-20, 5.2.67-68, 5.4.70, 6.1.51, 8.1.39, 12.5.81, 12.6.29-30, 14.6.65-66. Además, hay nuevos y buenos Problemas adicionales. (Véanse los problemas 12-14 de la página 272, el problema 13 de la página 363, los problemas 16-17 de la página 426 y el problema 8 de la página 986.)

Caraterísticas Ejercicios conceptuales El modo más importante de fomentar la comprensión conceptual es mediante los problemas que se asignan. Con ese fin he ideado varios tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios comienzan con peticiones de explicar los significados de conceptos básicos de la sección. (Véanse, por ejemplo, los primeros ejercicios de las secciones 2.2, 2.5, 11.2, 14.2 y 14.3.) De igual forma, todas las secciones de repaso comienzan con una Verificación de conceptos y un Examen verdadero-falso. Otros ejercicios ponen a prueba la comprensión conceptual por medio de gráficas o tablas (véanse los ejercicios 2.7.17, 2.8.35-38, 2.8.47-52, 9.1.11-13, 10.1.24-27, 11.10.2, 13.2.1-2, 13.3.33-39, 14.1.1-2, 14.1.32-38, 14.1.41-44, 14.3.3-10, 14.6.1-2, 14.7.3-4, 15.1.6-8, 16.1.11-18, 16.2.17-18 y 16.3.1-2). Otro tipo de ejercicios usa la descripción verbal para probar la comprensión conceptual (véanse los ejercicios 2.5.10, 2.8.66, 4.3.69-70 y 7.8.67). Valoro particularmente los problemas que combinan y comparan los enfoques gráfico, numérico y algebraico (véanse los ejercicios 2.6.45-46, 3.7.27 y 9.4.4).

Conjuntos de ejercicios graduados Cada conjunto de ejercicios está cuidadosamente graduado, progresando de ejercicios conceptuales básicos y problemas de desarrollo de habilidades a problemas más desafiantes que implican aplicaciones y comprobaciones.

Datos del mundo real Mis asistentes y yo dedicamos mucho tiempo a buscar en bibliotecas, hacer contacto con compañías y organismos gubernamentales y realizar búsquedas en internet en pos de datos interesantes del mundo real para presentar, motivar e ilustrar los conceptos del cálculo. En consecuencia, muchos de los ejemplos y ejercicios tienen que ver con funciones definidas por esos datos numéricos o gráficas. Véanse, por ejemplo, la figura 1 de la sección 1.1 (sismogramas del terremoto de Northridge), ejercicio 2.8.35 (tasas de desempleo), ejercicio 5.1.16 (velocidad del transbordador espacial Endeavour) y figura 4 de la sección 5.4 (consumo de energía eléctrica en San Francisco). Las funciones de dos variables son ilustradas por una tabla de valores del índice viento-frío como una función de temperatura del aire y velocidad del viento (ejemplo 14.1.12). Las derivadas parciales son presentadas en la sección 14.3 examinando una columna en una tabla de valores del índice de calor (temperatura del aire percibida) como una función de la temperatura real y la humedad relativa. Este ejemplo se retoma después en relación con aproximaciones lineales (ejemplo 14.4.3). Las derivadas direccionales se presentan en la sección 14.6 usando un mapa de contorno de temperatura para estimar la razón de cambio de la temperatura en Reno en la dirección de Las Vegas. Integrales dobles se usan para estimar la nevada promedio en Colorado del 20 y 21 de diciembre de 2006 (ejemplo 15.1.9). Los campos

xiv

Prefacio

vectoriales se presentan en la sección 16.1 mediante descripciones de campos vectoriales de velocidad reales, que muestran los patrones de viento de la bahía de San Francisco.

Proyectos Una forma de motivar a los estudiantes y convertirlos en aprendices activos es ponerlos a trabajar (quizás en grupos) en amplios proyectos que les den una sensación de logro sustancial al completarlos. He incluido cuatro tipos de proyectos: los Proyectos de aplicación que contienen aplicaciones diseñadas para estimular la imaginación de los alumnos. El proyecto que está después de la sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en llegar a su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.) El proyecto posterior a la sección 14.8 usa multiplicadores de Lagrange para determinar las masas de las tres etapas de un cohete a fin de minimizar la masa total mientras que a la vez se permite que alcance una velocidad deseada. Los Proyectos de laboratorio implican tecnología; el que sigue a la sección 10.2 muestra cómo utilizar las curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los Proyectos de redacción piden a los estudiantes comparar métodos actuales con los de los fundadores del cálculo, el método de Fermat para determinar tangentes por ejemplo. Se proporcionan referencias sugeridas. Los Proyectos de descubrimiento anticipan resultados que se analizarán posteriormente o que alientan el descubrimiento mediante el reconocimiento de patrones (véase el que sigue a la sección 7.6). Otros exploran aspectos de geometría: tetraedros (después de la sección 12.4), hiperesferas (después de la sección 15.6) e intersecciones de tres cilindros (después de la sección 15.7). Proyectos adicionales pueden hallarse en la Instructor’s Guide* (véase, por ejemplo, Group Exercise 5.1: posición con base en muestras).

Resolución de problemas Los estudiantes suelen tener dificultades con problemas para los que no hay un procedimiento claramente definido para la obtención de la respuesta. Pienso que nadie ha mejorado mucho la estrategia de resolución de problemas en cuatro etapas de George Polya, así que he incluido una versión de sus principios de resolución de problemas después del capítulo 1. Estos se aplican, explícita e implícitamente, a lo largo de todo el libro. Después de los demás capítulos he colocado secciones llamadas Problemas adicionales, que contienen ejemplos de cómo atacar problemas de cálculo desafiantes. Al seleccionar los variados problemas para esas secciones tuve en mente el consejo siguiente de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil a fin de atraernos, pero no inaccesible como para hacer mofa de nuestros esfuerzos”. Cuando pongo estos problemas desafiantes en tareas y exámenes, los califico de manera diferente. Aquí recompenso a los estudiantes significativamente por ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de problemas son relevantes.

Tecnología La disponibilidad de tecnología vuelve no menos sino más importante comprender con claridad los conceptos que subyacen en las imágenes en la pantalla. Calculadoras graficadoras y computadoras son herramientas eficaces para descubrir y comprender esos conceptos cuando se les emplea en forma apropiada. Este libro de texto puede usarse con o sin tecnología, y yo uso dos símbolos especiales para indicar claramente cuándo se requiere un tipo particular de aparato. El icono indica un ejercicio que definitivamente requiere el uso de esa tecnología, aunque eso no quiere decir que no pueda usarse en los demás ejercicios también. El símbolo se reserva a problemas en los que se requieren los servicios completos de un sistema algebraico computacional (como Maple, Mathematica o el TI-89). Pero la tecnología no vuelve obsoletos el lápiz y el papel. El cálculo y los diagramas a mano suelen ser preferibles a la tecnología para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como alumnos deben desarrollar la aptitud de decidir cuándo es apropiada la mano o la máquina. *Este material se encuentra solo disponible en inglés.

Prefacio

xv

Herramientas para enriquecer el cálculo* tec es un suplemento del texto y busca enriquecer y complementar su contenido. (Ahora está disponible en el eBook vía CourseMate* y Enhanced WebAssign.* Visuals y Modules selectos están disponibles en www.stewartcalculus.com.*) Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y yo, tec usa un enfoque de descubrimiento y exploración. En secciones del libro donde la tecnología es particularmente apropiada, iconos al margen dirigen a los estudiantes a tec Modules que brindan un entorno de laboratorio en el que pueden explorar el tema de maneras diversas y en niveles diferentes. Los Visuals son animaciones de figuras en el texto; los Modules son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden optar por involucrarse en diversos niveles, desde simplemente alentar a los alumnos a usar los Visuals y Modules para su exploración independiente hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en cada Module o crear ejercicios, prácticas y proyectos adicionales que hagan uso de los Visuals y Modules. tec incluye asimismo Homework Hints para ejercicios representativos (usualmente con número impar) en cada sección del texto, indicados mediante la impresión del número del ejercicio en gris. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas e intentan imitar a un asistente de aprendizaje eficaz funcionando como un tutor mudo. Están hechas para no revelar de la solución real más que lo mínimamente necesario para hacer progresos adicionales.

Enhanced WebAssign* La tecnología ya tiene impacto en la manera en que se asignan tareas a los estudiantes, particularmente en grupos grandes. El uso de tareas en línea es creciente y su atractivo depende de la facilidad de empleo, la precisión de las calificaciones y la confiabilidad. Con la octava edición se ha trabajado con la comunidad del cálculo y WebAssign para desarrollar un sistema de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios en cada sección se puede asignar como tareas en línea, incluidos formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes múltiples. Este sistema también contiene Active Examples*, en los que los estudiantes son guiados en pequeños tutoriales paso a paso a través de ejemplos del texto, con vínculos con el libro de texto y soluciones en video.

Sitio web Visite CengageBrain.com* o stewartcalculus.com* para estos materiales adicionales: • Homework Hints • Algebra Review • Lies My Calculator and Computer Told Me • History of Mathematics con vínculos a los mejores sitios históricos • Additional Topics (con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el término residuo en las series de Taylor, rotación de ejes • Archived Problems (ejercicios desafiantes que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) • Challenge Problems (algunas de las secciones de Problemas adicionales de ediciones anteriores) • Vínculos de temas especiales con recursos externos de la web • Selected Visuals y Modules de Tools for Enriching Calculus (tec) *Este material se encuentra solo disponible en inglés.

xvi

Prefacio

Contenido Pruebas de diagnóstico El libro comienza con cuatro pruebas de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Un adelanto del cálculo Esta es una panorámica del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 Funciones y modelos Desde el principio se enfatizan representaciones múltiples de funciones: verbal, numérica, visual y algebraica. Un análisis de modelos matemáticos conduce a una revisión de las funciones estándar, entre ellas funciones exponenciales o logarítmicas, desde esos cuatro puntos de vista. 2 Límites y derivadas El material sobre límites es motivado por un estudio previo de la tangente y problemas de velocidad. Los límites se tratan desde los puntos de vista descriptivo, gráfico, numérico y algebraico. La sección 2.4, sobre la definición precisa de un límite, es una sección opcional. Las secciones 2.7 y 2.8 tratan con derivadas (especialmente con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de que las reglas de derivación sean cubiertas en el capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de las derivadas en varios contextos. Las derivadas de orden superior se presentan en la sección 2.8. 3 Reglas de derivación Todas las funciones básicas, incluidas las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas, se derivan aquí. Cuando se calculan derivadas en situaciones de aplicación, se pide a los estudiantes explicar sus significados. El crecimiento y decaimiento exponenciales se cubren ahora en este capítulo. 4 Aplicaciones de la derivada Los hechos básicos concernientes a valores extremos y formas de curvas se deducen del teorema del valor medio. La graficación con tecnología enfatiza la interacción entre cálculo y calculadoras y el análisis de familias de curvas. Algunos problemas de optimización sustanciales son provistos como una explicación de por qué uno debe elevar la cabeza 42° para ver la punta de un arcoíris. 5 Integrales El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral definida, con la presentación de la notación sigma cuando es necesario. (Una cobertura completa de la notación sigma se proporciona en el apéndice E.) Se hace énfasis en explicar los significados de las integrales en varios contextos y en estimar sus valores a partir de gráficas y tablas. 6 Aplicaciones de la integral Aquí presento las aplicaciones de la integral —área, volumen, trabajo, valor promedio— que pueden hacerse razonablemente sin técnicas especializadas de integración. Se enfatizan métodos generales. La meta es que los estudiantes sean capaces de dividir una cantidad en piezas reducidas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como una integral. 7 Técnicas de integración Se cubren todos los métodos estándar, aunque, desde luego, el verdadero reto es poder reconocer qué técnica es la que más conviene usar en una situación dada. En consecuencia, en la sección 7.5 presento una estrategia de integración. El uso de sistemas algebraicos computacionales se analiza en la sección 7.6. 8 Aplicaciones adicionales Aquí están las aplicaciones de la integral —longitud de arco y área de superficies— de la integración para las que es útil disponer de todas las técnicas de integración, así como aplicaciones a la biología, economía y física (energía hidrostática y centros de masa). También he incluido una sección sobre probabilidad. Hay muchas aplicaciones aquí que pueden ser cubiertas en términos realistas en un curso dado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones convenientes para sus alumnos y para las que ellos mismos tengan entusiasmo.

Prefacio

xvii

9 Ecuaciones diferenciales El modelado es el tema que unifica este tratamiento introductorio de las ecuaciones diferenciales. Campos direccionales y método de Euler se estudian antes de que las ecuaciones separables y lineales se resuelvan explícitamente, de modo que a los métodos cualitativo, numérico y analítico se les da igual consideración. Estos métodos se aplican a los modelos exponencial, logístico y otros para el crecimiento de una población. Las cuatro o cinco primeras secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional usa modelos de presa-depredador para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales. 10 Ecuaciones paramétricas Este capítulo presenta curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo en y coordenadas polares ellas. Las curvas paramétricas son adecuadas para proyectos de laboratorio; las dos que se presentan aquí implican a familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de las secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el capítulo 13. 11 Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (véase la página 719), así como comprobaciones formales. Estimaciones numéricas de sumas de series se basan en la prueba que se haya usado para comprobar la convergencia. Se hace énfasis en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen las de dispositivos de graficación. 12 Vectores y la geometría El material sobre geometría analítica tridimensional y vectores se divide en dos capítulos. El del espacio capítulo 12 trata con vectores, los productos punto y cruz, rectas, planos y superficies. 13 Funciones vectoriales Este capítulo cubre las funciones con vectores como valores, sus derivadas e integrales, la longitud y curvatura de curvas en el espacio y la velocidad y aceleración a lo largo de curvas en el espacio, lo que culmina con las leyes de Kepler. 14 Derivadas parciales Las funciones de dos o más variables se estudian desde el punto de vista verbal, numérico, visual y algebraico. En particular, presento las derivadas parciales examinando una columna específica de una tabla de valores del índice de calor (temperatura del aire percibida) como una función de la temperatura real y la humedad relativa. 15 Integrales múltiples Los mapas de contorno y la regla del punto medio se utilizan para estimar la nevada promedio y temperatura promedio de regiones dadas. Las integrales dobles y triples se emplean para calcular probabilidades, áreas de superficies y (en proyectos) volúmenes de hiperesferas y volúmenes de intersecciones de tres cilindros. Se presentan coordenadas cilíndricas y esféricas en el contexto de evaluar integrales triples. 16 Cálculo vectorial Los campos vectoriales se presentan mediante imágenes de campos de velocidad que muestran patrones de viento de la bahía de San Francisco. Se enfatizan las semejanzas entre el teorema fundamental para integrales de línea, el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia. 17 Ecuaciones diferenciales Dado que las ecuaciones diferenciales de primer orden se cubren en el capítulo 9, este de segundo orden último capítulo trata con ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, su aplicación a resortes vibratorios y circuitos eléctricos y soluciones de series.

Complementos Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición, se apoya en un conjunto completo de complementos desarrollados bajo mi dirección. Cada pieza ha sido diseñada para favorecer la comprensión del estudiante y facilitar la enseñanza creativa. Las tablas de las páginas xxi-xxii describen cada uno de estos complementos.

xviii

Prefacio

Agradecimientos La preparación de esta y las ediciones previas ha implicado mucho tiempo dedicado a leer los consejos razonados (aunque a veces contradictorios) de un gran número de perspicaces revisores. Agradezco enormemente el tiempo que ellos destinaron a comprender mi motivación para el enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos.

Revisores de la octava edición Jay Abramson, Arizona State University Adam Bowers, University of California San Diego Neena Chopra, The Pennsylvania State University Edward Dobson, Mississippi State University Isaac Goldbring, University of Illinois en Chicago Lea Jenkins, Clemson University Rebecca Wahl, Butler University

Revisores de tecnología Maria Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Eastfield College Joy Becker, University of Wisconsin–Stout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville Monica Brown, University of Missouri–St. Louis Roxanne Byrne, University of Colorado en Denver y Health Sciences Center Teri Christiansen, University of Missouri–Columbia Bobby Dale Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan, Community College of Philadelphia

Brian Karasek, South Mountain Community College Jason Kozinski, University of Florida Carole Krueger, The University of Texas en Arlington Ken Kubota, University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth Lanita Presson, University of Alabama en Huntsville Karin Reinhold, State University of New York en Albany Thomas Riedel, University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State University Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University CPT. Koichi Takagi, United States Naval Academy Lorna TenEyck, Chemeketa Community College Roger Werbylo, Pima Community College David Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois University

Revisores de ediciones anteriores B. D. Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester Community College Michael Albert, Carnegie Mellon University Daniel Anderson, University of Iowa Amy Austin, Texas A&M University Donna J. Bailey, Northeast Missouri State University Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois, Chicago David Berman, University of New Orleans Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota Richard Biggs, University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe University

Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon, Hofstra University Jay Bourland, Colorado State University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville Stephen W. Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee Technological University Robert N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University of Akron Jenna Carpenter, Louisiana Tech University Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder, University of California, Santa Barbara Scott Chapman, Trinity University

Prefacio

Zhen-Qing Chen, University of Washington—Seattle James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University of Wisconsin–Green Bay Elias Deeba, University of Houston–Downtown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson, Truman State University Garret Etgen, University of Houston Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University Le Baron O. Ferguson, University of California—Riverside Newman Fisher, San Francisco State University José D. Flores, The University of South Dakota William Francis, Michigan Technological University James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbia University–New York Paul Garrett, University of Minnesota–Minneapolis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A. Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl, University of New Mexico Michael Gregory, University of North Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Haïdar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State University Robert L. Hall, University of Wisconsin–Milwaukee Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy, Colorado State University Shari Harris, John Wood Community College Gary W. Harrison, College of Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis Herink, Mercer University Russell Herman, University of North Carolina en Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of Connecticut Amer Iqbal, University of Washington—Seattle Matthew A. Isom, Arizona State University

xix

Gerald Janusz, University of Illinois en Urbana-Champaign John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus Clement Jeske, University of Wisconsin, Platteville Carl Jockusch, University of Illinois en Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson, University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University Zsuzsanna M. Kadas, St. Michael’s College Nets Katz, Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L. Kelley, University of Miami Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University Virgil Kowalik, Texas A&I University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor, University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New York en Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig, Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine Joyce Longman, Villanova University Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern Kentucky University Igor Malyshev, San Jose State University Larry Mansfield, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American River College James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Tom Metzger, University of Pittsburgh Richard Millspaugh, University of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University Michael Montaño, Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Ho Kuen Ng, San Jose State University Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain S. Nur, California State University, Fresno Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Panico, University of the Pacific F. J. Papp, University of Michigan–Dearborn Mike Penna, Indiana University–Purdue University Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin, University of Wisconsin–Madison Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell, Pacific Union College Rob Root, Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central Michigan University

xx

Prefacio

Ricardo Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J. Shah, Kent State University–Trumbull Qin Sheng, Baylor University Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University of Saskatchewan Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North Carolina Donald W. Solomon, University of Wisconsin–Milwaukee Edward Spitznagel, Washington University Joseph Stampfli, Indiana University Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake Community College

Paul Xavier Uhlig, St. Mary’s University, San Antonio Stan Ver Nooy, University of Oregon Andrei Verona, California State University–Los Angeles Klaus Volpert, Villanova University Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L. Walton, McCallie School Peiyong Wang, Wayne State University Jack Weiner, University of Guelph Alan Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Technology Steven Willard, University of Alberta Robert Wilson, University of Wisconsin–Madison Jerome Wolbert, University of Michigan–Ann Arbor Dennis H. Wortman, University of Massachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois University–Carbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian Wu, University of South Carolina

Me gustaría agradecer además a R. B. Burckel, Bruce Colletti, David Behrman, John Dersch, Gove Effinger, Bill Emerson, Dan Kalman, Quyan Khan, Alfonso Gracia-Saz, Allan MacIsaac, Tami Martin, Monica Nitsche, Lamia Raffo, Norton Starr y Jim Trefzger por sus sugerencias; a Al Shenk y Dennis Zill por la autorización para usar ejercicios de sus textos de cálculo; a comap por su autorización para usar material para proyectos; a George Bergman, David Bleecker, Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas para ejercicios; a Dan Drucker por el proyecto de carrera sobre ruedas; a Thomas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Straffin y Klaus Volpert por sus ideas para proyectos; a Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y Barbara Frank por resolver los ejercicios nuevos y sugerir maneras de mejorarlos; a Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisión en la lectura de pruebas; a Andy Bulman-Fleming, Lothar Redlin, Gina Sanders y Saleem Watson por la lectura de pruebas adicional, y a Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparación y lectura de pruebas del manuscrito de respuestas. Agradezco además a quienes contribuyeron en ediciones anteriores: Ed Barbeau, George Bergman, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Leon Gerber, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E. L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Mary Pugh, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Dusty Sabo, Doug Shaw, Dan Silver, Simon Smith, Saleem Watson, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz. Gracias también a Kathi Townes, Stephanie Kuhns, Kristina Elliott y Kira Abdallah de TECHarts por sus servicios de producción y a los empleados siguientes de Cengage Learning: Cheryll Linthicum, gerente de proyectos de contenido; Stacy Green, desarrolladora de contenido titular; Samantha Lugtu, desarrolladora de contenido asociada; Stephanie Kreuz, asistente de producto; Lynh Pham, desarrolladora de medios; Ryan Ahern, gerente de mercadotecnia, y Vernon Boes, director de arte. Todos ellos hicieron un trabajo sobresaliente. He tenido la enorme suerte de trabajar con algunos de los mejores editores de matemáticas en el ramo en las últimas tres décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton, Liz Covello y ahora Neha Taleja. Todos ellos han contribuido ampliamente en el éxito de este libro. james stewart

Complementos para profesores Manual del instructor (Instructor’s Guide)* Por Douglas Shaw ISBN 978-1-305-39371-4 Cada sección de este texto es analizada desde varios puntos de vista. Instructor’s Guide contiene tiempo sugerido por asignar, puntos por enfatizar, temas de análisis del texto, materiales básicos para exponer en clase, sugerencias de talleres/debates, ejercicios de trabajo grupal en forma conveniente para su distribución y sugerencias de tareas.

Manual de soluciones completas (Complete Solutions Manual)* Single Variable Early Transcendentals* ISBN 978-1-305-27262-0 Multivariable* ISBN 978-1-305-38699-0 Incluye soluciones desarrolladas de todos los ejercicios en el texto.

Printed Test Bank* Por William Steven Harmon ISBN 978-1-305-38722-5 Contiene elementos de exámenes de opción múltiple y respuesta libre específicos del texto.

Cengage Learning Testing Powered by Cognero* (login.cengage.com) Este sistema en línea flexible le permite crear, editar y gestionar contenido del banco de exámenes con base en múltiples soluciones de Cengage Learning; crear múltiples versiones de exámenes en un instante y aplicar exámenes desde su LMS, salón de clases o donde usted quiera.

TOOLS FOR ENRICHING™ CALCULUS* Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hubert Hohn Tools for Enriching Calculus (TEC) funciona como una herramienta eficaz para profesores lo mismo que como un entorno tutorial en que los estudiantes pueden explorar y repasar temas selectos. Los módulos de simulación Flash en TEC incluyen instrucciones, explicaciones por escrito y en audio de los conceptos y ejercicios. TEC está disponible en el eBook vía CourseMate y Enhanced WebAssign. Visuals y Modules especiales pueden conseguirse en www.stewartcalculus.com.

Enhanced WebAssign® www.webassign.net Código de acceso impreso: ISBN 978-1-285-85826-5 Código de acceso instantáneo: ISBN 978-1-285-85825-8 Exclusivamente de Cengage Learning, Enhanced WebAssign ofrece un amplio programa en línea para el Cálculo de Stewart a fin de alentar la práctica decisiva para el dominio de conceptos. La pedagogía meticulosamente elaborada y los ejercicios de nuestros textos probados se vuelven aún más efectivos en Enhanced WebAssign, complementados por apoyo tutorial en multimedia y retroalimentación inmediata a medida que los estudiantes completan sus tareas. Las características clave incluyen: n

n

n

n

n

Complementos para profesores y estudiantes Stewart Website* www.stewartcalculus.com Contenido: Homework Hints n Algebra Review n Additional Topics n Drill Exercises n Challenge Problems n Web Links n History of Mathematics n Tools for Enriching Calculus (TEC)

n

n

n

Miles de problemas de tarea que coinciden con los ejercicios de fin de sección del libro de texto Oportunidades para que los alumnos repasen habilidades y contenido de prerrequisito tanto al principio del curso como al principio de cada sección Páginas del eBook Read It, videos Watch It, tutoriales Master It y vínculos Chat About It Un YouBook de Cengage personalizable con características para resaltar, tomar apuntes y buscar, así como con vínculos a recursos multimedia Personal Study Plans (basados en exámenes de diagnóstico) que identifican temas de capítulos que los estudiantes deberán dominar Un Answer Evaluator de WebAssign que reconoce y acepta respuestas matemáticas equivalentes en la misma forma en que un profesor califica Una característica de Show My Work que da a los profesores la opción de ver soluciones detalladas de los alumnos Visualizing Calculus Animations, Lecture Videos y más

*Este material se encuentra disponible en inglés. Visite www.cengage.com para acceder a estos recursos. n Elementos electrónicos

n Elementos impresos

(La tabla continúa en la página xxii)

xxi

Cengage Customizable YouBook* YouBook es un eBook tanto interactivo como personalizable. Con todo el contenido del Cálculo de Stewart, YouBook ofrece una herramienta de edición de texto que permite a los profesores modificar la narración del libro de texto conforme sea necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rápidamente secciones y capítulos enteros o esconder contenido que no imparten para crear un eBook que se ajuste a la perfección a su curso. Los profesores pueden personalizar adicionalmente el texto añadiendo vínculos de video creados por ellos mismos o de YouTube. Elementos adicionales de medios incluyen figuras animadas, videoclips, características para resaltar y tomar apuntes y más. YouBook está disponible en Enhanced WebAssign. CourseMate* CourseMate es una perfecta herramienta de estudio personal para los alumnos y no requiere preparación alguna de los profesores. CourseMate da vida a conceptos del curso con herramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparación para exámenes que prestan apoyo al libro de texto impreso. CourseMate para el Cálculo de Stewart incluye un eBook interactivo, Tools for Enriching Calculus, videos, exámenes, tarjetas de conceptos y más. Para los profesores, CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramienta única en su tipo que monitorea la participación de los estudiantes. CengageBrain.com* Para tener acceso a materiales adicionales de cursos, visite por favor www.cengagebrain.com. En la página principal de CengageBrain.com, busque el ISBN de su título (en el reverso de su libro) usando el cuadro de búsqueda en la parte superior de la página. Esto lo llevará a la página del producto donde pueden encontrarse estos recursos.

Complementos para estudiantes Manual de soluciones para el estudiante (Student Solutions Manual)* Single Variable Early Transcendentals ISBN 978-1-305-27263-7 Multivariable ISBN 978-1-305-38698-3 Proporciona soluciones completamente elaboradas de todos los ejercicios de número impar del texto, dando

a los estudiantes la oportunidad de verificar sus respuestas y cerciorarse de haber dado los pasos correctos para llegar a la respuesta. El Student Solutions Manual se puede ordenar o acceder a él en línea como un eBook en www.cengagebrain.com buscando el ISBN. Study Guide* Single Variable Early Transcendentals Por Richard St. Andre ISBN 978-1-305-27914-8 Multivariable* Por Richard St. Andre ISBN 978-1-305-27184-5 Para cada sección del texto, la Study Guide ofrece a los estudiantes una breve introducción, una lista corta de conceptos por dominar y preguntas de resumen y concentración con respuestas explicadas. La Study Guide también contiene pruebas de autoaplicación con preguntas tipo examen. La Study Guide se puede ordenar o acceder a ella en línea como un eBook en www.cengagebrain.com buscando el ISBN. A Companion to Calculus* Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers ISBN 978-0-495-01124-8 Escrito para mejorar habilidades de álgebra y resolución de problemas de los estudiantes que toman un curso de álgebra, cada capítulo de este complemento está dirigido a un tema de cálculo, ofreciendo fundamentos conceptuales y técnicas específicas de álgebra necesarios para entender y resolver problemas de cálculo relacionados con ese tema. Está diseñado para cursos de cálculo que integran el repaso de conceptos de precálculo o para uso individual. Pida un ejemplar del texto o acceda al eBook en línea en www.cengagebrain.com buscando el ISBN. Linear Algebra for Calculus* Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner ISBN 978-0-534-25248-9 Este libro es muy completo, diseñado para complementar el curso de cálculo, ofrece una introducción y repaso de las ideas básicas del álgebra lineal. Pida un ejemplar del texto o acceda al eBook en línea en www.cengagebrain.com buscando el ISBN.

*Este material se encuentra disponible en inglés. Visite www.cengage.com para acceder a estos recursos. n Elementos electrónicos

xxii

n Elementos impresos

Al estudiante Leer un libro de texto de cálculo es diferente a leer un periódico o una novela, o incluso un libro de física. No se desanime si tiene que leer un pasaje más de una vez para comprenderlo. Debería tener lápiz y papel y una calculadora a la mano para trazar un diagrama o hacer un cálculo. Algunos estudiantes comienzan probando sus problemas de tarea y leen el texto solo si se atoran en un ejercicio. Yo sugiero que un plan mucho mejor es leer y comprender una sección del texto antes de intentar hacer los ejercicios. En particular, usted debería examinar las definiciones para ver los significados exactos de los términos. Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que cubra la solución e intente resolver el problema usted mismo. Obtendrá mucho más al estudiar la solución si lo hace así. Parte de la finalidad de este curso es estimular su pensamiento lógico. Aprenda a escribir las soluciones de los ejercicios en forma coherente paso a paso, con oraciones explicatorias, no solo como una cadena de ecuaciones o fórmulas inconexas. Las respuestas a los ejercicios con número impar aparecen al final del libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios piden una explicación, interpretación o descripción verbal. En esos casos, no existe una manera correcta y única de expresar la respuesta, así que no se preocupe si no ha encontrado la respuesta definitiva. Además, hay varias formas en las cuales expresar una respuesta numérica o algebraica, así que si su respuesta difiere de la mía, no suponga de inmediato que está equivocado. Por ejemplo, si la respuesta dada al final del libro es s2 2 1 y usted obtiene 1/(11 s2), entonces usted está en lo correcto y racionalizar el denominador mostrará que las respuestas son equivalentes. El icono indica un ejercicio que definitivamente requiere el uso de una calculadora graficadora o una computadora con software de graficación. Pero eso no significa que dispositivos de graficación no puedan usarse también para verificar su trabajo en los demás ejercicios. El símbolo se reserva a problemas en los que son requeridos los recursos completos de un sistema algebraico computacional (como Maple, Mathematica o el TI-89).

Usted también encontrará el símbolo , el cual lo previene de cometer un error. He puesto este símbolo al margen en situaciones en que he observado que una gran proporción de mis estudiantes tiende a cometer el mismo error. Tools for Enriching Calculus, que es un complemento de este texto, se refiere por medio del símbolo y puede ser consultado en el eBook vía Enhanced WebAssign y CourseMate (Visuals y Modules selectos están disponibles en www.stewartcalculus.com). Esto lo dirige a usted a módulos en los que puede explorar aspectos del cálculo para los cuales la computadora es particularmente útil. Notará que algunos números de ejercicios están impresos en gris: 5. Esto indica que Homework Hints están disponibles para el ejercicio. Estas sugerencias pueden hallarse en stewartcalculus.com así como en Enhanced WebAssign y CourseMate. Las sugerencias de tareas hacen preguntas que le permiten realizar progresos hacia una solución sin realmente darle la respuesta. Usted debe seguir cada sugerencia en forma activa con lápiz y papel para resolver los detalles. Si una sugerencia particular no le permite resolver el problema, puede hacer clic para revelar la sugerencia siguiente. Le recomiendo conservar este libro para efectos de consulta después de terminar el curso. Dado que es probable que olvide algunos de los detalles específicos del cálculo, el libro servirá como un recordatorio útil cuando deba usar el cálculo en cursos subsecuentes. Y como este libro contiene más material del que puede cubrirse en un curso, también puede servir como un valioso recurso para un científico o ingeniero en ejercicio profesional. El cálculo es un tema muy interesante, con justicia considerado uno de los grandes logros del intelecto humano. Espero que usted descubra que es no solo útil, sino también intrínsecamente bello.

james stewart

xxiii

xxiv

© Dan Clegg

Usted también puede emplear software de computación como Graphing Calculator de Pacific Tech (www.pacifict.com) para ejecutar muchas de esas funciones, lo mismo que aplicaciones para teléfonos y tabletas como Quick Graph (Colombiamug) o Math-Studio (Pomegranate Apps). Funcionalidad similar está disponible usando una interfaz web en WolframAlpha.com.

Los adelantos en tecnología siguen ofreciendo una variedad de herramientas cada vez más amplia para hacer matemáticas. Las calculadoras de bolsillo se han vuelto más potentes, lo mismo que los programas de software y los recursos en internet. Además, muchas aplicaciones matemáticas han sido lanzadas para teléfonos inteligentes y tabletas como la iPad. Algunos ejercicios de este texto están marcados con un icono de graficación , que indica que el uso de alguna tecnología es requerido. A menudo esto significa que se desea que un dispositivo de graficación se use para dibujar la gráfica de una función o ecuación. Usted podría necesitar también tecnología para determinar los ceros de una gráfica o los puntos de intersección de dos gráficas. En algunos casos se usará un dispositivo de cálculo para resolver una ecuación o evaluar numéricamente una integral definida. Muchas calculadoras científicas y graficadoras llevan integradas estas características, como la Texas Instruments TI-84 o TI-Nspire CX. Calculadoras similares son fabricadas por Hewlett Packard, Casio y Sharp.

© Dan Clegg

© Dan Clegg

Calculadoras, computadoras y otros dispositivos de graficación

se reserva a problemas en los que son requeridos los El icono recursos completos de un sistema algebraico computacional (sac). Un sac es capaz de hacer matemáticas (como resolver ecuaciones, calcular derivadas o integrales) simbólicamente más que solo numéricamente. Ejemplos de sistemas algebraicos computacionales firmemente establecidos son los paquetes de software de computación Maple y Mathematica. El sitio web de WolframAlpha usa el motor de Mathematica para proporcionar funcionalidad sac vía la web. Muchas calculadoras graficadoras de bolsillo tienen capacidades del sac, como la TI-89 y TI-Nspire CX CAS de Texas Instruments. Algunas aplicaciones para tabletas y teléfonos inteligentes brindan estas capacidades, como el ya mencionado MathStudio.

© Dan Clegg

© Dan Clegg

© Dan Clegg

En general, cuando se usa el término “calculadora” en este libro, se refiere al uso de cualquiera de los recursos que se han mencionado.

xxv

Pruebas de diagnóstico

El éxito en cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que preceden al cálculo: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Las pruebas siguientes buscan diagnosticar debilidades que usted podría tener en esas áreas. Después de realizar cada prueba, puede verificar sus respuestas contra las respuestas dadas y, si es necesario, reactivar sus habilidades remitiéndose a los materiales de repaso provistos.

A

Prueba de diagnóstico: álgebra 1. Evalúe cada expresión sin usar una calculadora. (a) s23d4 (d)

(b) 234

5 23 5 21

(e)

SD 2 3

(c) 324

22

(f) 16 23y4

2. Simplifique cada expresión. Escriba su respuesta sin exponentes negativos. (a) s 200 ] s 32 (b) s3a 3b 3 ds4ab 2 d 2 (c)

S

3x 3y2 y 3 x 2 y21y2

D

22

3. Desarrolle y simplifique. (a) 3sx 1 6d 1 4s2x 2 5d

(b) sx 1 3ds4x 2 5d

(c) ss a 1 s b dssa 2sb d

(d) s2x 1 3d2

(e) s x 1 2d3 4. Factorice cada expresión. (a) 4x 2 2 25

(b) 2x 2 1 5x 2 12

(c) x 3 2 3x 2 2 4x 1 12

(d) x 4 1 27x

(e) 3x 3y2 2 9x 1y2 1 6x 21y2

(f) x 3 y 2 4xy

5. Simplifique la expresión racional.

xxvi

(a)

x 2 1 3x 1 2 x2 2 x 2 2

(c)

x11 x2 2 x2 2 4 x12

2x 2 2 x 2 1 x13 ? x2 2 9 2x 1 1 y x 2 x y (d) 1 1 2 y x (b)

Pruebas de diagnóstico

6. Racionalice la expresión y simplifique. (a)

s10 s5 2 2

(b)

s4 1 h 2 2 h

7. Reescriba completando el cuadrado. (a) x 2 1 x 1 1

(b) 2x 2 2 12x 1 11

8. Resuelva la ecuación. (Halle solo las soluciones reales.)

(c) x 2 2 x 2 12 5 0

2x 2x 2 1 5 x11 x (d) 2x 2 1 4x 1 1 5 0

(e) x 4 2 3x 2 1 2 5 0

(f) 3 x 2 4 5 10

(a) x 1 5 5 14 2 12 x

(g) 2xs4 2 xd

21y2

(b)

|

2 3 s4 2 x 5 0

|

9. Resuelva cada desigualdad. Escriba su respuesta usando notación de intervalos. (b) x 2 , 2x 1 8 (d) x 2 4 , 3

(a) 24 , 5 2 3x < 17 (c) xsx 2 1dsx 1 2d . 0

|

2x 2 3 (e) <1 x11

|

10. Diga si cada ecuación es verdadera o falsa. (b) sab 5 sa sb 1 1 TC 511T (d) C 1yx 1 (f) 5 ayx 2 byx a2b

(a) s p 1 qd2 5 p 2 1 q 2 (c) sa 2 1 b 2 5 a 1 b (e)

1 1 1 5 2 x2y x y

RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO A: ÁLGEBRA (a) 81

(b) 281

(c)

(d) 25

(e)

9 4

(f)

(a) 6s2

(b) 48a 5b7

(c)

1 81 1 8

x 9y7

(a) 11x 2 2 (b) 4x 2 1 7x 2 15 (c) a 2 b (d) 4x 2 1 12x 1 9 3 2 (e) x 1 6x 1 12x 1 8 (a) s2x 2 5ds2x 1 5d (c) sx 2 3dsx 2 2dsx 1 2d (e) 3x21y2sx 2 1dsx 2 2d x12 x22 1 (c) x22

(a)

(b) s2x 2 3dsx 1 4d (d) xsx 1 3dsx 2 2 3x 1 9d (f) xysx 2 2dsx 1 2d (b)

x21 x23

(d) 2sx 1 yd

1

(a) 5s2 1 2s10

(b)

(a) s x 1 12 d 1 34

(b) 2sx 2 3d2 2 7

2

(a) 6 (d) 21 6 (g)

12 5

1 2 s2

(b) 1

(c) 23, 4

(e) 61, 6s2

(f) 23 , 22 3

(a) f24, 3d (c) s22, 0d ø s1, `d (e) s21, 4g (a) Falso (d) Falso

s4 1 h 1 2

(b) s22, 4d (d) s1, 7d

(b) Verdadero (e) Falso

Si tuvo dificultad con estos problemas, consulte el repaso de álgebra en el sitio web www.stewartcalculus.com.

(c) Falso (f) Verdadero

xxvii

xxviii

Pruebas de diagnóstico

B

Prueba de diagnóstico: geometría analítica 1. Determine una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, ]5) y (a) tiene pendiente ]3 (b) es paralela al eje x (c) es paralela al eje y (d) es paralela a la recta 2x ] 4y 5 3 2. Determine una ecuación para la circunferencia que tiene centro (]1, 4) y pasa por el punto (3, ]2). 3. Determine el centro y radio de la circunferencia con ecuación x2 1 y2 ] 6x 1 10y 1 9 5 0. 4. Sean A(]7, 4) y B(5, ]12) puntos en el plano. (a) Halle la pendiente de la recta que contiene a A y B. (b) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son las intersecciones? (c) Halle el punto medio del segmento AB. (d) Halle la longitud del segmento AB. (e) Encuentre una ecuación de la bisectriz perpendicular a AB. (f) Encuentre una ecuación de la circunferencia para el que AB es un diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades. (a) 21 < y < 3 (c) y , 1 2

(b)

1 2x

|x| , 4 y |y| , 2

(d) y > x 2 2 1

(e) x 2 1 y 2 , 4

(f) 9x 2 1 16y 2 5 144

RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO B: GEOMETRÍA ANALÍTICA (a) y 5 23x 1 1

(b) y 5 25

(c) x 5 2

(d) y 5 12 x 2 6

(a)

3

sx 1 1d2 1 s y 2 4d2 5 52

x

_1

234

4x 1 3y 1 16 5 0; intersección en x 5 24, intersección en y 5 2 16 3 s21, 24d 20 3x 2 4y 5 13 sx 1 1d2 1 s y 1 4d2 5 100

(d)

_4

1

0

(e)

4x

0

1

x

(f)

y 2

_1

y 1

y=1- 2 x 2

x

_2

y

0

(c)

y 2

0

Centro s3, 25d, radio 5 (a) (b) (c) (d) (e) (f)

(b)

y

0

≈+¥=4 2

y=≈-1

Si tuvo dificultad con estos problemas, consulte el repaso de geometría analítica en los apéndices B y C.

x

y 3 0

4 x

xxix

Pruebas de diagnóstico

C

Prueba de diagnóstico: funciones 1. La gráfica de una función f se da a la izquierda. (a) Enuncie el valor de f (]1). (b) Estime el valor de f (2). (c) ¿Para cuáles valores de x es f (x) 5 2? (d) Estime los valores de x tales que f (x) 5 0. (e) Enuncie el dominio y rango de f. f s2 1 hd 2 f s2d 2. Si f (x) 5 x3, evalúe el cociente de diferencia y simplifique su respuesta. h 3. Determine el dominio de cada función.

y

1 0

1

x

FIGURA PARA EL PROBLEMA 1

(a) f sxd 5

2x 1 1 x2 1 x 2 2

(b) tsxd 5

3 x s x2 1 1

(c) hsxd 5 s4 2 x 1 sx 2 2 1

4. ¿Cómo se obtienen las gráficas de las siguientes funciones a partir de la gráfica de f ? (a) y 5 2f sxd

(b) y 5 2 f sxd 2 1

(c) y 5 f sx 2 3d 1 2

5. Sin usar una calculadora, haga un diagrama preliminar de la gráfica. (a) y 5 x 3 (d) y 5 4 2 x 2 (g) y 5 22 x

(b) y 5 sx 1 1d3 (e) y 5 sx (h) y 5 1 1 x21

(c) y 5 sx 2 2d3 1 3 (f) y 5 2 sx

H

2 si x < 0 6. Sea f sxd 5 1 2 x 2x 1 1 si x . 0

(a) Evalúe f (]2) y f (1).

(b) Trace la gráfica de f.

7. Si f sxd 5 x 1 2x 2 1 y tsxd 5 2x 2 3, determine cada una de las funciones siguientes. 2

(a) f 8 t

(b) t 8 f

(c) t 8 t 8 t

RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO C: FUNCIONES

(a) 22 (c) 23, 1 (e) f23, 3g, f22, 3g

(b) 2.8 (d) 22.5, 0.3

(a)

0

4. (a) Refleje a través del eje x (b) Prolongue verticalmente por un factor de 2 y luego desplace 1 unidad hacia abajo (c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba

(d)

(g)

1

x

2

0

_1

(e)

(h)

x

1

x

1

x

y 1

0 1

x

0

0

(f)

y

0

x

y

_1

y

1

y 4

0

(c)

y

1

12 1 6h 1 h 2 (a) s2`, 22d ø s22, 1d ø s1, `d (b) s2`, `d (c) s2`, 21g ø f1, 4g

(b)

y

x

y

0

1

x

xxx

Pruebas de diagnóstico

(a) 23, 3

(b)

(a) s f 8 tdsxd 5 4x 2 2 8x 1 2 (b) s t 8 f dsxd 5 2x 2 1 4x 2 5

y 1 _1

0

(c) s t 8 t 8 tdsxd 5 8x 2 21

x

Si tuvo dificultad con estos problemas, examine las secciones 1.1-1.3 de este libro.

D

Prueba de diagnóstico: trigonometría 1. Convierta de grados a radianes. (a) 300° (b) ]18° 2. Convierta de radianes a grados. (a) 5y6

(b) 2

3. Determine la longitud de un arco de un círculo con radio 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Determine los valores exactos. (a) tans y3d

(b) sens7 y6d

(c) secs5 y3d

5. Exprese las longitudes de a y b en la figura en términos de . 24

6. Si sen x 5 13 y sec y 5 54, donde x y y se sitúan entre 0 y y2, evalúe sen(x 1 y).

a

7. Compruebe las identidades.

¨ b

FIGURA PARA EL PROBLEMA 5

(a) tan sen 1 cos 5 sec

(b)

2 tan x 5 sen 2x 1 1 tan 2x

8. Determine todos los valores de x tales que sen 2x 5 sen x y 0 ø x ø 2. 9. Trace la gráfica de la función y 5 1 1 sen 2x sin usar una calculadora.

RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO D: TRIGONOMETRÍA

s4 1 6 s2 d

(a) 5 y3

(b) 2 y10

1 15

(a) 1508

(b) 3608y < 114.68

0, y3, , 5 y3, 2

2 cm 221

(a) s3

(b)

(a) 24 sen

(b) 24 cos

y 2

(c) 2 _π

0

π

x

Si tuvo dificultad con estos problemas, examine el apéndice D de este libro.

Un adelanto del cálculo Cuando termine este curso, será capaz de calcular la longitud de la curva utilizada para diseñar el Gateway Arch en St. Louis, determinar dónde un piloto debe iniciar el descenso para un aterrizaje suave, calcular la fuerza sobre un bate de béisbol cuando golpea la pelota y medir la cantidad de luz captada por el ojo humano conforme cambia el tamaño de la pupila.

EL CÁLCULO ES FUNDAMENTALMENTE DIFERENTE DE las matemáticas que ha estudiado anteriormente: el cálculo es menos estático y más dinámico. Se ocupa de los cambios y del movimiento; estudia cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por eso puede ser útil tener una visión general del tema antes de comenzar su estudio intensivo. Aquí se da un vistazo de algunas de las ideas principales del cálculo, se muestran cómo surge el concepto de límite cuando se intentan resolver diferentes problemas.

1

Stewart_ch00_001-008.indd 1

08/06/17 12:50 p.m.

2

UN ADELANTO DEL CÁLCULO

El problema del área



Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2500 años a los antiguos griegos, quienes calcularon áreas usando el “método de agotamiento”. Los griegos sabían cómo encontrar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como se ve en la figura 1 y sumar las áreas de estos triángulos. Un problema mucho más difícil es encontrar el área encerrada por una figura curvada. El método griego de agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígonos en la figura y luego aumentar el número de lados de los polígonos. La figura 2 ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos.

A∞

A™ A¢



A=A¡+A™+A£+A¢+A∞

FIGURA 1





A∞







A¡™



FIGURA 2

Sea An el área del polígono inscrito con n lados. A medida que aumenta n, el área se parece cada vez más y más al área del círculo. Se dice que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos, y se escribe TEC En Preview Visual, puede ver cómo las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos se aproximan al área del círculo.

A − lím An n:`

Los griegos no utilizaron de manera explícita el concepto de límite. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó la técnica de agotamiento para demostrar la conocida fórmula para el área de un círculo: A 5 pr2. En el capítulo 5 se utilizará una idea similar para encontrar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Se aproximará al área deseada por medio de áreas de rectángulos (como en la figura 4), disminuyendo el ancho de los rectángulos y luego calculando el área A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. y

y

y

(1, 1)

y

(1, 1)

(1, 1)

(1, 1)

y=≈ A 0

FIGURA 3

1

x

0

1 4

1 2

3 4

1

x

0

1

x

0

1 n

1

x

FIGURA 4

El problema del área es el problema central en la rama del cálculo llamado cálculo integral. Las técnicas que se desarrollarán en el capítulo 5 para encontrar áreas también permitirán calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza de las aguas contra una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo realizado al bombear agua hacia afuera de un tanque.

El problema de la tangente Considere el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente t a una curva con ecuación y 5 f(x) en un punto dado P. (En el capítulo 2 se dará una definición precisa de una recta tangente. Por ahora la puede considerar como una recta que toca la curva en P

Stewart_ch00_001-008.indd 2

08/06/17 12:50 p.m.

3

UN ADELANTO DEL CÁLCULO

como en la figura 5.) Como se sabe que el punto P se encuentra en la recta tangente, se puede encontrar la ecuación de t si se sabe su pendiente m. El problema es que se necesitan dos puntos para calcular la pendiente y se tiene solo un punto P de t. Como una solución alternativa al problema se encuentra en primer lugar una aproximación a m tomando un punto cercano Q de la curva y se calcula la pendiente mPQ de la recta secante PQ. De la figura 6 se ve que

y

t y=ƒ P

0

x

FIGURA 5 La recta tangente en P

mPQ 5

t Q { x, ƒ} ƒ-f(a)

P { a, f(a)}

m − lím mPQ Q :P

x-a

a

f sxd 2 f sad x2a

Ahora imagine que Q se mueve a lo largo de la curva hacia P como en la figura 7. Puede verse que la recta secante gira y se acerca a la recta tangente como su posición límite. Esto significa que la pendiente de la recta secante se acerca más y más a la pendiente mPQ de la recta tangente. Escriba

y

0

1

x

x

FIGURA 6 La recta secante PQ

y diga que m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Puesto que x se aproxima a a cuando Q se aproxima a P, también se puede utilizar la ecuación 1 para escribir

2

m − lím

x:a

f sxd 2 f sad x2a

y

t Q P

0

x

FIGURA 7 Recta secante aproximándose a la recta tangente

En el capítulo 2 se verán ejemplos específicos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo diferencial, inventada más de 2000 años después que el cálculo integral. Las principales ideas detrás del cálculo diferencial se deben al matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727); y el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716). Las dos ramas de cálculo y sus principales problemas, el problema del área y el problema de la tangente, parecen ser muy diferentes, pero resulta que hay una conexión muy estrecha entre ellas. El problema de la tangente y el área son problemas inversos en un sentido que se describe en el capítulo 5.

Velocidad Cuando se ve el velocímetro de un automóvil y se lee que se está desplazando a 48 km/h, ¿qué información se obtiene? Si la velocidad se mantiene constante, después de una hora se habrá desplazado 48 km. Pero, si la velocidad del auto varía, ¿qué significa decir que la velocidad en un instante dado es 48 km/h? Para analizar esta situación, examine el caso de un automóvil que viaja a lo largo de una carretera recta en el que se supone que es posible medir la distancia recorrida por el vehículo (en metros) a intervalos de un segundo como se registra en la tabla siguiente:

Stewart_ch00_001-008.indd 3

t 5 tiempo transcurrido (s)

0

1

2

3

4

5

d 5 distancia (m)

0

2

9

24

42

71

08/06/17 12:50 p.m.

4

UN ADELANTO DEL CÁLCULO

Un primer paso para determinar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, es encontrar la velocidad promedio durante el intervalo 2 < t < 4: cambio en la posición tiempo transcurrido

velocidad promedio −

42 2 9 422



− 16.5 mys Del mismo modo, la velocidad promedio en el intervalo 2 < t < 3 es velocidad promedio −

24 2 9 − 15 mys 322

Se tiene la sensación de que la velocidad en el instante t 5 2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un corto intervalo de tiempo desde t 5 2. Así que imagine que se ha medido la distancia recorrida en intervalos de tiempo de 0.1 segundo como se ve en la tabla siguiente: t

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

d

9.00

10.02

11.16

12.45

13.96

15.80

Entonces se puede calcular, por ejemplo, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo [2, 2.5]: velocidad promedio −

15.80 2 9.00 − 13.6 mys 2.5 2 2

Los resultados de estos cálculos se muestran en la tabla siguiente: Intervalo de tiempo

f2, 3g

f2, 2.5g

f2, 2.4g

f2, 2.3g

f2, 2.2g

f2, 2.1g

Velocidad promedio (m/s)

15.0

13.6

12.4

11.5

10.8

10.2

Las velocidades promedio durante intervalos sucesivamente más pequeños parecen estar aproximándose cada vez más a un número cercano a 10 y, por tanto, se esperaría que la velocidad exactamente en t 5 2 fuera de 10 m/s. En el capítulo 2 se definirá la velocidad instantánea de un objeto en movimiento, como el valor límite de las velocidades promedio durante intervalos de tiempo cada vez más pequeños. En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al trazar la distancia recorrida como función del tiempo. Si se escribe d 5 f(t), entonces f(t) es el número de metros recorridos después de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo de tiempo [2, t] es

d

Q { t, f(t)}

velocidad promedio −

que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la figura 8. La velocidad y cuando t 5 2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir,

20 10 0

P { 2, f(2)} 1

2

FIGURA 8

Stewart_ch00_001-008.indd 4

3

4

cambio en la posición f std 2 f s2d − tiempo transcurrido t22

5

t

v − lím

t:2

f std 2 f s2d t22

y de la ecuación 2 se reconoce que esta es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en P.

08/06/17 12:50 p.m.

5

UN ADELANTO DEL CÁLCULO

Así, cuando se resuelve el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también se da solución a problemas relativos a velocidades. Las mismas técnicas permiten resolver problemas relacionados con tasas de cambio en las ciencias naturales y sociales.

El límite de una sucesión En el siglo v a. C., el filósofo griego Zenón de Elea planteó cuatro problemas, ahora conocidos como Paradojas de Zenón, que estaban diseñados para cuestionar algunas de las ideas sobre el espacio y el tiempo que se sostenían en esos días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre Aquiles, el héroe griego, y una tortuga a la que se ha dado cierta ventaja al inicio. Zenón argumentaba que Aquiles nunca podría rebasar a la tortuga. Suponga que Aquiles empieza en la posición a1 y la tortuga comienza en posición t1 (véase la figura 9). Cuando Aquiles alcanza el punto a2 5 t1, la tortuga está más adelante en la posición t2. Cuando Aquiles llega a a3 5 t2, la tortuga está en t3. Este proceso continúa indefinidamente y así parece que ¡la tortuga siempre estará por delante! Pero esto desafía el sentido común.

Aquiles

FIGURA 9



Tortuga

a™





a∞

...



t™





...

Una manera de explicar esta paradoja es con el concepto de sucesión. Las posiciones sucesivas de Aquiles (a1, a2, a3,….) o las posiciones sucesivas de la tortuga (t1, t2, t3,….) forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión {an} es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo, la sucesión

h1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . . j puede describirse dando la siguiente fórmula para el enésimo término: an − a¢ a£

a™

0

Puede visualizar esta sucesión ubicando sus términos en una recta numérica como en la figura 10(a) o dibujando su gráfica como en la figura 10(b). En cualesquiera de las dos representaciones se observa que los términos de la sucesión a n 5 1/n se aproximan cada vez más y más a 0 conforme n aumenta. De hecho, se pueden encontrar términos tan pequeños como se quiera haciendo n suficientemente grande. En estas condiciones, se dice que el límite de la sucesión es 0, y se indica escribiendo

a¡ 1

(a) 1

1 2 3 4 5 6 7 8

(b)

FIGURA 10

1 n

lím

n:`

n

1 −0 n

En general, la notación lím a n − L

n:`

se utiliza si los términos an se aproximan al número L cuando n es suficientemente grande. Esto significa que los números an pueden acercarse al número L tanto como se quiera si se toma una n suficientemente grande.

Stewart_ch00_001-008.indd 5

08/06/17 12:50 p.m.

6

UN ADELANTO DEL CÁLCULO

El concepto de límite de una sucesión aparece cada vez que se utiliza la representación decimal de un número real. Por ejemplo, si a 1 − 3.1 a 2 − 3.14 a 3 − 3.141 a 4 − 3.1415 a 5 − 3.14159 a 6 − 3.141592 a 7 − 3.1415926 f lím a n −

entonces

n:`

Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales de p. Regrese a la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman sucesiones {an} y {tn}, donde an , tn para toda n. Puede demostrarse que ambas sucesiones tienen el mismo límite: lím a n − p − lím tn

n→`

n→`

Es precisamente en este punto p que Aquiles alcanza a la tortuga.

La suma de una serie Otra de las paradojas de Zenón, según Aristóteles, es la siguiente: “un hombre parado en una sala no puede caminar hasta la pared. Para ello, primero tendría que recorrer la mitad de la distancia, después recorrer la mitad de la distancia restante y, luego, recorrer la mitad de lo que falta. Este proceso puede mantenerse siempre y nunca puede terminarse” (véase la figura 11).

1 2

FIGURA 11

1 4

1 8

1 16

Por supuesto, se sabe que el hombre realmente puede llegar a la pared, lo que sugiere que tal vez la distancia total puede expresarse como la suma de una infinidad de distancias cada vez más pequeñas como sigue: 3

Stewart_ch00_001-008.indd 6

1−

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∙∙∙ 1 n 1 ∙∙∙ 2 4 8 16 2

08/06/17 12:50 p.m.

UN AVANCE DE CÁLCULO

7

Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero hay otras situaciones en que se utilizan implícitamente sumas infinitas. Por ejemplo, en notación decimal, el símbolo 0.3 − 0.3333 . . . significa 3 3 3 3 1 1 1 1 10 100 1000 10 000 y así, en cierto sentido, debe ser cierto que 3 3 3 3 1 1 1 1 10 100 1000 10 000



1 3

Más generalmente, si dn denota el enésimo dígito en la representación decimal de un número, entonces 0.d1 d2 d3 d4 . . . −

d1 d2 d3 dn 1 2 1 3 1 ∙∙∙ 1 n 1 ∙∙∙ 10 10 10 10

Por tanto, algunas sumas infinitas o series infinitas, como se les llama, tienen un significado. Pero se debe definir con cuidado lo que es la suma de una serie infinita. Regresando a la serie en la ecuación 3, se denota por sn la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, s1 − 12 − 0.5 s2 − 12 1 14 − 0.75 s3 − 12 1 14 1 18 − 0.875 1 s4 − 12 1 14 1 18 1 16 − 0.9375 1 1 s5 − 12 1 14 1 18 1 16 1 32 − 0.96875 1 1 1 s6 − 12 1 14 1 18 1 16 1 32 1 64 − 0.984375 1 1 1 1 s7 − 12 1 14 1 18 1 16 1 32 1 64 1 128 − 0.9921875

f 1 s10 − 12 1 14 1 ∙ ∙ ∙ 1 1024 < 0.99902344

f s16 −

1 1 1 1 1 ∙ ∙ ∙ 1 16 < 0.99998474 2 4 2

Observe que como le se añadieron cada vez más términos, las sumas parciales parecen estar más cercanas a 1. De hecho, puede demostrarse que si n es suficientemente grande (es decir, si se suman suficientes términos de la serie), se puede aproximar la suma parcial tanto como se quiera al número 1. Por tanto, parece razonable decir que la suma de la serie infinita es 1 y escribir 1 1 1 1 1 1 1 ∙∙∙ 1 n 1 ∙∙∙ − 1 2 4 8 2

Stewart_ch00_001-008.indd 7

08/06/17 12:50 p.m.

8

UN AVANCE DE CÁLCULO

En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que lim sn − 1

n→`

En el capítulo 11 se analizarán con más detalle estas ideas y se utilizará la propuesta de Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral.

Resumen Se vio que el concepto de límite surge al intentar encontrar el área de una región, la pendiente de la recta tangente a una curva, la velocidad de un auto o la suma de una serie infinita. En cada caso el problema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades fáciles de calcular. Esta idea básica de límite separa al cálculo de otras áreas de las matemáticas. De hecho, podría definirse el cálculo como la parte de las matemáticas que estudia límites. Después de que Sir Isaac Newton inventó su versión del cálculo, lo usó para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Hoy el cálculo se utiliza para determinar las órbitas de los satélites y naves espaciales, en la predicción de tamaños de población, en la estimación de la rapidez con la que los precios del petróleo suben o bajan, en el pronóstico del clima, en medir el gasto cardiaco, en el cálculo de las primas de seguros de vida y en una gran variedad de otras áreas. En este libro se explorarán algunos de estos usos del cálculo. Con el fin de dar una idea del poder del cálculo, se termina este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que usted podrá responder al usar el cálculo: 1. ¿Cómo podría explicar el hecho, ilustrado en la figura 12, de que el ángulo de elevación desde un observador hasta el punto más alto en un arcoíris es 42°? (Véase la página 285).

Rayos del Sol

138° Rayos del Sol

42°

2. ¿Cómo podría explicar las formas de las latas en los estantes del supermercado? (Véase la página 343). 3. ¿Dónde está el mejor lugar para sentarse en una sala de cine? (Véase la página 465).

Observador

FIGURA 12

4. ¿Cómo diseñaría una montaña rusa para un viaje suave? (Véase la página 182). 5. ¿A qué distancia de la pista de un aeropuerto debe un piloto iniciar el descenso? (Véase la página 208). 6. ¿Cómo podría ajustar distintas curvas para que al unirlas sirvan para diseñar letras que puedan ser impresas en una impresora láser? (Véase la página 657). 7. ¿Cómo estimaría el número de trabajadores que fueron necesarios para construir la gran pirámide de Keops en Egipto? (Véase la página 460). 8. ¿Dónde debe colocarse un parador en corto para atrapar una pelota de béisbol lanzada por un jardinero y arrojarla al plato (home)? (Véase la página 465). 9. Una bola lanzada verticalmente hacia arriba, ¿tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver a su posición original de lanzamiento? (Véase la página 609). 10. ¿Cómo podría explicar el hecho de que planetas y satélites se mueven en órbitas elípticas? (Véase la página 876). 11. ¿Cómo distribuiría el caudal entre las turbinas en una central hidroeléctrica para maximizar la producción total de energía? (Véase la página 980). 12. Si una canica, una pelota de squash, una barra de acero y un tubo de plomo bajan una pendiente, ¿cuál de ellos llega primero al fondo? (Véase la página 1052).

Stewart_ch00_001-008.indd 8

08/06/17 12:50 p.m.

1 A menudo una gráfica es la mejor manera de representar una función porque transmite mucha información en un vistazo. Se muestra la gráfica de la aceleración vertical del suelo, creada por el terremoto de 2011 cerca de Tohoku en Japón. El terremoto tuvo una magnitud de 9.0 en la escala de Ritcher y fue tan fuerte que movió el norte de Japón 2.4 metros más cerca de América del Norte.

Funciones y modelos

© Pictura Collectus/Alamy

(cm/[email protected]) 2000 1000 0

tiempo

_1000 _2000 0

50

100

150

200 © Seismological Society of America

LOS OBJETOS FUNDAMENTALES CON LOS que trata el cálculo son las funciones. Este capítulo prepara el camino para el cálculo discutiendo las ideas básicas sobre las gráficas de funciones y la manera de transformarlas y combinarlas. Se destaca que una función puede representarse de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla, una gráfica o con palabras. Se verán los principales tipos de funciones que se presentan en el cálculo y se describirán cómo se utilizan estas funciones para modelar matemáticamente fenómenos del mundo real.

9

Stewart_ch01_009-024.indd 9

08/06/17 1:09 p.m.

10

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

1.1 Cuatro maneras de representar una función Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las cuatro situaciones siguientes: A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona A con r está dada por la ecuación A 5 pr2. Con cada número positivo r hay asociado un valor de A, por lo que se dice que A es una función de r. Año

Población (millones)

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080 6870

B. La población humana del mundo P depende del tiempo t. La tabla muestra las estimaciones de la población mundial P(t) en el tiempo t, para algunos años. Por ejemplo, P(1950) < 2 560 000 000 Pero para cada valor del tiempo t hay un valor correspondiente de P, por lo que se dice que P es una función de t. C. El costo C de envío de un paquete por correo depende de su peso w. Aunque no hay alguna fórmula simple que relacione a w con C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce w. D. La aceleración vertical a del suelo, medida por un sismógrafo durante un terremoto, es una función del tiempo transcurrido t. La figura 1 muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un determinado valor de t, la gráfica proporciona un valor correspondiente de a. a

{cm/[email protected]}

100

50

5

FIGURA 1 Aceleración vertical de suelo durante el terremoto de Northridge

10

15

20

25

30

t (segundos)

_50 © Calif. Dept. of Mines and Geology

Cada uno de estos ejemplos describe una regla de acuerdo con la cual, a un número dado (r, t, w o t), se le asigna otro número (A, P, C o a). En cada caso se dice que el segundo número es una función del primero. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. Usualmente se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. Al conjunto D se le denomina dominio de la función. El número f(x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) conforme x varía a través de todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se conoce como variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente, y A es la variable dependiente.

Stewart_ch01_009-024.indd 10

08/06/17 1:09 p.m.

11

SECCIÓN 1.1 Cuatro maneras de representar una función

x (entrada)

f

ƒ (salida)

FIGURA 2 Diagrama de una función f como una máquina

x

ƒ a

f(a)

f

D

Es útil pensar en una función como una máquina (véase la figura 2). Si x está en el dominio de la función f, cuando x entra en la máquina, esta la acepta como una entrada apropiada y produce una salida f(x) de acuerdo con la regla de la función. Así, puede pensar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas, y en el rango como el conjunto de todas las posibles salidas. Las funciones preprogramadas en una calculadora son ejemplos de una función como una máquina. Por ejemplo, la tecla raíz cuadrada en la calculadora calcula esa función. Oprima la tecla etiquetada s (o s x ) e introduzca la entrada x; si x , 0, entonces x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable, y la calculadora indicará un error. Si x > 0, entonces se presentará una aproximación a s x en la pantalla. Así, la tecla s x en la calculadora no es exactamente lo mismo que la función matemática f definida por f (x) 5 s x . Otra forma de imaginar una función es con un diagrama de flechas como en la figura 3. Cada flecha conecta un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que f(x) está asociada con x, f(a) está asociada con a, y así sucesivamente. El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con dominio D, entonces su gráfica es el conjunto de pares ordenados

|

hsx, f sxdd x [ Dj

E

(Observe que estos son pares de entrada-salida). En otras palabras, la gráfica de f consta de todos los puntos (x, y) en el plano coordenado tales que y 5 f(x) y x está en el dominio de f. La gráfica de una función f presenta una imagen útil del comportamiento o “historia de vida” de una función. Dado que la coordenada y de cualquier punto (x, y) en la gráfica es y 5 f(x), se puede leer el valor de f(x) de la gráfica como la altura de la gráfica arriba del punto x (véase la figura 4). La gráfica de f permite también tener una imagen visual del dominio de f en el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5.

FIGURA 3 Diagrama de flechas para f

y

y

{ x, ƒ}

y

rango

ƒ

ƒ(x)

f (2) f (1) 0

1

2

x

x

FIGURA 4

0

x

dominio

FIGURA 5

EJEMPLO 1 La gráfica de una función f se muestra en la figura 6. (a) Encuentre los valores de f(1) y f(5). (b) ¿Cuál es el dominio y el rango de f ?

y

SOLUCIÓN 1 0

1

x

FIGURA 6 La notación por intervalos está dada en el apéndice A.

Stewart_ch01_009-024.indd 11

(a) De la figura 6 se ve que el punto (1, 3) está en la gráfica de f, por lo que el valor de f en 1 es f(1) 5 3. (En otras palabras, el punto en la gráfica que se encuentra arriba de x 5 1 está 3 unidades arriba del eje x.) Cuando x 5 5, la gráfica se encuentra aproximadamente a 0.7 unidades por debajo del eje x, así que se estima que f(5) < 20.7. (b) Vea que f (x) está definida cuando 0 < x < 7, por lo que el dominio de f es el intervalo cerrado [0, 7]. Observe que f toma todos los valores de 22 a 4, por lo que el rango de f es

|

hy 22 < y < 4j − f22, 4g



08/06/17 1:09 p.m.

12

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

EJEMPLO 2 Trace la gráfica y encuentre el dominio y rango de cada una de las funciones siguientes: (a) f(x) 5 2x – 1 (b) g(x) 5 x2

y

y=2x-1 0 -1

SOLUCIÓN x

1 2

FIGURA 7 y

y=≈ 1 0

1

x

FIGURA 8

(a) La ecuación de la gráfica es y 5 2x – 1, y representa la ecuación de una recta con pendiente 2 e intersección con el eje y en 21. (Recuerde que la forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta es y 5 mx 1 b. Véase el apéndice B). Esto permite dibujar una parte de la gráfica de f en la figura 7. La expresión 2x 2 1 está definida para todos los números reales, por lo que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales, que se denota por . La gráfica muestra que el rango también es . (b) Dado que g(2) 5 22 5 4 y g(21) 5 (21)2 5 1, se pueden colocar los puntos (2, 4) y (21, 1) junto con algunos otros puntos de la gráfica, y después unirlos para obtener la gráfica (figura 8). La ecuación de la gráfica es y 5 x2 y representa una parábola (véase el apéndice C). El dominio de g es . El rango de g consiste de todos los valores de g(x), esto es, todos los números de la forma x2. Pero x2 > 0 para todos los números x, y cualquier número positivo y es un cuadrado. Por lo que el rango de g es {y ) y > 0} 5 [0, `). Esto se puede ver en la figura 8. ■ EJEMPLO 3 Si f sxd − 2x 2 2 5x 1 1 y h ± 0, evalúe

f sa 1 hd 2 f sad . h

SOLUCIÓN Primero evalúe f(a 1 h) reemplazando x por a 1 h en la expresión para f(x):

f sa 1 hd − 2sa 1 hd2 2 5sa 1 hd 1 1 − 2sa 2 1 2ah 1 h 2 d 2 5sa 1 hd 1 1 − 2a 2 1 4ah 1 2h 2 2 5a 2 5h 1 1 La expresión

Después se sustituye en la expresión dada y se simplifica:

f sa 1 hd 2 f sad h

f sa 1 hd 2 f sad s2a 2 1 4ah 1 2h 2 2 5a 2 5h 1 1d 2 s2a 2 2 5a 1 1d − h h

en el ejemplo 3 se llama cociente de diferencias y se presenta en cálculo con frecuencia. Como se verá en el capítulo 2, representa la razón de cambio de f(x) entre x 5 a y x 5 a 1 h.



2a 2 1 4ah 1 2h 2 2 5a 2 5h 1 1 2 2a 2 1 5a 2 1 h



4ah 1 2h 2 2 5h − 4a 1 2h 2 5 h



Representaciones de funciones Hay cuatro posibles maneras de representar una función: ● ● ● ●

verbalmente (con una descripción en palabras) numéricamente (con una tabla de valores) visualmente (con una gráfica) algebraicamente (con una fórmula explícita)

Si una función puede representarse de las cuatro maneras, con frecuencia es muy útil pasar de una representación a otra a fin de disponer de información adicional de la función. (En el ejemplo 2, se empezó con formas algebraicas y luego se obtuvieron gráficas.) Pero ciertas funciones se describen más naturalmente por una forma que por otra. Con esto en mente, se reexaminarán las cuatro situaciones que se consideraron al inicio de esta sección.

Stewart_ch01_009-024.indd 12

08/06/17 1:09 p.m.

13

SECCIÓN 1.1 Cuatro maneras de representar una función

A. La representación quizá más útil del área de un círculo como una función de su radio es la fórmula algebraica A(r) 5 pr2, aunque es posible compilar una tabla de valores para trazar una gráfica (la mitad de una parábola). Debido a que un círculo tiene un radio positivo, el dominio es hr r . 0j − s0, `d y el rango s0, `d. B. Se da una descripción de la función en palabras: P(t) es la población humana del mundo en el tiempo t. Ahora medirá t, así que t 5 0 corresponde al año 1900. La tabla de valores de la población mundial proporciona una representación adecuada de esta función. Si se grafican estos valores, se obtiene la gráfica (llamada gráfica de dispersión) en la figura 9. También es una representación útil porque la gráfica permite disponer de todos los datos a la vez. ¿Qué pasa con una fórmula? Por supuesto, es imposible concebir una fórmula explícita que proporcione la población humana exacta P(t) en cualquier tiempo t. Pero es posible encontrar una expresión para una función que se aproxime a P(t). De hecho, utilizando los métodos que se explican en la sección 1.2, se obtiene la aproximación

|

t (años desde 1900)

Población (millones)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080 6870

Pstd < f std − s1.43653 3 10 9 d ∙ s1.01395d t La figura 10 muestra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una función con una fórmula explícita que aproxima el comportamiento de la función dada. Sin embargo, se verá que las ideas del cálculo también pueden aplicarse a una tabla de valores; una fórmula explícita no es necesaria.

P

P

5x10'

0

5x10'

20

40 60 80 Años desde 1900

FIGURA 9

120

t

0

20

40 60 80 Años desde 1900

100

120

t

FIGURA 10

Una función definida por una tabla de valores se llama función tabular.

w (gramos)

C(w) (dólares)

0 , w < 20 20 , w < 30 30 , w < 40 40 , w < 50 ∙ ∙ ∙

2.90 5.50 7.00 8.50 ∙ ∙ ∙

Stewart_ch01_009-024.indd 13

100

La función P es típica de aquellas que surgen cuando se intenta aplicar el cálculo en el mundo real. Comienza con una descripción verbal de una función. Quizá sea capaz de elaborar una tabla de valores de la función, tal vez de lecturas del instrumento en un experimento científico. A pesar de que no tenga un conocimiento completo de los valores de la función, se verá durante el desarrollo de este libro que todavía es posible realizar las operaciones del cálculo con dicha función. C. Nuevamente la función se describe con palabras: sea C(w) el costo de envío por correo de un paquete con peso w. La regla que el Servicio Postal de Hong Kong utiliza desde 2015 para el correo a Taiwán es la siguiente: el costo es $2.90 para 20 g o menos, $5.50 por 30 g o menos, y $1.50 por cada 10 g más o parte de estos. La tabla de valores que se muestra al margen es la representación más conveniente para esta función, aunque es posible trazar una gráfica (véase el ejemplo 10). D. La gráfica que se muestra en la figura 1 es la representación más natural de la función aceleración vertical a(t). Es cierto que podría construirse una tabla de valores, y que incluso es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo, las amplitudes y los patrones, puede verse fácilmente en la

08/06/17 1:09 p.m.

14

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

gráfica. (Lo mismo es cierto para los patrones que se observan en los electrocardiogramas de pacientes que sufren del corazón y en polígrafos para la detección de mentiras). En el ejemplo siguiente, se traza la gráfica de una función definida verbalmente.

T

EJEMPLO 4 Al abrir un grifo de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo ha estado saliendo el agua. Dibuje una gráfica de T como una función del tiempo t que ha transcurrido desde que fue abierto el grifo.

0

SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente es cercana a la temperatura ambiente porque el agua ha permanecido en las tuberías. Cuando empieza a salir el agua desde el tanque de agua caliente, T aumenta rápidamente. En la siguiente fase, T es constante a la temperatura del agua caliente en el tanque. Cuando el tanque se drena, T disminuye hasta la temperatura de la fuente de agua. Esto permite hacer la gráfica de T en función de t en la figura 11. ■

t

FIGURA 11

El ejemplo siguiente inicia con una descripción verbal de una función en una situación física, y hay que obtener una fórmula algebraica explícita. La capacidad para hacer esto es una habilidad útil para resolver problemas de cálculo en los que se piden los valores máximo o mínimo de cantidades. EJEMPLO 5 Un contenedor rectangular sin tapa tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es dos veces su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado, y el material para los lados cuesta $6 por metro cuadrado. Exprese el costo de los materiales como una función del ancho de la base.

h w

SOLUCIÓN Dibuje un diagrama como el de la figura 12 e introduzca la notación w y 2w para el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h para la altura. El área de la base es (2w)w 5 2w2, por lo que el costo en dólares de los materiales para la base es 10(2w2). Dos de los lados tienen área wh, y los otros dos tienen área 2wh, por lo que el costo de los materiales para los lados es 6[2(wh) 1 2(2wh)]. El costo total es, por tanto,

2w

FIGURA 12

C − 10s2w 2 d 1 6f2swhd 1 2s2whdg − 20 w 2 1 36 wh Para expresar C solo como una función de w, se necesita eliminar h y para hacerlo se utiliza el hecho de que el volumen es de 10 m3. Por tanto, w(2w)h 5 10 esto da

10 5 − 2 2w 2 w

h−

Sustituyendo en la expresión para C, se tiene SP Para establecer funciones aplicadas como en el ejemplo 5, puede ser útil revisar los principios de la resolución de problemas como se explica en la página 71, particularmente el Paso 1: Comprenda el problema.

S D

C − 20w 2 1 36w

5

w2

− 20w 2 1

180 w

Por tanto, la ecuación Cswd − 20w 2 1

180 w

w.0

expresa C como una función de w.



EJEMPLO 6 Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes: (a) f sxd − sx 1 2

Stewart_ch01_009-024.indd 14

(b) tsxd −

1 x2 2 x

08/06/17 1:09 p.m.

15

SECCIÓN 1.1 Cuatro maneras de representar una función

Convención para el dominio Si una función está dada por una fórmula y el dominio no se expresa explícitamente, la convención es que el dominio es el conjunto de todos los números para los que la fórmula tiene sentido y define un número real.

SOLUCIÓN

(a) Debido a que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como un número real), el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x 1 2 > 0. Esto es equivalente a x > 22, por lo que el dominio es el intervalo [22, `). (b) Como 1 1 − tsxd − 2 x 2x xsx 2 1d y no se permite la división entre 0, vea que g(x) no está definida cuando x 5 0 o x 5 1. Por tanto, el dominio de g es

|

hx x ± 0, x ± 1j que también puede escribirse en notación de intervalos como s2`, 0d ø s0, 1d ø s1, `d

y

La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿qué curvas en el plano xy son gráficas de funciones? Esta pregunta se contesta con la siguiente prueba. x=a

La prueba de la recta vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y solo si no hay recta vertical que se interseque con la curva más de una vez.

(a, b)

0

x

a

(a) Esta curva representa una función. y (a, c)

x=a

(a, b) 0



a

x

(b) Esta curva no representa una función. FIGURA 13

La razón de la validez de la prueba de la vertical puede verse en la figura 13. Si cada recta vertical x 5 a se interseca con una curva solo una vez, en (a, b), entonces se define exactamente un valor funcional para f(a) 5 b. Pero si una recta x 5 a se interseca con la curva dos veces, en (a, b) y en (a, c), entonces la curva no puede representar una función debido a que una función no puede asignar dos valores diferentes a a. Por ejemplo, la parábola x 5 y2 2 2 que se muestra en la figura 14(a) no es la gráfica de una función de x porque, como puede ver, hay rectas verticales que se intersecan con la parábola dos veces. La parábola, sin embargo, contiene las gráficas de dos funciones de x. Observe que la ecuación x 5 y2 2 2 implica que y2 5 x 1 2, por lo que y 5 6 sx 1 2 . Por tanto, las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas de las funciones f(x) 5 sx 1 2 del ejemplo 6(a) y g(x) 5 2sx 1 2 . Véanse las figuras 14(b) y (c). Observe que si invierte los roles de x y y, entonces la ecuación x 5 h(y) 5 y2 2 2 define a x como una función de y (con y como la variable independiente y x como la variable dependiente), y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h. y

y

y

_2 (_2, 0)

FIGURA 14

0

(a) x=¥-2

x

_2 0

(b) y=œ„„„„ x+2

x

x

0

(c) y=_ œ„„„„ x+2

Funciones definidas por partes Las funciones en los siguientes cuatro ejemplos se definen mediante diferentes fórmulas en distintas partes de sus dominios. Estas funciones se llaman funciones definidas por partes.

Stewart_ch01_009-024.indd 15

08/06/17 1:09 p.m.

16

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

EJEMPLO 7 Una función f está definida por f sxd −

H

1 2 x si x < 21 x2 si x . 21

Evalúe f(22), f(21) y f(0) y trace la gráfica de la función. SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular la regla es la siguiente: primero vea el valor de la entrada x. Si sucede que x < 2 1, entonces el valor de f(x) es 1 2 x. Por otro lado, si x . 21, entonces el valor de f(x) es x2.

Puesto que 22 < 21, se tiene f(22) 5 1 2(22) 5 3. Puesto que 21 < 21, se tiene f(21) 5 1 2(21) 5 2. Puesto que 0 . 21, se tiene f(0) 5 02 5 0.

y

1

_1

0

1

x

FIGURA 15

¿Cómo obtiene la gráfica de f? Observe que si x < 21, entonces f(x) 5 1 2 x, por lo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la izquierda de la recta vertical x 5 21 debe coincidir con la recta y 5 1 2 x, que tiene pendiente 21 e intersección y 5 1. Si x . 21, entonces f(x) 5 x2, por lo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la derecha de la recta x 5 21 debe coincidir con la gráfica de y 5 x2, que es una parábola. Esto permite trazar la gráfica en la figura 15. El punto relleno indica que (21, 2) está incluido en la gráfica; el punto hueco indica que (21, 1) está excluido de la gráfica. ■ El ejemplo siguiente de una función definida por partes es la función valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, se denota por  a , es la distancia desde a hasta 0 en la recta de números reales. Las distancias son siempre positivas o cero, así se tiene que

Para un repaso más amplio de valores absolutos, véase el apéndice A.

|a| > 0

para todo número a

Por ejemplo,

| 3 | − 3 | 23 | − 3 | 0 | − 0 | s2 2 1 | − s2 2 1 | 3 2  | −  2 3 En general, se tiene

|a| − a | a | − 2a

si a > 0 si a , 0

(Recuerde que, si a es negativa, entonces 2a es positiva.)

| |

EJEMPLO 8 Trace la gráfica de la función valor absoluto f sxd − x . SOLUCIÓN De la discusión anterior se sabe que

y

y=| x |

|x| − 0

FIGURA 16

Stewart_ch01_009-024.indd 16

x

H

x si x > 0 2x si x , 0

Utilizando el mismo método que en el ejemplo 7, vea que la gráfica de f coincide con la recta y 5 x a la derecha del eje y, y coincide con la recta y 5 2x a la izquierda del eje y ■ (véase la figura 16).

08/06/17 1:09 p.m.

17

SECCIÓN 1.1 Cuatro maneras de representar una función y

EJEMPLO 9 Encuentre una fórmula para la función f graficada en la figura 17.

1

SOLUCIÓN La recta que pasa por (0, 0) y (1, 1) tiene pendiente m 5 1 e intersección con el eje y en b 5 0, por lo que su ecuación es y 5 x. Así, para la parte de la gráfica de f que une a (0, 0) con (1, 1), se tiene

0

x

1

f(x) 5 x

si 0 < x < 1

FIGURA 17 Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: y 2 y1 5 m(x 2 x1)

La recta que une a (1, 1) y (2, 0) tiene pendiente m 5 21, por lo que su forma puntopendiente es y 2 0 5 (21)(x 2 2)

o

y522x

Véase el apéndice B.

Así se tiene

f(x)5 2 – x

si 1 < x < 2

También se ve que la gráfica de f coincide con el eje x para x . 2. Reuniendo esta información, se tiene la fórmula siguiente en tres partes para f:

H

x si 0 < x < 1 f sxd − 2 2 x si 1 , x < 2 0 si x . 2

C



10.00

EJEMPLO 10 En el ejemplo C al principio de esta sección se consideró el costo C(w) de enviar por correo paquetes con peso w. En efecto, esto define una función por partes porque, de la tabla de valores en la página 13, se tiene

8.00 6.00 4.00 2.00 0

10

20

30

40

50

Cswd −

w

2.90 5.50 7.00 8.50

si si si si

0 , w < 20 20 , w < 30 30 , w < 40 40 , w < 50

FIGURA 18

La gráfica se muestra en la figura 18. Puede ver por qué funciones similares a esta se llaman funciones escalón: saltan de un valor al siguiente. Estas funciones se estudiarán ■ en el capítulo 2.

Simetría Si una función f satisface f(2x) 5 f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par. Por ejemplo, la función f(x) 5 x2 es par porque y

f(x) 5 (2x)2 5 x2 5 f(x) f(_x)

ƒ _x

0

FIGURA 19 Una función par

Stewart_ch01_009-024.indd 17

x

x

El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y (véase la figura 19). Esto significa que, si ha dibujado la gráfica para x > 0, se obtiene toda la gráfica simplemente reflejándola con respecto al eje y. Si f satisface f(2x) 5 2f(x) para cada x en su dominio, entonces f es una función impar. Por ejemplo, la función f(x) 5 x3 es impar porque f s2xd − s2xd3 − 2x 3 − 2f sxd

08/06/17 1:09 p.m.

18

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

La gráfica de una función impar es simétrica en relación con el origen (véase la figura 20). Si ya tiene la gráfica de f para x > 0, se puede obtener toda la gráfica rotando 180º esta parte con respecto al origen.

y

_x

ƒ

0 x

x

EJEMPLO 11 Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna de las dos. (a) f sxd − x 5 1 x (b) tsxd − 1 2 x 4 (c) hsxd − 2x 2 x 2 SOLUCIÓN

FIGURA 20 Una función impar

f s2xd − s2xd5 1 s2xd − s21d5x 5 1 s2xd

(a)

− 2x 5 2 x − 2sx 5 1 xd − 2f sxd Por tanto, f es una función impar. ts2xd − 1 2 s2xd4 − 1 2 x 4 − tsxd

(b) Por lo que g es par.

hs2xd − 2s2xd 2 s2xd2 − 22x 2 x 2

(c)

Como h(2x) ? h(x) y h(2x)  2h(x), se concluye que h no es par ni impar.



Las gráficas de las funciones del ejemplo 11 se muestran en la figura 21. Observe que la gráfica de h no es simétrica con respecto al eje y ni en relación con el origen.

1

y

y

y

1

f

g

h

1 1

_1

1

x

x

1

x

_1

FIGURA 21

( b)

(a)

(c)

Funciones crecientes y decrecientes La gráfica que se muestra en la figura 22 sube de A a B, desciende de B a C y sube otra vez de C a D. Se dice que la función f es creciente sobre el intervalo [a, b], decreciente de [b, c] y creciente nuevamente de [c, d]. Observe que si x1 y x2 son dos números entre a y b con x1 , x2, entonces f(x1) , f(x2). Se utiliza esta propiedad para definir una función creciente. y

B

D

y=ƒ C f(x™) A

FIGURA 22

Stewart_ch01_009-024.indd 18

0 a x¡

f(x¡)

x™

b

c

d

x

08/06/17 1:09 p.m.

19

SECCIÓN 1.1 Cuatro maneras de representar una función

Una función f se llama creciente sobre un intervalo I si f(x1) , f(x2)

y

siempre que x1 , x2 en I

Se llama decreciente sobre I si

y=≈

f(x1) . f(x2)

En la definición de una función creciente, es importante darse cuenta de que la desigualdad f(x1) , f(x2) debe cumplirse para todo par de números x1 y x2 en I con x 1 , x 2. Puede observarse en la figura 23 que la función f(x) 5 x2 es decreciente sobre el intervalo (2`, 0] y creciente sobre el intervalo [0, `).

x

0

siempre que x1 , x2 en I

FIGURA 23

1.1 EJERCICIOS1 1. Si f sxd − x 1 s2 2 x y gsud − u 1 s2 2 u , ¿es verdad que f − g? 2. Si f sxd −

x2 2 x x21

gsxd − x

y

3. La gráfica de una función f está dada. (a) Indique el valor de f(1). (b) Calcule el valor de f(21). (c) ¿Para qué valores de x es f(x) 5 1? (d) Calcule el valor de x tal que f(x) 5 0. (e) Indique el dominio y el rango de f. (f) ¿En qué intervalo f es creciente?

6. En esta sección se discuten ejemplos de funciones cotidianas: la población es una función del tiempo, el costo de envío postal es una función del peso, la temperatura del agua es una función del tiempo. Dé otros tres ejemplos de funciones de la vida cotidiana que se describen verbalmente. ¿Qué puede decir sobre el dominio y el rango de cada una de sus funciones? Si es posible, trace una gráfica de cada función.

y

7–10 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, establezca el dominio y el rango de la función.

1 x

1

Estime la solución de la ecuación f(x) 5 21. ¿Sobre qué intervalo f es decreciente? Establezca el dominio y el rango de f. Establezca el dominio y el rango de g.

5. La gráfica de la figura 1 fue registrada por un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geología de California en el Hospital Universitario de la Universidad de California del Sur en Los Ángeles. Utilice esta gráfica para estimar el rango de la función aceleración vertical de suelo, en la Universidad de California del Sur, durante el terremoto de Northridge.

¿es verdad que f 5 g?

0

(c) (d) (e) (f)

7.

8.

y

1

1

4. Las gráficas de f y g están dadas.

0

y

1

0

x

1

x

1

x

y

g f

9.

2

10.

y 1

0

2

x

0

y 1

1

x

0

(a) Indique los valores de f(24) y g(3). (b) ¿Para qué valores de x es f(x) 5 g(x)?

Stewart_ch01_009-024.indd 19

08/06/17 1:09 p.m.

20

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

11. En la figura se muestra una gráfica de la temperatura media global T durante el siglo xx. Estime lo siguiente. (a) La temperatura media mundial en 1950. (b) El año en que la temperatura promedio fue de 14.2 °C. (c) ¿En qué año la temperatura fue más baja? ¿Más alta? (d) El rango de T.

C

(segundos)

20

15. La gráfica muestra el consumo de energía para un día de septiembre en San Francisco. (P se mide en megawatts; t se registra en horas a partir de la medianoche). (a) ¿Cuál fue el consumo de potencia a las 6:00? ¿A las 18:00? (b) ¿Cuándo fue el consumo de energía más bajo? ¿Cuándo fue el más alto? ¿Estos tiempos parecen razonables?

14

13 1900

2000 t

1950

Fuente: adaptado de Globe and Mail [Toronto], 5 de diciembre de 2009. Impreso.

12. Los árboles crecen más rápido y forman anillos más amplios en los años cálidos y crecen más lentamente y forman anillos más angostos en los años más fríos. La figura muestra anillos anchos del pino siberiano de 1500 a 2000. (a) ¿Cuál es el rango de la función de ancho de anillo? (b) ¿Qué dice la gráfica acerca de la temperatura de la tierra? ¿La gráfica refleja las erupciones volcánicas de la mitad del siglo xix?

P 800 600 400 200 0

3

6

9

12

15

18

21

t

Pacific Gas & Electric

16. Trace una gráfica aproximada del número de horas de luz en función de la época del año. 17. Trace una gráfica de la temperatura exterior en función del tiempo, durante un día típico de primavera.

R Anillo ancho (mm)

B

A

100

0

T (•C)

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

(metros)

y

18. Trace una gráfica aproximada del valor de mercado de un nuevo automóvil en función del tiempo, durante un período de 20 años. Suponga que el automóvil se mantiene en buen estado. 19. Trace la gráfica de la cantidad de una determinada marca de café vendido por una tienda, en función del precio del café. 1500

1600

1700

1800

1900

2000 t

Año Fuente: adaptado de G. Jacoby et al., “Mongolian Tree Rings and 20th-Century Warming,” Science 273(1996): 771–773.

13. Se ponen unos cubitos de hielo en un vaso, se llena el vaso con agua fría y luego se coloca sobre una mesa. Describa cómo cambia la temperatura del agua conforme transcurre el tiempo. Luego trace una gráfica de la temperatura del agua como una función del tiempo transcurrido. 14. Tres corredores compiten en una carrera de 100 metros. La gráfica muestra la distancia recorrida como una función del tiempo de cada corredor. Describa en palabras lo que la gráfica indica acerca de esta carrera. ¿Quién ganó la carrera? ¿Cada corredor terminó la carrera?

Stewart_ch01_009-024.indd 20

20. Coloque una tarta congelada en un horno y caliéntela durante una hora. Luego sáquela y déjela enfriar antes de comerla. Describa cómo cambia la temperatura de la tarta conforme pasa el tiempo. Luego trace una gráfica de la temperatura de la tarta en función del tiempo. 21. El propietario de una casa poda el césped cada miércoles por la tarde. Trace una gráfica de la altura del césped como una función del tiempo, en el transcurso de un período de cuatro semanas. 22. Un avión despega desde un aeropuerto y aterriza una hora más tarde en otro aeropuerto a 400 km de distancia. Si t representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado la terminal, x(t) es la distancia horizontal recorrida y y(t) la altitud del avión, trace (a) Una posible gráfica de x(t). (b) Una posible gráfica de y(t).

08/06/17 1:09 p.m.

21

SECCIÓN 1.1 Cuatro maneras de representar una función

(c) Una posible gráfica de la rapidez respecto al suelo. (d) Una posible gráfica de la velocidad vertical. 23. Las siguientes lecturas de temperatura T (en ºC) se registraron cada tres horas desde la medianoche a las 15:00 en Montreal, el 13 de junio de 2004. El tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche

30. f sxd −

31–37 Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes. 31. f sxd −

t

0

3

6

9

12

15

T

21.5

19.8

20.0

22.2

24.8

25.8

x14 x2 2 9

24. Los investigadores midieron la concentración de alcohol en la sangre (bac, por su sigla en inglés) de ocho sujetos masculinos adultos después de consumir en forma rápida 30 mL de etanol (correspondiente a dos bebidas alcohólicas estándar). La tabla muestra los datos que se obtuvieron promediando la bac (en mg/mL) de los ocho hombres. (a) Utilice las lecturas para trazar la gráfica de la bac en función de t. (b) Utilice la gráfica para describir cómo el efecto del alcohol varía con el tiempo. t (horas)

bac

t (horas)

bac

0 0.2 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5

0 0.25 0.41 0.40 0.33 0.29 0.24

1.75 2.0 2.25 2.5 3.0 3.5 4.0

0.22 0.18 0.15 0.12 0.07 0.03 0.01

Fuente: adaptado de P. Wilkinson et al., “Pharmacokinetics of Ethanol after Oral Administration in the Fasting State,” Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 5(1977): 207–224.

25. Si f(x) 5 3x2 2 x 1 2, determine f(2), f(22), f(a), f(2a), f(a 1 1), 2f(a), f(2a), f(a2), [f(a)]2, y f(a 1 h). 26. Un globo esférico con radio de r centímetros tiene volumen Vsrd − 43 r 3. Encuentre una función que represente la cantidad de aire necesaria para inflar el globo de un radio de r centímetros a un radio r 1 1 centímetros. 27–30 Evalúe el cociente de diferencias de cada una de las funciones siguientes. Simplifique su respuesta. 27. f sxd − 4 1 3x 2 x 2,

f s3 1 hd 2 f s3d h

28. f sxd − x ,

f sa 1 hd 2 f sad h

1 29. f sxd − , x

f sxd 2 f sad x2a

3

Stewart_ch01_009-024.indd 21

32. f sxd −

1 sx 2 5x 4

2x 3 2 5 x 1x26 2

34. tstd − s3 2 t 2 s2 1 t

3 33. f std − s 2t 2 1

35. hsxd − (a) Utilice las lecturas para trazar una gráfica de T como una función de t. (b) Utilice la gráfica para estimar la temperatura a las 11:00.

f sxd 2 f s1d x21

x13 , x11

2

36. f sud −

37. Fs pd − s2 2 s p

u11 1 11 u11

38. Encuentre el dominio y el rango, y dibuje la gráfica de la función hsxd − s4 2 x 2 . 39–40 Encuentre el dominio y grafique cada una de las funciones siguientes: 39. f sxd − 1.6x 2 2.4

40. tstd −

t2 2 1 t11

41–44 Evalúe f(23), f(0), y f(2) para la función definida por partes. Luego trace la gráfica de la función. 41. f sxd − 42. f sxd − 43. f sxd − 44. f sxd −

H H H H

x 1 2 si x , 0 1 2 x si x > 0

3 2 12 x si x , 2 2x 2 5 si x > 2 x 1 1 si x < 21 x2 si x . 21

21 si x < 1 7 2 2x si x . 1

45–50 Trace la gráfica de la función.

| |

|

45. f sxd − x 1 x

|

47. tstd − 1 2 3t 49. f sxd −

H| | x 1

46. f sxd − x 1 2

|

|

|| |

|

48. hstd − t 1 t 1 1

| | | |

si x < 1 si x . 1

50. tsxd −

|| x | 2 1|

51–56 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la curva dada. 51. El segmento de recta que une los puntos (1, 23) y (5, 7). 52. El segmento de recta que une los puntos (25, 10) y (7, 210). 53. La mitad inferior de la parábola x 1 (y 2 1)2 5 0. 54. La mitad superior de la circunferencia x2 1 (y 2 2)2 5 4.

08/06/17 1:09 p.m.

22

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

y

55.

56.

1

1 0

y

0

x

1

1

x

57–61 Encuentre una fórmula y el dominio para cada una de las funciones siguientes. 57. Un rectángulo tiene 20 m de perímetro. Exprese el área del rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. 58. Un rectángulo tiene 16 m2 de área. Exprese el perímetro del rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. 59. Exprese el área de un triángulo equilátero, como función de la longitud de un lado. 60. Una caja rectangular cerrada con volumen 6 m3 tiene un largo de dos veces el ancho. Exprese la altura de la caja como una función del ancho. 61. Una caja rectangular abierta con 2 m3 de volumen tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja en función de la longitud de uno de los lados de la base. 62. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 10 m, exprese el área A de la ventana en función del ancho x de la ventana.

64. Un plan de telefonía celular tiene una carga básica de 35 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cargos de 10 centavos de dólar por cada minuto adicional de uso. Escriba el costo mensual C como una función del número x de minutos utilizados, y trace la gráfica de C como una función de x para 0 < x < 600. 65. En cierto estado del país, la velocidad máxima permitida en autopistas es 100 km/h y la velocidad mínima es de 50 km/h. La multa para los conductores que violan estos límites es $10 por cada kilómetro por hora arriba de la velocidad máxima o debajo de la velocidad mínima. Exprese el monto de la multa F como una función de la velocidad x a la que se conduce y trace la gráfica de F(x) para 0 < x < 180. 66. Una compañía de electricidad cobra a sus clientes una tasa base de 10 dólares al mes, más 6 centavos de dólar por kilowatt-hora (kWh) por los primeros 1200 kWh y 7 centavos de dólar por kWh para todo uso arriba de 1200 kWh. Exprese el costo mensual E como una función de la cantidad x de electricidad utilizada. Luego trace la gráfica de la función E para 0 < x < 2000. 67. En un determinado país, el impuesto sobre la renta se calcula como sigue. No hay impuesto sobre la renta para ingresos de hasta $10 000. Los ingresos de más de $10 000 se gravan con una tasa de 10%, hasta un ingreso de $20 000. Los ingresos superiores a $20 000 se gravan en 15%. (a) Trace la gráfica de la tasa de impuestos R en función del ingreso I. (b) ¿Qué impuesto corresponde a un ingreso de $14 000? ¿Y de $26 000? (c) Trace la gráfica del impuesto total T en función del ingreso I. 68. Las funciones del ejemplo 10 y el ejercicio 67 se llaman funciones escalón porque sus gráficas parecen escaleras. Sugiera dos ejemplos de funciones escalón que surgen en la vida cotidiana. 69–70 Se muestran las gráficas de f y g. Determine si cada función es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento. 69.

x

x

x

x

x

x x

Stewart_ch01_009-024.indd 22

x

y f

x

x g

71. (a) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función par, ¿cuál otro punto también debe estar en la gráfica? (b) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función impar, ¿cuál otro punto también debe estar en la gráfica?

20

12

70.

g

f

63. Se va a construir una caja sin tapa, a partir de una hoja rectangular de cartón que tiene dimensiones de 12 por 20 centímetros, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y doblando los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V de la caja en función de x.

x

y

72. Una función f tiene dominio [25, 5] y se muestra una porción de su gráfica. (a) Complete la gráfica de f si se sabe que f es par. (b) Complete la gráfica de f si se conoce que f es impar.

08/06/17 1:09 p.m.

SECCIÓN 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales y

75. f sxd −

x x11

23

| |

76. f sxd − x x

77. f sxd − 1 1 3x 2 2 x 4 78. f sxd − 1 1 3x 3 2 x 5 0

_5

x

5

73–78 Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. Si tiene una calculadora graficadora, utilícela para verificar visualmente su respuesta. 73. f sxd −

x x 11

74. f sxd −

2

x2 x 11 4

79. Si f y g son funciones pares, ¿es f 1 g par? Si f y g son funciones impares, ¿es f 1 g impar? ¿Qué sucede si f es par y g es impar? Justifique sus respuestas. 80. Si f y g son dos funciones pares, ¿es el producto fg par? Si f y g son dos funciones impares, ¿es fg impar? ¿Qué sucede si f es par y g es impar? Justifique sus respuestas.

1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales Un modelo matemático es una descripción matemática (a menudo por medio de una función o una ecuación) de un fenómeno real, como el tamaño de una población, la demanda de un producto, la rapidez de un objeto que cae, la concentración de un producto en una reacción química, la esperanza de vida de una persona al nacer, o el costo de la reducción de las emisiones. El propósito del modelo es comprender el fenómeno y tal vez hacer predicciones sobre su comportamiento futuro. La figura 1 ilustra el proceso de modelado matemático. Dado un problema del mundo real, la primera tarea es formular un modelo matemático mediante la identificación y etiquetado de las variables dependientes e independientes, y hacer suposiciones que simplifiquen lo suficiente el fenómeno para que sea matemáticamente manejable. Utilice su conocimiento de la situación física y sus habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables. En situaciones donde no hay ninguna ley física que lo guíe, recopile los datos (ya sea en una biblioteca, en internet o mediante la realización de sus propios experimentos) y organícelos en una tabla para identificar patrones. A partir de esa representación numérica de una función, puede obtener una representación gráfica. La gráfica podría sugerir incluso una fórmula algebraica apropiada en algunos casos.

Problema en el mundo real

Formular

Modelo matemático

Resolver

Conclusiones matemáticas

Interpretar

Predicción en el mundo real

Prueba

FIGURA 1 El proceso de modelado

Stewart_ch01_009-024.indd 23

La segunda etapa consiste en aplicar las matemáticas que conoce (como el cálculo que se desarrollará en este libro) al modelo matemático que se ha formulado para obtener conclusiones matemáticas. Luego, en la tercera etapa, se toman esas conclusiones matemáticas y se interpretan como información sobre el fenómeno original del mundo real con el propósito de dar explicaciones o hacer predicciones. El último paso es probar sus predicciones y compararlas contra nuevos datos reales. Si las predicciones no coinciden con una buena aproximación de la realidad, se necesita afinar el modelo o formular uno nuevo y empezar otra vez el ciclo. Un modelo matemático nunca es una representación completamente precisa de una situación física: es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente

08/06/17 1:09 p.m.

24

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

para permitir hacer cálculos matemáticos, pero es razonablemente preciso para proporcionar valiosas conclusiones. Es importante darse cuenta de las limitaciones del modelo porque, finalmente, la Madre Naturaleza tiene la última palabra. Hay muchos tipos diferentes de funciones que pueden utilizarse para modelar relaciones observadas en el mundo real. En lo que sigue, se analizarán el comportamiento y la gráfica de estas funciones y se darán ejemplos de situaciones modeladas por ellas adecuadamente.

Modelos lineales En el apéndice B se repasa la geometría analítica de las rectas.

Cuando se dice que y es una función lineal de x, quiere decir que la gráfica de la función es una recta, de manera que puede utilizar la forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta para escribir una fórmula para la función como y 5 f(x) 5 mx 1 b donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección de la recta con el eje y. Una característica de las funciones lineales es que crecen a una razón constante. Por ejemplo, la figura 2 muestra una gráfica de la función lineal f(x) 5 3x 2 2 y una tabla con algunos de sus valores. Observe que cuando x aumenta por 0.1, el valor de f(x) aumenta por 0.3. Por lo que f(x) aumenta tres veces más rápido que x. De este modo, la pendiente de la gráfica y 5 3x 2 2, es decir 3, puede interpretarse como la razón de cambio de y con respecto a x. y

y=3x-2

0

1

x

_2

FIGURA 2

x

f sxd − 3x 2 2

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5

EJEMPLO 1 (a) Cuando el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 ºC, y la temperatura a 1 km de altura es de 10 ºC, exprese la temperatura T (en ºC) en función de la altura h (en kilómetros), suponiendo que un modelo lineal es adecuado. (b) Dibuje la gráfica de la función del inciso (a). ¿Qué representa la pendiente? (c) ¿Cuál es la temperatura a 2.5 km de altura? SOLUCIÓN

(a) Ya que se supone que T es una función lineal de h, se puede escribir T − mh 1 b Se tiene que T 5 20 cuando h 5 0, por lo que 20 5 m ? 0 1 b 5 b En otras palabras, la intersección con el eje y es b 5 20. También se tiene que T 5 10 cuando h 5 1, por lo que 10 5 m ? 1 1 20 La pendiente de la recta es, por tanto, m 5 10 2 20 5 210, y la función lineal requerida es T − 210h 1 20

Stewart_ch01_009-024.indd 24

08/06/17 1:09 p.m.

25

SECCIÓN 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales

(b) En la figura 3 se muestra la gráfica. La pendiente es m 5 210 ºC/km y representa la razón de cambio de la temperatura respecto a la altura. (c) A una altura de h 5 2.5 km, la temperatura es

T 20 10

0

T=_10h+20

T − 210s2.5d 1 20 − 25°C 1

3

h

FIGURA 3



Si no hay ley o principio físicos que ayude a formular un modelo, se construye un modelo empírico que se base exclusivamente en los datos recopilados. Se busca una curva que “ajuste” en los datos, en el sentido que sugiera la tendencia básica de los puntos que representan los datos.

EJEMPLO 2 La tabla 1 muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el Observatorio Mauna Loa, desde 1980 a 2012. Utilice los datos de la tabla 1 para encontrar un modelo para el nivel de dióxido de carbono. SOLUCIÓN Se utilizan los datos de la tabla 1 para hacer la gráfica de dispersión en la figura 4, donde t representa el tiempo (en años) y C, el nivel de CO2 (en partes por millón, ppm).

Tabla 1 Año

Nivel de CO2 (en ppm)

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

338.7 341.2 344.4 347.2 351.5 354.2 356.3 358.6 362.4

Año

Nivel de CO2 (en ppm)

1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012

366.5 369.4 373.2 377.5 381.9 385.6 389.9 393.8

C (ppm) 400 390 380 370 360 350 340 1980

1985

1990

1995

2000

2005

2010

t

FIGURA 4 La gráfica de dispersión para el nivel promedio de CO2

Observe que los puntos de datos parecen estar cercanos a una recta, por lo que es natural que se elija un modelo lineal en este caso. Pero hay muchas rectas posibles que se aproximan a estos puntos de datos, así que, ¿cuál se debe usar? Una posibilidad es la recta que pasa por el primero y el último punto de datos. La pendiente de esta recta es 393.8 2 338.7 55.1 − − 1.721875 < 1.722 2012 2 1980 32 Su ecuación se escribe como C 2 338.7 − 1.722st 2 1980d o 1

Stewart_ch01_025-051.indd 25

C − 1.722t 2 3070.86

08/06/17 1:16 p.m.

26

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

La ecuación 1 da un posible modelo lineal para el nivel de dióxido de carbono y se representa gráficamente en la figura 5. C (ppm) 400 390 380 370 360 350

FIGURA 5 Modelo lineal a través del primero y el último punto de datos

340 1980

Una computadora o una calculadora graficadora encuentra la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados, que consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos de datos y la recta. Los detalles se explican en la sección 14.7.

1985

1990

1995

2000

2005

2010

t

Observe que este modelo da valores por encima de la mayoría de los niveles reales de CO2. Un mejor modelo lineal se obtiene por un procedimiento estadístico llamado regresión lineal. Si utiliza una calculadora graficadora, introduzca los datos de la tabla 1 en el editor de datos y elija el comando de regresión lineal (en Maple se utiliza el comando fit[leastsquare] en el paquete de estadística; con Mathematica se utiliza el comando Fit), la máquina da la pendiente y la intersección con el eje y de la recta de regresión como m − 1.71262

b − 23054.14

Por lo que el modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es 2

C − 1.71262t 2 3054.14

En la figura 6 se grafica la recta de regresión, así como los puntos de datos. Comparado con la figura 5, se ve que da un mejor ajuste que el modelo lineal anterior. C (ppm) 400 390 380 370 360 350 340

FIGURA 6 Recta de regresión

Stewart_ch01_025-051.indd 26

1980

1985

1990

1995

2000

2005

2010

t



08/06/17 1:16 p.m.

27

SECCIÓN 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales

EJEMPLO 3 Utilice el modelo lineal dado por la ecuación 2 para estimar el nivel promedio de CO2 para 1987 y predecir el nivel para el año 2020. De acuerdo con este modelo, ¿cuándo superará el nivel de CO2 las 420 partes por millón? SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t 5 1987, se estima que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue

Cs1987d − s1.71262ds1987d 2 3054.14 < 348.84 Este es un ejemplo de interpolación porque se ha estimado un valor entre los valores observados. (De hecho, el Observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue de 348.93 ppm, por lo que la estimación es bastante precisa.) Con t 5 2020, se obtiene Cs2020d − s1.71262ds2020d 2 3054.14 < 405.35 Por lo que se pronostica que el nivel promedio de CO2 en el año 2020 será 405.4 ppm. Este es un ejemplo de extrapolación porque se predijo un valor fuera de la región de observaciones. En consecuencia, se está menos seguro acerca de la precisión de la predicción. Utilizando la ecuación 2, se ve que el nivel de CO2 excede las 420 ppm cuando 1.71262t 2 3054.14 . 420 Resolviendo esta desigualdad, se obtiene t.

3474.14 < 2028.55 1.71262

Por tanto, se predice que el nivel de CO2 superará 420 ppm para el año 2029. Esta predicción es riesgosa porque se trata de un tiempo bastante alejado de las observaciones. De hecho, se puede ver en la figura 6 que la tendencia ha sido de un rápido aumento para los niveles de CO2 en los últimos años, por lo que el nivel podría superar los 420 ppm antes de 2029. ■

y 2

Polinomios Una función P es un polinomio si

0

1

x

donde n es un número entero no negativo y a0, a1, a2, … , an son constantes llamadas los coeficientes de la función polinomial. El dominio de cualquier polinomio es R 5 (2`, `). Si el coeficiente principal an  0, entonces el grado del polinomio es n. Por ejemplo, la función

(a) y=≈+x+1 y 2

Psxd − 2x 6 2 x 4 1 25 x 3 1 s2

1

x

(b) y=_2≈+3x+1

FIGURA 7 Las gráficas de funciones cuadráticas son parábolas

Stewart_ch01_025-051.indd 27

Psxd − a n x n 1 a n21 x n21 1 ∙ ∙ ∙ 1 a 2 x 2 1 a 1 x 1 a 0

es un polinomio de grado 6. Una función polinomial de grado 1 es de la forma P(x) 5 mx 1 b, por lo que es una función lineal. Un polinomio de grado 2 es de la forma P(x) 5 ax2 1 bx 1 c y se llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola obtenida por desplazamientos de la parábola y 5 ax2, como se verá en la siguiente sección. La parábola abre hacia arriba si a . 0 y hacia abajo si a , 0 (véase la figura 7). Una polinomial de grado 3 es de la forma Psxd − ax 3 1 bx 2 1 cx 1 d

a±0

08/06/17 1:16 p.m.

28

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

y se llama función cúbica. La figura 8 muestra la gráfica de una función cúbica en el inciso (a) y las gráficas de polinomios de grados 4 y 5 en los incisos (b) y (c). Se verá más adelante por qué las gráficas tienen esas formas. y

y

1

2

20 1

0

FIGURA 8

y

x

1

x

(a) y=˛-x+1

x

1

(b) y=x$-3≈+x

(c) y=3x%-25˛+60x

Los polinomios se utilizan por lo común para modelar diversas cantidades que se presentan en las ciencias naturales y sociales. Por ejemplo, en la sección 3.7 se explica por qué los economistas usan a menudo un polinomio P(x) para representar el costo de producir x unidades de una mercancía. En el ejemplo siguiente, se utiliza una función cuadrática para modelar la caída de una pelota. Tabla 2 Tiempo (segundos)

Altura (metros)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

450 445 431 408 375 332 279 216 143 61

EJEMPLO 4 Se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la Torre CN, a 450 m por encima del suelo. Las sucesivas alturas h de la pelota por encima del suelo están registradas a intervalos de 1 segundo, en la tabla 2. Encuentre un modelo para ajustar los datos y utilícelo para predecir el momento en que la pelota golpeará el suelo. SOLUCIÓN En la figura 9 se traza una gráfica de dispersión con la información disponible y se observa que un modelo ideal no es adecuado. Pero parece ser que los puntos de datos podrían acomodarse a una parábola, por lo que se intenta un modelo cuadrático. Utilizando una calculadora graficadora o computadora (que utiliza el método de los mínimos cuadrados), se obtiene el siguiente modelo cuadrático:

3

h − 449.36 1 0.96t 2 4.90t 2

h (metros)

h

400

400

200

200

0

2

4

6

8

t (segundos)

0

2

4

6

8

t

FIGURA 9

FIGURA 10

Gráfica de dispersión para la caída de una pelota

Modelo cuadrático para la caída de una pelota

En la figura 10 se dibuja la gráfica de la ecuación 3 junto con los puntos de datos y se ve que el modelo cuadrático da un muy buen ajuste. La pelota golpea el suelo cuando h 5 0, por lo que resuelve la ecuación cuadrática 24.90t2 1 0.96t 1 449.36 5 0

Stewart_ch01_025-051.indd 28

08/06/17 1:16 p.m.

29

SECCIÓN 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales

La ecuación cuadrática da t−

20.96 6 ss0.96d2 2 4s24.90ds449.36d 2s24.90d

La raíz positiva es t < 9.67, por lo que se pronostica que la pelota golpeará el suelo después de aproximadamente 9.7 segundos.



Funciones potencia Una función de la forma f(x) 5 xa, donde a es una constante, se llama función potencia. Se consideran varios casos. (i) a 5 n, donde n es un número entero positivo Las gráficas de f(x) 5 xn para n 5 1, 2, 3, 4 y 5 se muestran en la figura 11. (Estas son funciones polinomiales con un solo término.) Ya se sabe la forma de la gráfica de y 5 x (una recta que pasa por el origen con pendiente 1) y y 5 x2 [una parábola, véase el ejemplo 1.1.2(b)].

y

y=≈

y

y=x

y

1

1

0

1

x

0

y=x #

y

x

0

1

x

0

y=x%

y

1

1

1

y=x$

1

1

x

0

1

x

FIGURA 11 Gráficas de f(x)5 xn para n 5 1, 2, 3, 4, 5

La forma general de la gráfica de f(x) 5 xn depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces f(x) 5 xn es una función par, y su gráfica es similar a la parábola y 5 x2. Si n es impar, entonces f(x) 5 xn es una función impar, y su gráfica es similar a la de y 5 x3. Observe en la figura 12, sin embargo, que cuando n aumenta, la gráfica de y 5 xn se aplana más cerca de 0 y es más pronunciada cuando ) x ) > 1. (Si x es pequeña, entonces x2 es más pequeña, x3 es aún más pequeña, x4 es todavía más pequeña aún, y así sucesivamente.) Una familia de funciones es un conjunto de funciones cuyas ecuaciones se relacionan. La figura 12 muestra dos familias de funciones potencia, una con potencias pares y otra con potencias impares.

y

y

y=x $ y=x ^

y=x # y=≈

(_1, 1)

(1, 1)

(1, 1) y=x %

0

x

(_1, _1)

FIGURA 12

0

x

(ii) a 5 1/n, donde n es un número entero positivo n x es una función raíz. Para n 5 2 es la función raíz cuadrada La función f sxd − x 1yn − s f sxd − sx , con dominio en [0, `) y cuya gráfica es la mitad superior de la parábola

Stewart_ch01_025-051.indd 29

08/06/17 1:16 p.m.

30

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos n x es x 5 y2. [Véase la figura 13(a)]. Para otros valores pares de n, la gráfica de y 5 s 3 similar a la de y 5 !x. Para n 5 3 se tiene la función raíz cúbica f(x) 5 sx cuyo dominio es R (recuerde que todo número real tiene raíz cúbica) y cuya gráfica se muestra en la n 3 x para n impar (n . 3) es similar a la de y 5 s x. figura 13(b). La gráfica de y 5 s

y

y

(1, 1) 0

FIGURA 13 Gráficas de funciones raíz y

y=∆ 1 0

x

1

(1, 1) x

0

x (a) ƒ=œ„

x (b) ƒ=Œ„

(iii) a − 21 La gráfica de la función recíproca f(x) 5 x21 5 1/x se muestra en la figura 14. Su gráfica tiene la ecuación y 5 1/x o xy 5 1, y es una hipérbola con los ejes de coordenadas como sus asíntotas. Esta función surge en física y química en relación con la ley de Boyle, que dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es inversamente proporcional a la presión P: V−

FIGURA 14

x

C P

donde C es una constante. Así, la gráfica de V en función de P (véase la figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14. Las funciones potencia también se utilizan para modelar relaciones especie-área (ejercicios 30-31), la iluminación como una función de la distancia a una fuente de luz (ejercicio 29) y el período de revolución de un planeta en función de su distancia al Sol (ejercicio 32).

La función recíproca V

Funciones racionales 0

P

Una función racional f es un cociente de dos funciones polinomiales: f sxd −

FIGURA 15 El volumen como una función de la presión a temperatura constante.

donde P y Q son polinomios. El dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x)  0. Un ejemplo simple de una función racional es f(x) 5 1/x, cuyo dominio es {x|x  0}; esta es la función recíproca graficada en la figura 14. La función

y

f sxd −

|

2

FIGURA 16 ƒ=

2x 4 2 x 2 1 1 x2 2 4

es una función racional con dominio hx x ± 62j. La gráfica se muestra en la figura 16.

20 0

Psxd Qsxd

2x$-≈+1 ≈-4

Stewart_ch01_025-051.indd 30

x

Funciones algebraicas Una función f se llama función algebraica si puede construirse utilizando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación, división y tomando raíces) comenzando con los polinomios. Cualquier función racional es automáticamente una función algebraica. Aquí hay dos ejemplos más: f sxd − sx 2 1 1

tsxd −

x 4 2 16x 2 3 1 sx 2 2ds x11 x 1 sx

08/06/17 1:16 p.m.

31

SECCIÓN 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales

Cuando trace funciones algebraicas en el capítulo 4, verá que sus gráficas pueden tener una variedad de formas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades. y

y

y

1

1

2

1

_3

x 0

FIGURA 17 (a) ƒ=xœ„„„„ x+3

x

5

0

(b) ©=$œ„„„„„„ ≈-25

x

1

(c) h(x)[email protected]?#(x-2)@

Un ejemplo de una función algebraica se produce en la teoría de la relatividad. La masa de una partícula con velocidad y es m − f svd −

m0 s1 2 v 2yc 2

donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c 5 3.0 3 105 km/s es la velocidad de la luz en el vacío.

Funciones trigonométricas La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencia 2 y también en el apéndice D. En cálculo, por convención, siempre se utilizan medidas en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando se utiliza la función f(x) 5 sen x, se sobreentiende que sen x significa el seno de un ángulo cuya medida en radianes es x. Así, las gráficas de las funciones seno y coseno son como se muestra en la figura 18.

Las páginas de referencia se encuentran en la parte final del libro.

y _ _π

π 2

y 3π 2

1 0 _1

π 2

π

_π 2π

5π 2



_

π 2

1 π 0

x

(a) ƒ=sen x

3π 2

π 2

_1

3π 2π

5π 2

x

(b) ©=cos x

FIGURA 18

Observe que para las funciones seno y coseno el dominio es (2`, `), y el rango es el intervalo cerrado [21, 1]. Por tanto, para todos los valores de x, se tiene 21 < sen x < 1

21 < cos x < 1

o, en términos de valor absoluto, |sen x| < 1

|cos x| < 1

También, los ceros de la función seno se producen en los múltiplos enteros de p; es decir, sen x 5 0

Stewart_ch01_025-051.indd 31

cuando

x 5 np

n es un entero

08/06/17 1:16 p.m.

32

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas con período 2p. Esto significa que, para todos los valores de x, sen(x 1 2p) 5 sen x

cos(x 1 2p) 5 cos x

El carácter periódico de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repetitivos, como las olas del mar, resortes en vibración y las ondas de sonido. Por ejemplo, en el ejemplo 1.3.4 vea que un modelo razonable para el número de horas de luz solar en Filadelfia t días de después del 1 de enero viene dado por la función Lstd − 12 1 2.8 sen

F

2 st 2 80d 365

EJEMPLO 5 ¿Cuál es el dominio de la función f sxd −

G

1 ? 1 2 2 cos x

SOLUCIÓN Esta función se define para todos los valores de x excepto los que hacen el denominador 0. Pero

1 2 2 cos x − 0

3

cos x −

1 2

3

x−

 5 1 2n o x − 1 2n 3 3

donde n es cualquier número entero (ya que la función coseno tiene período 2p). Por tanto, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los mencionados. ■ La función tangente está relacionada con las funciones seno y coseno por la ecuación

y

tan x − 1 3π _ 2

0

_π _ π 2

π 2

3π 2

π

x

y su gráfica se muestra en la figura 19. Está definida siempre que cos x 5 0, que es, cuando x 5 6p/2, 63p/2, . . . Su rango es (2`, `). Observe que la función tangente tiene período p: tan(x 1 p) 5 tan x

y

Funciones exponenciales

y

1 1

(a) y=2®

para toda x

Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son las recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas se muestran en el apéndice D.

FIGURA 19 y − tanxx y=tan

0

sen x cos x

x

1 0

1

(b) y=(0.5)®

x

Las funciones exponenciales son funciones de la forma f(x) 5 bx, donde la base b es una constante positiva. Las gráficas de y 5 2x y y 5 (0.5)x se muestran en la figura 20. En ambos casos el dominio es (2`, `), y el rango es (0, `). Las funciones exponenciales serán estudiadas en detalle en la sección 1.4, y se verá que son útiles para modelar muchos fenómenos naturales, como el crecimiento de una población (si b . 1) y la desintegración radiactiva (si b , 1).

FIGURA 20

Funciones logarítmicas Las funciones logarítmicas f(x) 5 logb x, donde la base b es una constante positiva, son las funciones inversas de las funciones exponenciales; se estudiarán en la sección 1.5.

Stewart_ch01_025-051.indd 32

08/06/17 1:16 p.m.

33

SECCIÓN 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales y

La figura 21 muestra las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con diferentes bases. En cada caso el dominio es (0, `), el rango es (2`, `), y la función crece lentamente cuando x . 1.

y=log™ x y=log£ x

1

0

x

1

y=log∞ x y=log¡¸ x

FIGURA 21

EJEMPLO 6 Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos de funciones que se han discutido. (b) tsxd − x 5

(a) f sxd − 5 x 11x (c) hsxd − 1 2 sx

(d) ustd − 1 2 t 1 5t 4

SOLUCIÓN

(a) f(x) 5 5x es una función exponencial. (La x es el exponente.) (b) g(x) 5 x5 es una función potencia. (La x es la base.) Se podría considerar como una función polinomial de grado 5. (c) hsxd −

11x es una función algebraica. 1 2 sx

(d) u(t) 5 1 2 t 1 5t4 es una función polinomial de grado 4.

1. 2

EJERCICIOS

1–2 Clasifique cada función como una función potencia, función raíz, polinomial (establezca su grado), función racional, función algebraica, función trigonométrica, función exponencial o función logarítmica.

(c) hsxd −

2x 3 1 2 x2

(f) ws d − sen

x

g

cos 2

(f) y −

f

(b) y − x 5 y

0

f

x

sx 3 2 1 3 11s x

3–4 Relacione cada una de las siguientes ecuaciones con su gráfica. Explique el porqué de su elección. (No utilice computadora o calculadora graficadora.)

Stewart_ch01_025-051.indd 33

F

(d) y − tan t 2 cos t

s 11s

3. (a) y − x 2

y

(b) y − x

(c) y − x 2 s2 2 x 3 d

(c) y − x 8 g

h

x

3 (d) y − s x

(c) y − x 3

(d) ustd − 1 2 1.1t 1 2.54t 2

(e) vstd − 5 t 2. (a) y −

(b) y − 3 x

4. (a) y − 3x

4 (b) tsxd − s x

1. (a) f sxd − log 2 x

(e) y −



G

5–6 Encuentre el dominio de la función. 5. f sxd −

cos x 1 2 sen x

6. tsxd −

1 1 2 tan x

7. (a) Determine una ecuación para la familia de funciones lineales con pendiente 2 y trace la gráfica de varios miembros de la familia. (b) Encuentre una ecuación para la familia de funciones lineales tal que f(2) 5 1 y trace varios miembros de la familia. (c) ¿Qué función pertenece a ambas familias? 8. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de funciones lineales f(x) 5 1 1 m(x 1 3)? Trace varios miembros de la familia.

08/06/17 1:16 p.m.

34

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

9. ¿Qué todos los miembros de la familia de funciones lineales f(x) 5 c 2 x tienen en común? Trace varios miembros de la familia. 10. Encuentre expresiones para las funciones cuadráticas cuyas gráficas se muestran. y

y (_2, 2)

f

(0, 1) (4, 2)

g 0

3

x

0

x (1, _2.5)

11. Encuentre una expresión para una función cúbica f si f(1) 5 6 y f(21) 5 f(0) 5 f(2) 5 0. 12. Estudios recientes indican que la temperatura promedio de la superficie de la Tierra ha estado aumentando. Algunos científicos han modelado la temperatura con la función lineal T 5 0.02t 1 8.50, donde T es la temperatura en ºC y t representa años desde 1900. (a) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje T? (b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura promedio de la superficie global en 2100. 13. Si D (en mg) es la dosis de un medicamento recomendada para adultos, entonces, para determinar la dosis apropiada c para un niño de edad a, el farmacéutico utiliza la ecuación c 5 0.0417D(a 1 1). Suponga que la dosis para un adulto es de 200 mg. (a) Encuentre la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? (b) ¿Cuál es la dosis para un recién nacido? 14. El administrador de un bazar de fin de semana sabe por experiencia que, si cobra x dólares por el alquiler de un espacio en el bazar, entonces el número y de espacios que puede alquilar está dado por la ecuación y 5 200 2 4x. (a) Trace la gráfica de esta función lineal. (Recuerde que la renta por el espacio y el número de espacios alquilados no pueden ser cantidades negativas.) (b) ¿Qué representan la pendiente, la intersección con el eje y la intersección con el eje x de la gráfica? 15. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) está dada por la función lineal F − 95 C 1 32. (a) Trace la gráfica de esta función. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál es la intersección con el eje F y qué representa? 16. Kelly sale de Winnipeg a las 14:00 y conduce a rapidez constante hacia el oeste a lo largo de la carretera TransCanadá. Pasa por Brandon, a 210 km de Winnipeg, a las 16:00. (a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo transcurrido. (b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso (a). (c) ¿Cuál es la pendiente de esta recta? ¿Qué representa?

Stewart_ch01_025-051.indd 34

17. Los biólogos han observado que la tasa de chirridos que emiten los grillos de una determinada especie está relacionada con la temperatura, y la relación parece ser casi lineal. Un grillo produce 112 chirridos por minuto a 20 ºC y 180 chirridos por minuto a 29 ºC. (a) Encuentre una ecuación lineal que modele la temperatura T, en función del número N de chirridos por minuto. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa? (c) Si los grillos producen 150 chirridos por minuto, estime la temperatura. 18. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta $2200 fabricar 100 sillas en un día y $4800 producir 300 sillas en un solo día. (a) Exprese el costo en función del número de sillas producidas, suponiendo que es lineal. Luego trace la gráfica. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? (c) ¿Cuál es la intersección en y de la gráfica y qué representa? 19. En la superficie del océano, la presión del agua es la misma que la presión del aire por encima del agua, 1.05 kg/cm2. Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta en 0.10 kg/cm2 por cada metro de descenso. (a) Exprese la presión del agua en función de la profundidad bajo la superficie del océano. (b) ¿A qué profundidad la presión es de 7 kg/cm2? 20. El costo mensual de conducir un auto depende del número de kilómetros recorridos. Lynn encontró que en mayo le costó $380 conducir 768 km y en junio le costó $460 conducir 1280 km. (a) Exprese el costo mensual C como una función de la distancia recorrida d, suponiendo que una relación lineal da un modelo adecuado. (b) Utilice el inciso (a) para predecir el costo de conducir 2400 km por mes. (c) Dibuje la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la pendiente? (d) ¿Qué representa la intersección en y? (e) ¿Por qué una función lineal es un modelo adecuado en esta situación? 21–22 Para cada una de las gráficas de dispersión siguientes, ¿qué tipo de función elegiría como un modelo para los datos? Explique sus elecciones. 21. (a)

(b)

y

0

x

y

0

x

08/06/17 1:16 p.m.

35

SECCIÓN 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales

22.

(a) y

(b) y

0

0

x

x

; 23. La tabla muestra la tasa de úlcera péptica (de por vida) (por cada 100 habitantes) en relación con el ingreso familiar como lo informa la Encuesta Nacional de Entrevista de Salud.

Ingreso

Tasa de úlcera (por cada 100 habitantes)

$4,000 $6,000 $8,000 $12,000 $16,000 $20,000 $30,000 $45,000 $60,000

14.1 13.0 13.4 12.5 12.0 12.4 10.5 9.4 8.2

(a) Trace una gráfica de dispersión con estos datos y decida si es apropiado un modelo lineal. (b) Encuentre y grafique un modelo lineal utilizando el primero y el último punto de datos. (c) Encuentre y grafique la recta de regresión por mínimos cuadrados. (d) Utilice el modelo lineal del inciso (c) para estimar la tasa de úlcera para un ingreso de $25 000. (e) De acuerdo con el modelo, ¿qué tan probable es que alguien que tiene un ingreso de $80 000 sufra de úlcera péptica? (f) ¿Cree que sería razonable aplicar el modelo a alguien con un ingreso de $200 000? ; 24. Los biólogos han observado que la tasa de chirridos de grillos de una determinada especie, parece estar relacionada con la temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos para distintas temperaturas. Temperatura (°C) 20 22 24 26 28

Tasa de chirridos (chirridos/min) 113 128 143 158 173

Temperatura (°C)

Tasa de chirridos (chirridos/min)

30 32 34 36

188 203 218 233

(a) Haga una gráfica de dispersión de los datos. (b) Encuentre y grafique la recta de regresión. (c) Utilice el modelo lineal del inciso (b) para estimar la tasa chirridos a 40 ºC.

Stewart_ch01_025-051.indd 35

; 25. Los antropólogos usan un modelo lineal que relaciona la longitud del fémur humano a la altura. El modelo permite que un antropólogo determine la altura de una persona cuando se encuentra solamente una parte de esqueleto (incluido el fémur). Aquí tiene el modelo mediante el análisis de los datos sobre la longitud del fémur y altura para los ocho humanos masculinos dados en la tabla siguiente. (a) Haga un diagrama de dispersión de los datos. (b) Determine y trace la recta de regresión que modela los datos. (c) Un antropólogo encuentra un fémur humano de 53 cm de largo. ¿Cuál era la altura de la persona? Fémur longitud (cm)

Altura (cm)

Fémur longitud (cm)

Altura (cm)

50.1 48.3 45.2 44.7

178.5 173.6 164.8 163.7

44.5 42.7 39.5 38.0

168.3 165.0 155.4 155.8

; 26. Cuando las ratas de laboratorio están expuestas a fibras de asbesto, algunas de ellas desarrollan tumores de pulmón. La tabla muestra los resultados de varios experimentos realizados por científicos diferentes. (a) Determine la recta de regresión para los datos. (b) Haga una gráfica de dispersión y la gráfica de la recta de regresión. ¿La línea de regresión parece ser un modelo adecuado para los datos? (c) ¿Qué representa la intersección con el eje y de la recta de regresión? Porcentaje de Exposición ratones que desaal asbesto rrollan tumores (fibras/mL) de pulmón 50 400 500 900 1100

2 6 5 10 26

Porcentaje de Exposición ratones que desaal asbesto rrollan tumores (fibras/mL) de pulmón 1600 1800 2000 3000

42 37 38 50

; 27. La tabla muestra el consumo mundial diario promedio de aceite entre 1985 y 2010 medido en miles de barriles por día. (a) Realice una gráfica de dispersión y decida si es adecuado un modelo lineal. (b) Determine y trace la gráfica de la recta de regresión. (c) Use el modelo lineal para estimar el consumo de petróleo entre 2002 y 2012. Años desde 1985

Miles de barriles de aceite por día

0 5 10 15 20 25

60,083 66,533 70,099 76,784 84,077 87,302

Fuente: US Energy Information Administration

08/06/17 1:16 p.m.

36

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

; 28. La tabla muestra el porcentaje de la población de Argentina que ha vivido en las zonas rurales de 1955 al 2000. Encuentre un modelo para los datos y utilícelo para estimar el porcentaje rural en 1988 y 2002. Año

Porcentaje rural

Año

Porcentaje rural

1955 1960 1965 1970 1975

30.4 26.4 23.6 21.1 19.0

1980 1985 1990 1995 2000

17.1 15.0 13.0 11.7 10.5

29. Muchas de las cantidades físicas están relacionadas mediante leyes de los cuadrados inversos, es decir, por las funciones potencia de la forma f(x) 5 kx22. En particular, la iluminación de un objeto por una fuente de luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Suponga que al anochecer está en una habitación con una lámpara y que está intentando leer un libro. La luz es demasiado tenue, por lo que mueve la lámpara a la mitad de la distancia. ¿Cuánto más ilumina la luz al libro? 30. Tiene sentido afirmar que cuanto mayor sea el área de una región, es mayor el número de especies que habitan en la región. Muchos ecólogos han modelado la relación de especies de la zona con una función potencia y, en particular, el número de especies S de murciélagos que habitan en cuevas en México ha estado relacionado con el área superficial A de las cuevas por la ecuación S 5 0.7A0.3. (a) La cueva llamada Misión imposible, situada cerca de Puebla, México, tiene una superficie de A 5 60 m2. ¿Cuántas especies de murciélagos esperaría encontrar en esa cueva? (b) Si descubre que cuatro especies de murciélagos viven en una cueva, estime el área de la cueva.

(b) La isla caribeña de Dominica tiene un área 291 mi2. ¿Cuántas especies de reptiles y anfibios esperaría encontrar en Dominica? Isla

A

Saba

N 4

5

40

9

3,459

40

Jamaica

4,411

39

Española

29,418

84

Cuba

44,218

76

Monserrat Puerto Rico

; 32. La tabla muestra las distancias d (promedio) del Sol (tomando la unidad de medida como la distancia entre la Tierra y el Sol) y sus períodos T (tiempo de revolución en años). (a) Ajuste un modelo potencia para los datos. (b) La tercera ley de movimiento planetario de Kepler afirma que “el cuadrado del período de revolución de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol”. ¿El modelo del inciso (a) corrobora la tercera ley de Kepler?

; 31. La tabla muestra el número N de especies de reptiles y anfibios que habitan en las islas del Caribe y el área A de la isla en millas cuadradas. (a) Utilice una función potencia para modelar N como una función de A.

Planeta

d

T

Mercurio

0.387

0.241

Venus

0.723

0.615

Tierra

1.000

1.000

Marte

1.523

1.881

Júpiter

5.203

11.861

Saturno

9.541

29.457

Urano

19.190

84.008

Neptuno

30.086

164.784

1.3 Funciones nuevas a partir de funciones previas Esta sección empieza con las funciones básicas discutidas en la sección 1.2 para obtener funciones nuevas por medio del desplazamiento, estiramiento y reflexión de las gráficas. También se muestra cómo combinar pares de funciones utilizando operaciones aritméticas estándar y composición.

Transformaciones de funciones Mediante la aplicación de ciertas transformaciones de la gráfica de una función dada, se pueden obtener las gráficas de algunas funciones relacionadas. Esto dará la posibilidad de esbozar las gráficas de muchas funciones rápidamente a mano. También permitirá expresar ecuaciones para las gráficas dadas. Considere primero las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la gráfica de y 5 f(x) 1 c es la gráfica de y 5 f(x) desplazada verticalmente hacia arriba una distancia de c unidades (ya que cada coordenada y se incrementa por el mismo número c). Por otro

Stewart_ch01_025-051.indd 36

08/06/17 1:16 p.m.

37

SECCIÓN 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones previas

lado, si g(x) 5 f(x 2 c), donde c . 0, entonces el valor de g en x es el mismo que el valor de f en x 2 c (c unidades a la izquierda de x). Por tanto, la gráfica de y 5 f(x 2 c) es la gráfica de y 5 f(x), desplazada c unidades a la derecha (véase la figura 1). Desplazamientos vertical y horizontal Suponga que c . 0. Para obtener la gráfica de

y 5 f(x) 1 c, desplace verticalmente c unidades hacia arriba la gráfica de y 5 f(x) y 5 f(x) 2 c, desplace verticalmente c unidades hacia abajo la gráfica de y 5 f(x) y 5 f(x 2 c), desplace horizontalmente c unidades a la derecha la gráfica de y 5 f(x) y 5 f(x 1 c), desplace horizontalmente c unidades a la izquierda la gráfica de y 5 f(x) y

y

y=ƒ+c

y=f(x+c)

c

y =ƒ

c 0

y=cƒ (c>1)

y=f(_x)

y=f(x-c)

y=ƒ y= 1c ƒ

c x

c

x

0

y=ƒ-c y=_ƒ

FIGURA 1 Traslación de la gráfica de f

FIGURA 2 Estiramiento y reflexión de la gráfica de f

Ahora considere las transformaciones por estiramiento y reflexión. Si c . 1, entonces la gráfica de y 5 cf(x) es la gráfica de y 5 f(x) alargada verticalmente por un factor de c (porque cada coordenada y se multiplica por el número c). La gráfica de y 5 2f(x) es la gráfica de y 5 f(x) reflejada en relación con el eje x porque el punto (x, y) se reemplaza por el punto (x, 2y). (Véanse la figura 2 y el siguiente cuadro, donde también se dan los resultados de otras transformaciones de alargamiento, compresión y reflexión.) Alargamientos y reflexiones vertical y horizontal Suponga que c . 1. Para obtener

la gráfica de y 5 cf(x), alargue verticalmente la gráfica de y 5 f(x) por un factor de c y 5 (1/c)f(x), comprima verticalmente la gráfica de y 5 f(x) por un factor de c y 5 f(cx), comprima horizontalmente la gráfica de y 5 f(x) por un factor de c y 5 2f(x/c), alargue horizontalmente la gráfica de y 5 f(x) por un factor de c y 5 2f(x), refleje la gráfica de y 5 f(x) a través del eje x y 5 f(2x), refleje la gráfica de y 5 f(x) a través del eje y

Stewart_ch01_025-051.indd 37

08/06/17 1:16 p.m.

38

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la función coseno con c 5 2. Por ejemplo, para obtener la gráfica de y 5 2 cos x multiplique la coordenada y de cada punto en la gráfica de y 5 cos x por 2. Esto significa que la gráfica de y 5 cos x se alarga verticalmente por un factor de 2. y

y=2 cos x

y

2

y=cos x

2

1

1 y= 2

1

0

cos x x

1

y=cos 1 x

y=cos 2x

2

0

x

y=cos x

FIGURA 3

EJEMPLO 1 Dada la gráfica de y 5 s x , use transformaciones para trazar la gráfica de y 5 s x 2 2, y 5 !x 2 2, y 52s x , y 5 2s x , y y 5 s 2x .

SOLUCIÓN La gráfica de la función raíz cuadrada y 5 s x , obtenida de la figura 1.2.13(a)

se muestra en la figura 4(a). En otras partes de la figura se ha trazado y 5 s x 2 2 desplazándola 2 unidades hacia abajo, y 5 s x 2 2 por desplazamiento de 2 unidades a la derecha, y 52s x reflejando a través del eje x, y 52s x estirando verticalmente por un factor de 2, y y 5 s 2x reflejando a través del eje y. y

y

y

y

y

y

1 0

1

x

x

0

0

x

2

x

0

x

0

x

0

_2

(a) y=œ„x

(b) y=œ„-2 x

(d) y=_ œ„x

(c) y=œ„„„„ x-2

(f ) y=œ„„ _x

(e) y=2 œ„x

FIGURA 4



EJEMPLO 2 Trace la gráfica de la función f(x) 5 x2 1 6x 1 10. SOLUCIÓN Completando el cuadrado, se escribe la ecuación de la gráfica como

y − x 2 1 6x 1 10 − sx 1 3d2 1 1 Esto significa que se obtiene la gráfica deseada iniciando con la parábola y 5 x2 y desplazándola 3 unidades a la izquierda y, luego 1 unidad hacia arriba (véase la figura 5). y

y

1

(_3, 1) 0

FIGURA 5

Stewart_ch01_025-051.indd 38

(a) y=≈

x

_3

_1

0

(b) y=(x+3)@+1

x



08/06/17 1:16 p.m.

39

SECCIÓN 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones previas

EJEMPLO 3 Trace las gráficas de las funciones siguientes. (a) y 5 sen 2x

(b) y 5 1 2 sen x

SOLUCIÓN

(a) Se obtiene la gráfica de y 5 sen 2x comprimiendo horizontalmente a y 5 sen x por un factor de 2 (véanse las figuras 6 y 7). Por tanto, considerando que el período de y 5 sen x es 2p, el período de y 5 sen 2x es 2p/2 5 p. y

y

y=sen x

1 0

π 2

π

y=sen 2x

1

0 π π

x

4

FIGURA 6

x

π

2

FIGURA 7

(b) Para obtener la gráfica de y 5 1 2 sen x, se empieza de nuevo con y 5 sen x. Se refleja a través del eje x para obtener la gráfica de y 5 2sen x, luego se desplaza 1 unidad hacia arriba para obtener y 5 1 2 sen x (véase la figura 8). y

y=1-sen x

2 1 0

FIGURA 8

π 2

π

3π 2

x





EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz natural como funciones de la época del año en varias latitudes. Dado que Ankara, Turquía, se encuentra a una latitud de aproximadamente 40 °N, determine una función que modele la longitud del día en Ankara. 20 18 16 14 12

20 ° N 30 ° N 40 ° N 50 ° N

Horas 10 8

FIGURA 9 Gráfica de la duración de la luz del día del 21 de marzo al 21 de diciembre en diferentes latitudes Fuente: adaptado de L. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time (New York: Silver, Burdett, 1935), 40.

Stewart_ch01_025-051.indd 39

6

60 ° N

4 2 0

Mar. Abr. May Jun.

Jul. Agos. Sept. Oct. Nov. Dic.

08/06/17 1:16 p.m.

40

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Al ver la curva respectiva se tiene que, en la latitud de Ankara, la luz de día dura unas 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, por lo que la amplitud de la curva (el factor por el cual se tiene que alargar verticalmente la curva seno) es 1 2 s14.8 2 9.2d − 2.8. ¿Por cuál factor se necesita alargar horizontalmente la curva seno si se mide el tiempo t en días? Como hay aproximadamente 365 días en un año, el período del modelo debe ser 365. Pero el período de y 5 sen t es 2p, por lo que el factor de alargamiento horizontal es 2p/365. También se ve que la curva comienza su ciclo el 21 de marzo, el día 80 del año, así que se tiene que desplazar la curva 80 unidades a la derecha. Además, debe desplazarla 12 unidades hacia arriba. Por tanto, se modela la duración del día en Ankara el t-ésimo día del año por la función y

Lstd − 12 1 2.8 sen

_1

0

1

x

(a) y=≈-1 y

F

2 st 2 80d 365

G



Otra transformación de cierto interés se obtiene tomando el valor absoluto de una función. Si y 5  f(x)  entonces, de acuerdo con la definición de valor absoluto, y 5 f(x) cuando f(x) > 0 y y 5 2f(x) cuando f(x) , 0. Esto dice cómo obtener la gráfica de y 5  f(x)  a partir de la gráfica de y 5 f(x): la parte de la gráfica que se encuentra arriba del eje x sigue siendo la misma; la parte que se encuentra debajo del eje x se refleja a través de este eje.

EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la función y − | x 2 2 1 |. _1

0

1

(b) y=| ≈-1 |

x

SOLUCIÓN En primer lugar, se grafica la parábola y 5 x2 – 1 en la figura 10(a), des-

plazando verticalmente 1 unidad hacia abajo la parábola y 5 x2. Se ve que la gráfica se encuentra por debajo del eje x cuando: 21 , x , 1, por lo que se refleja esa parte de la gráfica respecto al eje x para obtener la gráfica de y 5  x2 – 1 en la figura 10(b). ■

FIGURA 10

Combinación de funciones Dos funciones f y g pueden combinarse para formar funciones nuevas f 1 g, f 2 g, fg y f/g en forma similar a la suma, resta, multiplicación y división de números reales. La suma y diferencia de funciones se definen mediante: s f 1 tdsxd − f sxd 1 tsxd

s f 2 tdsxd − f sxd 2 tsxd

Si el dominio de f es A y el dominio de g es B, el dominio de f 1 g es la intersección A > B porque f(x) y g(x) tienen que estar definidas. Por ejemplo, el dominio de f(x) 5 s x es A 5 [0, `), y el dominio de g(x) 5 s 2 2 x es B 5 (2`, 2], por lo que el dominio de (f 1 g)(x) 5 s x 1 s 2 2 x es A > B 5 [0, 2]. Del mismo modo, se definen el producto y cociente de funciones por s fgdsxd − f sxdgsxd

SD

f f sxd sxd − g gsxd

El dominio de fg es A > B, pero no se puede dividir entre 0, por lo que el dominio de f/g es {x [ A > B  g(x)  0}. Por ejemplo, si f(x) 5 x2 y g(x) 5 x 2 1, entonces el dominio de la función racional (f/g)(x) 5 x2/(x 2 1) es {x  x  1}, o bien (2`, 1) < (1, `). Hay otra forma de combinar dos funciones para obtener una función nueva. Por ejemplo, suponga que y 5 f(u) 5 s u y u 5 g(x) 5 x2 1 1. Como y es una función de u y u es, a su vez, una función de x, se concluye que, finalmente, y es una función de x.

Stewart_ch01_025-051.indd 40

08/06/17 1:16 p.m.

41

SECCIÓN 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones previas

Se puede calcular esto por sustitución: y − f sud − f sgsxdd − f sx 2 1 1d − sx 2 1 1 x (entrada)

g

©

f•g

f

Este procedimiento se denomina composición porque la función nueva se compone de las dos funciones dadas f y g. En general, dadas dos funciones cualesquiera f y g, se empieza con un número x en el dominio de g y se calcula su imagen g(x). Si este número g(x) está en el dominio de f, entonces se puede calcular el valor de f(g(x)). Observe que la salida de una función se usa como entrada para la próxima función. El resultado es una función nueva h(x) 5 f(g(x)) obtenida mediante la sustitución de g en f y se llama la composición (o compuesta) de f y g, y se denota por f + g (“f círculo g”). Definición Dadas dos funciones f y g, la función compuesta f + g (también llamada la composición de f y g) se define como

s f 8 gdsxd − f s gsxdd

f { ©} (salida)

FIGURA 11

La máquina f + g se compone de la máquina g (primero) y luego de la máquina f.

El dominio de f + g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f. En otras palabras, (f + g)(x) está definida siempre que g(x) y f(g(x)) estén definidas. La figura 11 muestra f + g en términos de máquinas.

EJEMPLO 6 Si f(x) 5 x2 y g(x) 5 x 2 3, encuentre la composición de las funciones

f + g y g + f.

SOLUCIÓN Se tiene

s f 8 gdsxd − f s gsxdd − f sx 2 3d − sx 2 3d2 s g 8 f dsxd − gs f sxdd − gsx 2 d − x 2 2 3



NOTA En el ejemplo 6 puede verse que, en general, f + g ≠ g + f. Recuerde, la notación f + g significa que la función g se aplica primero y, luego se aplica f. En el ejemplo 6, f + g es la función que primero resta 3 y, luego eleva al cuadrado; g + f es la función que primero se eleva al cuadrado y, luego resta 3.

EJEMPLO 7 Si f sxd − sx y gsxd − s2 2 x , encuentre cada una de las funciones siguientes y su dominio. (a) f + g (b) g + f (c) f + f (d) g + g SOLUCIÓN

(a)

4 s f 8 gdsxd − f sgsxdd − f (s2 2 x ) − ss2 2 x − s 22x

|

|

El dominio de f + g es hx 2 2 x > 0j − hx x < 2j − s2`, 2g. (b) Si 0 < a < b, entonces a2 < b2.

s g 8 f dsxd − gs f sxdd − g(sx ) − s2 2 sx

Para que s x esté definida debe cumplirse con que x > 0. Para que s2 2 sx esté definida debe cumplirse con que 2 2 s x > 0, esto es, s x < 2 o x < 4. Así que 0 < x < 4, por lo que el dominio de g + f es el intervalo cerrado [0, 4]. (c)

4 x s f 8 f dsxd − f s f sxdd − f (sx ) − ssx − s

El dominio de f + f es [0, `).

Stewart_ch01_025-051.indd 41

08/06/17 1:16 p.m.

42

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

sg 8 gdsxd − gsgsxdd − g(s2 2 x ) − s2 2 s2 2 x

(d)

Esta expresión está definida cuando 2 2 x > 0 y 2 2 s 2 2 x > 0. La primera desigualdad significa x < 2, y la segunda es equivalente a s 2 2 x < 2, o 2 2 x < 4 o x > 22. Así, 22 < x < 2, por lo que el dominio de g + g es el intervalo cerrado [22, 2]. ■ Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la composición f + g + h se encuentra aplicando primero h, después g y, por último, f como sigue: s f 8 g 8 hdsxd − f sgshsxddd

EJEMPLO 8 Encuentre f + g + h si f(x) 5 x/(x 1 1), g(x) 5 x10 y h(x) 5 x 1 3. SOLUCIÓN

s f 8 g 8 hdsxd − f s gshsxddd − f sgsx 1 3dd − f ssx 1 3d10 d −

sx 1 3d10 sx 1 3d10 1 1



Hasta ahora ha utilizado la composición para construir funciones complicadas a partir de otras más sencillas. Pero en cálculo es útil a menudo ser capaz de descomponer una función compleja en otras más simples, como en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 9 Dada F(x) 5 cos2 (x 1 9), encuentre las funciones f, g y h tales que F 5 f + g + h. SOLUCIÓN Como F(x) 5 [cos(x 1 9)]2, la fórmula para F dice: primero sume 9, después tome el coseno del resultado y, finalmente, eleve al cuadrado. Así, se tiene

hsxd − x 1 9 Entonces

gsxd − cos x

f sxd − x 2

s f 8 g 8 hdsxd − f sgshsxddd − f sgsx 1 9dd − f scossx 1 9dd − fcossx 1 9dg 2 − Fsxd

1. 3



EJERCICIOS

1. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica f como sigue: (a) Desplazar 3 unidades hacia arriba. (b) Desplazar 3 unidades hacia abajo. (c) Desplazar 3 unidades hacia la derecha. (d) Desplazar 3 unidades hacia la izquierda. (e) Reflejar respecto al eje x. (f) Reflejar respecto al eje y. (g) Alargada verticalmente por un factor de 3. (h) Contraída verticalmente por un factor de 3. 2. Explique cómo se obtiene cada gráfica a partir de la gráfica de y 5 f(x). (a) y − f sxd 1 8 (b) y − f sx 1 8d (c) y − 8 f sxd (d) y − f s8xd (e) y − 2f sxd 2 1 (f) y − 8 f s 81 xd

3. Se da la gráfica de y 5 f(x). Relacione cada ecuación con su gráfica y argumente sus elecciones. (a) y − f sx 2 4d (b) y − f sxd 1 3 (c) y − 13 f sxd (d) y − 2f sx 1 4d (e) y − 2 f sx 1 6d y

@

6

3

#

f $

_6

_3

%

Stewart_ch01_025-051.indd 42

!

0

3

6

x

_3

08/06/17 1:16 p.m.

43

SECCIÓN 1.3 Funciones nuevas a partir de funciones previas

4. Se da la gráfica de f. Trace las gráficas de las funciones siguientes. (a) y − f sxd 2 3 (b) y − f sx 1 1d (c) y −

1 2

f sxd

9–24 Grafique la función a mano, sin trazar puntos, sino empezando con la gráfica de una de las funciones esenciales de la sección 1.2 y después aplique las transformaciones apropiadas.

(d) y − 2f sxd

10. y − sx 2 3d2

9. y − 2x 2

y

12. y − 1 2

13. y − 2 cos 3x

14. y − 2 sx 1 1

15. y − x 2 2 4x 1 5

16. y − 1 1 sen

17. y − 2 2 sx

18. y − 3 2 2 cos x

19. y − sen ( 21 x )

20. y −

21. y − 12 s1 2 cos xd

22. y − 1 2 2 sx 1 3

2

0

x

1

5. Se da la gráfica de f. Utilícela para trazar las gráficas de las funciones siguientes. (a) y − f s2xd (b) y − f s 21xd (c) y − f s2xd

(d) y − 2f s2xd

|

23. y − sx 2 1

y 1 0

x

1

6–7 La gráfica de y 5 s3x 2 x2 está dada. Utilice transformaciones para crear una función cuya gráfica es como se muestra. y

y=œ„„„„„„ 3x-≈

1.5

0

6.

x

3

7.

y

y

3 _4

_1 0

x _1 _2.5

0

2

5

x

8. (a) ¿Cómo es la gráfica de y 5 2 sen x en relación con la gráfica de y 5 sen x? Utilice su respuesta y la figura 6 para trazar la gráfica de y 5 2 sen x. (b) ¿Cómo es la gráfica de y 5 1 1 sx en relación con la gráfica de y 5 sx? Utilice su respuesta y la figura 4(a) para trazar la gráfica de y 5 1 1 sx.

Stewart_ch01_025-051.indd 43

1 x

11. y − x 3 1 1

|

x

2 22 x

|

24. y − cos

x

|

25. La ciudad de Nueva Delhi, India, se encuentra en la latitud 30 ºN. Utilice la figura 9 para encontrar una función que modele el número de horas de luz diurna en Nueva Delhi como una función de la época del año. Para comprobar la exactitud de su modelo, utilice el hecho de que el 31 de marzo el Sol sale a las 6:13 y se pone a las 18:39 en esta ciudad. 26. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminuye alternándose. Para la estrella variable más visible, Delta Cephei, el tiempo transcurrido entre períodos de brillo máximo es de 5.4 días, el brillo promedio (o magnitud) de la estrella es 4.0, y su brillo varía en una magnitud de 60.35. Encuentre una función que modele el brillo de Delta Cephei, como una función del tiempo. 27. Algunas de las mareas más altas en el mundo ocurren en la bahía de Fundy en la costa atlántica de Canadá. En Hopewell Cape la profundidad del agua durante la marea baja es de 2.0 m y con la marea alta es de aproximadamente 12.0 m. El período natural de oscilación es de alrededor de 12 horas y el 30 de junio de 2009 la marea alta se produjo a las 6:45. Determine una función que implique la función de coseno que modele la profundidad D(t) (en metros) en función del tiempo t (en horas después de la medianoche) en ese día. 28. En un ciclo respiratorio normal, el volumen de aire que se mueve dentro y fuera de los pulmones es de unos 500 mL. Los volúmenes de reserva y de residuo de aire que permanecen en los pulmones ocupan aproximadamente 2000 mL y un solo ciclo respiratorio para un humano promedio toma alrededor de 4 segundos. Determine un modelo para el volumen total de aire V(t) en los pulmones como una función del tiempo. 29. (a) ¿Cómo es la gráfica de y 5 f( x ) en relación con la gráfica de f? (b) Trace la gráfica de y 5 sen  x . (c) Trace la gráfica de y 5 s x .

08/06/17 1:16 p.m.

44

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

30. Utilice la gráfica de f para trazar la de y 5 1f(x). ¿Qué características de f son las más importantes en el trazado de y 5 1f(x)? Explique cómo se utilizan. y 1 0

x

1

31–32 Encuentre (a) f 1 g, (b) f 2 g, (c) fg y (d) fg y establezca sus dominios. 31. f sxd − x 3 1 2x 2,

gsxd − 3x 2 2 1

32. f sxd − s3 2 x ,

gsxd − sx 2 2 1

52. Utilice la tabla para evaluar cada una de las expresiones siguientes: (a) f s gs1dd (d) gs gs1dd

(b) gs f s1dd (e) s g 8 f ds3d

x

1

2

3

4

5

6

f(x)

3

1

4

2

2

5

g(x)

6

3

2

1

2

3

53. Utilice las gráficas dadas de f y g para evaluar cada una de las expresiones siguientes, o explique por qué no están definidas: (a) f s gs2dd (d) s g 8 f ds6d

(b) gs f s0dd (e) s g 8 gds22d

gsxd − x 2 1 x

34. f sxd − x 3 2 2,

gsxd − 1 2 4x

37. f sxd − x 1 38. f sxd − sx ,

0

gsxd −

3 gsxd − s 12x

y

g

gsxd − sen x,

39. f sxd − 3x 2 2,

1

hsxd − x 2

0

40. f sxd − x 2 4 ,

|

gsxd − 2 ,

hsxd − sx

41. f sxd − sx 2 3 ,

gsxd − x 2,

hsxd − x 3 1 2

42. f sxd − tan x,

x

gsxd −

x , x21

43. Fsxd − s2 x 1 x 2 d 4 3 x s 3 11s x

47. vstd − secst 2 d tanst 2 d

3 hsxd − s x

44. Fsxd − cos2 x 46. Gsxd − 48. ustd −

Î 3

x 11x

tan t 1 1 tan t

49–51 Exprese la función en la forma f + g + h. 49. Rsxd − ssx 2 1 51. Sstd − sen scos td 2

Stewart_ch01_025-051.indd 44

1

x

f

43–48 Exprese la función en la forma f + g.

45. Fsxd −

x

2

54. Utilice las gráficas dadas de f y g para estimar el valor de f( g(x)) para x 5 25, 24, 23, . . . , 5. Utilice estas estimaciones para trazar la gráfica f + g.

x11 x12

39–42 Encuentre f + g + h.

|

f

2

gsxd − x 2 1 1

1 , x

g

gsxd − 4x 2 3

35. f sxd − sx 1 1, 36. f sxd − sen x,

(c) s f 8 gds0d (f) s f 8 f ds4d

y

33–38 Encuentre las funciones (a) f + g, (b) g + f, (c) f + f, y (d) g + g y sus dominios. 33. f sxd − 3x 1 5,

(c) f s f s1dd (f) s f 8 gds6d

| |

8 50. Hsxd − s 21 x

55. Una piedra se deja caer en un lago, creando una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cm/s. (a) Exprese el radio r del círculo en función del tiempo t (en segundos). (b) Si A es el área de este círculo como una función del radio, encuentre A + r e interprétela. 56. Un globo esférico está siendo inflado de manera que su radio aumenta a razón de 2 cm/s. (a) Exprese el radio r del globo en función del tiempo t (en segundos). (b) Si V es el volumen del globo en función del radio, encuentre V + r e interprétela. 57. Un barco se está moviendo con una velocidad de 30 km/h paralelamente a una costa recta. El barco está a 6 km de la costa y pasa por un faro al mediodía.

08/06/17 1:16 p.m.

45

SECCIÓN 1.4 Funciones exponenciales

(a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco en función de la distancia d, que el barco ha recorrido desde el mediodía; es decir, encuentre f de modo que s 5 f(d). (b) Exprese d como una función de t, el tiempo transcurrido desde el mediodía; es decir, encuentre g de modo que d 5 g(t). (c) Encuentre f + g. ¿Qué representa esta función? 58. Un avión está volando con una velocidad de 350 km/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el tiempo t 5 0. (a) Exprese la distancia horizontal d (en kilómetros) que el avión ha volado, en función de t. (b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar en función de d. (c) Utilice la composición para expresar s como una función de t. 59. La función de Heaviside H está definida por Hstd −

H

0 si t , 0 1 si t > 0

Se utiliza en el estudio de circuitos eléctricos para representar aumentos repentinos de la corriente eléctrica, o de voltaje, cuando el interruptor se activa de manera instantánea. (a) Trace la gráfica de la función de Heaviside. (b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t 5 0 y se aplican instantáneamente 120 volts al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t 5 5 segundos y se aplican instantáneamente 240 volts al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (Observe que a partir de t 5 5 corresponde a una traslación.) 60. La función de Heaviside que se define en el ejercicio 59 también puede utilizarse para definir la función rampa y 5 ctH(t), que

representa un aumento gradual del voltaje o de corriente en un circuito. (a) Trace la gráfica de la función rampa y 5 tH(t). (b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t 5 0, y el voltaje se aumenta gradualmente a 120 volts durante un intervalo de tiempo de 60 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t) para t < 60. (c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t 5 7 segundos y el voltaje se incrementa gradualmente a 100 volts durante un período de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t) para t < 32. 61. Sean f y g funciones lineales con ecuaciones f(x) 5 m1x 1 b1 y g(x) 5 m2x 1 b2. ¿Es f + g también una función lineal? Si es así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica? 62. Si usted invierte x dólares al 4% de interés compuesto anualmente, entonces la cantidad A(x) de la inversión después de un año es A(x) 5 1.04x. Encuentre A + A, A + A + A, y A + A + A + A. ¿Qué representan estas composiciones? Encuentre una fórmula para la composición de n copias de A. 63. (a) Si g(x) 5 2x 1 1 y h(x) 5 4x2 1 4x 1 7, encuentre una función f tal que f + g 5 h. (Piense qué operaciones tendrá que realizar en la fórmula para g para determinar la fórmula para h.) (b) Si f(x) 5 3x 1 5 y h(x) 5 3x2 1 3x 1 2, encuentre una función g tal que f + g 5 h. 64. Si f(x) 5 x 1 4 y h(x) 5 4x 2 1, encuentre una función g tal que g + f 5 h. 65. Suponga que g es una función par y sea h 5 f + g. ¿Es h siempre una función par? 66. Suponga que g es una función impar y sea h 5 f + g. ¿Es h siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué pasa si f es par?

1.4 Funciones exponenciales La función f(x) 5 2x se llama una función exponencial porque la variable, x, es el exponente. No se debe confundir con la función potencia g(x) 5 x2, en la que la variable es la base. En general, una función exponencial es una función de la forma f sxd − b x En el apéndice G se presenta un enfoque alternativo a las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando cálculo integral.

donde b es una constante positiva. Recuerde el significado de esto. Si x 5 n, un entero positivo, entonces bn − b ? b ? ∙ ∙ ∙ ? b n factores

Si x 5 0, entonces b0 5 1, y si x 5 2n, donde n es un entero positivo, entonces b 2n −

Stewart_ch01_025-051.indd 45

1 bn

08/06/17 1:16 p.m.

46

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

Si x es un número racional, x 5 p/q, donde p y q son números enteros y q . 0, entonces

y

q p q b − ss bd b x − b pyq − s

1 0

1

x

FIGURA 1 Representación de y 5 2x, x racional

p

Pero ¿cuál es el significado de bx si x es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué significa 2 s3 o 5p? Para ayudar a responder esta pregunta, se examina la gráfica de la función y 5 2x, donde x es racional. Una representación de esta gráfica se muestra en la figura 1. Se quiere ampliar el dominio de y 5 2x para incluir tanto los números racionales como los irracionales. Hay huecos en la gráfica de la figura 1 correspondientes a valores irracionales de x. Se quiere llenarlos mediante la definición de f(x) 5 2x, donde x [ , por lo que f es una función creciente. En particular, puesto que el número irracional s 3 satisface 1.7 , s3 , 1.8 2 1.7 , 2 s3 , 2 1.8

se debe tener

y se sabe lo que 21.7 y 21.8 significan ya que 1.7 y 1.8 son números racionales. Del mismo modo, si usa mejores aproximaciones para s 3, se obtienen mejores aproximaciones para 2 s3: 1.73 , s3 , 1.74

1

2 1.73 , 2 s3 , 2 1.74

1.732 , s3 , 1.733

1

2 1.732 , 2 s3 , 2 1.733

1.7320 , s3 , 1.7321

1

2 1.7320 , 2 s3 , 2 1.7321

1.73205 , s3 , 1.73206 1 . . . . . . Una demostración de este hecho se presenta en J. Marsden y A. Weinstein, Calculus Unlimited (Menlo Park, CA: Benjamin/ Cummings, 1981).

2 1.73205 , 2 s3 , 2 1.73206 . . . . . .

Puede demostrarse que hay exactamente un número que es mayor que todos los números 2 1.7,

2 1.73,

2 1.732,

2 1.7320,

2 1.73205,

...

2 1.733,

2 1.7321,

2 1.73206,

...

y menor que todos los números 2 1.8,

2 1.74,

Este número se define como 2 s3 y, utilizando este procedimiento de aproximación, se puede calcular con una aproximación de seis decimales: 2 s3 < 3.321997 De la misma manera, se puede definir 2x (o bx, si b . 0) donde x es cualquier número irracional. En la figura 2 se muestra cómo todos los huecos en la figura 1 han sido llenados para completar la gráfica de la función f(x) 5 2x, x [ . y

1

FIGURA 2 y 5 2x, para x real

Stewart_ch01_025-051.indd 46

0

1

x

08/06/17 1:16 p.m.

47

SECCIÓN 1.4 Funciones exponenciales

Las gráficas de los miembros de la familia de funciones y 5 bx se muestran en la figura 3 para varios valores de la base b. Observe que todas estas gráficas pasan por el mismo punto (0, 1) porque b0 5 1 para b  0. Observe también que cuando la base b se hace más grande, la función exponencial crece más rápidamente (para x . 0). y

” 4 ’®

” 2 ’®

1

1



10®



Si 0 , b , 1, entonces bx se aproxima a 0 cuando x es muy grande. Si b . 1, entonces bx se aproxima a 0 cuando x disminuye al tomar valores negativos. En ambos casos el eje x es una asíntota horizontal. Estas cuestiones se tratan en la sección 2.6.

1.5®



FIGURA 3

0

1

x

En la figura 3 puede verse que existen básicamente tres tipos de funciones exponenciales y 5 bx. Si 0 , b , 1, la función exponencial decrece; si b 5 1, es una constante, y si b . 1, crece. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si b  1, entonces la función exponencial y 5 bx tiene dominio  y rango (0, `). Observe también que, dado que (1/b)x 5 1/bx 5 b2x, entonces la gráfica de y 5 (1/b)x es justamente la reflexión de la gráfica de y 5 bx a través del eje y. y

1

(0, 1) 0

FIGURA 4

y

y

(0, 1)

0

x

(a) y=b®, 0
x

(b) y=1®

0

x

(c) y=b®, b>1

Una de las razones de la importancia de la función exponencial se encuentra en las siguientes propiedades. Si x y y son números racionales, entonces estas leyes son bien conocidas del álgebra elemental. Puede demostrarse que seguirán siendo válidas para números reales x y y arbitrarios.

www.stewartcalculus.com Para un repaso de las leyes de exponentes, haga clic en Review of Algebra.

Leyes de los exponentes Si a y b son números positivos, y los números x y y son reales cualesquiera, entonces 1. b x1y − b x b y

2. b x2y −

bx by

3. sb x d y − b xy

4. sabd x − a xb x

EJEMPLO 1 Trace la gráfica de la función y 5 3 2 2x, determine su dominio y rango. Para un repaso de la reflexión y desplazamiento de gráficas, consulte la sección 1.3.

Stewart_ch01_025-051.indd 47

SOLUCIÓN Primero refleje la gráfica de y 5 2x [se muestran en las figuras 2 y 5(a)] a

través del eje x para obtener la gráfica de y 5 22x en la figura 5(b). Después se desplaza

08/06/17 1:16 p.m.

48

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

3 unidades hacia arriba la gráfica de y 5 22x para obtener la gráfica de y 5 3 2 2x en la figura 5(c). El dominio es , y el rango es (2`, 3). y

y

y

y=3 2

1 0

0

x

x

0

x

_1

FIGURA 5

(a) y=2®

(b) y=_2®

(c) y=3-2®



EJEMPLO 2 Utilice un dispositivo de graficación para comparar la función exponencial f(x) 5 2x con la de la función potencia g(x) 5 x2. ¿Cuál función crece más rápidamente cuando x es muy grande?

En el ejemplo 2 se muestra que y 5 2x aumenta más rápidamente que y 5 x2. Para demostrar lo rápido que f(x) 5 2x aumenta, realice el experimento mental siguiente. Suponga que se empieza con un trozo de papel de un décimo de milímetro de espesor y lo dobla por la mitad 50 veces. Cada vez que dobla el papel por la mitad, el grosor del papel se duplica, por lo que el grosor del papel resultante sería 250/10 000 m. ¿De qué grosor cree usted que es? ¡Más de cien millones de kilómetros!

SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones representadas gráficamente en el rectángulo de vista [22, 6] por [0, 40]. Vea que las gráficas se intersecan tres veces, pero para x . 4 la gráfica de f(x) 5 2x permanece por encima de la gráfica de g(x) 5 x2. La figura 7 da una visión más global y muestra que para valores grandes de x, la función exponencial y 5 2x crece mucho más rápidamente que la función potencia y 5 x2. 40

250 y=2®

y=≈

y=2®

y=≈ _2

0

FIGURA 6

6

0

FIGURA 7

8



Aplicaciones de las funciones exponenciales La función exponencial ocurre con mucha frecuencia en los modelos matemáticos de las ciencias naturales y sociales. Aquí se indica brevemente cómo surge en la descripción del crecimiento de una población y decaimiento radioactivo. En capítulos posteriores se seguirán estas y otras aplicaciones en mayor detalle. En primer lugar, considere una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Suponga que por muestreo de la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) 5 1000, entonces se tiene ps1d − 2ps0d − 2 3 1000 ps2d − 2ps1d − 2 2 3 1000 ps3d − 2ps2d − 2 3 3 1000

Stewart_ch01_025-051.indd 48

08/06/17 1:16 p.m.

SECCIÓN 1.4 Funciones exponenciales

49

De este patrón, parece ser que, en general: p(t) 5 2t 3 1000 5 (1000)2t Tabla 1 t (años desde 1900)

Población (millones)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080 6870

FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población mundial

Esta función de la población es un múltiplo constante de la función exponencial y 5 2t, por lo que muestra el rápido crecimiento observado en las figuras 2 y 7. En condiciones ideales (nutrientes, espacio ilimitado y la ausencia de enfermedad), este crecimiento exponencial es típico de lo que ocurre de hecho en la naturaleza. ¿Qué pasa con la población humana? La tabla 1 muestra los datos de la población del mundo en el siglo xx, y en la figura 8 se muestra la gráfica de dispersión correspondiente.

P

5x10'

0

20

40

60

80

100

120

t

Años desde 1900

El patrón de los puntos de datos en la figura 8 sugiere un crecimiento exponencial, por eso se usa una calculadora graficadora con capacidad de regresión exponencial para aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial P − s1436.53d ? s1.01395d t donde t 5 0 corresponde a 1900. La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial junto con los puntos de datos originales. Se ve que la curva exponencial ajusta razonablemente bien en el conjunto de datos. El período de crecimiento relativamente lento de la población se explica por las dos Guerras Mundiales y la Gran Depresión de la década de 1930.

P

5x10'

FIGURA 9 Modelo exponencial para el crecimiento de población

Stewart_ch01_025-051.indd 49

0

20

40

60

80

100

120

t

Años desde 1900

08/06/17 1:16 p.m.

50

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

En 1995 apareció un documento detallando el efecto del inhibidor de proteasa abt-538 en el virus de inmunodeficiencia humana vih-1.1 La tabla 2 muestra valores de plasma viral cargado V(t) del paciente 303, medidos en copias/mL de arn, t días después de que inició el tratamiento con abt-538. En la figura 10 se muestra la correspondiente gráfica de dispersión. Tabla 2

t (días)

Vstd

1

76.0

4

53.0

8

18.0

11

9.4

15

5.2

22

3.6

copias/mL de ARN

V 60 40 20 0

10

20

30

t (días)

FIGURA 10 Plasma viral cargado de paciente 303

La disminución más dramática de la carga viral que se ve en la figura 10 recuerda las gráficas de la función exponencial y 5 bx en las figuras 3 y 4 para el caso donde la base b es menor de 1. Se modela la función V(t) con una función exponencial. Usando una calculadora graficadora o una computadora para ajustar los datos en la tabla 2 con una función exponencial de la forma y 5 a ? bt, se obtiene el modelo V − 96.39785 ? s0.818656dt En la figura 11 se traza la gráfica de esta función exponencial con los puntos de datos y se ve que el modelo representa la carga viral razonablemente bien durante el primer mes de tratamiento.

copias / mL de ARN

V

FIGURA 11 Modelo viral para la carga viral

60 40 20 0

10

20

30

t (días)

Podría utilizar la gráfica de la figura 11 para estimar la vida media de V, es decir, el tiempo requerido para que la carga viral se reduzca a la mitad de su valor inicial (véase el ejercicio 33). En el ejemplo siguiente se da la vida media de un elemento radioactivo y se pide encontrar la masa de una muestra en cualquier momento.

EJEMPLO 3 La vida media del estroncio 90, 90Sr, es 25 años. Esto significa que la mitad de cualquier cantidad dada de 90Sr se desintegrará en 25 años. (a) Si una muestra de 90Sr tiene una masa de 24 mg, determine una expresión para la masa m(t) que queda después de t años. (b) Determine la masa restante después de 40 años, correcto al miligramo más cercano. (c) Utilice un dispositivo de graficación para trazar la gráfica de m(t) y utilícela para estimar el tiempo requerido para que la masa se reduzca a 5 mg.

1. D. Ho et al., “Rapid Turnover of Plasma Virions and CD4 Lymphocytes in HIV-1 Infection,” Nature 373(1995): 123–126.

Stewart_ch01_025-051.indd 50

08/06/17 1:16 p.m.

SECCIÓN 1.4 Funciones exponenciales

51

SOLUCIÓN

(a) La masa es inicialmente 24 mg y se reduce a la mitad durante cada período de 25 años, así ms0d − 24 ms25d −

1 s24d 2

ms50d −

1 1 1 ? s24d − 2 s24d 2 2 2

ms75d −

1 1 1 ? s24d − 3 s24d 2 22 2

ms100d −

1 1 1 ? s24d − 4 s24d 2 23 2

De este patrón, se obtiene que la masa restante después de t años mstd −

30

1 ty25

2

s24d − 24 ? 22ty25 − 24 ? s221y25dt

Esta es una función exponencial con base b 5 221/25 5 1/21/25.

m=24 · 2_t/25

(b) La masa que queda después de 40 años es m=5 0

FIGURA 12

ms40d − 24 ? 2240y25 < 7.9 mg 100

(c) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para ver la función m(t) 5 24 ? 22t/25 en la figura 12. Observe también la gráfica de la recta m 5 5 y utilice el cursor para estimar que m(t) 5 5 cuando t < 57. Así, la masa de la muestra se reducirá a 5 mg después de 57 años. ■

El número e De todas las posibles bases para una función exponencial, hay una que es más conveniente para los fines del cálculo. La elección de una base b está influida por la forma en que la gráfica de y 5 bx cruza el eje y. Las figuras 13 y 14 muestran las rectas tangentes a las gráficas de y 5 2x y y 5 3x en el punto (0, 1). (Se definirán las rectas tangentes de manera precisa en la sección 2.7. Para los fines presentes, puede considerarse que la recta tangente a una gráfica exponencial en un punto es la recta que toca la gráfica solo en ese punto.) Si se miden las pendientes de estas rectas tangentes en (0, 1), se encuentra que m < 0.7 para y 5 2x y m < 1.1 para y 5 3x. y

y

y=2®

y=3® mÅ1.1

mÅ0.7 1

0

FIGURA 13

1

0

x

x

FIGURA 14

Resulta que, como se verá en el capítulo 3, algunas de las fórmulas del cálculo quedarán muy simplificadas si elige la base b para la que la pendiente de la recta tangente

Stewart_ch01_025-051.indd 51

08/06/17 1:16 p.m.

52

CAPÍTULO 1 y

Funciones y modelos

a y 5 bx en (0, 1) es exactamente 1. (Véase la figura 15.) De hecho, existe tal número y se denota con la letra e. (Esta notación fue elegida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las figuras 13 y 14, no causa ninguna sorpresa que el número e se encuentre entre 2 y 3 y que la gráfica de y 5 ex se encuentre entre las gráficas de y 5 2x y y 5 3x. (Véase la figura 16.) En el capítulo 3 se verá que el valor de e, con una aproximación de cinco decimales, es

y=´ m=1

1

0

x

e < 2.71828 A la función f(x) 5 ex se le llama función exponencial natural.

FIGURA 15 La función exponencial natural corta el eje y con una pendiente de 1.

y

y=3® y=2®

TEC Module 1.4 le permite graficar funciones exponenciales con diversas bases y sus rectas tangentes para calcular más de cerca el valor de b para la cual la recta tangente tiene pendiente 1.

y=e® 1

x

0

FIGURA 16

EJEMPLO 4 Trace la gráfica de la función y − 12 e2x 2 1 y establezca el dominio y el

rango.

SOLUCIÓN Empiece con la gráfica de y 5 ex de las figuras 15 y 17(a) y refléjela a

través del eje y para obtener la gráfica de y 5 e2x en la figura 17(b). (Observe que la gráfica interseca el eje y con una pendiente de 21.) Entonces se comprime la gráfica verticalmente por un factor de dos para obtener la gráfica de y − 12 e2x en la figura 17(c). Por último, se desplazará la gráfica hacia abajo una unidad para obtener la gráfica deseada en la figura 17(d). El dominio es R, y el rango es (21, `). y

y

y

y

1

1

1

1

0

x

0

x

0

0

x

x

y=_1

(a) y=´

(b) y=e–®

(c) y= 21 e–®

(d) y= 21 e–®-1

FIGURA 17

n

¿Hasta qué valor de x a la derecha de cero cree usted que se tendría que ir para que la altura de la gráfica de y 5 ex sea superior a un millón? En el ejemplo siguiente se muestra el rápido crecimiento de esta función proporcionando una respuesta que podría sorprenderle.

EJEMPLO 5 Utilice un dispositivo de graficación para encontrar los valores de x para los cuales ex . 1 000 000.

Stewart_ch01_052-076.indd 52

08/06/17 1:21 p.m.

53

SECCIÓN 1.4 Funciones exponenciales

SOLUCIÓN En la figura 18 se ve la gráfica de la función y 5 ex y la recta horizontal

y 5 1 000 000. Se ve que estas curvas se intersecan cuando x 5 13.8. Por tanto, ex . 106 cuando x . 13.8. Tal vez le sorprenda que los valores de la función exponencial ya han superado un millón cuando x es solo 14. 1.5x10^ y=10^ y=´

FIGURA 18

1.4

15

0

n

EJERCICIOS

1–4 Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las expresiones siguientes: 4 23 1. (a) 28 2

(b)

2. (a) 8 4y3

(b) xs3x 2 d3

3. (a) b8 s2bd 4

(b)

x 2n ? x 3n21 4. (a) x n12

(b)

1

9. y − 3 x,

y − ( 13 ) , y − ( 101 ) x

y − 10 x,

10. y − 0.9 x,

y − 0.6 x,

y − 0.3 x,

x

y − 0.1x

3 x4 s

s6y 3d 4 2y 5

sa sb 3 ab s

5. (a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con base b . 0. (b) ¿Cuál es el dominio de esta función? (c) Si b  1, ¿cuál es el rango de esta función? (d) Dibuje la forma general de la gráfica de la función exponencial para cada uno de los siguientes casos. (i) b . 1 (ii) b − 1 (iii) 0 , b , 1 6. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) ¿Cuál es un valor aproximado de e? (c) ¿Cuál es la función exponencial natural? ; 7–10 Trace la gráfica de cada una de las funciones siguientes en una pantalla común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas?

11–16 Haga un trazo de la gráfica de la función. No utilice calculadora. Solo utilice las gráficas que se presentan en las figuras 3 y 13 y si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 11. y − 4 x 2 1

12. y − s0.5d x 21

13. y − 10 x12

14. y − s0.5d x 2 2

15. y − 1 2 12 e2x

16. y − 2s1 2 e x d

17. Comenzando con la gráfica de y 5 ex, encuentre la ecuación de la gráfica que resulta de: (a) desplazarla 2 unidades hacia abajo. (b) desplazarla 2 unidades a la derecha. (c) reflejarla con respecto al eje x. (d) reflejarla con respecto al eje y. (e) reflejarla con respecto al eje x y luego reflejarla con respecto al eje y. 18. Comenzando con la gráfica de y 5 ex, encuentre la ecuación de la gráfica que resulta de: (a) reflejarla con respecto a la recta y 5 4. (b) reflejarla con respecto a la recta x 5 2. 19–20 Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes. 2

7. y − 2 x,

y − e x,

8. y − e x,

y − e 2x,

Stewart_ch01_052-076.indd 53

y − 5 x, y − 8 x,

y − 20 x y − 8 2x

19. (a) f sxd −

1 2 ex 2 1 2 e12x

20. (a) tstd − s10 t 2 100

(b) f sxd −

11x e cos x

(b) tstd − sen se t 2 1d

08/06/17 1:21 p.m.

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

(c) Trace la gráfica del modelo del inciso (b) junto con el diagrama de dispersión del inciso (a). Utilice la función TRACE para determinar cuánto tarda el conteo de bacterias en duplicarse.

21–22 Encuentre la función exponencial f(x) 5 Cbx cuya gráfica está dada. 21.

22. y

y (3, 24)

(_1, 3) 4

”1, 3 ’ (1, 6) 0

x

x

0

23. Si f(x) 5 5x, demuestre que

G. lamblia

S D

f sx 1 hd 2 f sxd 5h 2 1 − 5x h h

24. Suponga que se le ofrece trabajo por un mes. ¿Cuál de los siguientes métodos de pago prefiere? I. Un millón de dólares al final del mes. II. Un centavo en el primer día del mes, dos centavos en el segundo día, cuatro centavos en el tercer día y, en general, 2n21 centavos el enésimo día. 25. Suponga que las gráficas de f(x) 5 x y g(x) 5 2 se dibujan en una cuadrícula de coordenadas con 1 cm como unidad de medida. Demuestre que, a una distancia de 1 m a la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es de 100 m, pero la altura de la gráfica de g es aproximadamente 1025 km. 2

x

; 26. Compare las funciones f(x) 5 x5 y g(x) 5 5x graficando ambas funciones en varios rectángulos de vista. Encuentre todos los puntos de intersección de las gráficas con aproximación a un decimal. ¿Cuál función crece más rápidamente cuando x es muy grande? ; 27. Compare las funciones f(x) 5 x10 y g(x) 5 ex al graficar a f y g en varios rectángulos de visión. ¿Cuándo la gráfica de g finalmente supera a la gráfica de f? ; 28. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que ex . 1 000 000 000. ; 29. Un investigador está tratando de determinar el tiempo de duplicación para una población de la bacteria Giardia lamblia. Comienza un cultivo en una solución nutritiva y estima los conteos de bacterias cada cuatro horas. Sus datos se muestran en la tabla Tiempo (horas)

0

4

8

12

16

Conteo de bacterias (CFU/mL)

37

47

63

78

105 130 173

20

24

(a) Realice una gráfica de dispersión de los datos. (b) Utilice una calculadora graficadora para encontrar una curva exponencial f(t) 5 a ? bt que modele la población de bacterias después de t horas.

Stewart_ch01_052-076.indd 54

© Sebastian Kaulitzki / Shutterstock.com

54

30. Un cultivo de bacterias comienza con 500 bacterias y duplica su tamaño cada media hora. (a) ¿Cuántas bacterias hay después de 3 horas? (b) ¿Cuántas bacterias hay después de t horas? (c) ¿Cuántas bacterias hay después de 40 minutos? (d) Trace la gráfica de la función de la población y calcule ; el tiempo en que la población llega a 100 000. 31. La vida media del bismuto-210, 210Bi, es 5 días. (a) Si una muestra tiene una masa de 200 mg, determine la cantidad restante después de 15 días. (b) Determine la cantidad restante después de t días. (c) Calcule la cantidad restante después de 3 semanas. (d) Utilice una gráfica para estimar el tiempo necesario ; para que la masa se reduzca a 1 mg. 32. Un isótopo de sodio, 24Na, tiene una vida media de 15 horas. Una muestra de este isótopo tiene masa 2 g. (a) Determine la cantidad restante después de 60 horas. (b) Encuentre la cantidad restante después de t horas. (c) Calcule la cantidad restante después de 4 días. (d) Utilice una gráfica para estimar el tiempo requerido ; para que la masa se reduzca a 0.01 g. 33. Utilice la gráfica de V en la figura 11 para estimar la vida media de la carga viral del paciente 303 durante el primer mes de tratamiento. 34. Después de que el alcohol es absorbido por completo en el cuerpo, se metaboliza con una vida media aproximada de 1.5 horas. Suponga que usted ha bebido tres bebidas alcohólicas y una hora más tarde, a medianoche, su concentración de alcohol en la sangre (bac) es 0.6 mg/mL. (a) Determine un modelo de decaimiento exponencial para su bac t horas después de la medianoche. (b) Trace la gráfica de su bac y utilice la gráfica para ; determinar cuándo su bac es de 0.08 mg/mL. Fuente: adaptado de P. Wilkinson et al., “Pharmacokinetics of Ethanol after Oral Administration in the Fasting State,” Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 5(1977): 207–224.

; 35. Utilice una calculadora gráfica con capacidad para calcular una regresión exponencial para modelar la población

08/06/17 1:21 p.m.

55

SECCIÓN 1.5 Funciones inversas y logarítmicas

la capacidad de calcular una regresión exponencial para modelar la población de Malasia desde 1950. Utilice el modelo para estimar la población en 1975 y 2010, y para predecir la población en 2020.

del mundo con los datos de 1950 a 2010 de la tabla 1 en la página 49. Utilice el modelo para estimar la población en 1993 y para predecir la población en el año 2020. ; 36. La tabla muestra la población de Malasia, en millones, para los años 1950-2000. Utilice una calculadora graficadora con

; 37. Si usted traza la gráfica de la función f sxd −

Año

Población

Año

Población

1950 1955 1960 1965 1970 1975

6.1 7.0 8.1 9.5 10.9 12.3

1980 1985 1990 1995 2000

13.8 15.7 17.8 20.4 23.0

1 2 e 1yx 1 1 e 1yx

verá que f parece ser una función impar. Demuéstrelo. ; 38. Trace la gráfica de varios miembros de la familia de funciones f sxd −

1 1 1 ae bx

donde a . 0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b cambia? ¿Cómo cambia la gráfica cuando a cambia?

1.5 Funciones inversas y logarítmicas La tabla 1 muestra los datos de un experimento en el que un cultivo de bacterias inició con 100 de ellas en un medio limitado de nutrientes; el tamaño de la población de bacterias se registró a intervalos de una hora. El número N de bacterias es una función del tiempo t: N 5 f(t). Suponga, sin embargo, que la bióloga cambia su punto de vista y se interesa en el tiempo requerido para que la población alcance distintos niveles. En otras palabras, piensa en t como una función de N. Esta función se llama función inversa de f, denotada por f21 y se lee “f inversa”. Así, t 5 f21(N) es el tiempo requerido para que el nivel de la población llegue a N. Los valores de f21 pueden encontrarse mediante la lectura de la tabla 1 de derecha a izquierda o consultando la tabla 2. Por ejemplo, f21(550) 5 6 ya que f(6) 5 550. Tabla 1 N como función de t

4

10

3

7

2

4

1

t (horas)

N − f std 5 población al tiempo t

N

t − f 21 sNd 5 tiempo en alcanzar las N bacterias

0 1 2 3 4 5 6 7 8

100 168 259 358 445 509 550 573 586

100 168 259 358 445 509 550 573 586

0 1 2 3 4 5 6 7 8

2 f

4

10

3

4

2 1

2 g

No todas las funciones poseen inversa. Se compararán las funciones f y g cuyos diagramas de flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca tiene el mismo valor dos veces (cualquier par de entradas en A tienen diferentes salidas), mientras que g toma el mismo valor dos veces (2 y 3 tienen la misma salida, 4). En símbolos, gs2d − gs3d

FIGURA 1

f es inyectiva; g no lo es.

Tabla 2 t como función de N

pero

f sx 1 d ± f sx 2 d

siempre que x 1 ± x 2

Las funciones que comparten esta propiedad con f se llaman funciones inyectivas.

Stewart_ch01_052-076.indd 55

08/06/17 1:21 p.m.

56

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

En el lenguaje de entradas y salidas, esta definición indica que f es inyectiva si cada salida corresponde a una sola entrada.

1 Definición Una función f se llama función inyectiva si nunca toma el mismo valor dos veces; esto es, f sx 1 d ± f sx 2 d

siempre que x 1 ± x 2

Si una recta horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, entonces se ve en la figura 2 que hay números x1 y x2 tales que f(x1) 5 f(x2). Esto significa que f no es inyectiva, y

y=ƒ fl



FIGURA 2 Esta función no es inyectiva ya que f(x1) 5 f(x2).

0



¤

x

Por tanto, con el siguiente método geométrico se puede determinar si una función es inyectiva. Prueba de la recta horizontal Una función es inyectiva si y solo si no existe una recta horizontal que interseque su gráfica más de una vez.

EJEMPLO 1 ¿Es la función f(x) 5 x3 inyectiva?

y

SOLUCIÓN 1 Si x1  x2, entonces x13 ± x 23 (dos números diferentes no pueden tener el

y=˛

mismo cubo). Por tanto, por la definición 1, f(x) 5 x3 es inyectiva.

x

0

SOLUCIÓN 2 De la figura 3 se observa que no existe recta horizontal que interseque a la gráfica de f(x) 5 x3 más de una vez. Por tanto, por la prueba de la recta horizontal, f es inyectiva. n

EJEMPLO 2 ¿Es inyectiva la función g(x) 5 x2?

FIGURA 3

f(x) 5 x es inyectiva. 3

SOLUCIÓN 1 Esta función no es inyectiva, ya que, por ejemplo,

g(1) 5 1 5 g(21) y

por lo que 1 y 21 tienen la misma salida. y=≈

0

FIGURA 4

g(x) 5 x2 no es inyectiva.

SOLUCIÓN 2 De la figura 4 se observa que existen rectas horizontales que cruzan la gráfica de g más de una vez. Por tanto, por la prueba de la recta horizontal, g no es inyectiva. n x

Las funciones inyectivas son importantes porque son precisamente aquellas que poseen funciones inversas de acuerdo con la definición siguiente. 2 Definición Sea f una función inyectiva con dominio A y rango B. Entonces, la función inversa f21 tiene dominio B y rango A y está definida por f 21syd − x

3

f sxd − y

para cualquier y en B.

Stewart_ch01_052-076.indd 56

08/06/17 1:21 p.m.

57

SECCIÓN 1.5 Funciones inversas y logarítmicas x

A f

La definición dice que si f mapea x con y, entonces f21 mapea de regreso y con x. (Si f no fuera inyectiva, entonces f21 no estaría definida de manera única). El diagrama de flechas en la figura 5 indica que f21 invierte el efecto de f. Observe que

f –!

B

y

FIGURA 5

dominio de f21 5 rango de f rango de f21 5 dominio de f

Por ejemplo, la función inversa de f(x) 5 x3 es f21(x) 5 x1/3 ya que si y 5 x3, entonces f 21syd − f 21sx 3 d − sx 3 d1y3 − x CUIDADO No cometa el error de pensar en 21 en f21 como un exponente. Es decir,

f21(x)

no significa

1 f sxd

Sin embargo, la función recíproca, 1/f(x), podría escribirse como [f(x)]21.

EJEMPLO 3 Si f(1) 5 5, f(3) 5 7 y f(8) 5 210, encuentre f21 (7), f21 (5) y

A

B

f21(210).

1

5

SOLUCIÓN De la definición de f21, se tiene

3

7

8

_10 f

A

B

1

5

3

7

8

_10 f –!

FIGURA 6 La función inversa invierte las salidas y las entradas.

f 21s7d − 3

ya que

f s3d − 7

f 21s5d − 1

ya que

f s1d − 5

f 21s210d − 8

ya que

f s8d − 210

El diagrama en la figura 6 aclara cómo f21 invierte el efecto de f en este caso.

n

La letra x es tradicionalmente utilizada como la variable independiente, así que cuando se concentre en f21 en vez de f, usualmente se cambian los roles de x y y en la definición 2, y se escribe

3

f 21sxd − y

3

f syd − x

Al sustituir por y en la definición 2 y sustituyendo por x en (3), se obtienen las ecuaciones de cancelación:

4

Stewart_ch01_052-076.indd 57

f 21s f sxdd − x

para todo x en A

f s f 21sxdd − x

para todo x en B

08/06/17 1:21 p.m.

58

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

La primera ecuación de cancelación indica que si se comienza con x, se aplica f y luego f21, se llega de regreso a x, donde se empezó (consulte el diagrama de máquinas en la figura 7). Así, f21 deshace a f. La segunda ecuación indica que f deshace lo que hace f21.

x

FIGURA 7

f

ƒ

f –!

x

Por ejemplo, si f(x) 5 x3, entonces f21(x) 5 x1/3 y, por tanto, las ecuaciones de cancelación son f 21s f sxdd − sx 3 d1y3 − x f s f 21sxdd − sx 1y3 d3 − x Estas ecuaciones dicen simplemente que la función elevar al cubo y la función raíz cúbica se anulan mutuamente cuando se aplican una después de la otra. Ahora vea cómo calcular funciones inversas. Si se tiene una función y 5 f(x) y es capaz de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces, de acuerdo con la definición 2, debe obtener x 5 f21(y). Si quiere llamar a la variable independiente x, intercambie x por y y llegará a la ecuación y 5 f21(x). 5 Cómo encontrar la función inversa de una función f inyectiva PASO 1

Escribir y 5 f(x).

PASO 2

Resolver esta ecuación para x en términos de y (si es posible).

PASO 3

Para expresar f21 en función de x, intercambiar x por y. La ecuación resultante es y 5 f21(x).

EJEMPLO 4 Encuentre la función inversa de f(x) 5 x3 1 2. SOLUCIÓN De acuerdo con (5) empiece escribiendo

y − x3 1 2 Después, despeje x: x3 − y 2 2 3 x−s y22

En el ejemplo 4, observe cómo f21 invierte el efecto de f. La función f es la regla “elevar al cubo, luego sumar 2”; f21 es la regla “Restar 2, luego sacar la raíz cúbica.”

Por último, intercambie x y y: 3 y−s x22

3 x 2 2. Por tanto, la función inversa es f 21sxd − s

n

El principio de intercambio de x e y para encontrar la función inversa también da el método para obtener la gráfica de f21 a partir de la gráfica de f. Ya que f(a) 5 b si y solo si f21(b) 5 a, el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo si el punto (b, a) está en la

Stewart_ch01_052-076.indd 58

08/06/17 1:21 p.m.

59

SECCIÓN 1.5 Funciones inversas y logarítmicas

gráfica de f21. Pero se obtiene el punto (b, a) a partir del punto (a, b) reflejando el segundo a través de la recta y 5 x. (Véase la figura 8.) y

y

(b, a)

f –! (a, b) 0

0 x

x

y=x

y=x

FIGURA 8

f

FIGURA 9

Por tanto, como se ejemplifica en la figura 9:

La gráfica de f21 se obtiene reflejando la gráfica de f a través de la recta y 5 x.

EJEMPLO 5 Trace las gráficas de f sxd − s21 2 x y su función inversa utilizando el mismo eje de coordenadas.

y

y=ƒ y=x

SOLUCIÓN Primero trace la curva y − s21 2 x (la mitad superior de la parábola

0 (_1, 0)

x

(0, _1)

y2 5 21 2 x o x 5 2y2 2 1), luego refleje respecto a la recta y 5 x para obtener la gráfica de f21. (Véase la figura 10.) Para comprobar nuestra gráfica, observe que la expresión para f21 es f21(x) 5 2x2 2 1, x > 0. Por lo que la gráfica de f21 es la mitad derecha de la parábola y 5 2x2 21, y esto parece razonable a partir de la figura 10. n

y=f –!(x)

FIGURA 10

Funciones logarítmicas Si b . 0 y b  1, la función exponencial f(x) 5 bx siempre es creciente o decreciente, así que es inyectiva por la prueba de la recta horizontal. Por tanto, tiene una función inversa f-1 que se llama la función logarítmica con base b y se denota por logb. Si se utiliza la formulación de una función inversa dada por (3) f 21sxd − y 3

f syd − x

log b x − y 3

by − x

entonces se tiene

6

Así, si x . 0, entonces logb x es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener x. Por ejemplo, el log100.001 5 23, ya que 1023 5 0.001. Las ecuaciones de cancelación (4), cuando se aplican a las funciones f(x) 5 bx y 21 f (x) 5 logb x, se convierten en

7

Stewart_ch01_052-076.indd 59

log b sb x d − x para todo x [ R b log x − x para todo x . 0 b

08/06/17 1:21 p.m.

60

CAPÍTULO 1 y

Funciones y modelos

y=x

y=b®, b>1 0

x

y=log b x, b>1

La función logarítmica logb tiene dominio (0, `) y rango . Su gráfica es la reflexión de la gráfica de y 5 bx a través de la recta y 5 x. La figura 11 muestra el caso en que b . 1. (Las funciones logarítmicas más importantes tienen una base b . 1.) El hecho de que y 5 bx sea una función de rápido crecimiento para x . 0 se refleja en el hecho de que y 5 logbx es una función de lento crecimiento para x . 1. La figura 12 muestra las gráficas de y 5 logbx con varios valores de la base b . 1. Puesto que logb1 5 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). y

y=log™ x

FIGURA 11

y=log£ x 1

0

1

x

y=log∞ x y=log¡¸ x

FIGURA 12

Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las correspondientes propiedades de las funciones exponenciales dadas en la sección 1.4. Leyes de los logaritmos Si x e y son números positivos, entonces 1. log b sxyd − log b x 1 log b y 2. log b

SD x y

− log b x 2 log b y

3. log b sx r d − r log b x

(donde r es cualquier número real)

EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar log280 – log25. SOLUCIÓN Con la ley 2, se tiene

log 2 80 2 log 2 5 − log 2

S D 80 5

porque 2 4 − 16. Notación de los logaritmos En la mayoría de los libros de texto de cálculo y ciencias, así como en las calculadoras, se usa la notación ln x para el logaritmo natural de x, y log x para el “logaritmo común”, log10x. Sin embargo, en la literatura matemática y científica más avanzada, así como en los lenguajes de programación de computadoras, la notación log x denota por lo general el logaritmo natural.

Stewart_ch01_052-076.indd 60

− log 2 16 − 4 n

Logaritmos naturales De todas las posibles bases b de los logaritmos, se verá en el capítulo 3 que la más conveniente es el número e, que se definió en la sección 1.4. Al logaritmo con base e se le llama logaritmo natural y tiene una notación especial: log e x − ln x Si se hace b 5 e y se sustituye loge con “ln” en (6) y (7), entonces las propiedades que definen a la función logaritmo natural se convierten en

08/06/17 1:21 p.m.

SECCIÓN 1.5 Funciones inversas y logarítmicas

8

ln x − y

9

61

ey − x

3

lnse x d − x

x[R

e ln x − x

x.0

En particular, si se hace x 5 1, se obtiene ln e − 1

EJEMPLO 7 Encuentre x si ln x 5 5. SOLUCIÓN 1 De (8) se ve que

ln x − 5

significa

e5 − x

Por tanto, x − e 5. (Si tiene problemas para trabajar con la notación “ln”, simplemente reemplácela por loge. Entonces la ecuación se convierte en logex 5 5; así que, por la definición de logaritmo, e5 5 x.) SOLUCIÓN 2 Comience con la ecuación

ln x − 5 y aplique la función exponencial a ambos lados de la ecuación: e ln x − e 5 Pero la segunda ecuación de cancelación en (9) indica que eln x 5 x. Por tanto, x 5 e5. n

EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación e 523x − 10. SOLUCIÓN Se toman logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación y se usa (9):

lnse 523x d − ln 10 5 2 3x − ln 10 3x − 5 2 ln 10 x − 13 s5 2 ln 10d Ya que el logaritmo natural se encuentra en las calculadoras científicas, se puede aproximar la solución; para cuatro decimales se tiene: x < 0.8991.

n

EJEMPLO 9 Exprese ln a 1 12 ln b con un solo logaritmo. SOLUCIÓN Con las leyes 3 y 1 de los logaritmos, se tiene

ln a 1 12 ln b − ln a 1 ln b 1y2 − ln a 1 lnsb − ln ( asb )

Stewart_ch01_052-076.indd 61

n

08/06/17 1:21 p.m.

62

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

La fórmula siguiente muestra que los logaritmos de cualquier base pueden expresarse en términos del logaritmo natural. 10 Fórmula para el cambio de base Para cualquier número positivo b (b  1), se tiene ln x log b x − ln b DEMOSTRACIÓN Sea y 5 logbx. Entonces, a partir de (6), se tiene by 5 x. Tomando logaritmos naturales de ambos lados de esta ecuación, se obtiene y ln b 5 ln x. Por tanto,

y−

ln x ln b

n

Las calculadoras científicas tienen un comando para los logaritmos naturales, por lo que la fórmula 10 permite utilizar una calculadora para calcular un logaritmo de cualquier base (como se muestra en el siguiente ejemplo). Del mismo modo, la fórmula 10 permite graficar cualquier función logarítmica en una calculadora graficadora o computadora (véanse los ejercicios 43 y 44).

EJEMPLO 10 Evalúe log85 con una precisión de seis decimales. SOLUCIÓN La fórmula 10 da

log 8 5 − y

y=´

1

x

1

FIGURA 13 La gráfica de y 5 ln x es la reflexión de la gráfica y 5 ex sobre la recta y 5 x.

y

Las gráficas de la función exponencial y 5 ex y su función inversa, la función logaritmo natural, se muestran en la figura 13. Debido a que la curva y 5 ex cruza el eje y con una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y 5 ln x cruza el eje x con una pendiente de 1. Al igual que todas las demás funciones logarítmicas con base mayor que 1, el logaritmo natural es una función creciente definida en (0, `), y el eje y es una asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x son números negativos cada vez más grandes cuando x se aproxima a 0.)

EJEMPLO 11 Trace la gráfica de la función y 5 ln(x 2 2) 2 1. SOLUCIÓN Empiece con la gráfica de y 5 ln x como se indica en la figura 13. Usando las transformaciones de la sección 1.3, desplácela 2 unidades a la derecha para obtener la gráfica de y 5 ln (x 2 2) y luego desplácela una unidad hacia abajo para obtener la gráfica de y 5 ln(x 2 2) 2 1. (Véase la figura 14.) y

(1, 0)

y

x=2

y=ln x 0

n

Gráfica y crecimiento del logaritmo natural

y=x

y=ln x

0

ln 5 < 0.773976 ln 8

x=2 y=ln(x-2)-1

y=ln(x-2) x

0

2

(3, 0)

x

0

2

x (3, _1)

FIGURA 14

Stewart_ch01_052-076.indd 62

n

08/06/17 1:21 p.m.

63

SECCIÓN 1.5 Funciones inversas y logarítmicas

A pesar de que ln x es una función creciente, su crecimiento es muy lento cuando x . 1. De hecho, ln x crece más lentamente que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho, se comparan los valores aproximados de las funciones y 5 ln x y y 5 x1/2 5 s x en la tabla siguiente y se muestran sus gráficas en las figuras 15 y 16. Usted puede ver que en un principio las gráficas de y 5 s x y y 5 ln x crecen a un ritmo comparable, pero al final la función raíz supera con creces al logaritmo.

x

1

2

5

10

50

100

500

1000

10 000

100 000

ln x

0

0.69

1.61

2.30

3.91

4.6

6.2

6.9

9.2

11.5

sx

1

1.41

2.24

3.16

7.07

10.0

22.4

31.6

100

316

ln x sx

0

0.49

0.72

0.73

0.55

0.46

0.28

0.22

0.09

0.04

y

y

x y=œ„ 20

x y=œ„ 1

0

y=ln x

y=ln x 0

x

1

FIGURA 15

1000 x

FIGURA 16

Funciones trigonométricas inversas Cuando se trata de encontrar las funciones trigonométricas inversas, hay una pequeña dificultad: debido a que las funciones trigonométricas no son inyectivas, no tienen funciones inversas. La dificultad se supera restringiendo los dominios de estas funciones para que sean inyectivas. Puede verse en la figura 17 que la función seno, y 5 sen x, no es inyectiva (utilice la prueba de la recta horizontal). Pero la función f(x) 5 sen x, 2p/2 < x < p/2, es inyectiva (véase la figura 18). La función inversa de la función seno restringida f existe y se denota por sen21 o arcsen. Se llama función seno inverso o función arco seno.

y

y

y=sen x _ π2 _π

FIGURA 17

Stewart_ch01_052-076.indd 63

0

π 2

π

0

x

x

π 2

FIGURA 18

y − sen x, 2 2 < x <

2

08/06/17 1:21 p.m.

64

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

Dado que la definición de una función inversa indica que f 21sxd − y 3

f syd − x

se tiene

sen21x 5 y

sen21x ±

1 sen x

sen y 5 x

3

y

2

 
Por tanto, 21 < x < 1 es el número entre 2p/2 y p/2 cuyo seno es x.

EJEMPLO 12 Evalúe (a) sen21A 12 B y (b) tanAarcsen 13B.

SOLUCIÓN

(a) Se tiene que

sen21s21d −

6

1 2

porque sen(p/6) 5 y p/6 se encuentra entre 2p/2 y p/2. 3

1

¨ 2 2 œ„

(b) Sea u 5 arcsen 13, por lo que el sen u 5 13. Entonces, se puede dibujar un triángulo rectángulo con un ángulo u como en la figura 19 y deducir por el teorema de Pitágoras que el tercer lado del triángulo tiene una longitud de s 9 2 1 5 2s 2. Esto permite leer del triángulo que

FIGURA 19

tansarcsen 13 d − tan



1 2s2

n

Las ecuaciones de cancelación para las funciones inversas resultan ser, en este caso, y π 2

_1

0

sen21ssen xd − x

para 2

senssen21xd − x

para 21 < x < 1

2

<x<

2

x

1

La función inversa del seno, sen21, tiene dominio [21, 1] y rango [2p/2, p/2], y su gráfica, que se muestra en la figura 20, se obtiene a partir de la función seno restringido (figura 18), mediante la reflexión a través de la recta y 5 x. La función coseno inverso se maneja en forma similar. La función coseno restringida f(x) 5 cos x, para 0 < x < p, es inyectiva (figura 21) y, por tanto, tiene una función inversa denotada por ycos21 o arccos.

_ π2

FIGURA 20 y 5 sen21 x 5 arcsen x y

π 1 0

cos21x − y 3

π 2

π

π 2

x

cos y − x

y

0
Las ecuaciones de 0cancelación sonx _1

FIGURA 21 y 5 cos x, 0 < x < p

1

cos 21scos xd − x cosscos21xd − x

Stewart_ch01_052-076.indd 64

para 0 < x < para 21 < x < 1

08/06/17 1:21 p.m.

SECCIÓN 1.5 Funciones inversas y logarítmicas

La función coseno inverso, cos21, tiene dominio [21, 1] y rango [0, p]. Su gráfica se muestra en la figura 22. La función tangente puede hacerse inyectiva mediante la restricción de que el intervalo sea (2p/2, p/2). Así, la función tangente inversa se define como la inversa de la función f(x) 5 tan x, 2p/2 , x , p/2. (Véase la figura 23), y se denota por tan21 o arctan.

y π

π 2

x

0

_1

65

x

1

FIGURA 22

tan21x − y 3

y 5 cos21x 5 arccos x

y

tan y − x

y

2

  ,y, 2 2

EJEMPLO 13 Simplifique la expresión cos(tan21x). SOLUCIÓN 1 Sea y 5 tan21x. Entonces tan y 5 x y 2p/2 , y , p/2. Se quiere encon-

trar cos y, pero, ya que tan y es conocida, es más fácil encontrar primero sec y: _ π2

0

π 2

x

sec2 y − 1 1 tan2 y − 1 1 x 2 sec y − s1 1 x 2

FIGURA 23

Así

y − tan x, 22 , x , 2

œ„„„„„ 1+≈ x y

sya que sec y . 0 para 2 y2 , y , y2d

cosstan21xd − cos y −

1 1 − sec y s1 1 x 2

SOLUCIÓN 2 En lugar de utilizar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es quizá más fácil usar un diagrama. Si y 5 tan21x, entonces tan y 5 x, y se puede leer de la figura 24 (que ilustra el caso y . 0) que

1

FIGURA 24

cosstan21xd − cos y −

1 s1 1 x 2

n

La función tangente inversa, tan21 5 arctan, tiene dominio  y rango (2p/2, p/2). Su gráfica se muestra en la figura 25.

y π 2

0 x

FIGURA 25 y 5 tan x 5arctan x 21

_ π2

Se sabe que las rectas x 5 6p/2 son asíntotas verticales de la gráfica de tan. Dado que la gráfica de tan21 se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida, respecto a la recta y 5 x, se deduce que las rectas y 5 p/2 y y 5 2p/2 son asíntotas horizontales de la gráfica de tan21.

Stewart_ch01_052-076.indd 65

08/06/17 1:21 p.m.

66

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

El resto de las funciones trigonométricas inversas no se utilizan con tanta frecuencia y se resumen aquí. 11 y

y − csc21x

(| x | > 1)

3

csc y − x

y y [ s0, y2g ø s, 3y2g

y − sec21x

(| x | > 1)

3

sec y − x

y y [ f0, y2d ø f, 3y2d

3

cot y − x

y

y − cot21x sx [ Rd 0

_1

π

x



La elección de los intervalos para y en las definiciones de csc21 y sec21 no es aceptada universalmente. Por ejemplo, algunos autores utilizan y [ [0, p/2) < (p/2, p)] en la definición de sec21. [Se puede ver en la gráfica de la función secante en la figura 26 que tanto esta opción como la que se encuentra en (11) funcionan.]

FIGURA 26 y − sec x

EJERCICIOS

1.5

1. (a) ¿Qué es una función inyectiva? (b) ¿Cómo puede decirse, a partir de la gráfica de una función, que es inyectiva? 2. (a) Suponga que f es una función inyectiva con dominio A y rango B. ¿Cómo se define la función inversa f21? ¿Cuál es el dominio de f21? ¿Cuál es el rango de f21? (b) Si se le da una fórmula para f, ¿cómo encuentra una fórmula para f21? (c) Si se le da la gráfica para f, ¿cómo encuentra la gráfica de f21? 3–14 Una función está dada por una tabla de valores, una gráfica, una fórmula o una descripción verbal. Determine si es inyectiva. 3.

4.

y [ s0, d

x

1

2

3

4

5

6

f sxd

1.5

2.0

3.6

5.3

2.8

2.0

x

1

2

3

4

5

6

1.0

1.9

2.8

3.5

3.1

2.9

f sxd

y

5.

6.

10. f sxd − x 4 2 16

11. tsxd − 1 2 sen x

3 12. tsxd − s x

13. f(t) es la altura de una flecha t segundos después de que se lanza hacia arriba. 14. f(t) es el tamaño de su zapato a la edad t. 15. Suponga que f es una función inyectiva. (a) Si f(4)5 7, ¿qué es f21(7)? (b) Si f21(8)5 2, ¿qué es f(2)? 16. Si f(x) 5 x5 1 x3 1 x, determine f21(3) y f(f21(2)). 17. Si g(x) 5 3 1 x 1 ex, determine g21(4). 18. La gráfica de f está dada. (a) ¿Por qué f es inyectiva? (b) ¿Cuáles son el dominio y el rango de f21? (c) ¿Cuál es el valor de f21(2)? (d) Calcule el valor de f21(0). y

y

y

9. f sxd − 2x 2 3

y x

x

x

1 0

1

x

x

7.

8.

y

y

y

Stewart_ch01_052-076.indd 66

y

x

x

x

x

19. La fórmula C − 59 sF 2 32d, donde F > 2459.67, expresa la temperatura Celsius C, en función de la temperatura Fahrenheit F. Encuentre una fórmula para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de la función inversa?

08/06/17 1:21 p.m.

67

SECCIÓN 1.5 Funciones inversas y logarítmicas

20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con rapidez √ es m0 m − f svd − s1 2 v 2yc 2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y explique su significado. 21–26 Determine una fórmula para la inversa de la función. 4x 2 1 21. f sxd − 1 1 s2 1 3x 22. f sxd − 2x 1 3 x e 23. f sxd − e 2x21 24. y − 1 1 2e x 1 2 e2x 26. y − 1 1 e2x

25. y − lnsx 1 3d

; 27–28 Encuentre una fórmula explícita para f21 y utilícela para graficar f21, f y la recta y 5 x en la misma pantalla. Para comprobar su trabajo, vea si las gráficas de f y f21 son reflexiones a través de la recta. 27. f sxd − s4 x 1 3

28. f sxd − 1 1 e2x

29–30 Use la gráfica dada de f, para trazar la gráfica de f21. 29.

y

30.

y 1

1 0

0 1

2

x

x

2 31. Sea f sxd − s1 2 x , 0 < x < 1. 21 (a) Encuentre f . ¿Cómo se relaciona con f? (b) Identifique la gráfica de f y explique su respuesta al inciso (a). 3 1 2 x3 . 32. Sea tsxd − s (a) Encuentre g21. ¿Cómo se relaciona con la g? (b) Grafique g. ¿Cómo explica usted su respuesta al inciso (a)? ;

33. (a) (b) (c) (d)

¿Cómo se define la función logarítmica y 5 logb x? ¿Cuál es el dominio de esta función? ¿Cuál es el rango de esta función? Dibuje la forma general de la gráfica de la función y 5 logbx si b . 1.

3

(b) e lnsln e d

38. (a) e2ln 2

39–41 Exprese cada una de las siguientes cantidades dadas como un solo logaritmo. 39. ln 20 2 2 ln 2 41.

1 3

40. ln b 1 2 ln c 2 3 ln d

lnsx 1 2d3 1 12 fln x 2 lnsx 2 1 3x 1 2d2 g

42. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo con precisión de seis decimales. (a) log 5 10 (b) log 3 57 ; 43–44 Use la fórmula 10 para graficar cada una de las funciones siguientes en una pantalla común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 43. y − log 1.5 x, 44. y − ln x,

y − ln x,

y − log 10 x,

y − log 10 x, x

y−e,

y − log 50 x

y − 10 x

45. Suponga que la gráfica de y 5 log2x se dibuja sobre una cuadrícula de coordenadas, donde la unidad de medida es de un centímetro. ¿Cuántos kilómetros a la derecha del origen se tiene que mover antes de que la altura de la curva alcance 1 m? ; 46. Compare las funciones f(x) 5 x0.1 y g(x) 5 ln x graficando ambas, f y g, en varios rectángulos de visualización. ¿Cuándo la gráfica de f supera finalmente a la gráfica de g? 47–48 Haga un trazo de la gráfica de cada una de las funciones siguientes. No utilice calculadora. Solo tiene que usar las gráficas de las figuras 12 y 13 y, si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 47. (a) y − log 10sx 1 5d

(b) y − 2ln x

48. (a) y − lns2xd

(b) y − ln x

| |

49–50 a) ¿Cuáles son el dominio y el rango de f? (b) ¿Cuál es la intersección en x de la gráfica? (c) Trace la gráfica de f. 49. f sxd − ln x 1 2

50. f sxd − lnsx 2 1d 2 1

51–54 Resuelva cada ecuación para x. 51. (a) e 724x − 6

(b) lns3x 2 10d − 2

34. (a) ¿Qué es el logaritmo natural? (b) ¿Qué es el logaritmo común? (c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la función exponencial natural en un mismo conjunto de ejes.

52. (a) lnsx 2 1d − 3

(b) e 2x 2 3e x 1 2 − 0

53. (a) 2 x25 − 3

(b) ln x 1 lnsx 2 1d − 1

54. (a) lnsln xd − 1

(b) e ax − Ce bx, donde a ± b

35–38 Encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes.

55–56 Resuelva cada desigualdad para x.

35. (a) log 2 32 36. (a)

1 log 5 125

(b) log 8 2 (b) lns1ye d

37. (a) log 10 40 1 log 10 2.5 (b) log 8 60 2 log 8 3 2 log 8 5

Stewart_ch01_052-076.indd 67

2

55. (a) ln x , 1

(b) e x > 3

56. (a) 1 , e 3x21 , 2

(b) 1 2 2 ln x , 3

2

57. (a) Encuentre el dominio de f(x) 5 ln(ex 2 3). (b) Determine f21 y su dominio.

08/06/17 1:21 p.m.

68

SAC

SAC

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

58. (a) ¿Cuáles son los valores de eln 300 y ln(e300)? (b) Use su calculadora para evaluar eln 300 y ln(e300). ¿Qué observa? ¿Puede explicar por qué la calculadora tiene problemas?

65. (a) csc21 s2

59. Grafique la función f sxd − sx 3 1 x 2 1 x 1 1 y explique por qué es inyectiva. Luego utilice un sistema de algebraico computacional para encontrar una expresión explícita para f21(x). (El sac produce tres posibles expresiones. Explique por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.)

68. (a) arcsenssen s5 y4dd

60. (a) Si g(x) 5 x6 1 x4, x > 0, utilice un sistema de algebraico computacional para encontrar una expresión para g21(x). (b) Utilice la expresión del inciso (a) para graficar y 5 g(x), y 5 x y y 5 g21(x), en la misma pantalla. 61. Si una población de bacterias comienza con 100 bacterias y se duplica cada tres horas, entonces el número de bacterias después de t horas es n 5 f(t) 5 100 ? 2t/3. (a) Determine la inversa de esta función y explique su significado. (b) ¿Cuándo la población alcanzará 50 000 bacterias? 62. Cuando el flash de una cámara se apaga, las baterías comienzan a recargar de inmediato el condensador del flash, que almacena una carga eléctrica dada por Qstd − Q 0 s1 2 e 2tya d (La capacidad de carga máxima es Q0, y t se mide en segundos.) (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (b) ¿Cuánto tiempo se tarda en recargar el condensador a 90% de la capacidad si a 5 2? 63–68 Encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes. 63. (a) cos21 s21d

(b) sen21s0.5d

64. (a) tan21 s3

(b) arctans21d

1

(b) arcsen 1

66. (a) sen

(21ys2 ) 21 cot (2s3 )

(b) cos21 (s3 y2 )

67. (a)

(b) sec21 2

21

5 (b) cos (2 sen21 (13 ))

69. Pruebe que cosssen21 xd − s1 2 x 2 . 70–72 Simplifique cada una de las expresiones siguientes: 70. tanssen21 xd

71. senstan21 xd

72. sens2 arccos xd

; 73-74 Trace la gráfica de las funciones dadas, en la misma pantalla. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 73. y − sen x, 2 y2 < x < y2;

y − sen21x;

y−x

74. y − tan x, 2 y2 , x , y2;

y − tan x;

y−x

21

75. Encuentre el dominio y el rango de la función tsxd − sen21s3x 1 1d ; 76. (a) Trace la gráfica de la función f(x) 5 sen(sen21x) y explique la apariencia de la gráfica. (b) Trace la gráfica de la función g(x) 5 sen21(sen x). ¿Cómo se explica la apariencia de esta gráfica? 77. (a) Si desplaza la curva a la izquierda, ¿qué sucede con su reflexión a través de la recta y 5 x? En vista de este principio geométrico, encuentre una expresión para la inversa de g(x) 5 f(x 1 c), donde f es una función inyectiva. (b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x) 5 f(cx), donde c  0.

REPASO

VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS

Las respuestas a la verificación de conceptos se encuentran en las páginas finales del libro.

1. (a) ¿Qué es una función? ¿Cuáles son su dominio y su rango? (b) ¿Qué es la gráfica de una función? (c) ¿Cómo se puede saber si una curva dada es la gráfica de una función? 2. Analice cuatro maneras de representar una función. Ilustre la discusión con ejemplos. 3. (a) ¿Qué es una función par? ¿Cómo puede saber si una función es par observando su gráfica? Dé tres ejemplos de una función par. (b) ¿Qué es una función impar? ¿Cómo puede saber si una función es impar observando su gráfica? Dé tres ejemplos de una función impar.

Stewart_ch01_052-076.indd 68

4. ¿Qué es una función creciente? 5. ¿Qué es un modelo matemático? 6. Dé un ejemplo de cada tipo de función (a) lineal (b) potencia (c) exponencial (d) cuadrática (e) polinomial de grado 5 (f) racional 7. Trace a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las funciones siguientes. (a) f sxd − x

(b) gsxd − x 2

(c) hsxd − x 3

(d) jsxd − x 4

08/06/17 1:21 p.m.

CAPÍTULO 1

8. Trace a mano un bosquejo de la gráfica de cada una de las funciones siguientes. (b) y − tan x (c) y − e x (a) y − sen x (d) y − ln x (e) y − 1yx (f) y − x (g) y − sx (h) y − tan21 x

| |

9. Suponga que f tiene dominio A y g tiene dominio B. (a) ¿Cuál es el dominio de f 1 g? (b) ¿Cuál es el dominio de fg? (c) ¿Cuál es el dominio de f/g?

(d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)

Repaso

69

Desplazar 2 unidades a la izquierda. Reflejar a través del eje x. Reflejar a través del eje y. Alargar verticalmente por un factor de 2. Contraer verticalmente por un factor de 2. Alargar horizontalmente por un factor de 2. Contraer horizontalmente por un factor de 2.

10. ¿Cómo se define la función compuesta f  g? ¿Cuál es su dominio?

12. (a) ¿Qué es una función inyectiva? ¿Cómo puede saber si una función es inyectiva observando su gráfica? (b) Si f es una función inyectiva, ¿cómo se define su función inversa f21? ¿Cómo se obtiene la gráfica de f21 a partir de la gráfica de f?

11. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba una ecuación para cada una de las gráficas que se obtienen de f de la siguiente manera. (a) Desplazar 2 unidades hacia arriba. (b) Desplazar 2 unidades hacia abajo. (c) Desplazar 2 unidades a la derecha.

13. (a) ¿Cómo se define la función seno inverso f(x) 5 sen21 x? ¿Cuáles son su dominio y su rango? (b) ¿Cómo se define la función coseno inverso f(x) 5 cos21 x? ¿Cuáles son su dominio y rango? (c) ¿Cómo se define la función tangente inversa f(x) 5 tan21 x? ¿Cuáles son su dominio y rango?

EXAMEN VERDADERO-FALSO Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute el enunciado. 1. Si f es una función, entonces f(s 1 t) 5 f(s) 1 f(t).

7. Si f es inyectiva, entonces f 21sxd −

1 . f sxd

8. Siempre puede dividirse entre ex. 9. Si 0 , a , b, entonces ln a , ln b.

2. Si f(s) 5 f(t), entonces s 5 t.

10. Si x . 0, entonces (ln x)6 5 6 ln x.

3. Si f es una función, entonces f(3x) 5 3f(x).

11. Si x . 0 y a . 1, entonces

4. Si x1 , x2 y f es una función decreciente, entonces f(x1) . f(x2).

12. tan21 (21) 5 3p/4.

5. Una recta vertical interseca la gráfica de una función a lo más una vez.

13. tan21x −

6. Si f y g son funciones, entonces f  g 5 g  f.

14. Si x es cualquier número real, entonces sx 2 − x.

ln x x − ln . ln a a

sen21x cos21x

EJERCICIOS 1. Sea f la función cuya gráfica está dada.

(f) ¿Es f inyectiva? Explique. (g) ¿Es f par, impar, o ninguno de los dos? Explique. 2. La gráfica de g está dada

y

f

y

g

1 1

x 1 0 1

(a) (b) (c) (d) (e)

Calcule el valor de f(2). Calcule los valores de x tales que f(x) 5 3. Indique el dominio de f. Establezca el rango de f. ¿Sobre qué intervalo es creciente f?

Stewart_ch01_052-076.indd 69

(a) (b) (c) (d) (e)

x

Obtenga el valor de g(2). ¿Por qué g es inyectiva? Calcule el valor de g21(2). Calcule el dominio de g21. Trace la gráfica de g21.

08/06/17 1:21 p.m.

70

CAPÍTULO 1

Funciones y modelos

3. Si f(x) 5 x2 2 2x 1 3, evalúe el cociente de diferencias

21. La tabla muestra la población de Indonesia (en millones) durante los años 1950-2000. Decida qué tipo de modelo es apropiado y utilice el modelo para estimar la población de Indonesia en 2010.

f sa 1 hd 2 f sad h 4. Dibuje una gráfica aproximada de la producción de un cultivo en función de la cantidad de fertilizante utilizado. 5–8 Encuentre el dominio y rango de cada una de las funciones siguientes. Escriba su respuesta en notación de intervalos. 5. f sxd − 2ys3x 2 1d

6. tsxd − s16 2 x 4

7. hsxd − lnsx 1 6d

8. Fstd − 1 1 sen 2t

9. Suponga que la gráfica de f está dada. Describa cómo se pueden obtener las gráficas de las funciones siguientes a partir de la gráfica de f. (a) y − f sxd 1 8 (b) y − f sx 1 8d (c) y − 1 1 2 f sxd (d) y − f sx 2 2d 2 2 (e) y − 2f sxd

10. La gráfica de f está dada. Dibuje las gráficas de las funciones siguientes. (a) y − f sx 2 8d (b) y − 2f sxd (c) y − 2 2 f sxd (d) y − 12 f sxd 2 1 21 (e) y − f sxd (f ) y − f 21sx 1 3d

1

1980 1985 1990 1995 2000

150 166 182 197 212

x11 . 2x 1 1

14. y − lnsx 1 1d

15. f sxd − 2cos 2x

16. f sxd −

H

17. Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. (b) f sxd − x 3 2 x 7 (d) f(x) 5 1 1 sen x

20. Exprese la función Fsxd − 1ysx 1 sx como una composición de tres funciones.

(d) sen scos21s54dd

28. La población de ciertas especies en un ambiente limitado con una población inicial de 100 y capacidad de carga de 1000 es

(a) f sxd − 2x 5 2 3x 2 1 2

19. Si f(x) 5 ln x y g(x) 5 x2 2 9, encuentre las funciones (a) f  g, (b) g  f, (c) f  f, (d) g  g, y sus dominios.

d

27. La vida media del paladio-100, 100Pd, es de cuatro días. (Así que la mitad de cualquier cantidad dada de 100Pd se desintegrará en cuatro días.) La masa inicial de una muestra es un gramo. (a) Encuentre la masa que queda después de 16 días. (b) Determine la masa m(t) que queda después de t días. (c) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (d) ¿Cuándo se reducirá la masa a 0.01 g?

2x si x , 0 e x 2 1 si x > 0

18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consiste en el segmento de recta desde el punto (22, 2) hasta el punto (21, 0), junto con la mitad superior de la circunferencia con centro en el origen y radio 1.

1 2

26. Resuelva cada una de las ecuaciones siguientes para x. (a) e x − 5 (b) ln x − 2 x (c) ee − 2 (d) tan21x − 1

x

13. y − x 2 2 x 1 2

Stewart_ch01_052-076.indd 70

80 86 96 107 120 134

(c) tansarcsen

12. y − 2 sx

2

1950 1955 1960 1965 1970 1975

25. Encuentre el valor exacto de cada una de las expresiones siguientes. (a) e 2 ln 3 (b) log10 25 1 log10 4

11–16 Utilice transformaciones para trazar la gráfica de la función.

(c) f sxd − e2x

Población

24. Encuentre la función inversa de f sxd −

1

2

Año

23. Si f(x) 5 2x 1 ln x, determine f21(2).

y

11. y − sx 2 2d3

Población

22. Un pequeño fabricante de electrodomésticos encuentra que cuesta $9000 producir 1000 hornos tostadores a la semana y $12 000 producir 1500 hornos tostadores a la semana. (a) Exprese el costo en función del número de hornos tostadores producidos, suponiendo que es lineal. Luego trace la gráfica. (b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? (c) ¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje y y qué representa?

(f ) y − f 21sxd

0

Año

Pstd −

;

100 000 100 1 900e2t

donde t se mide en años. (a) Grafique esta función y estime cuánto tiempo le toma a la población llegar a 900. (b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (c) Utilice la función inversa para encontrar el tiempo necesario para que la población llegue a 900. Compare con el resultado del inciso (a).

08/06/17 1:21 p.m.

Principios para la resolución de problemas 1 COMPRENDA EL PROBLEMA

No hay reglas sólidas ni inmediatas que aseguren el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo, es posible delinear algunos pasos generales en el proceso de resolución de problemas y dar algunos principios que pueden ser útiles en la resolución de algunos de ellos. Estos pasos y principios no hacen otra cosa que explicitar el sentido común y se han adaptado del libro de George Polya, How To Solve It. El primer paso es leer el problema y asegurarse de que lo comprende con claridad. Plantéese las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades que se conocen? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para muchos problemas es útil dibujar un diagrama e identificar en el diagrama las cantidades dadas y las requeridas. Por lo general, es necesario introducir una notación adecuada En la elección de símbolos para las incógnitas, a menudo se usan letras como a, b, c, m, n, x o y, aunque en algunos casos es mejor usar las iniciales de las cantidades involucradas como símbolos sugerentes; por ejemplo, V para el volumen o t para tiempo.

2 PIENSE EN UN PLAN

Es importante encontrar una conexión entre la información dada y la desconocida, lo que le permitirá calcular las incógnitas. Con frecuencia es útil preguntarse a sí mismo de manera explícita: “¿Cómo relaciono lo conocido con lo desconocido?” Si usted no ve una conexión inmediata, las siguientes ideas pueden serle útiles en la concepción de un plan. Intente reconocer algo conocido Relacione la situación dada con los conocimientos previos. Observe lo desconocido y trate de recordar un problema más conocido que cuente con una incógnita similar. Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si usted puede ver la regularidad o repetición en un problema, podría ser capaz de inferir el patrón y luego probarlo. Utilice analogías Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar, un problema relacionado, pero que sea más fácil de resolver que el problema original. Si usted puede resolver el problema similar, pero más sencillo, entonces podría dar con las claves que necesita para resolver el problema original, que es más difícil. Por ejemplo, si un problema implica cantidades muy grandes, podría intentar primero resolver un problema similar con cifras más pequeñas. O si el problema implica geometría en tres dimensiones, puede buscarse un problema geométrico similar en dos dimensiones. O si el problema inicial es de carácter general, puede empezar con un caso particular. Introduzca algo extra A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, un apoyo auxiliar para ayudar a hacer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en el diagrama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la original. Establezca casos A veces puede tener que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada uno de los casos. Por ejemplo, a menudo se tiene que utilizar esta estrategia al tratar con valores absolutos. 71

Stewart_ch01_052-076.indd 71

08/06/17 1:21 p.m.

Trabaje hacia atrás A veces es útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted puede revertir sus pasos y construir una solución al problema original. Este procedimiento es utilizado, por lo común, en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la resolución de la ecuación 3x 2 5 5 7, suponga que x es un número que satisface 3x 2 5 5 7 y trabaje hacia atrás. Sume 5 a cada lado de la ecuación y luego divida ambos lados entre 3 para obtener x 5 4. Como cada uno de estos pasos puede revertirse, ha resuelto el problema. Establezca metas parciales En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la situación deseada se cumple solo parcialmente). Si primero puede llegar a estos objetivos parciales, entonces puede construir conclusiones sobre ellos para llegar a la meta final. Razonamiento indirecto Con frecuencia es apropiado atacar en forma indirecta un problema. En el uso de la demostración por contradicción para demostrar que P implica Q, suponga que P es cierta y Q es falsa y trate de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera, tiene que utilizar esta información y llegar a una contradicción de lo que sabe que es verdadero. Inducción matemática En la demostración de proposiciones que implican un entero positivo n, frecuentemente es útil usar el siguiente principio. Principio de inducción matemática Sea Sn ser un enunciado sobre el número entero positivo n. Suponga que 1. S1 es verdadero. 2. Sk11 es verdadero siempre que Sk es verdadero.

Entonces Sn es cierto para todos los enteros positivos n. Esto es razonable porque, dado que S1 es verdadera, se deduce de la condición 2 (con k 5 1) que la S2 es verdadera. Luego, utilizando la condición 2 con k 5 2, se ve que S3 es verdadera. Una vez más, con la condición 2, esta vez con k 5 3, se tiene que S4 es verdadera. Este procedimiento puede seguirse indefinidamente. 3 EJECUTE EL PLAN

En el paso 2 se ideó un plan. Para llevar a cabo ese plan hay que verificar cada etapa de este y escribir los detalles que demuestran que cada etapa es correcta.

4 REVISE

Después de haber completado la solución, es conveniente revisarla, en parte para ver si no se han cometido errores en la solución y en parte para ver si puede pensar una manera más fácil de resolver el problema. Otra razón para revisar es familiarizarse con el método de solución, lo que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas.” Estos principios de la resolución de problemas se ilustran en los ejemplos siguientes. Intente resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de resolución de problemas si se queda atascado. Usted puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los ejercicios en los restantes capítulos de este libro. EJEMPLO 1 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25 m2 en función de su perímetro P.

SP Entienda el problema

SOLUCIÓN Primero clasifique la información mediante la identificación de la incógnita

y los datos: Incógnita: 72

Stewart_ch01_052-076.indd 72

Datos:

hipotenusa h

perímetro P, área 25 m2

08/06/17 1:21 p.m.

SP Dibuje un diagrama

Dibujar un diagrama como el de la figura 1 puede ser de gran ayuda. h b

FIGURA 1 SP Relacione los datos con las incógnitas SP Introduzca algo extra

a

Para establecer la relación entre las incógnitas y los datos, introduzca dos variables adicionales a y b, que representen las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto permite expresar la condición dada, que es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras: h2 − a2 1 b2 Las otras relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área y el perímetro: 25 − 12 ab P−a1b1h Ya que P está dado, ahora tiene tres ecuaciones con tres incógnitas a, b y h: 1

h2 − a2 1 b2

2

25 − 12 ab

3

SP Relacione con algo conocido

P−a1b1h

Aunque tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver en una forma sencilla. Pero si usa la estrategia de resolución de problemas tratando de reconocer algo conocido, entonces puede resolver estas ecuaciones por un método más fácil. Observe el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3. ¿Estas expresiones le recuerdan algo familiar? Observe que contienen los ingredientes de una fórmula conocida: sa 1 bd2 − a 2 1 2ab 1 b 2 Con esta idea, se expresa (a 1 b)2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2 se tiene sa 1 bd2 − sa 2 1 b 2 d 1 2ab − h 2 1 4s25d De la ecuación 3 se tiene sa 1 bd2 − sP 2 hd2 − P 2 2 2Ph 1 h 2

Así

h 2 1 100 − P 2 2 2Ph 1 h 2 2Ph − P 2 2 100 h−

P 2 2 100 2P

Esta es la expresión requerida para h en función de P.

n

Como se ilustra en el ejemplo siguiente, con frecuencia es necesario utilizar el principio de considerar casos en la resolución de problemas, cuando se trata con valores absolutos. EJEMPLO 2

Resuelva la desigualdad  x 2 3  1  x 1 2  , 11.

SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto:

|x| −

Stewart_ch01_052-076.indd 73

H

x si x > 0 2x si x , 0

73

08/06/17 1:21 p.m.

Se tiene que

|x 2 3| − − Del mismo modo

|x 1 2| − −

SP Considere casos

H H H H

x23 2sx 2 3d

si x 2 3 > 0 si x 2 3 , 0

x23 2x 1 3

si x > 3 si x , 3

x12 2sx 1 2d

si x 1 2 > 0 si x 1 2 , 0

x12 2x 2 2

si x > 22 si x , 22

Estas expresiones muestran que es necesario considerar tres casos: x , 22

22 < x , 3

x>3

CASO I Si x , 22, se tiene

| x 2 3 | 1 | x 1 2 | , 11 2x 1 3 2 x 2 2 , 11 22x , 10 x . 25 CASO II Si 22 < x , 3, la desigualdad dada se convierte en 2x 1 3 1 x 1 2 , 11 5 , 11

(siempre verdadera)

CASO III Si x > 3, la desigualdad se convierte en x 2 3 1 x 1 2 , 11 2x , 12 x,6 De la combinación de los casos I, II y III, se ve que se cumple con la desigualdad cuando 25 , x , 6. Por lo que la solución es el intervalo (25, 6).

n

En el ejemplo siguiente, primero se estima una respuesta revisando los casos particulares y buscando un patrón. Luego se demuestra la conjetura por inducción matemática. Usando el principio de inducción matemática, se siguen tres pasos: Paso 1 Demuestre que Sn es verdadera cuando n 5 1. Paso 2 Suponga que Sn es verdadera cuando n 5 k y deduzca que Sn es verdadera cuando n 5 k 1 1. Paso 3 Concluya que Sn es verdadera para toda n por el principio de inducción matemática. 74

Stewart_ch01_052-076.indd 74

08/06/17 1:21 p.m.

EJEMPLO 3 Si f0(x)5 x/(x 1 1) y fn 1 1 5 f0  fn para n 5 0, 1, 2, . . . , encuentre una fórmula para fn(x). SP Analogía: intente un problema similar más simple

SOLUCIÓN Empiece por encontrar fórmulas para fn(x) para los casos particulares más sencillos n 5 1, 2, y 3.

S D

x f1sxd − s f0 8 f0dsxd − f0( f0sxd) − f0 x11

x x x11 x11 x − − − x 2x 1 1 2x 1 1 11 x11 x11

S

x f2sxd − s f0 8 f1 dsxd − f0( f1sxd) − f0 2x 1 1

D

x x x 2x 1 1 2x 1 1 − − − x 3x 1 1 3x 1 1 11 2x 1 1 2x 1 1

S

x f3sxd − s f0 8 f2 dsxd − f0( f2sxd) − f0 3x 1 1

D

x x 3x 1 1 3x 1 1 x − − − x 4x 1 1 4x 1 1 11 3x 1 1 3x 1 1

SP Busque un patrón

Se ve un patrón: el coeficiente de x en el denominador de fn(x) es n 1 1 en los tres casos calculados. Así que se hace la suposición de que, en general, 4

fnsxd −

x sn 1 1dx 1 1

Para demostrar esto, se utiliza el principio de inducción matemática. Ya se ha comprobado que (4) es verdadera para n 5 1. Suponga que es verdadera para n 5 k, es decir, fksxd −

Entonces

x sk 1 1dx 1 1

S

x fk11sxd − s f0 8 fk dsxd − f0( fksxd) − f0 sk 1 1dx 1 1

D

x x sk 1 1dx 1 1 sk 1 1dx 1 1 x − − − x sk 1 2dx 1 1 sk 1 2dx 1 1 11 sk 1 1dx 1 1 sk 1 1dx 1 1 Esta expresión demuestra que (4) es verdadera para n 5 k 1 1. Por tanto, por inducción matemática, es verdadera para todo entero positivo n. n 75

Stewart_ch01_052-076.indd 75

08/06/17 1:21 p.m.

1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4 cm. Exprese la longitud de la altura perpendicular a la hipotenusa en función de la longitud de esta última.

Problemas

2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 12 cm. Exprese la longitud de la hipotenusa en función del perímetro.

|

|

3. Resuelva la ecuación  2x 2 1  2 x 1 5 − 3.

|

| |

|

4. Resuelva la desigualdad x 2 1 2 x 2 3 > 5.

|

| | | Trace la gráfica de la función tsxd − | x 2 1 | 2 | x 2 4 |. Dibuje la gráfica de la ecuación x 1 | x | − y 1 | y |.

5. Trace la gráfica de la función f sxd − x 2 4 x 1 3 . 6. 7.

2

2

2

8. Dibuje la región en el plano formado por todos los puntos (x, y) tales que

|x 2 y| 1 |x| 2 |y| < 2 9. La notación máx{a, b,... .} significa el mayor de los números a, b, ... . Dibuje la gráfica de cada función. (a) f sxd − máxhx, 1yxj (b) f sxd − máxhsen x, cos xj (c) f sxd − máxhx 2, 2 1 x, 2 2 xj 10. Trace la región en el plano definido por cada una de las ecuaciones o desigualdades siguientes. (a) máxhx, 2yj − 1 (b) 21 < máxhx, 2yj < 1 (c) máxhx, y 2 j − 1 11. Evalúe slog 2 3dslog 3 4dslog 4 5d ∙ ∙ ∙ slog 31 32d. 12. (a) Demuestre que la función f sxd − ln ( x 1 sx 2 1 1 ) es una función impar. (b) Encuentre la función inversa de f. 13. Resuelva la desigualdad ln(x2 2 2x – 2) < 0. 14. Use un razonamiento indirecto para probar que log25 es un número irracional. 15. Una conductora emprende un viaje. Durante la primera mitad del trayecto conduce a un ritmo lento de 60 km/h; en la segunda mitad conduce a 120 km/h. ¿Cuál es su rapidez promedio durante este viaje? 16. ¿Es verdad que f 8 s t 1 hd − f 8 t 1 f 8 h? 17. Demuestre que si n es un entero positivo, entonces 7n 2 1 es divisible entre 6. 18. Demuestre que 1 1 3 1 5 1 ∙ ∙ ∙ 1 s2n 2 1d − n 2. 19. Si f0sxd − x 2 y fn11sxd − f0s fnsxdd para n − 0, 1, 2, . . . , encuentre una fórmula para fn(x). 1 y fn11 − f0 8 fn para n − 0, 1, 2, . . . , encuentre una expresión para 22x fn(x) y utilice inducción matemática para demostrarla. (b) Trace la gráfica de f0, f1, f2, f3, en la misma pantalla y describa los efectos de la composición repetida.

20. (a) Si f0sxd − ;

76

Stewart_ch01_052-076.indd 76

08/06/17 1:21 p.m.

2

Límites y derivadas

La velocidad máxima sostenible S del salmón depende de la temperatura T del agua. En el ejercicio 58 de la sección 2.7 se le pide que analice cómo varía S cuando cambia T, calculando la derivada de S respecto de T. © Jody Ann / Shutterstock.com

EN UN ADELANTO DEL CÁLCULO (página 1) se vio cómo la idea de límite sustenta las distintas ramas del cálculo. Por tanto, es apropiado comenzar nuestro estudio investigando sus límites y sus propiedades. El tipo especial de límite que se usa para encontrar rectas tangentes y velocidades da lugar a la idea central del cálculo diferencial, la derivada.

77

Stewart_ch02_077-105.indd 77

08/06/17 1:34 p.m.

78

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

2.1 Problemas de la tangente y la velocidad En esta sección se verá cómo surgen los límites cuando se trata de encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto. t

El problema de la tangente

(a) P C

t

l

(b)

FIGURA 1

La palabra tangente se deriva de la voz latina tangens, que significa “tocar”. Así, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto, pero, ¿cómo puede hacer precisa esta idea? Para una circunferencia se puede simplemente seguir la idea de Euclides y decir que la tangente es una recta que interseca la circunferencia una y solo una vez, como se muestra en la figura 1(a). Para curvas más complicadas esta definición es inadecuada. La figura 1(b) muestra dos rectas l y t que pasan por un punto P en una curva C. La recta l cruza C solo una vez, pero ciertamente no es la idea que se tiene de lo que es una tangente. La recta t, por otro lado, se parece más a una tangente, pero interseca a C dos veces. Para ser más específicos, intente resolver el problema de encontrar una recta tangente t a la parábola y 5 x2 en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y 5 x2 en el punto P(1, 1). y

Q { x, ≈} y=≈

t

P (1, 1) x

0

SOLUCIÓN Puede encontrar la ecuación de la recta tangente t tan pronto conozca su pendiente m. La dificultad es que solo se conoce un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos. Sin embargo, se observa que puede calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x2) sobre la parábola (como en la figura 2) y calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ. [Una recta secante, de la palabra latina secans, que significa cortar, es una recta que interseca (corta) una curva más de una vez.] Elija x ? 1 de manera que Q ? P. Entonces

FIGURA 2

mPQ −

x2 2 1 x21

Por ejemplo, para el punto Q(1.5, 2.25), se tiene mPQ − x

mPQ

2 1.5 1.1 1.01 1.001

3 2.5 2.1 2.01 2.001

x

mPQ

0 0.5 0.9 0.99 0.999

1 1.5 1.9 1.99 1.999

2.25 2 1 1.25 − − 2.5 1.5 2 1 0.5

Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1. Cuanto más cerca está Q de P, la x es más cercana a 1 y, de las tablas, mPQ está más cerca de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m 5 2. Se dice que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto se expresa simbólicamente escribiendo lím mPQ − m

Q :P

y

x:1

x2 2 1 −2 x21

Suponiendo que la pendiente de la recta tangente finalmente es 2, se utiliza la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente [y 2 y1 5 m(x 2 x1), véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta tangente en (1, 1) como y 2 1 − 2sx 2 1d

Stewart_ch02_077-105.indd 78

lím

o

y − 2x 2 1

08/06/17 1:34 p.m.

79

SECCIÓN 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad

La figura 3 muestra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Cuando Q se aproxima a P a lo largo de la parábola, las rectas secantes correspondientes giran alrededor de P y se aproximan a la recta tangente t.

y

y

y

Q t

t

t Q

Q P

P

0

P

0

x

0

x

x

Q se aproxima a P por la derecha y

y

y

t

Q

t

P

t

P

P

Q 0

Q

0

x

0

x

x

Q se aproxima a P por la izquierda

FIGURA 3

TEC En Visual 2.1 puede ver cómo funciona el proceso en la figura 3 para otras funciones.

t

Q

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76

n

Muchas de las funciones que se producen en la ciencia no están descritas por ecuaciones explícitas, sino que están definidas por datos experimentales. El ejemplo siguiente muestra cómo calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de este tipo de funciones.

EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un condensador y su liberación repentina cuando el flash se activa. Los datos de la tabla describen la carga Q restante en el condensador (medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que el flash se dispara). Utilice los datos para dibujar la gráfica de esta función y calcule la pendiente de la recta tangente en el punto donde t 5 0.04. [Nota: la pendiente de la recta tangente representa la corriente eléctrica (medida en microamperes) que fluye desde el condensador a la lámpara del flash.] SOLUCIÓN En la figura 4 se grafican los datos dados y se usan para trazar una curva que se aproxima a la gráfica de la función. Q (microcoulombs) 100 90 80 70 60 50

FIGURA 4

Stewart_ch02_077-105.indd 79

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t (segundos)

08/06/17 1:34 p.m.

80

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Dados los puntos P(0.04, 67.03) y R(0.00, 100.00) en la gráfica, se encuentra con que la pendiente de la recta secante PR es mPR −

R

mPR

(0.00, 100.00) (0.02, 81.87) (0.06, 54.88) (0.08, 44.93) (0.10, 36.76)

2824.25 2742.00 2607.50 2552.50 2504.50

100.00 2 67.03 − 2824.25 0.00 2 0.04

La tabla de la izquierda muestra los resultados de cálculos similares para las pendientes de otras rectas secantes. De esta tabla se esperaría que la pendiente de la recta tangente en t 5 0.04 se encuentre en algún valor entre 2742 y 2607.5. De hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es 1 2 s2742

2 607.5d − 2674.75

Así, por este método, se estima la pendiente de la recta tangente como 2675. Otro método consiste en elaborar una aproximación a la tangente en P y medir los lados del triángulo ABC, como en la figura 5.

Q (microcoulombs) 100 90 80

A P

70 60 50

FIGURA 5

0

B

C

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t (segundos)

Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como El significado físico de la respuesta en el ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que circula desde el condensador a la bombilla de flash después de 0.04 segundos es de aproximadamente 2670 microamperes.

2

| AB | < 2 80.4 2 53.6 − 2670 0.06 2 0.02 | BC |

n

El problema de la velocidad Si usted mira el velocímetro de un automóvil mientras viaja en el tráfico de la ciudad, se ve que la aguja no se queda quieta por mucho tiempo; es decir, la velocidad del automóvil no es constante. Suponga al ver el velocímetro, que el auto tiene una velocidad determinada en cada instante, pero ¿cómo se define la velocidad “instantánea”? Investigue el ejemplo de la caída de una pelota.

EJEMPLO 3 Suponga que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observación de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo. Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos. SOLUCIÓN Por medio de experimentos llevados a cabo hace cuatro siglos, Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera

Stewart_ch02_077-105.indd 80

08/06/17 1:34 p.m.

SECCIÓN 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad

81

la resistencia del aire.) Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa por la ecuación sstd − 4.9t 2 La dificultad para encontrar la velocidad después de 5 s es que se trata de un solo instante de tiempo (t 5 5), por lo que no se cuenta con un intervalo de tiempo. Sin embargo, se puede aproximar la cantidad deseada mediante el cálculo de la velocidad promedio en el breve intervalo de tiempo de una décima de segundo, desde t 5 5 hasta t 5 5.1: cambio en la posición tiempo transcurrido

Steve Allen / Stockbyte / Getty Images

velocidad promedio − −

ss5.1d 2 ss5d 0.1



4.9s5.1d2 2 4.9s5d2 − 49.49 mys 0.1

La tabla siguiente muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante períodos cada vez más pequeños.

La Torre CN en Toronto fue el edificio autoestable más alto en el mundo durante 32 años.

Intervalo de tiempo

Velocidad promedio (m/s)

5
53.9

5 < t < 5.1

49.49

5 < t < 5.05

49.245

5 < t < 5.01 5 < t < 5.001

49.049 49.0049

s

[email protected] Q pendiente de la recta secante 5 velocidad promedio

P

a

0

a+h

t

s

[email protected]

Parece que, a medida que se acorta el período, la velocidad promedio es cada vez más cercana a 49 m/s. La velocidad instantánea cuando t 5 5 se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante períodos cada vez más cortos que comienzan en t 5 5. Así, la velocidad (instantánea) después de 5 segundos es √ 5 49 m/s

Usted puede sentir que los cálculos utilizados en la solución de este problema son muy similares a los utilizados anteriormente en esta sección para encontrar tangentes. De hecho, hay una estrecha conexión entre el problema de obtener la tangente y aquel de encontrar la velocidad. Si se dibuja la gráfica de la función de la distancia recorrida por la pelota (como en la figura 6) y se consideran los puntos P(a, 4.9a2) y Q(a 1 h, 4.9(a 1 h)2) sobre la gráfica, entonces la pendiente de la recta secante PQ es mPQ −

4.9sa 1 hd2 2 4.9a 2 sa 1 hd 2 a

pendiente de la recta tangente 5 velocidad instantánea que es la misma que la velocidad promedio en el intervalo de tiempo [a, a 1 h]. Por

P

0

n

a

FIGURA 6

Stewart_ch02_077-105.indd 81

t

tanto, la velocidad en el instante t 5 a (el límite de las velocidades promedio cuando h tiende a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las rectas secantes). Los ejemplos 1 y 3 muestran que, para resolver los problemas de la tangente y la velocidad, debe ser capaz de calcular límites. Después de estudiar los métodos para calcular límites en las cinco secciones siguientes, se regresará a estos problemas de encontrar tangentes y velocidades en la sección 2.7.

08/06/17 1:34 p.m.

82

CAPÍTULO 2

2.1

Límites y derivadas

EJERCICIOS

1. Un tanque contiene 1000 litros de agua que se drenan por la parte inferior del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua que queda en el tanque (en litros) después de t minutos. t smind V sLd

5

10

15

20

25

30

694

444

250

111

28

0

(a) Si P es el punto (15, 250) sobre la gráfica de V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto sobre la gráfica con t 5 5, 10, 20, 25 y 30. (b) Calcule la pendiente de la recta tangente en P por medio del promedio de las pendientes de dos rectas secantes. (c) Utilice una gráfica de la función para calcular la pendiente de la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la rapidez a la que fluye el agua del tanque después de 15 minutos.) 2. Un monitor se utiliza para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de una cirugía. El aparato compila el número de latidos del corazón después de t minutos y se registran en una tabla. Cuando los datos de la tabla se representan gráficamente, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto. t smind

36

38

40

42

44

Latidos

2530

2661

2806

2948

3080

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Utilice los datos para calcular el ritmo cardíaco del paciente después de 42 minutos, utilizando la recta secante entre los puntos con los valores dados de t. (a) t − 36 y t − 42 (b) t − 38 y t − 42 (c) t − 40 y t − 42 (d) t − 42 y t − 44 ¿Cuáles son sus conclusiones? 3. El punto P(2, 21) se encuentra en la curva y 5 1/(1 2 x). (a) Si Q es el punto (x, 1/(1 2 x)), utilice la calculadora para determinar la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de seis decimales) para los valores de x siguientes: (i) 1.5 (ii) 1.9 (iii) 1.99 (iv) 1.999 (v) 2.5 (vi) 2.1 (vii) 2.01 (viii) 2.001 (b) Utilice los resultados del inciso (a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(2, 21). (c) Utilizando la pendiente del inciso (b), obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en P(2, 21). 4. El punto P(0.5, 0) se encuentra sobre la curva y 5 cos px. (a) Si Q es el punto (x, cos px), utilice la calculadora para encontrar la pendiente de la secante PQ (redondeada a seis decimales) para los valores de x siguientes: (i) 0 (ii) 0.4 (iii) 0.49 (iv) 0.499 (v) 1 (vi) 0.6 (vii) 0.51 (viii) 0.501

Stewart_ch02_077-105.indd 82

(b) Utilice los resultados del inciso (a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). (c) Utilice la pendiente del inciso (b), para determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). (d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente. 5. Si se lanza una pelota al aire con una velocidad de 10 m/s, su altura en metros después de t segundos está dada por y 5 10t 2 4.9t2. (a) Encuentre la velocidad promedio para el período que comienza cuando t 5 1.5 y permanece (i) 0.5 segundos (ii) 0.1 segundos (iii) 0.05 segundos (iv) 0.01 segundos (b) Calcule la velocidad instantánea cuando t 5 1.5. 6. Si una piedra se lanza hacia arriba en el planeta Marte a una velocidad de 10 m/s, su altura en metros t segundos después está dada por y 5 10t 2 1.86t2 (a) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo dados: (i) [1, 2] (ii) [1, 1.5] (iii) [1, 1.1] (iv) [1, 1.01] (v) [1, 1.001] (b) Calcule la velocidad instantánea cuando t 5 1. 7. La tabla muestra la posición de un ciclista después de que acelera a partir del reposo. t (segundos)

0

1

2

3

4

5

s (metros)

0

1.4

5.1

10.7

17.7

25.8

(a) Encuentre la velocidad promedio para cada período: (i) f1, 3g (ii) f2, 3g (iii) f3, 5g (iv) f3, 4g (b) Utilice la gráfica de s en función de t para calcular la velocidad instantánea cuando t 5 3. 8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula que se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una línea recta está dado por la ecuación de movimiento s 5 2 sen pt 1 3 cos pt, donde t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio durante cada período: (i) [1, 2] (ii) [1, 1.1] (iii) [1, 1.01] (iv) [1, 1.001] (b) Calcule la velocidad instantánea de la partícula cuando t 5 1. 9. El punto P(1, 0) se encuentra sobre la curva y 5 sen(10p/x). (a) Si Q es el punto (x, sen(10p/x)), encuentre la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de cuatro decimales) para x 5 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. ¿Las pendientes parecen estar acercándose a un límite? (b) Utilice la gráfica de la curva para explicar por qué las ; pendientes de las rectas secantes en el inciso (a) no están cercanas a la pendiente de la recta tangente en P. (c) Eligiendo rectas secantes apropiadas, calcule la pendiente de la recta tangente en P.

08/06/17 1:34 p.m.

83

SECCIÓN 2.2 El límite de una función

El límite de una función

2.2

En la sección anterior se vio cómo surgen los límites cuando se quiere encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto; ahora dirija la atención a los límites en general y los métodos numéricos y gráficos para calcularlos. Investigue el comportamiento de la función f definida por f(x) 5 x2 2 x 1 2 para valores de x cercanos a 2. La tabla siguiente muestra los valores de f(x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. y

ƒ se aproxima a 4.

0

y=≈-x+2 4

2

f sxd

x

2.000000 2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001

3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001

f sxd 8.000000 5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001

x

Cuando x se aproxima a 2

FIGURA 1

x 1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999

De la tabla y la gráfica de f (una parábola) que se muestra en la figura 1, se ve que cuando x se aproxima a 2 (por ambos lados de 2), f(x) se aproxima a 4. De hecho, parece que se puede hacer que los valores de f(x) estén tan cerca de 4 como se quiera, tomando x suficientemente cerca de 2. Esto se expresa al decir que “el límite de la función f(x) 5 x2 2 x 2 2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”. La notación para esto es lím sx 2 2 x 1 2d − 4

x :2

En general, se usa la siguiente notación. 1 Definición intuitiva de un límite Suponga que f(x) está definida cuando x está cerca del número a. (Esto significa que f está definida en algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en a misma.) Entonces se escribe lím f sxd − L

x:a

y se dice que

“el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L”

si se puede hacer que los valores de f(x) estén arbitrariamente cercanos a L (tan cercanos a L como se quiera), tomando valores de x suficientemente cerca de a (por ambos lados de a), pero no iguales a a. En términos generales, esto quiere decir que los valores de f(x) se aproximan a L cuando x tiende a a. En otras palabras, los valores de f(x) tienden a estar más y más cerca del número L cuando x se acerca cada vez más al número a (de ambos lados de a), pero x  a. (En la sección 2.4 se dará una definición más precisa.) Una notación alternativa para lím f sxd − L

x:a

es

f sxd : L

cuando

x:a

que suele leerse “f(x) tiende a L cuando x tiende a a”.

Stewart_ch02_077-105.indd 83

08/06/17 1:34 p.m.

84

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Observe la frase “pero x  a” en la definición de límite. Esto significa que, al encontrar el límite de f(x) cuando x se aproxima a a, no se considera x 5 a. De hecho, f(x) podría no estar definida cuando x 5 a. Lo único que importa es cómo se define f cerca de a. La figura 2 muestra las gráficas de tres funciones. Observe que en el inciso (c), f(a) no está definida y, en el inciso (b), f(a)  L. Sin embargo, en cada caso, independientemente de lo que sucede en a, es cierto que lím f(x) 5 L. x=a

y

y

y

L

L

L

0

a

0

x

a

(a)

0

x

(b)

x

a

(c)

FIGURA 2 lím f(x) 5 L en los tres casos x=a

EJEMPLO 1 Infiera el valor de lím

x :1

x,1

f sxd

0.5 0.9 0.99 0.999 0.9999

0.666667 0.526316 0.502513 0.500250 0.500025

x.1

f sxd

1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001

0.400000 0.476190 0.497512 0.499750 0.499975

1

0.5

x21 . x2 2 1

SOLUCIÓN Observe que la función f(x) 5 (x 2 1)/(x2 2 1) no está definida cuando

x 5 1, pero eso no importa, porque la definición de lím x : a f sxd dice que se consideran los valores de x que están cerca de a, pero que no son iguales a a. Las tablas de la izquierda dan valores de f(x) (con una precisión de seis decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no iguales a 1). Con base en los valores en las tablas, haga la suposición de que lím

x:1

x21 − 0.5 x2 2 1

n

El ejemplo 1 se ilustra en la gráfica de f, en la figura 3. Ahora se va a cambiar un poco f, dándole el valor de 2 cuando x 5 1 y llamando g a la función obtenida: gsxd −

H

x21 x2 2 1

si x ± 1

2

si x − 1

Esta nueva función g conserva el mismo límite cuando x tiende a 1 (véase la figura 4). y

y

2

y=

x-1 ≈-1

y=©

0.5

0

FIGURA 3

Stewart_ch02_077-105.indd 84

0.5

1

x

0

1

x

FIGURA 4

08/06/17 1:34 p.m.

85

SECCIÓN 2.2 El límite de una función

st 2 1 9 2 3 . t:0 t2 SOLUCIÓN La tabla presenta los valores de la función para varios valores de t cercanos a 0.

EJEMPLO 2 Calcule el valor de lím

st 2 1 9 2 3 t2

t 61.0

0.162277 . . .

60.5

0.165525 . . .

60.1

0.166620 . . .

60.05 60.01

0.166655 . . . 0.166666 . . .

A medida que t se acerca a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666..., por lo que suponga que lím

t:0

t

st 2 1 9 2 3 t2

60.001 60.0001 60.00001 60.000001

0.166667 0.166670 0.167000 0.000000

www.stewartcalculus.com Para una mayor explicación de por qué las calculadoras, a veces, dan valores falsos, haga clic en Lies My Calculator and Computer Told Me. En particular, véase la sección llamada The Perils of Subtraction.

1 st 2 1 9 2 3 − t2 6

n

En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si se hubiera tomado valores aún más pequeños de t? La tabla en el margen muestra los resultados de una calculadora; sin duda, ¡algo extraño parece estar sucediendo! Si trata de obtener estos cálculos en su propia calculadora podría obtener valores diferentes, pero al final obtendrá el valor 0 si hace t suficientemente pequeña. ¿Significa esto que la respuesta es realmente 0, en lugar de 16? No, el valor del límite es 16, como se demuestra en la siguiente sección. El problema es que la calculadora dio valores falsos porque st2 1 9 está muy cerca de 3 cuando t es pequeña. (De hecho, cuando t es suficientemente pequeña, una calculadora da el valor de 3.000... para tantos dígitos como la calculadora sea capaz de aceptar.) Algo similar sucede cuando se trata de graficar la función f std −

st 2 1 9 2 3 t2

del ejemplo 2, en una calculadora graficadora o computadora. Los incisos (a) y (b) de la figura 5 muestran gráficas bastante precisas de f, y cuando se utiliza el modo trace (si está disponible) se puede calcular fácilmente que el límite es cercano a 16. Pero si se acerca demasiado, como en los incisos (c) y (d), entonces obtiene gráficas incorrectas, de nuevo debido a problemas con la sustracción.

0.2

0.2

0.1

0.1

sad 25 < t < 5

sbd 20.1 < t < 0.1

scd 21026 < t < 1026

sdd 21027 < t < 1027

FIGURA 5

Stewart_ch02_077-105.indd 85

08/06/17 1:34 p.m.

86

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

EJEMPLO 3 Obtenga el valor de lím

x:0

x

sen x x

61.0 60.5 60.4 60.3 60.2 60.1 60.05 60.01 60.005 60.001

0.84147098 0.95885108 0.97354586 0.98506736 0.99334665 0.99833417 0.99958339 0.99998333 0.99999583 0.99999983

sen x . x

SOLUCIÓN La función f(x) 5 (sen x)/x no está definida cuando x 5 0. Usando una calculadora (y recordando que, si x  , sen x significa el seno del ángulo x medido en radianes) puede elaborar una tabla de valores con una precisión de hasta ocho decimales. De la tabla a la izquierda y la gráfica en la figura 6 suponga que

lím

x:0

sen x −1 x

De hecho, esta conjetura es correcta como se demostrará en el capítulo 3, utilizando un argumento geométrico. y 1

y=

0

1

sen x x

FIGURA 6 _1

x

n

EJEMPLO 4 Investigue lím sen x:0

Sistemas algebraicos computacionales Los sistemas algebraicos computacionales (sac) tienen instrucciones que calculan límites. Para evitar los tipos de trampas como las de los ejemplos 2, 4 y 5, no calculan límites a partir de la experimentación numérica. En su lugar, utilizan técnicas más sofisticadas, como el cálculo de series infinitas. Si usted tiene acceso a un sac, utilice las instrucciones de límites para calcular los límites de los ejemplos de esta sección y para revisar sus respuestas en los ejercicios de este capítulo.

x

.

SOLUCIÓN Una vez más la función f(x) 5 sen(p/x) no está definida en 0. Evaluando la función para algunos valores pequeños de x, obtenga

f s1d − sen

f ( 12 ) − sen 2 − 0

−0

f ( 13) − sen 3 − 0

f ( 14) − sen 4 − 0

f s0.1d − sen 10 − 0

f s0.01d − sen 100 − 0

Del mismo modo, f(0.001) 5 f(0.0001) 5 0. Con base en esta información se puede estar tentado a suponer lím sen

x:0

x

−0

pero esta vez la suposición es errónea. Observe que, aunque f(1/n) 5 sen np 5 0 para cualquier entero n, también es cierto que f(x) 5 1 para muchos valores de x (tal como 2/5 o 2/101). Esto se puede ver en la gráfica de f que se muestra en la figura 7. y

y=sen(π/x)

1

_1 1

FIGURA 7

Stewart_ch02_077-105.indd 86

x

_1

08/06/17 1:34 p.m.

87

SECCIÓN 2.2 El límite de una función

Las líneas punteadas, cerca del eje y indican que los valores del sen(p/x) oscilan infinitamente entre 1 y 21 cuando x tiende a 0. (Véase el ejercicio 51.) Ya que los valores de f(x) no se acercan a un número fijo cuando x tiende a 0, lím sen

x:0

x

cos 5x x3 1 10 000

1 0.5 0.1 0.05 0.01

1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101

x

x3 1

0.005 0.001

S

EJEMPLO 5 Encuentre el lím x 3 1 x:0

x

no existe

n

D

cos 5x . 10 000

SOLUCIÓN Como antes, se elabora una tabla de valores. De la primera tabla en el margen parece que

lím

x:0

S

cos 5x 10 000

x3 1

D

−0

Pero si se persevera con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que

cos 5x 10 000

lím

x:0

0.00010009 0.00010000

S

x3 1

cos 5x 10 000

D

− 0.000100 −

1 10 000

Más adelante verá que límx : 0 cos 5x 51; entonces se deducirá que el límite es 0.0001.

n

Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos al intentar conjeturar el valor de un límite. Es fácil caer en el valor incorrecto si se utilizan valores inadecuados de x, pero es difícil saber cuándo dejar de calcular valores. Y, como muestra la discusión después del ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores incorrectos. En la sección siguiente, sin embargo, se van a desarrollar métodos infalibles para el cálculo de límites.

Límites laterales EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por Hstd −

y 1

0

FIGURA 8 La función de Heaviside

t

H

0 si t , 0 1 si t > 0

[Esta función lleva el nombre del ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850-1925) y se utiliza para describir una corriente eléctrica en un circuito en el tiempo t 5 0.] Su gráfica se muestra en la figura 8. Cuando t se aproxima a 0 por la izquierda, H(t) se aproxima a 0. Conforme t se aproxima a 0 por la derecha, H(t) se aproxima a 1. No hay un único número al que se aproxime H(t) n cuando t se aproxima a 0. Por tanto, límt : 0 H(t) no existe. Ha observado en el ejemplo 6 que H(t) tiende a 0 cuando t se aproxima a 0 por la izquierda y H(t) tiende a 1 a medida que t se aproxima a 0 por la derecha. Esta situación se indica simbólicamente al escribir lím Hstd − 0

t : 02

y

lím Hstd − 1

t : 01

El símbolo t : 02 indica que se consideran solo los valores de t que son menores de 0. De igual modo, t : 01 indica que se consideran solo los valores de t que son mayores de 0.

Stewart_ch02_077-105.indd 87

08/06/17 1:34 p.m.

88

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

2 Definición de límites unilaterales Cuando se escribe lím f sxd − L

x :a2

se expresa que el límite por la izquierda de f(x) cuando x se aproxima a a [o el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda] es igual a L si se puede hacer que los valores de f(x) se acerquen arbitrariamente a L, tanto como se quiera, tomando x suficientemente cercanos a a, pero menores que a. Observe que la definición 2 difiere de la definición 1 solo en el hecho de que se pide que x sea necesariamente menor que a. Del mismo modo, si se requiere que x sea mayor que a, se obtiene que “el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a es igual a L” y se escribe lím f sxd − L

x : a1

Así, la notación x : a1 significa que se consideran solo x mayores que a. Estas definiciones se ilustran en la figura 9. y

y

L

ƒ 0

FIGURA 9

x

0

x

a

ƒ

L a

x

x

(b) lím ƒ=L

(a) lím ƒ=L

x a+

x a_

Al comparar la definición 1 con las de los límites laterales, vea que se satisface lo siguiente. 3

si y solo si

lím f sxd − L

x : a2

y

lím f sxd − L

x : a1

EJEMPLO 7 La gráfica de una función g se muestra en la figura 10. Utilícela para establecer los valores (si existen) de los siguientes:

y 4 3

(a) lím2 tsxd

(b) lím1 tsxd

(c) lím tsxd

(d) lím2 tsxd

(e) lím1 tsxd

(f) lím tsxd

x:2

y=©

x:5

1 0

lím f sxd − L

x:a

1

FIGURA 10

2

3

4

5

x

x:2

x:5

x:2

x:5

SOLUCIÓN En la gráfica vea que los valores de g(x) tienden a 3 conforme x tiende a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 a medida que x tiende a 2 por la derecha. Por tanto,

(a) lím2 tsxd − 3 x:2

y

(b) lím1 tsxd − 1 x:2

(c) Dado que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se llega a la conclusión de que límx : 2 g(x) no existe. La gráfica también muestra que (d) lím2 tsxd − 2 x:5

Stewart_ch02_077-105.indd 88

y

(e) lím1 tsxd − 2 x:5

08/06/17 1:34 p.m.

89

SECCIÓN 2.2 El límite de una función

(f ) Esta vez los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos, así que, por (3), se tiene lím tsxd − 2

x:5

A pesar de esto, observe que g(5)  2.

n

Límites infinitos 1 si existe. x2 SOLUCIÓN Conforme x se acerca a 0, x2 también se acerca a 0, y 1/x2 se hace muy grande. (Véase la tabla en el margen.) De hecho, se desprende de la gráfica de la función f(x) 5 1/x2 en la figura 11, que los valores de f(x) pueden ser arbitrariamente grandes, tomando x suficientemente cerca de 0. Así, los valores de f(x) no se aproximan a un número, por lo que límx : 0(1/x2) no existe. n

EJEMPLO 8 Encuentre lím

x:0

x

1 x2

61 60.5 60.2 60.1 60.05 60.01 60.001

1 4 25 100 400 10,000 1,000,000

Para indicar el tipo de comportamiento exhibido en el ejemplo 8, se usa la notación lím

x:0

1 −` x2

Esto no quiere decir que se esté considerando a ` como un número. Tampoco significa que el límite existe. Simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe: 1/x2 puede hacerse tan grande como se quiera, tomando a x suficientemente cerca de 0. En general, puede escribir simbólicamente

y

y=

1 ≈

lím f sxd − `

x:a

x

0

para indicar que los valores de f(x) tienden a ser más y más grandes (o “crecen sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a.

FIGURA 11

4 Definición intuitiva de un límite infinito Sea f una función definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en la misma a. Entonces lím f sxd − `

x:a

significa que los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente grandes (tan grandes como se quiera), tomando x suficientemente cerca de a, pero no igual a a. Otra notación para límx : a f(x) 5 ` es f sxd : `

y

es

x:a

y=ƒ

De nuevo, el símbolo ` no es un número, pero la expresión límx : a f(x) 5 ` se lee a menudo como 0

a x=a

FIGURA 12 lím f sxd − `

x:a

Stewart_ch02_077-105.indd 89

“el límite de f(x), cuando x tiende a a, es infinito”

x

o

“f(x) tiende al infinito cuando x se aproxima a a”

o

“f(x) crece sin límite cuando x se aproxima a a”.

Esta definición se ilustra gráficamente en la figura 12.

08/06/17 1:34 p.m.

90

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Cuando se dice que un número es “negativo muy grande”, se quiere decir que es negativo, pero su magnitud (valor absoluto) es grande.

Un tipo similar de límite, para las funciones que se convierten en negativos muy grandes conforme x se aproxima a a, se precisa en la definición 5 y se ilustra en la figura 13.

y

5 Definición Sea f definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en a misma. Entonces

x=a

lím f sxd − 2`

a

0

x:a

x

y=ƒ

FIGURA 13

significa que los valores de f(x) pueden ser negativos arbitrariamente grandes, tomando x suficientemente cerca de a, pero no igual a a.

El símbolo límx : a f(x) 5 2` puede leerse como “el límite de f(x), cuando x se aproxima a a, es infinito negativo” o “f(x) decrece sin límite conforme x tiende a a”. Como ejemplo se tiene

lím f sxd − 2`

x:a

S D

lím 2

x :0

1 x2

− 2`

Definiciones similares pueden darse a los límites laterales infinitos lím f sxd − `

lím f sxd − `

x :a2

x : a1

lím f sxd − 2`

lím f sxd − 2`

x : a2

x : a1

recordando que x : a2 significa que se consideran solo los valores de x que son menores que a, y del mismo modo x : a1 significa que se consideran solo x . a. En la figura 14, se ilustran estos cuatro casos. y

y

a

0

(a) lím ƒ=` x

a_

x

y

a

0

x

(b) lím ƒ=` x

a+

y

a

0

(c) lím ƒ=_` x

a

0

x

x

(d) lím ƒ=_`

a_

x

a+

FIGURA 14

6 Definición La recta x 5 a se llama asíntota vertical de la curva y 5 f(x) si al menos uno de los enunciados siguientes son verdaderos: lím f sxd − `

x :a

lím f sxd − 2`

x :a

lím f sxd − `

x : a2

lím f sxd − 2`

x : a2

lím f sxd − `

x : a1

lím f sxd − 2`

x : a1

Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y 5 1/x2 debido a que límx : 0 (5 1/x2)5 `. En la figura 14 la recta x 5 a es una asíntota vertical en cada uno

Stewart_ch02_077-105.indd 90

08/06/17 1:34 p.m.

91

SECCIÓN 2.2 El límite de una función

de los cuatro casos que se muestran. En general, el conocimiento de asíntotas verticales es muy útil para dibujar gráficas.

EJEMPLO 9 Encuentre lím1 x :3

2x 2x y lím . x 2 3 x : 32 x 2 3

SOLUCIÓN Si x tiende a 3 con valores mayores que 3, entonces el denominador x 2 3 es un número positivo muy pequeño y 2x está muy cerca de 6, por lo que el cociente 2x/(x 2 3) es un número positivo muy grande. Por tanto, intuitivamente, se puede ver que

y 2x

y= x-3

lím

x : 31

5

Asimismo, si x es cercano a 3, pero con valores menores que 3, entonces x 2 3 es un número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo (cercano a 6). Así, 2x/(x 2 3) es un número negativo muy grande. Por tanto,

x

0

2x −` x23

x=3

lím

x : 32

FIGURA 15

2x − 2` x23

La gráfica de la curva y 5 2x/(x 2 3) se ilustra en la figura 15. La recta x 5 3 es una n asíntota vertical.

EJEMPLO 10 Encuentre las asíntotas verticales de f(x) 5 tan x. y

SOLUCIÓN Ya que

tan x − 1 3π _π

_ 2

_

π 2

0

π 2

π

3π 2

x

hay posibles asíntotas verticales donde cos x 5 0. De hecho, puesto que cos x : 01 cuando x : (p/2)2 y cos x : 02 cuando x : (p/2)1, mientras que sen x es positivo (cerca de 1) cuando x está cerca de p/2, se tiene lím

x : s y2d2

FIGURA 16

sen x cos x

tan x − `

y

lím

x : s y2d1

tan x − 2`

y − tan x

Esto muestra que la recta x 5 p/2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar muestra que las rectas x 5 p/2 1 np, donde n es un número entero, son todas asíntotas n verticales de f(x) 5 tan x. La gráfica en la figura 16 confirma esto.

y

y=ln x 0

1

x

Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función logaritmo natural y 5 ln x. En la figura 17 se ve que

lím ln x − 2`

x : 01

FIGURA 17 El eje y es una asíntota vertical de la función logaritmo natural.

Stewart_ch02_077-105.indd 91

y así, la recta x 5 0 (el eje y) es una asíntota vertical. De hecho, lo mismo es cierto para y 5 logb x siempre que b . 1. (Véase las figuras 1.5.11 y 1.5.12.)

08/06/17 1:34 p.m.

92

CAPÍTULO 2

2.2

Límites y derivadas

EJERCICIOS

1. Explique el significado de la ecuación

(j) hs2d

(k) lím1 hsxd

(l)

x :5

lím f sxd − 5

lím hsxd

x : 52

x:2

y

¿Es posible que se cumpla con este enunciado aunque f(2) 5 3? Explique. 2. Explique qué significa decir que lím f sxd − 1

lím f sxd − 5

y

x : 22

x :21

En esta situación, ¿es posible que exista límx : 1 f(x)? Explique. 3. Explique el significado de cada una de las expresiones siguientes. (a) lím f sxd − `

(b) lím1 f sxd − 2`

x : 25

x:3

4. Utilice la gráfica de f para establecer el valor de cada cantidad si esta existe. Si no existe, explique por qué. (a) lím2 f sxd

(b) lím1 f sxd

x :2

x:2 x:4

_2

0

x

6

t:0

(b) lím1 tstd t:0

(c) lím tstd

(c) lím f sxd

(d) lím2 tstd

(e) lím1 tstd

(f) lím tstd

(f) f s4d

(g) ts2d

(h) lím tstd

t:2

t:0

t:2

t:2

t:4

y

4

4

2

2

0

2

4

2

x

5. Para la función f cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las cantidades siguientes. Si no existe, explique por qué. (a) lím f sxd

(b) lím2 f sxd

(d) lím f sxd

(e) f s3d

(c) lím1 f sxd

x:3

x:3

4

7. Para la función g cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las cantidades siguientes si existe. Si no, explique por qué.

y

x:1

2

(a) lím2 tstd

x:2

(e) lím f sxd

(d) f s2d

_4

x:3

4

t

8. Para la función A cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. (a) lím Asxd x :23

(b) lím2 Asxd

(c) lím1 Asxd

(d) lím Asxd

x :2

x :2

x :21

(e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales.

y

y 4 2 _3 0

2

4

6. Para la función h cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las cantidades siguientes. Si no existe, explique por qué. (a)

lím 2 hsxd

x : 23

(b)

lím 1 hsxd

x : 23

0

2

(c) lím hsxd x : 23

(e) lím2 hsxd

(f) lím1 hsxd

(a) lím f sxd

(b) lím f sxd

(g) lím hsxd

(h) hs0d

(i) lím hsxd

(d) lím2 f sxd

(e) lím1 f sxd

x:0

Stewart_ch02_077-105.indd 92

x

9. Para la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente.

(d) hs23d

x: 0

5

x

x :0

x:2

x :27 x:6

x :23

(c) lím f sxd x:0

x:6

08/06/17 1:34 p.m.

93

SECCIÓN 2.2 El límite de una función

(f ) Las ecuaciones de las asíntotas verticales.

17. lím1 f sxd − 4, x:3

y

f s3d − 3, x:0

0

_3

6

x

lím f sxd − 0,

x : 41

10. Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medicamento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f(t) del medicamento en el torrente sanguíneo después de t horas. Encuentre lím f std

lím f std

y

t: 122

t: 121

y explique el significado de estos límites laterales.

lím f sxd − 0,

x : 01

f s0d − 2,

lím f sxd − 3,

x : 42

f s4d − 1

19–22 Conjeture el valor de cada uno de los límites siguientes (si existen) evaluando la función dada en los números propuestos (con una precisión de seis decimales). 19. lím

x :3

x 2 2 3x , x2 2 9

x − 3.1, 3.05, 3.01, 3.001, 3.0001, 2.9, 2.95, 2.99, 2.999, 2.9999 20. lím

f(t)

lím f sxd − 2,

x : 22

f s22d − 1

18. lím2 f sxd − 2, _7

lím f sxd − 2,

x : 32

x : 23

x 2 2 3x , x2 2 9

x − 22.5, 22.9, 22.95, 22.99, 22.999, 22.9999,

300

23.5, 23.1, 23.05, 23.01, 23.001, 23.0001 150

21. lím

e 5t 2 1 , t

22. lím

s4 1 hd3 2 64 , h

t: 0

0

4

8

12

16

h: 0

t

t − 60.5, 60.1, 60.01, 60.001, 60.0001

h − 60.5, 60.1, 60.01, 60.001, 60.0001 11–12 Trace la gráfica de cada una de las funciones siguientes y utilícela para determinar los valores de a para los cuales límx : a f(x) existe.

H H

1 1 x si x , 21 11. f sxd − x 2 si 21 < x , 1 2 2 x si x > 1

23–28 Utilice una tabla de valores para calcular el valor de cada uno de los límites siguientes. Si dispone usted de una calculadora o computadora, utilícela para confirmar gráficamente su resultado. 23. lím

ln x 2 ln 4 x24

24. lím

25. lím

sen 3 tan 2

26. lím

x:4

1 1 sen x si x , 0 12. f sxd − cos x si 0 < x < si x . sen x

:0

p : 21

t:0

27. lím1 x x

(a) lím2 f sxd x:0

13. f sxd −

(b) lím1 f sxd

(c) lím f sxd

x:0

1 1 1 e 1yx

x:0

14. f sxd −

x2 1 x sx 3 1 x 2

15–18 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas. 15. lím2 f sxd − 2,

x : 11

16. lím2 f sxd − 1,

x : 01

x:1 x:0

lím f sxd − 1,

x : 21

Stewart_ch02_077-105.indd 93

lím f sxd − 22,

lím f sxd − 21, f s2d − 1,

f s1d − 2 lím f sxd − 0,

x : 22

f s0d es indefinido

5t 2 1 t

28. lím1 x 2 ln x

x :0

; 13–14 Utilice la gráfica de la función f para establecer el valor de cada uno de los límites siguientes, si es que existen. Si no, explique por qué.

1 1 p9 1 1 p 15

x :0

; 29. (a) Por medio de la gráfica de la función f(x) 5 (cos 2x 2cos x)x2 y un acercamiento al punto donde la gráfica interseca el eje y, calcule el valor de límx : 0 f(x). (b) Verifique su respuesta del inciso (a) mediante la evaluación de f(x) para valores de x que tiendan a 0. ; 30. (a) Calcule el valor de lím

x:0

sen x sen x

al trazar la gráfica de la función f(x) 5 (sen x)(sen px). Exprese su respuesta con una precisión de dos decimales. (b) Verifique su respuesta del inciso (a) evaluando f(x) para valores de x que tiendan a 0.

08/06/17 1:34 p.m.

94

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

(b) Evalúe f(x) para x 5 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. Infiera otra vez.

31– 43 Determine cada uno de los límites infinitos siguientes. 31.

x11 x25

32. lím2

x11 x25

22x sx 2 1d2

34. lím2

sx sx 2 3d 5

lím

x :51

33. lím

x :1

x :5

x :3

35. lím1 lnsx 2 2 25d lím

x:s y2d1

1 sec x x

38. lím2 cot x x:

40. lím2

x :2

x:2

x 2 2 2x x 2 4x 1 4 2

2

x 2 2x 2 8 41. lím1 2 x :2 x 2 5x 1 6

x:0

S

D

1 2 ln x x

43. lím sln x 2 2 x22 d x:0

44. (a) Encuentre las asíntotas verticales de la función y− ;

x2 1 1 3x 2 2x 2

;

tan x 2 x . x3

(c) Evalúe h(x) para valores pequeños sucesivos de x hasta que finalmente alcance un valor de 0 para h(x). ¿Aún confía en que su conjetura en el inciso (b) es correcta? Explique por qué finalmente obtuvo valores 0. (En la sección 4.4 se explicará un método para evaluar el límite.) (d) Trace la gráfica de la función h en un rectángulo de vista [1, 1] por [0, 1]. Después haga un acercamiento hacia el punto donde la gráfica interseca el eje y, para calcular el límite de h(x) cuando x tienda a 0. Continúe el acercamiento hasta que observe distorsiones en la gráfica de h. Compare con los resultados del inciso (c).

; 51. Trace la gráfica de la función f(x) 5 sen(px) del ejemplo 4 en el rectángulo de vista [21, 1] por [21, 1]. Después haga acercamientos al origen varias veces. Haga comentarios acerca del comportamiento de esta función. 52. Considere la función f sxd − tan

1 . x

(b) Verifique su respuesta al inciso (a) al trazar la gráfica de la función.

(a) Demuestre que f(x) 5 0 para x −

1 1 1 , , ,...  2 3

1 1 y lím x 2 1 x : 11 x 3 2 1

(b) Demuestre que f(x) 5 1 para x −

4 4 4 , , ,...  5 9

45. Determine lím2 x :1

;

x:0

x:0

39. lím 2 x csc x

42. lím1

(b) Suponga el valor de lím

36. lím1 lnssen xd

x :5

37.

50. (a) Evalúe h(x) 5 (tan x 2 x)x3 para x 5 1, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01 y 0.005.

3

(a) evaluando f(x) 5 1(x3 2 1) para valores de x que tiendan a 1, por el lado izquierdo y por el lado derecho. (b) razonando como en el ejemplo 9, y (c) a partir de la gráfica de f.

; 46. (a) Por medio de la gráfica de la función f(x) 5 (tan 4x)x y un acercamiento al punto donde la gráfica interseca el eje y, calcule el valor de límx : 0 f(x). (b) Verifique su respuesta del inciso (a) para evaluar f(x) para valores de x que tiendan a 0. 47. (a) Calcule el valor de límx : 0 (1 1 x)1/x con una precisión de cinco decimales. ¿Le parece conocido este número? (b) Ilustre el inciso (a) al trazar la gráfica de la función ; y 5 (1 1 x)1/x. ; 48. (a) Trace la gráfica de f(x) 5 ex 1 ln Zx 2 4Z para 0 < x < 5. ¿Piensa que la gráfica es una representación precisa de f? (b) ¿Cómo conseguiría una gráfica que represente mejor a f? 49. (a) Evalúe la función f(x) 5 x2 2(2x1000) para x 5 1, 0.8, 0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 e infiera el valor de lím

x:0

Stewart_ch02_077-105.indd 94

S

x2 2

2x 1000

D

(c) ¿Qué puede concluir acerca de lím1 tan x:0

1 ? x

; 53. Utilice una gráfica para calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de la curva y − tans2 sen xd

2 <x<

Luego determine las ecuaciones exactas de estas asíntotas. 54. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad √ es m0 m− s1 2 v 2yc 2 donde m0 5 0 es la masa de la partícula en reposo y c es la rapidez de la luz. ¿Qué pasa cuando √ : c2? ; 55. (a) Utilice una evidencia numérica y gráfica para intuir el valor del límite lím x:1

x3 2 1 sx 2 1

(b) ¿Qué tan cerca de 1 tiene que estar x para garantizar que la función en el inciso (a) esté dentro de una distancia de 0.5 de este límite?

08/06/17 1:34 p.m.

95

SECCIÓN 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites

Cálculo de límites usando las leyes de los límites

2.3

En la sección 2.2 se utilizan calculadoras y gráficas para inferir los valores de un límite, pero se observa que estos métodos no siempre conducen a la respuesta correcta. En esta sección se utilizan las propiedades de los límites siguientes, llamadas leyes de los límites, para calcularlos.

Leyes de los límites Suponga que c es una constante y que los límites lím f sxd

y

x:a

lím tsxd

x:a

existen. Entonces 1. lím f f sxd 1 tsxdg − lím f sxd 1 lím tsxd x:a

x:a

x:a

2. lím f f sxd 2 tsxdg − lím f sxd 2 lím tsxd x:a

x:a

x:a

3. lím fcf sxdg − c lím f sxd x:a

x:a

4. lím f f sxd tsxdg − lím f sxd ? lím tsxd x:a

x:a

5. lím

lím f sxd f sxd x:a − tsxd lím tsxd

x:a

x:a

x:a

si lím tsxd ± 0 x:a

Estas cinco leyes se pueden expresar verbalmente como sigue: Ley de la suma Ley de la diferencia Ley del múltiplo constante Ley del producto Ley del cociente

1. El límite de una suma es la suma de los límites. 2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites. 3. El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función. 4. El límite de un producto es el producto de los límites. 5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea cero). Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si f(x) está cerca de L y g(x) está cerca de M, es razonable concluir que f(x) 1 g(x) está muy cerca de L 1 M. Esto da una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 se dará una definición precisa de la idea de límite y se utilizará para demostrar esta ley. Las demostraciones del resto de las leyes se presentan en el apéndice F.

EJEMPLO 1 Utilice las leyes de los límites y las gráficas de f y g en la figura 1 para evaluar los límites siguientes, si es que existen.

y

f 1 0

g

(a) lím f f sxd 1 5tsxdg x : 22

1

(b) lím f f sxdtsxdg x:1

(c) lím

x:2

x

f sxd tsxd

SOLUCIÓN

(a) De las gráficas de f y g se observa que FIGURA 1

Stewart_ch02_077-105.indd 95

lím f sxd − 1

x : 22

y

lím tsxd − 21

x : 22

08/06/17 1:34 p.m.

96

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Por tanto, se tiene lím f f sxd 1 5tsxdg − lím f sxd 1 lím f5tsxdg

(por la ley 1)

− lím f sxd 1 5 lím tsxd

(por la ley 3)

x : 22

x : 22

x : 22

x : 22

x : 22

− 1 1 5s21d − 24 (b) Observe que límx : 1 f(x) 5 2. Pero límx : 1 g(x) no existe porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes: lím tsxd − 22

lím tsxd − 21

x : 12

x : 11

Por lo que no se puede utilizar la ley 4 para el límite deseado, pero se puede utilizar para los límites laterales: lím f f sxdtsxdg − lím2 f sxd ? lím2 tsxd − 2 ? s22d − 24

x : 12

x :1

x :1

lím f f sxdtsxdg − lím1 f sxd ? lím1 tsxd − 2 ? s21d − 22

x : 11

x :1

x :1

Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, por lo que límx : 1 [f(x)g(x)] no existe. (c) La gráfica muestra que lím f sxd < 1.4

lím tsxd − 0

y

x:2

x:2

Ya que el límite del denominador es 0, no se puede utilizar la ley 5. El límite dado no existe porque el denominador tiende a 0, mientras que el numerador se acerca a un número diferente de cero. n Si se utiliza repetidamente la ley del producto con g(x) 5 f(x), se obtiene la siguiente ley. Ley de la potencia

6.

fx : a

g

lím f f sxdg n − lím f sxd

x :a

n

donde n es un número entero positivo

En la aplicación de estas seis leyes, se necesitan utilizar dos límites especiales: 7.

lím c − c

x:a

8.

lím x − a

x:a

Estos límites son obvios desde un punto de vista intuitivo (expréselos con palabras o dibuje las gráficas de y 5 c y y 5 x), pero en los ejercicios de la sección 2.4 se requieren las demostraciones con base en la definición precisa. Si se hace f(x) 5 x en la ley 6 y se utiliza la ley 8, se obtiene otra forma especial de límite. 9.

lím x n − a n

x:a

donde n es un entero positivo

Un límite similar que es válido para raíces es el siguiente. (Para la raíz cuadrada, la demostración se resume en el ejercicio 2.4.37.) 10.

n n lím s x −s a

x:a

donde n es un entero positivo

(Si n es par, se supone que a . 0.)

Stewart_ch02_077-105.indd 96

08/06/17 1:34 p.m.

97

SECCIÓN 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites

Más generalmente, se tiene la ley siguiente que se demuestra en la sección 2.5 como una consecuencia de la ley 10. Ley de la raíz

n n lím f sxd 11. lím sf sxd − s x :a

f sxd . 0.g f [Si n es par, se supone que xlím :a

Newton y los límites Isaac Newton nació el día de Navidad en 1642, año en que murió Galileo. Cuando entró en la Universidad de Cambridge en 1661, Newton no sabía muchas matemáticas, pero aprendió rápidamente leyendo a Euclides y Descartes, y asistiendo a las conferencias de Isaac Barrow. Cambridge fue cerrada a causa de la peste en 1665 y 1666, y Newton regresó a su casa a reflexionar sobre lo que había aprendido. Esos dos años fueron extraordinariamente productivos porque hizo cuatro de sus descubrimientos más importantes: 1) su representación de funciones como sumas de series infinitas, incluyendo el teorema del binomio; 2) su trabajo sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal y 4) sus experimentos con el prisma relacionados con la naturaleza de la luz y el color. Debido a un temor a la controversia y la crítica, se mostró reacio a publicar sus descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a instancias del astrónomo Halley, que Newton publicó Principia Mathematica. En este trabajo, el tratado científico más grande jamás escrito, Newton expone su versión del cálculo y su utilización en la investigación de la mecánica, la dinámica de fluidos y el movimiento ondulatorio, así como en la explicación del movimiento de los planetas y los cometas. Los inicios del cálculo se encuentran en los procedimientos para obtener áreas y volúmenes ideados por los antiguos sabios griegos Eudoxo y Arquímedes. A pesar de que los aspectos de la idea de límite están implícitos en su “método de agotamiento”, Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explícitamente el concepto de límite. Tampoco matemáticos como Cavalieri, Fermat ni Barrow, antecesores inmediatos de Newton en el desarrollo del cálculo, utilizaron los límites. Isaac Newton fue el primero en hablar explícitamente de límites. Explicó que la idea principal detrás de los límites es que las cantidades “se acercan más que cualquier diferencia dada”. Newton dijo que el límite era el concepto básico en el cálculo, pero fue el posterior trabajo de matemáticos como Cauchy y otros más el que finalmente clarificó las ideas relacionadas con los límites.

Stewart_ch02_077-105.indd 97

donde n es un entero positivo

x :a

EJEMPLO 2 Evalúe los límites siguientes y justifique cada paso (a) lím s2x 2 2 3x 1 4d

(b) lím

x :5

x : 22

x 3 1 2x 2 2 1 5 2 3x

SOLUCIÓN

(a) lím s2x 2 2 3x 1 4d − lím s2x 2 d 2 lím s3xd 1 lím 4 x :5

x :5

x :5

x :5

(por las leyes 1 y 2)

− 2 lím x 2 2 3 lím x 1 lím 4

(por la ley 3)

− 2s5 2 d 2 3s5d 1 4

(por las leyes 9, 8 y 7)

x :5

x :5

x :5

− 39 (b) Empiece utilizando la ley 5, pero su uso está completamente justificado solo en la etapa final cuando observe que los límites del numerador y el denominador existen y el límite del denominador no es cero. x 3 1 2x 2 2 1 − lím x : 22 5 2 3x

lím sx 3 1 2x 2 2 1d

x : 22

(por la ley 5)

lím s5 2 3xd

x : 22

lím x 3 1 2 lím x 2 2 lím 1





x : 22

x : 22

x : 22

lím 5 2 3 lím x

x : 22

x : 22

s22d3 1 2s22d2 2 1 5 2 3s22d

−2

(por las leyes 1, 2 y 3)

(por las leyes 9, 8 y 7)

1 11

n

NOTA Si se hace f(x) 5 2x2 2 3x 1 4, entonces f(5) 5 39. En otras palabras, habría obtenido la respuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo 5 por x. Del mismo modo, la sustitución directa aporta la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones en el ejemplo 2 son una función polinomial y una función racional, respectivamente, y el mismo uso de las leyes de los límites demuestra que la sustitución directa siempre sirve para este tipo de funciones (Véase los ejercicios 57 y 58). Este hecho se expresa de la manera siguiente: Propiedad de sustitución directa Si f es una función polinomial o una función racional y a está en el dominio de f, entonces lím f sxd − f sad

x :a

08/06/17 1:34 p.m.

98

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Las funciones con la propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a y se estudiaran en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites se pueden evaluar por sustitución directa, como se muestra en los ejemplos siguientes. x2 2 1 . x21

EJEMPLO 3 Encuentre lím x:1

SOLUCIÓN Sea f(x) 5(x2 2 1)/(x 2 1). No se puede encontrar el límite por sus-

titución directa de x 5 1 porque f(1) no está definida. Tampoco se puede aplicar la ley del cociente porque el límite del denominador es 0. Así, se necesita de un proceso algebraico preliminar. Factorizando el numerador como una diferencia de cuadrados: x2 2 1 sx 2 1dsx 1 1d − x21 x21 Observe que en el ejemplo 3 no se tiene un límite infinito a pesar de que el denominador tiende a 0 cuando x : 1. Cuando tanto el numerador como el denominador tienden a 0, el límite puede ser infinito o puede tener algún valor finito.

El numerador y el denominador tienen un factor común de x 2 1. Cuando se toma el límite cuando tiende a 1, se tiene que x  1 y, por tanto, x 2 1  0. Así, se puede eliminar el factor común y calcular el límite por sustitución directa como sigue: lím

x:1

sx 2 1dsx 1 1d x2 2 1 − lím x:1 x21 x21 − lím sx 1 1d x:1

−111−2 El límite en este ejemplo surgió en la sección 2.1.1 cuando se intenta encontrar la recta tangente a la parábola y 5 x2 en el punto (1, 1). n NOTA En el ejemplo 3 se pudo calcular el límite sustituyendo la función dada, f(x) 5 (x2 2 1)/(x 2 1), por la función más sencilla, g(x) 5 x 1 1, con el mismo límite. Esto es válido ya que f(x) 5 g(x), excepto cuando x 5 1, y al calcular el límite cuando x tiende a 1, no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1. En general, se tiene el hecho útil siguiente. y

y=ƒ

3

Si f(x) 5 g(x) cuando x  a, entonces lím f sxd − lím tsxd, siempre que el límite exista. x:a

x :a

2 1 0

1

2

3

x

y

y=©

3

x :1

tsxd −

H

x 1 1 Si x ± 1 Si x − 1

SOLUCIÓN Aquí g está definida en x 5 1 y g(1) 5 p, pero el valor del límite cuando x tiende a 1, no depende del valor de la función en 1. Ya que g(x) 5 x 1 1 para x 1, se tiene

2 1 0

EJEMPLO 4 Encuentre lím tsxd donde

1

2

3

x

FIGURA 2 Las gráficas de las funciones f (del ejemplo 3) y g (del ejemplo 4)

Stewart_ch02_077-105.indd 98

lím tsxd − lím sx 1 1d − 2

x:1

x:1

n

Observe que los valores de las funciones en los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto cuando x 5 1 (véase la figura 2) y tienen el mismo límite cuando x tiende a 1.

08/06/17 1:34 p.m.

99

SECCIÓN 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites

EJEMPLO 5 Evalúe lím

h:0

s3 1 hd2 2 9 . h

SOLUCIÓN Si se define

Fshd −

s3 1 hd2 2 9 h

entonces, como en el ejemplo 3, no se puede calcular límh : 0 F(h) haciendo que h 5 0, ya que F(0) es indefinida. Pero si se simplifica algebraicamente F(h), se encuentra que Fshd −

s9 1 6h 1 h 2 d 2 9 6h 1 h 2 hs6 1 hd − − −61h h h h

(Recuerde que se considera solo h ? 0 cuando se hace que h tienda a 0.) Así lím

h:0

s3 1 hd2 2 9 − lím s6 1 hd − 6 h:0 h

EJEMPLO 6 Encuentre lím

t:0

n

st 2 1 9 2 3 . t2

SOLUCIÓN No se puede aplicar inmediatamente la ley del cociente, ya que el límite del denominador es 0. Aquí, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del numerador:

lím

t:0

st 2 1 9 2 3 st 2 1 9 2 3 − lím 2 t t:0 t2 − lím

t:0

st 2 1 9d 2 9 t 2 (st 2 1 9 1 3)

− lím

t2 t (st 2 1 9 1 3)

t:0

− lím

t:0

Aquí se utilizan varias propiedades de los límites de (5, 1, 10, 7, 9).

st 2 1 9 1 3 st 2 1 9 1 3

2

1 st 1 9 1 3 2



1 slím st 1 9d 1 3



1 1 − 313 6

t :0

2

Este cálculo confirma la conjetura que se hizo en el ejemplo 2.2.2.

n

Algunos límites se calculan mejor encontrando primero los límites por la izquierda y por la derecha. El siguiente teorema es un recordatorio de lo que se descubrió en la sección 2.2. Se dice que los límites por los dos lados existen si y solo si ambos límites existen y son iguales. 1 Teorema lím f sxd − L x:a

Stewart_ch02_077-105.indd 99

si y solo si

lím f sxd − L − lím1 f sxd

x : a2

x :a

08/06/17 1:34 p.m.

100

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Cuando se calculan los límites laterales, se utiliza el hecho de que las leyes de los límites también son válidas para los límites laterales.

EJEMPLO 7 Demuestre que lím | x | − 0. x:0

SOLUCIÓN Recuerde que Al ver la figura 3, el resultado del ejemplo 7 parece razonable.

H

|x| −

x si x > 0 2x si x , 0

y

Dado que Z x Z 5 x para x . 0, se tiene

y=| x|

| |

lím x − lím1 x − 0

x : 01

x :0

Para x , 0 se tiene Z x Z 5 2x así que 0

x

| |

lím x − lím2 s2xd − 0

x : 02

FIGURA 3

x :0

Por tanto, por el teorema 1,

| |

lím x − 0

x:0

n

| x | no existe.

EJEMPLO 8 Demuestre que lím

x:0

x

SOLUCIÓN Usando que Z x Z 5 x cuando x . 0 y Z x Z 5 2x cuando x , 0, se tiene y |x|

y= x

lím

|x| −

lím2

|x| −

x : 01

1 0

x :0

x

x x

lím

x − lím1 1 − 1 x :0 x

lím2

2x − lím2 s21d − 21 x :0 x

x : 01

x :0

_1

Puesto que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se sigue, del teorema 1, que límx:0 ) x )/x no existe. La gráfica de la función f(x) 5 ) x )/x se presenta en la figura 4 y exhibe la coincidencia con los límites laterales que se encuentran. n

FIGURA 4

EJEMPLO 9 Si f sxd −

H

sx 2 4 8 2 2x

si x . 4 si x , 4

determine si límx:4 f(x) existe. SOLUCIÓN Ya que f(x) 5 sx 2 4 para x . 4, se tiene

En el ejemplo 2.4.3 se muestra que límx:01 sx 5 0.

lím f sxd − lím1 s x 2 4 − s4 2 4 − 0

x : 41

x :4

Dado que f(x) 5 8 2 2x para x , 4, se tiene y

lím f sxd − lím2 s8 2 2xd − 8 2 2 ? 4 − 0

x : 42

x :4

Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales. Por lo que el límite existe y 0

4

FIGURA 5

Stewart_ch02_077-105.indd 100

x

lím f sxd − 0

x:4

La gráfica de f se muestra en la figura 5.

n

08/06/17 1:34 p.m.

101

SECCIÓN 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites

Otras notaciones para v x b son fxg y :x;. A veces, la función parte entera se llama función piso.

EJEMPLO 10 La función parte entera está definida por v x b − el mayor entero que

es menor que o igual a x. (Por ejemplo, v4 b − 4, v4.8b − 4, v b − 3, v s2 b 5 1, v212 b − 21.) Demuestre que límx : 3vxb no existe. SOLUCIÓN La gráfica de la función parte entera se muestra en la figura 6. Ya que vxb 5 3 para 3 < x , 4, se tiene

y 4 3

lím v x b − lím1 3 − 3

x : 31

y=[ x]

2 1 0

x :3

Ya que vxb 5 2 para 2 < x , 3, se tiene 1

2

3

4

5

x

lím v x b − lím2 2 − 2

x : 32

x :3

Ya que estos límites laterales no son iguales, límx : 3 vxb no existe por el teorema 1. n

FIGURA 6 Función parte entera

Los dos teoremas siguientes dan dos propiedades adicionales para los límites. Sus demostraciones se encuentran en el apéndice F.

2 Teorema Si f(x) < g(x) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en a) y los límites de f y g existen cuando x tiende a a, entonces lím f sxd < lím tsxd

x:a

x:a

3 El teorema de la compresión Si f(x) < g(x) < h(x) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en a) y lím f sxd − lím hsxd − L

x:a

y

x:a

h g

lím tsxd − L

entonces

x:a

L

f 0

FIGURA 7

a

x

El teorema de la compresión, llamado a veces teorema del sándwich o del apretón, se ilustra en la figura 7. Se dice que si g(x) se comprime entre f(x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces g es forzada a tener el mismo límite L en a.

EJEMPLO 11 Demuestre que lím x 2 sen x:0

1 − 0. x

SOLUCIÓN Primero observe que no puede utilizar

lím x 2 sen

x:0

1 1 − lím x 2 ? lím sen x:0 x:0 x x

ya que límx : 0 sen(1/x) no existe (véase el ejemplo 2.2.4). En su lugar se aplica el teorema de la compresión, por lo que se tiene que encontrar una función f menor que g(x)5 x2 sen(1/x) y una función h mayor que g tal que tanto f(x)

Stewart_ch02_077-105.indd 101

08/06/17 1:34 p.m.

102

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

como h(x) tiendan a 0. Para hacer esto, se utiliza lo que se sabe de la función seno. Ya que el seno de cualquier número está entre 21 y 1, se puede escribir 4

21 < sen

1 <1 x

Cualquier desigualdad permanece válida cuando se multiplica por un número positivo. Se sabe que x2 > 0 para toda x, así multiplicando cada lado de la desigualdad en (4) por x2, se obtiene 2x 2 < x 2 sen

y

y=≈

1 < x2 x

como se ilustra en la figura 8. Se sabe que lím x 2 − 0

x

0

lím s2x 2 d − 0

y

x: 0

x: 0

Tomando f(x) 5 2x2, g(x) 5 x2 sen(1/x) y h(x) 5 x2 del teorema de la compresión, se obtiene 1 lím x 2 sen − 0 n x: 0 x

y=_≈

FIGURA 8 y 5 x2 sen (1/x)

EJERCICIOS

2.3

1. Dado que

4. lím sx 2 1 xds3x 2 1 6d lím tsxd − 22

lím f sxd − 4

x:2

lím hsxd − 0

x: 2

x:2

encuentre los límites que existen. Si el límite no existe, explique por qué. (a) lím f f sxd 1 5tsxdg

(b) lím f tsxdg

(c) lím sf sxd

(d) lím

tsxd (e) lím x : 2 hsxd

tsxdhsxd (f) lím x:2 f sxd

x:2

x:2

x:2

x:2

3

3f sxd tsxd

2. Las gráficas de f y g están dadas. Utilícelas para evaluar cada límite si es que existe. Si el límite no existe, explique por qué. (a) lím f f sxd 1 tsxdg

(b) lím f f sxd 2 tsxdg

(c) lím f f sxd tsxdg

f sxd (d) lím x : 3 tsxd

(e) lím fx 2 f sxdg

(f) f s21d 1 lím tsxd

x :2

x:0

x : 21 x :2

y=©

x

0

1

x

3–9 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las leyes de los límites apropiadas. 3. lím s3x 1 2x 2 x 1 1d x : 22

Stewart_ch02_077-105.indd 102

x:8

9. lím

x:2

Î

u: 22

8. lím

t:2

S

t2 2 2 t 2 3t 1 5 3

D

2

2x 2 1 1 3x 2 2

10. (a) ¿Cuál es el error en la siguiente ecuación? x2 1 x 2 6 −x13 x22 (b) Usando el inciso (a), explique por qué la ecuación x :2

x2 1 x 2 6 − lím sx 1 3d x :2 x22

es correcta.

11. lím

x2 1 x 2 6 x22

12. lím

13. lím

x2 2 x 1 6 x22

14. lím

x :2

1

1

2

3 7. lím s1 1 s x ds2 2 6x 2 1 x 3 d

6. lím su 4 1 3u 1 6

11–32 Evalúe cada uno de los límites siguientes si existen.

y=ƒ

4

t : 22

t4 2 2 2t 2 3t 1 2 2

lím

y

1

5. lím

x : 21

y

0

x: 21

x :2

15. lím

t : 23

17. lím

h:0

t2 2 9 2t 1 7t 1 3 2

s25 1 hd 2 25 h 2

x : 23

x:4

16. lím

x 2 1 3x x 2 x 2 12 2

x : 21

18. lím

h:0

x 2 1 3x x 2 2 x 2 12

2x 2 1 3x 1 1 x 2 2 2x 2 3

s2 1 hd3 2 8 h

08/06/17 1:34 p.m.

103

SECCIÓN 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites

19. lím

x23 x 3 2 27

20. lím

t4 2 1 t3 2 1

21. lím

s9 1 h 2 3 h

22. lím

s4u 1 1 2 3 u22

x :3

h:0

t:1

u: 2

1 1 2 x 3 23. lím x :3 x 2 3 t:0

27. lím

x : 16

29. lím

t:0

s3 1 hd 2 3 24. lím h:0 h

4 2 sx 16x 2 x 2

S

31. lím

h:0

x :0

21

s1 1 t 2 s1 2 t t

25. lím

40. Demuestre que lím1 sx e sens

26. lím

t : 21

x :2

1 1 2 t s1 1 t t

D

30. lím

x:24

|

x 2 1 2x 1 1 x4 2 1 x 2 4x 1 4 x 4 2 3x 2 2 4 sx 2 1 9 2 5 x14

43. lím 2 x : 0.5

45. lím2 x :0

S

1 1 2 x x

| |

; 34. (a) Utilice la gráfica de

s3 1 x 2 s3 x para calcular el valor de límx : 0 f(x) con dos decimales. (b) Utilice una tabla de valores de f(x) para calcular el límite con cuatro decimales. (c) Utilice las leyes de los límites para encontrar el valor exacto del límite. f sxd −

; 35. Utilice el teorema de la compresión para demostrar que límx : 0 (x2 cos 20px) 5 0. Ilustre trazando las gráficas de las funciones f(x) 5 2x2, g(x) 5 x2 cos 20px y h(x) 5 x2 al trazar la gráfica en la misma pantalla.

lím sx 3 1 x 2 sen

x

37. Si 4x 2 9 < f(x) < x2 2 4x 1 7 para x > 0, encuentre lím f sxd. x:4

38. Si 2x < g(x) < x 2 x 1 2 para toda x, evalúe lím tsxd. 2 39. Demuestre que lím x cos − 0. x :0 x 4

D

46. lím1 x :0

H

| |

22 x 21x

S

1 1 2 x x

| |

D

21 si x , 0 20 si x − 0 21 si x . 0

x:1

x :0

(ii) lím2 sgn x

(iii) lím sgn x

(iv) lím sgn x

x l0

x:0

x:0

|

|

48. Sea g(x)5 sgn(sen x). (a) Encuentre cada uno de los límites siguientes o explique por qué no existen. (i) lím1 tsxd (ii) lím2 tsxd (iii) lím tsxd x :0

x :0

(iv) lím1 tsxd

(v)

x:

x :0

lím tsxd

x: 2

(vi) lím tsxd x:

(b) Para qué valores de a ¿no existe límx : a g(x)? (c) Trace la gráfica de g. 49. Sea tsxd −

x2 1 x 2 6 . x22

|

(a) Encuentre (i) lím1 tsxd

|

(ii) lím2 tsxd

x :2

(b) ¿Existe límx : 2 g(x)? (c) Trace la gráfica de g. 50. Sea f sxd −

−0

Ilústrelo con las gráficas de las funciones f, g y h (en la notación del teorema de la compresión), en la misma pantalla.

2

|

x : 22

sgn x −

; 36. Utilice el teorema de la compresión para demostrar que x :0

44. lím

(i) lím1 sgn x

al trazar la gráfica de la función f sxd − xyss1 1 3x 2 1d. (b) Haga una tabla de valores de f(x) para x cercana a 0 e infiera el valor del límite. (c) Utilice las leyes de los límites para demostrar que su conjetura es correcta.

Stewart_ch02_077-105.indd 103

|

2x 2 1 2x 3 2 x 2

|

47. La función signum (o signo), que se denota por sgn, está definida por

x 1 s1 3x 2 1

lím

x :0

|

(a) Trace la gráfica de esta función. (b) Encuentre cada uno de los límites siguientes o explique por qué no existen.

; 33. (a) Calcule el valor de

4

|

21

1 1 2 2 sx 1 hd x2 32. lím h:0 h

sx 1 hd3 2 x 3 h

− 0.

41–46 Encuentre cada uno de los límites siguientes si estos existen. Si el límite no existe, explique por qué. 2x 1 12 41. lím s2x 1 x 2 3 d 42. lím x:3 x : 26 x 1 6

2

28. lím

yxd

H

x :2

x2 1 1 si x , 1 sx 2 2d 2 si x > 1

(a) Encuentre límx : 12 f(x) y límx : 11 f(x). (b) ¿Existe límx : 1 f(x)? (c) Trace la gráfica de f. 51. Sea Bstd −

H

4 2 12 t

si t , 2

st 1 c

si t > 2

Determine el valor de c tal que lím Bstd exista. t:2

08/06/17 1:34 p.m.

104

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

f sxd 2 8 − 10 encuentre lím f sxd. x:1 x21 f sxd 60. Si lím 2 − 5 encuentre cada uno de los límites siguientes. x:0 x f sxd (a) lím f sxd (b) lím x:0 x:0 x 61. Si x 2 si x es racional f sxd − 0 si x es irracional 59. Si lím

52. Sea tsxd −

x 3 2 2 x2 x23

si si si si

x:1

x,1 x−1 1,x<2 x.2

(a) Evalúe cada una de los límites siguientes si es que existen. (i) lím2 tsxd (ii) lím tsxd (iii) ts1d x :1

x:1

(iv) lím2 tsxd

(v) lím1 tsxd

x :2

(b) Trace la gráfica de g.

x:2

(vi) lím tsxd x:2

demuestre que límx : 0 f(x) 5 0 62. Demuestre por medio de un ejemplo que puede existir el límx : a [f(x) 1 g(x)], aunque no exista el límx : a f(x) ni el límx : a g(x).

53. (a) Si el símbolo v b denota la función parte entera definida en el ejemplo 10, evalúe: (i) lím 1 v x b (ii) lím v x b (iii) lím v x b x : 22

x : 22

x :n

x:n

(b) Si n es un entero, evalúe (i) lím2 v x b (ii) lím1 v x b

x : 22.4

63. Demuestre por medio de un ejemplo que puede existir el límx : a [f(x)g(x)], aunque no exista el límx : a f(x) ni el límx : a g(x).

(c) ¿Para qué valores de a existe el límx : av x b?

s6 2 x 2 2 . s3 2 x 2 1 65. ¿Existe un número a tal que exista el

64. Evalúe lím

x:2

54. Sea f sxd − v cos x b , 2 < x < . (a) Trace la gráfica de f. (b) Evalúe cada uno de los límites siguientes si existen. (i) lím f sxd (ii) lím 2 f sxd x:0

(iii)

x : s y2d

3x 2 1 ax 1 a 1 3 ? x : 22 x2 1 x 2 2 Si es así, encuentre el valor de a y el valor del límite. lím

x : s y2d

lím 1 f sxd

H

(iv) lím f sxd x : y2

(c) ¿Para qué valores de a existe el límx : a f(x)? 55. Si f sxd − v x b 1 v 2x b , muestre que límx : 2 f(x) existe, pero no es igual a f(2). 56. En la teoría de la relatividad, la fórmula de contracción de Lorentz

66. La figura muestra una circunferencia C1 con ecuación (x 2 1)2 1 y2 5 1 y una circunferencia C2 con radio r y centro en el origen que se contrae. P es el punto (0, r), Q es el punto superior de intersección de las dos circunferencias y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje de las x. ¿Qué pasa con R cuando C2 se contrae, esto es, cuando r : 01? y

L − L 0 s1 2 v 2yc 2 expresa la longitud L de un objeto como función de su velocidad √ con respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Encuentre lím√ : c2 L e interprete el resultado. ¿Por qué es necesario el límite lateral por la izquierda?

P

Q

C™

0

R

57. Si p es una función polinomial, demuestre que límx : a p(x)5 p(a).

x



58. Si r es una función racional, utilice el ejercicio 57 para demostrar que límx : a r(x) 5 r(a) para todo número a en el dominio de r.

2.4

Definición precisa de límite La definición intuitiva de límite dada en la sección 2.2 es inadecuada para algunos propósitos porque frases como “x es muy cercano a 2” y “f(x) se acerca más y más a L” son muy vagas. Para demostrar convincentemente que lím

x:0

S

x3 1

cos 5x 10 000

D

− 0.0001

o

lím

x:0

sen x −1 x

se debe precisar la definición de límite.

Stewart_ch02_077-105.indd 104

08/06/17 1:34 p.m.

SECCIÓN 2.4 Definición precisa de límite

105

Para motivar la definición precisa de límite, considere la siguiente función f sxd −

H

2x 2 1 si x ± 3 6 si x − 3

Intuitivamente, es claro que cuando x está cerca de 3, pero x  3, entonces f(x) está cerca de 5, y así límx : 3 f(x) 5 5. Para obtener una información más detallada de cómo varía f(x) cuando x está cerca de 3, habrá que preguntar: ¿Qué tan cerca tiene que estar x de 3 para que f(x) difiera de 5 en menos de 0.1? Es tradición usar la letra griega d (delta) en este caso.

La distancia de x a 3 es Z x 2 3 Z, y la distancia de f(x) a 5 es Z f(x) 2 5 Z, por lo que el problema es encontrar un número d tal que

| f sxd 2 5 | , 0.1

|x 2 3| , 

si

pero x ? 3

Si Z x 2 3 Z . 0, entonces x  3, por lo que una formulación equivalente del problema es encontrar un número d tal que

| f sxd 2 5 | , 0.1

si

|

|

0, x23 ,

Observe que si 0 , Z x 2 3 Z ,0.1/2 5 0.05, entonces

| f sxd 2 5 | − | s2x 2 1d 2 5 | − | 2x 2 6 | − 2| x 2 3 | , 2s0.05d − 0.1 | f sxd 2 5 | , 0.1

esto es,

si

|

|

0 , x 2 3 , 0.05

Así, una respuesta al problema está dada por d 5 0.05; esto es, si x está dentro de una distancia de 0.05 de 3, entonces f(x) deberá estar dentro de una distancia de 0.1 de 5. Si se cambia el número 0.1 en el problema por el número menor 0.01, entonces, utilizando el mismo método, se encuentra que f(x) diferirá de 5 por menos de 0.01 siempre que x difiera de 3 por menos de (0.01)/2 5 0.005:

| f sxd 2 5 | , 0.01

|

|

|

|

si

0 , x 2 3 , 0.005

si

0 , x 2 3 , 0.0005

Del mismo modo,

| f sxd 2 5 | , 0.001

Los números 0.1, 0.01 y 0.001 que ha considerado son las tolerancias de error que puede permitir. Para que 5 sea el límite exacto de f(x) cuando x tiende a 3, se debe no solo poder hacer la diferencia entre f(x) y 5 por debajo de cada uno de estos tres números; también se debe ser capaz de estar por debajo de cualquier número positivo. Y, por el mismo razonamiento, ¡claro que es posible! Si se escribe e (la letra griega épsilon) para un número positivo arbitrario, entonces se encuentra al igual que antes 1

| f sxd 2 5 | , «

si

|

|

0, x23 ,−

« 2

Esta es una forma precisa de decir que f(x) está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 porque (1) dice que puede hacer que los valores de f(x) queden dentro de una distancia arbitraria e a partir de 5, tomando los valores de x dentro de una distancia e/2 de 3 (pero x  3).

Stewart_ch02_077-105.indd 105

08/06/17 1:34 p.m.

106

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Note que (1) se puede reescribir como sigue:

y

Si 3 2  , x , 3 1  sx ± 3d

5+∑ ƒ 5 está aquí 5-∑ dentro

entonces

5 2 « , f sxd , 5 1 «

y se ilustra en la figura 1. Tomando los valores de x ( 3) en el intervalo (3 2 d, 3 1 d), se puede lograr que los valores de f(x) estén en el intervalo (5 2 e, 5 1 e). Utilizando (1) como un modelo, se da una definición precisa de límite.

0

x

3

3-∂

3+∂

cuando x está acá dentro (x≠3)

2 Definición precisa de un límite Sea f la función definida sobre algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces, se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L, y se expresa como lím f sxd − L

x:a

FIGURA 1

si para cada número e . 0 existe un número d . 0 tal que

|

|

si 0 , x 2 a , 

entonces

| f sxd 2 L | , «

Puesto que ) x 2 a ) es la distancia de x a a y ) f(x) 2 L ) es la distancia de f(x) a L, y como e puede ser arbitrariamente pequeña, la definición de límite se puede expresar en palabras como sigue: límx:a f(x) 5 L significa que la distancia entre f(x) y L puede hacerse arbitrariamente pequeña, tomando la distancia de x a a suficientemente pequeña (pero no 0).

Alternamente, límx:a f(x) 5 L significa que los valores de f(x) pueden hacerse tan cercanos a L como se quiera, tomando x suficientemente cerca de a (pero no igual a a).

También se puede reformular la definición 2 en términos de intervalos, observando que la desigualdad ) x 2 a ) , d es equivalente a 2 d , ) x 2 a ) , d, que puede escribirse como a 2 d , x , a 1 d. Además, 0 , ) x 2 a ) es verdadera si y solo si x 2 a  0; esto es, x  a. Del mismo modo, la desigualdad ) f(x) 2 L ) , e es equivalente al par de desigualdades L 2 e , f(x) , L 1 e. Por tanto, en términos de intervalos, la definición 2 se puede establecer como sigue: límx:a f(x) 5 L significa que para toda e . 0 (sin importar qué tan pequeña sea e), se puede encontrar una d . 0 tal que si x está dentro del intervalo abierto (a 2 d, a 1 d) y x  a, entonces f(x) está dentro del intervalo abierto (L 2 e, L 1 e).

Geométricamente, este enunciado se interpreta representando una función por un diagrama de flechas, como en la figura 2, donde f hace corresponder un subconjunto de  con otro subconjunto de .

f

FIGURA 2

x

a

f(a)

ƒ

La definición de límite dice que si cualquier intervalo pequeño (L 2 e, L 1 e) está dado alrededor de L, entonces se puede encontrar un intervalo (a 2 d, a 1 d) alrededor de a tal que f mapea todos los puntos de (a 2 d, a 1 d) (excepto posiblemente a a) en el intervalo (L 2 e, L 1 e). (Véase la figura 3.)

Stewart_ch02_106-123.indd 106

08/06/17 1:38 p.m.

107

SECCIÓN 2.4 Definición precisa de límite

f x

FIGURA 3

a-∂

ƒ a

a+∂

L-∑

L

L+∑

Geométricamente, puede darse otra interpretación de límite en términos de la gráfica de una función. Si e . 0 está dada, entonces se dibujan las rectas horizontales y 5 L 1 e, y y 5 L 2 e y la gráfica de f (véase la figura 4). Si límx : a f(x) 5 L, entonces se puede encontrar un número d . 0 tal que si se restringe a x en el intervalo (a 2 d, a 1 d) y se toma x  a, entonces la curva y 5 f(x) está entre las rectas y 5 L 2 e y y 5 L 1 e. (Véase la figura 5.) Puede usted ver que si se encuentra tal d, entonces cualquier d más pequeña también funcionará. Es importante darse cuenta de que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar para todo número positivo e, sin importar qué tan pequeño se elija. En la figura 6 se muestra que si se elige un e más pequeño, entonces se podría requerir una d más pequeña. y=ƒ

y

y

y

y=L+∑

y=L+∑ ƒ está L aquí dentro

∑ L ∑

y=L-∑

0

y=L+∑



y=L-∑

L-∑

y=L-∑

0

x

a

L+∑



0

x

a

a-∂

a+∂

x

a

a-∂

a+∂

cuando x está acá dentro (x≠a)

FIGURA 4

FIGURA 5

15

FIGURA 6

EJEMPLO 1 Ya que f(x) 5 x3 2 5x 1 6 es un polinomio, se sabe por la propiedad de

la sustitución directa que límx : 1 f(x) 5 f(1) 5 13 2 5(1) 1 6 5 2. Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que si x está a menos de d desde 1, entonces y está a menos de 0.2 desde 2, esto es, _3

3 _5

si

|x 2 1| , 

entonces

| sx

3

|

2 5x 1 6d 2 2 , 0.2

En otras palabras, encuentre un número d que corresponda a e 5 0.2 en la definición de un límite para la función f(x) 5 x3 2 5x 1 6 5 1 con a 5 1 y L 5 2.

FIGURA 7

SOLUCIÓN En la figura 7 se muestra una gráfica de f; se está interesado en la región cerca del punto (1, 2). Observe que puede reescribir la desigualdad

| sx

2.3 y=2.2

como

y=˛-5x+6

3

|

2 5x 1 6d 2 2 , 0.2

20.2 , sx 3 2 5x 1 6d 2 2 , 0.2

(1, 2)

o en forma equivalente

y=1.8 0.8 1.7

FIGURA 8

Stewart_ch02_106-123.indd 107

1.2

1.8 , x 3 2 5x 1 6 , 2.2

Por lo que necesita determinar los valores de x para los cuales la curva y 5 x3 2 5x 1 6 está entre las rectas horizontales y 5 1.8 y y 5 2.2. Por eso, grafique las curvas y 5 x3 2 5x 1 6, y 5 1.8 y y 5 2.2 cerca del punto (1, 2) en la figura 8. Después

08/06/17 1:38 p.m.

108

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

utilice el cursor para calcular que la coordenada x del punto de intersección de la recta y 5 2.2 y la curva y 5 x3 2 5x 1 6 está cerca de 0.911. Del mismo modo, y 5 x3 2 5x 1 6 interseca la recta y 5 1.8 cuando x < 1.124. Así, al redondear hacia 1 para estar seguro, se puede decir que si

0.92 , x , 1.12

1.8 , x 3 2 5x 1 6 , 2.2

entonces

Este intervalo (0.92, 1.12) no es simétrico con respecto a x 5 1. La distancia de x 5 1 al punto extremo izquierdo es 1 2 0.92 5 0.08, y la distancia al punto final derecho es 0.12. Es posible elegir a d como el menor de estos números, esto es, d 5 0.08. Entonces, se puede reescribir las desigualdades en términos de distancias como sigue: si

| x 2 1 | , 0.08

entonces

| sx

3

|

2 5x 1 6d 2 2 , 0.2

Esto dice justamente que manteniendo a x dentro del 0.08 de 1, se mantiene f(x) dentro del 0.2 de 2. Aunque seleccione d 5 0.08, cualquier valor positivo más pequeño también habría funcionado. n

TEC En Module [email protected] usted puede explorar la definición precisa de límite de una forma gráfica y numérica.

El procedimiento gráfico en el ejemplo 1 proporciona una ilustración de la definición para e 5 0.2, pero no demuestra que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una d para toda e. Para pulir los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como un desafío. Primero lo retan con un número e. Después, debe usted ser capaz de producir una d adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda e . 0, no solo para una e en particular. Imagine una contienda entre dos personas A y B, en la que usted es B. La persona A le indica que se debe aproximar al número fijo L por medio de valores de f(x) dentro de un grado de exactitud e, (digamos 0.01). Por tanto, la persona B responde determinando un número d tal que si 0 , ) x 2 a ) , d, entonces ) f(x) 2 L ) , e. Luego, A podría exigir aún más y desafío a B con un valor más pequeño de d, (digamos 0.0001). Una vez más, B tiene que responder encontrando una d apropiada. Usualmente, a medida que el valor de e es más pequeño, el correspondiente valor de d se reduce. Si B siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a e, entonces lím f(x) 5 L. x:a

EJEMPLO 2 Pruebe que límx : 3 (4x 2 5) 5 7. SOLUCIÓN 1. Análisis preliminar del problema (intuir un valor para d). Sea e un número positivo dado. Encuentre un número d tal que

|

|

entonces

| s4x 2 5d 2 7 | , « Pero | s4x 2 5d 2 7 | 5 | 4x 2 12 | 5 | 4sx 2 3d | 5 4| x 2 3 |. Por tanto, se quiere una |

|

entonces

4 x23 ,«

|

|

entonces

|x 2 3| , 4

si

0, x23 ,

si

0, x23 ,

si

0, x23 ,

d tal que

esto es,

|

|

«

Esto sugiere que debe elegir d 5 [email protected] 2. Demostración (demostrar que esta d funciona). Dado e . 0, elija d 5 [email protected] Si 0 , ) x 2 3 ) , d, entonces

SD

| s4x 2 5d 2 7 | − | 4x 2 12 | − 4| x 2 3 | , 4 − 4

Stewart_ch02_106-123.indd 108

« 4

−«

08/06/17 1:38 p.m.

SECCIÓN 2.4 Definición precisa de límite

109

Así si

|

|

0, x23 ,

entonces

| s4x 2 5d 2 7 | , «

Por tanto, por la definición de límite, lím (4x 2 5) 5 7 x:3

Cauchy y los límites Después de la invención del cálculo en el siglo XVII, siguió un período de fecundo desarrollo de la materia en el siglo XVIII. Matemáticos como Euler y los hermanos Bernoulli estaban ansiosos por aprovechar el potencial del cálculo, por lo que exploraron audazmente las consecuencias de esta nueva y maravillosa teoría matemática, sin preocuparse demasiado por si sus demostraciones eran completamente correctas. El siglo XIX, por el contrario, fue la Edad del Rigor en matemáticas. Hubo un movimiento para volver a los fundamentos del tema, para proporcionar cuidadosas definiciones y rigurosas demostraciones. A la vanguardia de este movimiento estaba el matemático francés Augustin Louis Cauchy (17891857), que comenzó como ingeniero militar antes de convertirse en profesor de matemáticas en París. Cauchy tomó la idea de Newton de límite, que mantuvo viva el matemático francés Jean d’Alembert, en el siglo XVIII, haciéndola más precisa. Su definición de un límite se lee así: “Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para terminar difiriendo por tan poco como uno quiera, esto se llama el límite de los otros”. Pero cuando Cauchy aplicaba esta definición en ejemplos y demostraciones, utilizaba a menudo desigualdades delta-épsilon similares a las de esta sección. Una demostración típica de Cauchy comienza con: “designar por d y e dos números muy pequeños; ...”. Utilizaba e debido a la correspondencia entre épsilon y la palabra francesa erreur y d ya que la delta corresponde a la palabra francesa différence. Después, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) estableció la definición de límite exactamente como en nuestra definición 2.

Este ejemplo se ilustra en la figura 9. y

y=4x-5 7+∑ 7

7-∑

0

x

3

FIGURA 9

3-∂

3+∂

n

Observe que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: intuir y verificar. Se efectuó un análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de d. Pero luego, en la segunda etapa, se tuvo que regresar y verificar en forma cuidadosa y lógica que dio una opinión correcta. Este procedimiento es característico de gran parte de las matemáticas. Algunas veces se necesita hacer primero una conjetura inteligente con respecto a la respuesta de un problema y luego demostrar que la suposición es correcta. Las definiciones intuitivas de límites laterales que se presentan en la sección 2.2 se pueden reformular de la forma siguiente. 3 Definición de límite por la izquierda lím2 f(x) 5 L x:a

Si para todo número e . 0 existe un número d . 0 tal que si

a2,x,a

entonces

| f sxd 2 L | , «

4 Definición de límite por la derecha lím1 f(x) 5 L x:a

Si para todo número e . 0 existe un número d . 0 tal que si

a,x,a1

entonces

| f sxd 2 L | , «

Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2, excepto que x está restringida a encontrarse en la mitad izquierda (a 2 d, a) del intervalo (a 2 d, a 1 d). En la definición 4, x está restringida a encontrarse en la mitad derecha (a, a 1 d) del intervalo (a 2 d, a 1 d).

Stewart_ch02_106-123.indd 109

08/06/17 1:38 p.m.

110

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

EJEMPLO 3 Utilice la definición 4 para demostrar que lím sx 5 0. x : 01 SOLUCIÓN 1. Infiera un valor para d. Sea e un número positivo dado. Aquí a 5 0 y L 5 0, por lo que se quiere encontrar un número d tal que

esto es,

si

0,x,

entonces

) sx 2 0 ) , e

si

0,x,

entonces

sx , e

o, elevando al cuadrado ambos lados de la desigualdad sx , e, se obtiene si

0,x,

x , «2

entonces

Esto sugiere que se debe elegir d 5 e2. 2. Demuestre que esta d funciona. Dado e . 0, sea d 5 e2. Si 0 , x , d, entonces sx , sd 5 se2 5 e ) sx 2 0 ) , e

así,

De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que límx : 01 sx 5 0.

n

EJEMPLO 4 Demuestre que lím x2 5 9. x:3 SOLUCIÓN 1. Infiera un valor para d. Sea e . 0 un valor dado. Se tiene que encontrar un número d . 0 tal que

si

|

|

0, x23 ,

entonces

|x

2

|

29 ,«

Para relacionar ) x2 2 9 ) con ) x 2 3 ) se escribe ) x2 2 9 ) 5 ) (x 1 3)(x 2 3) ). Entonces queremos que si

|

|

0, x23 ,

entonces

| x 1 3 || x 2 3 | , «

Observe que si se puede encontrar un número constante positivo C tal que ) x 1 3 ), C, entonces

| x 1 3 || x 2 3 | , C | x 2 3 | y se puede hacer C ) x 2 3 ) , e tomando ) x 2 3 ) , [email protected], así podría elegir d 5 [email protected] Puede encontrar tal número C si restringe x a algún intervalo centrado en 3. De hecho, esté interesado solo en valores de x que se encuentren en un intervalo centrado en 3. Ya que en efecto solo le interesan los valores de x que sean cercanos a 3, por lo que es razonable suponer que x está dentro de una distancia de 1 de 3, esto es, ) x 2 3 ) , 1. Entonces 2 , x , 4, por lo que 5 , x 1 3 , 7. Así, se tiene que ) x 1 3 ) , 7, y, por tanto, C 5 7 es una elección adecuada para la constante. Pero ahora hay dos restricciones sobre ) x 1 3 ), a saber

|x 2 3| , 1

y

«

«

|x 2 3| , C 5 7

Para asegurar que ambas desigualdades se satisfacen, tome d como el menor de los dos números 1 y [email protected] La notación para esto es d 5 mín{1, [email protected]}.

Stewart_ch02_106-123.indd 110

08/06/17 1:38 p.m.

111

SECCIÓN 2.4 Definición precisa de límite

2. Demuestre que esta d funciona. Dado e . 0, sea d 5 mín {1, [email protected]}. Si 0 , ) x 2 3 ) , d, entonces ) x 2 3 ) , 1 Q 2 , x , 4 Q ) x 1 3 ) , 7 (como en el inciso 1). También se tiene ) x 2 3 ) , [email protected], así que

|x

2

| |

||

|

29 − x13 x23 ,7?

« −« 7

Esto demuestra que límx : 3 x2 5 9.

n

Como se ilustra en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que los enunciados de límite son verdaderos utilizando la definición e, d. De hecho, si se tiene una función más complicada como f(x) 5 (6x2 2 8x 1 9)@(2x221), una demostración requeriría una gran cantidad de ingenio. Afortunadamente, esto es innecesario porque las leyes de los límites establecidas en la sección 2.3 se pueden demostrar utilizando la definición 2, y luego los límites de funciones complicadas pueden determinarse en forma rigurosa a partir de estas leyes, sin recurrir directamente a la definición. Por ejemplo, a continuación se demuestra la ley de la suma: si límx : a g(x) 5 L y límx : a f(x) 5 M ambos existen, entonces lím f f sxd 1 tsxdg − L 1 M

x:a

Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA Sea e . 0. Se debe encontrar d . 0 tal que

si Desigualdad del triángulo:

|a 1 b| < |a| 1 |b| (Véase el apéndice A).

|

|

0, x2a ,

| f sxd 1 tsxd 2 sL 1 Md | , «

entonces

Utilizando la desigualdad del triángulo se puede escribir 5

| f sxd 1 tsxd 2 sL 1 Md | 5 | s f sxd 2 Ld 1 stsxd 2 Md | < | f sxd 2 L | 1 | tsxd 2 M |

Haga ) f(x) 1 g(x) 2 (L 1 M) ) menor que e haciendo cada uno de los términos ) f(x) 2 L ) y ) g(x) 2 M ) menores que [email protected] Dado que [email protected] . 0 y límx : a f(x) 5 L, existe un número d1 . 0 tal que

|

|

0 , x 2 a , 1

si

«

| f sxd 2 L | , 2

entonces

Del mismo modo, puesto que límx : a g(x) 5 M, existe un número d2 . 0 tal que

|

si

|

0 , x 2 a , 2

«

| tsxd 2 M | , 2

entonces

Sea d 5 mín{d1, d2}, el menor de los números d1 y d2. Observe que

|

|

si

0 , x 2 a ,  entonces

y así

| f sxd 2 L | , 2

«

Por tanto, por 5,

|

|

0 , x 2 a , 1 y

y

|

|

0 , x 2 a , 2 «

| tsxd 2 M | , 2

| f sxd 1 tsxd 2 sL 1 Md | < | f sxd 2 L | 1 | tsxd 2 M | ,

Stewart_ch02_106-123.indd 111

« « 1 5« 2 2

08/06/17 1:38 p.m.

112

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Para resumir, si

|

|

0, x2a ,

entonces

| f sxd 1 tsxd 2 sL 1 Md | , «

Así, por la definición de límite, lím f f sxd 1 tsxdg − L 1 M

n

x:a

Límites infinitos Los límites infinitos también se pueden definir de manera precisa. La siguiente es una versión exacta de la definición 2.2.4. 6 Definición precisa de un límite infinito Sea f una función definida sobre algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces lím f(x) 5 ` x:a

y

significa que para todo número positivo M existe un número positivo tal que y=M

M

0

x

a

a-∂

a+∂

FIGURA 10

|

|

0, x2a ,

si

f sxd . M

entonces

Esto dice que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (más grandes que cualquier número M dado), tomando x suficientemente cercana a a (dentro de una distancia d, donde d depende de M, pero con x  a ). Una ilustración geométrica se muestra en la figura 10. Dada cualquier recta horizontal y 5 M, puede encontrar un número d . 0 tal que si se restringe x al intervalo (a 2 d, a 1 d), pero x  a, entonces la curva y 5 f(x) está por encima de la recta y 5 M. Usted puede ver que si se elige un valor muy grande de M, entonces se requiere un d muy pequeño. 1 − `. x:0 x2 SOLUCIÓN Sea M un número positivo dado. Se quiere encontrar un número d tal que

EJEMPLO 5 Utilice la definición 6, para demostrar que lím

si Pero

1 .M x2

3

| |

0, x , x2 ,

1 M

1yx 2 . M

entonces 3

sx 2 ,

Î

1 M

3

1

| x | , sM

Por lo que si se elige d 5 [email protected] y 0 , ) x ) , d 5 [email protected], entonces [email protected] . M. Esto muestra que [email protected] : ` conforme x : 0.

n

Del mismo modo, la siguiente es una versión precisa de la definición 2.2.5. Esto se ilustra en la figura 11.

y

a-∂

a+∂ a

0

N

x

7 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces lím f(x) 5 2` x:a

y=N

significa que para todo número negativo N existe un número positivo d tal que FIGURA 11

Stewart_ch02_106-123.indd 112

si

|

|

0, x2a ,

entonces

f sxd , N

08/06/17 1:38 p.m.

113

SECCIÓN 2.4 Definición precisa de límite

EJERCICIOS

2.4

1. Utilice la gráfica de f para encontrar un número d tal que

|x 2 1| , 

si

| f sxd 2 1 | , 0.2

entonces

; 5. Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que

Z

si

y

x2

 4

Z

| tan x 2 1 | , 0.2

entonces

,

; 6. Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que

1.2 1 0.8

| x 2 1| , 

si

entonces

Z

Z

2x 2 0.4 , 0.1 x 14 2

; 7. Para el límite 0

0.7

lím sx 3 2 3x 1 4d 5 6

x

1 1.1

x:2

2. Utilice la gráfica de f para encontrar un número d tal que

|

|

0, x23 ,

si

| f s xd 2 2 | , 0.5

entonces

ilustre la definición 2 para encontrar valores de d que correspondan a e 5 0 y e 5 0.1. ; 8. Para el límite

y

lím

x:0

e 2x 2 1 52 x

2.5

ilustre la definición 2 para encontrar valores de d que correspondan a e 5 0.5 y e 5 0.1.

2 1.5

; 9. (a) Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que

0

2.6 3

si

x

3.8

2,x,21

entonces

1 . 100 lnsx 2 1d

(b) ¿Qué límite sugiere el inciso (a) que es verdadero? 3. Utilice la gráfica dada de f(x) 5 sx para encontrar un número tal d que si

|x 2 4| , 

| sx 2 2 | , 0.4

entonces

y

y=œ„ x 2.4 2 1.6

0

?

x

?

4

4. Utilice la gráfica dada de f(x) 5 x2 para encontrar un número d tal que si

|x 2 1| , 

|x

entonces

2

|

2 1 , 12

y

y=≈

1.5

0.5

Stewart_ch02_106-123.indd 113

11. Se requiere un tornero para fabricar un disco metálico circular con 1000 cm2 de área. (a) ¿Qué radio produce tal disco? (b) Si al tornero se le permite una tolerancia de error de 65 cm2 en el área del disco, ¿qué tan cercano al radio ideal del inciso (a) debe el tornero mantener el radio? (c) En términos de la definición e, d de límx : a f(x) 5 L, ¿Qué es x? ¿Qué es f(x)? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? ; 12. Un horno de confección de cristales se utiliza en la investigación para determinar la mejor manera de fabricar cristales que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el idóneo, la temperatura se tiene que controlar exactamente ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se representa con T swd − 0.1w 2 1 2.155w 1 20

1

0

; 10. Dado que límx : p csc2 x 5 `, ilustre la definición 6, encontrando valores de d que corresponden a (a) M 5 500 y (b) M 5 1000.

?

1

?

x

donde T es la temperatura en grados Celsius y „ es la potencia de entrada en watts. (a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura a 200 °C?

08/06/17 1:38 p.m.

114

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

(b) Si se permite una variación de temperatura de 200 °C en 61 °C, ¿qué intervalo en watts se permite para la potencia de entrada? (c) De acuerdo con la definición e, d de límx : a f(x) 5 L, ¿qué es x? ¿Qué es f(x)? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d? 13. (a) Encuentre un número d tal que si ) x 2 3 ) , d, entonces ) 5x 215 ), e, donde e 5 0.1. (b) Repita el inciso (a) con e 5 0.01. 14. Dado que límx : 2 (5x 27) 53, ilustre la definición 2 encontrando valores de d que correspondan a e 5 0.1, e 5 0.05 y e 5 0.01. 15–18 Demuestre cada una de las proposiciones siguientes utilizando la definición e, d de límite e ilústrelo con un diagrama como el de la figura 9. 15. lím s1 1 13 xd − 2

16. lím s2x 2 5d 5 3

17. lím s2x 1 3d − 5

18. lím

x :3 x :1

x :4

( 12 x 1 3) − 2 x :22

19–32 Demuestre cada una de los enunciados siguientes utilizando la definición e, d de límite. 2 1 4x 19. lím 52 x :1 3 21. lím

x :4

x 2 2 2x 2 8 −6 x24

22. lím

x :2

x2 1 x 2 6 −5 x22

25. lím x 2 − 0

26. lím x 3 − 0

| |

x :a x :0

8 lím s 61x −0

27. lím x − 0

28.

29. lím sx 2 2 4x 1 5d 5 1

30. lím sx 2 1 2x 2 7d 5 1

31. lím sx 2 2 1d 5 3

32. lím x 3 5 8

x :0 x :2

x :22

x:261 x :2 x :2

33. Verifique que otra posible elección para mostrar que límx : 3x2 5 9 en el ejemplo 4 es d 5 mín{2, [email protected]}. 34. Verifique con argumentos geométricos que la mayor elección de d para demostrar que límx : 3x2 5 9 es d 5 s9 1 e 2 3.

2.5

36. Demuestre que lím

x :2

1 1 − . x 2

37. Demuestre lím sx − sa si a . 0.

F

x :a

|

Sugerencia: utilice sx 2 sa

|



|

|

x2a . sx 1 sa

F

38. Si H es la función de Heaviside definida en el ejemplo 2.2.6, demuestre, utilizando la definición 2, que límt : 0H(t) no existe. [Sugerencia: utilice una demostración indirecta como sigue. Suponga que el límite es L. Tome « 5 12 en la definición de límite y trate de llegar a una contradicción.] 39. Si la función f está definida por

x : 10

24. lím c − c

x :0

35. (a) Para el límite límx : 1 (x3 1 x 1 1) 5 3, utilice una gráfica para encontrar un valor que corresponda a e 5 0.4. (b) Utilizando un sistema algebraico computacional para resolver la ecuación cúbica x3 1 x 1 1 5 3 1 e, encuentre el mayor valor posible de d que funciona para cualquier e . 0 dado. (c) Ponga e 5 0.4 en su repuesta del inciso (b) y compárela con su respuesta del inciso (a).

20. lím s3 2 45 xd − 25

23. lím x − a x :a

SAC

f sxd −

H

0 si x es racional 1 si x es irracional

demuestre que el límx : 0 f(x) no existe. 40. Comparando las definiciones 2, 3 y 4, demuestre el teorema 2.3.1. 41. ¿Qué tan cerca de 23 tiene que tomar x de manera que 1 . 10,000? sx 1 3d4 1 42. Demuestre, utilizando la definición 6, que lím − `. x :23 sx 1 3d4 43. Demuestre que lím1 ln x − 2`. x :0

44. Suponga que límx : a f(x) 5 ` y que límx : a g(x) 5 c, donde c es un número real. Demuestre cada uno de los enunciados siguientes. (a) lím f f sxd 1 tsxdg − ` x :a

(b) lím f f sxd tsxdg 5 ` x :a

(c) lím f f sxd tsxdg 5 2` x :a

si c . 0 si c , 0

Continuidad En la sección 2.3, se vio que el límite de una función cuando x tiende a a, con frecuencia se obtiene simplemente calculando el valor de la función en a. Las funciones con esta propiedad son llamadas continuas en a. Se verá que la definición matemática de continuidad coincide notoriamente con el sentido de continuidad que la palabra tiene en el lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo es uno que se lleva a cabo gradualmente, sin interrupción o cambio brusco.) 1 Definición Una función f es continua en un número a si lím f sxd − f sad

x: a

Stewart_ch02_106-123.indd 114

08/06/17 1:39 p.m.

SECCIÓN 2.5 Continuidad

Como se ilustra en la figura 1, si f es continua, entonces los puntos (x, f(x)) en la gráfica de f tienden al punto (a, f(a)) sobre la gráfica. Por lo que no existe ninguna separación en la curva.

2. lím f(x) existe x:a x:a

y=ƒ f(a)

0

x

a

cuando x tiende a a

FIGURA 1

La definición dice que f es continua en a si f(x) tiende a f(a) cuando x tiende a a. Así, una función continua f tiene la propiedad de que un pequeño cambio en x produce solo un pequeño cambio en f(x). De hecho, el cambio en f(x) se puede mantener tan pequeño como se quiera manteniendo el cambio en x suficientemente pequeño. Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida en un intervalo abierto que contiene a a, excepto quizás en a), se dice que f es discontinua en a (o f tiene una discontinuidad en a) si f no es continua en a. Los fenómenos físicos son generalmente continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad de un vehículo varían continuamente con el tiempo, como lo hace la estatura de una persona. Pero hay otras situaciones, como la corriente eléctrica, donde ocurren discontinuidades. [Véase el ejemplo 2.2.6, donde la función de Heaviside es discontinua en 0 ya que el límt : 0 H(t) no existe.] Geométricamente, una función continua en cada número de un intervalo se puede pensar como una función cuya gráfica no tiene interrupciones. La gráfica se puede dibujar sin levantar la pluma del papel.

EJEMPLO 1 La figura 2 muestra la gráfica de una función f. ¿Para qué valores es f discontinua? ¿Por qué?

y

0

Observe que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas, si f es continua en a, 1. f(a) está definida (esto es, a está en el dominio de f)

3. lím f(x) 5 f(a)

y

ƒ tiende a f(a).

115

1

FIGURA 2

2

3

4

5

x

SOLUCIÓN Parece como si hubiera una discontinuidad cuando a 5 1 porque la gráfica tiene una ruptura allí. La razón formal de que f es discontinua en 1 es que f(1) no está definida. La gráfica también tiene una ruptura cuando a 5 3, pero la razón para la discontinuidad es diferente. Aquí, f(3) está definida, pero el límx : 3 f(x) no existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes). Por lo que f es discontinua en 3. ¿Qué hay en relación con a 5 5? Aquí, f(5) está definida y el límx : 5 f(x) existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son iguales). Pero

lím f(x) Z f(5) x:5

Por lo que f es discontinua en 5.

n

Ahora verá cómo detectar discontinuidades cuando una función está definida por una fórmula.

EJEMPLO 2 ¿Dónde es discontinua cada una de las funciones siguientes? x2 2 x 2 2 (a) f sxd 5 x22

(c) f sxd −

H

x 2 2 x 2 2 si x ± 2 x22 1 si x − 2

(b) f sxd −

H

1 si x ± 0 x2 1

si x − 0

(d) f sxd − v x b

SOLUCIÓN

(a) Observe que f(2) no está definida, por lo que f es discontinua en 2. Más tarde verá por qué f es continua en todos los otros números.

Stewart_ch02_106-123.indd 115

08/06/17 1:39 p.m.

116

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

(b) Aquí f(0) 5 1 está definida, pero lím f sxd − lím

x:0

x:0

1 x2

no existe. (Véase el ejemplo 2.2.8.) Así f es discontinua 0. (c) Aquí f(2) 5 1 está definida y lím f sxd − lím

x :2

x :2

x2 2 x 2 2 sx 2 2dsx 1 1d − lím − lím sx 1 1d − 3 x :2 x :2 x22 x22

existe. Pero lím f(x) Z f(2) x:2

por lo que f no es continua en 2. (d) La función parte entera f sxd − v x b tiene discontinuidades en todos los enteros porque el límx : n ⟨ x ⟩ no existe si n es un entero. (Véase el ejemplo 2.3.10 y el ejercicio 2.3.53). n La figura 3 muestra las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso la gráfica no se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel porque hay un agujero o ruptura o salto en la gráfica. El tipo de discontinuidad que se muestra en los incisos (a) y (c) se llama removible porque se puede quitar la discontinuidad redefiniendo f solo en 2. [La función g(x) 5 x 1 1 es continua.] La discontinuidad en el inciso (b) se llama discontinuidad infinita. Las discontinuidades en el inciso (d) se llaman discontinuidades de salto porque la función “salta” de un valor a otro. y

y

y

y

1

1

1

1

0

(a) ƒ=

1

2

≈-x-2 x-2

0

x

1 si x≠0 (b) ƒ= ≈ 1 si x=0

0

x

(c) ƒ=

1

2

x

≈-x-2 si x≠2 x-2 1 si x=2

0

1

2

3

x

(d) ƒ=[ x ]

FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2

2 Definición Una función f es continua por la derecha en un número a si lím1 f(x) 5 f(a) x:a

y f es continua por la izquierda en a si lím2 f(x) 5 f(a) x:a

EJEMPLO 3 En cada entero n, la función f sxd − v x b [Véase la figura 3(d)] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda porque lím f sxd − lím1 v xb − n − f snd

x : n1

Stewart_ch02_106-123.indd 116

x :n

08/06/17 1:39 p.m.

SECCIÓN 2.5 Continuidad

117

lím f sxd − lím2 v x b − n 2 1 ± f snd

pero

x : n2

n

x :n

3 Definición Una función f es continua en un intervalo si es continua en cada número en el intervalo. (Si f está definida solo en un lado de un punto final del intervalo, entienda que continua en el punto final significa continua por la derecha o continua por la izquierda.)

EJEMPLO 4 Demuestre que la función f sxd − 1 2 s1 2 x 2 es continua en el inter-

valo [21, 1].

SOLUCIÓN Si 21 , a , 1, entonces utilizando las leyes de los límites, se tiene

lím f sxd − lím (1 2 s1 2 x 2 )

x:a

x:a

− 1 2 lím s1 2 x 2

(por las leyes 2 y 7)

− 1 2 s lím s1 2 x 2 d

(por 11)

− 1 2 s1 2 a 2

(por 2, 7 y 9)

x:a

x:a

− f sad Así, por la definición 1, f es continua en a si 21 , a , 1. Cálculos similares muestran que

y

ƒ=1-œ„„„„„ 1-≈

lím f sxd − 1 − f s21d

-1

0

1

x

lím f sxd − 1 − f s1d

y

x : 211

1

x : 12

de manera que f es continua por la derecha en 21 y continua por la izquierda en 1. Por tanto, de acuerdo con la definición 3, f es continua en [21, 1]. La gráfica de f está trazada en la figura 4 y es la mitad inferior de la circunferencia

FIGURA 4

x 2 1 sy 2 1d2 − 1

n

En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para verificar la continuidad de una función como se hizo en el ejemplo 4, a menudo es conveniente utilizar el siguiente teorema, que muestra cómo construir funciones continuas complicadas a partir de otras simples. 4 Teorema Si f y g son continuas en a y c es una constante, entonces las funciones siguientes son también continuas en a: 1. f 1 t 2. f 2 t 3. cf 4. ft

5.

f t

si tsad ± 0

DEMOSTRACIÓN Cada uno de los cinco incisos de este teorema se sigue de las correspondientes leyes de los límites de la sección 2.3. Por ejemplo, se da la demostración del inciso 1. Ya que f y g son continuas en a, se tiene

lím f sxd − f sad

x:a

Stewart_ch02_106-123.indd 117

y

lím tsxd − tsad

x:a

08/06/17 1:39 p.m.

118

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Por tanto, lím s f 1 tdsxd − lím f f sxd 1 tsxdg

x:a

x:a

− lím f sxd 1 lím tsxd x:a

x:a

(por la ley 1)

− f sad 1 tsad − s f 1 tdsad Esto demuestra que f 1 g es continua en a.

n

Del teorema 4 y de la definición 3 se deduce que si f y g son continuas en un intervalo, entonces también lo son las funciones f 1 g, f 2 g, cf, fg y (si g no es cero) [email protected] El siguiente teorema se estableció en la sección 2.3 como la propiedad de sustitución directa.

5 Teorema (a) Cualquier función polinomial es continua en todo su dominio; es decir, es continua en  5 (2`, `). (b) Cualquier función racional es continua siempre que esté definida; esto es, es continua en su dominio.

DEMOSTRACIÓN

(a) Una función polinomial es de la forma Psxd − cn x n 1 cn21 x n21 1 ∙ ∙ ∙ 1 c1 x 1 c0 donde c0, c1, ) , cn son constantes. Se sabe que lím c0 − c0

(por la ley 7)

x:a

y que

lím x m − a m

x:a

m − 1, 2, . . . , n

(por 9)

Esta ecuación es precisamente el enunciado de que la función f(x) 5 xm es una función continua. Así, por el inciso 3 del teorema 4, la función g(x) 5 cxm es continua. Ya que P es una suma de funciones de esta forma y una función constante, se sigue del inciso 1 del teorema 4 que P es continua. (b) Una función racional es una de la forma f sxd −

Psxd Qsxd

donde P y Q son funciones polinomiales. El dominio de f es D 5{x   ) Q(x)  0}. Se sabe del inciso (a) que P y Q son continuas en todo su dominio. Así, por el inciso 5 del teorema 4, f es continua en todo número en D. n Como una ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía continuamente con su radio porque la fórmula Vsrd − 43 r 3 muestra que V es una función polinomial de r. Del mismo modo, si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 [email protected], entonces la altura de la pelota en metros, t segundos después, está dada por la fórmula h 5 20t 24.9t2. Otra vez, esta es una función polinomial, por lo que la altura es una función continua del tiempo transcurrido.

Stewart_ch02_106-123.indd 118

08/06/17 1:39 p.m.

119

SECCIÓN 2.5 Continuidad

Saber qué funciones son continuas nos permite evaluar muy rápidamente algunos límites como se ve en el siguiente ejemplo. Compárelo con el ejemplo 2.3.2(b).

EJEMPLO 5 Encuentre lím

x : 22

x 3 1 2x 2 2 1 . 5 2 3x

SOLUCIÓN La función

f sxd −

x 3 1 2x 2 2 1 5 2 3x

|

es racional, por lo que por el teorema 5 es continua en su dominio, que es h x x ± 53 j. Por tanto, lím

x :22

x 3 1 2x 2 2 1 − lím f sxd − f s22d x :22 5 2 3x −

1 s22d3 1 2s22d2 2 1 −2 5 2 3s22d 11

n

y

P(cos ¨, sen ¨) 1 ¨ 0

(1, 0)

x

FIGURA 5

Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número de su dominio. Por ejemplo, la ley 10 (página 96) es exactamente la proposición de que las funciones raíz son continuas. Del aspecto de las gráficas de las funciones seno y coseno (figura 1.2.18), se podría suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la definición de sen u y cos u, las coordenadas del punto P de la figura 5 son (cos u, sen u). Cuando u : 0, vea que P tiende al punto (1, 0), y así cos u : 1 y sen u : 0. Así, 6

Otra manera de establecer los límites en (6) es utilizar el teorema de la compresión con la desigualdad sen u , u (para u . 0), que se demuestra en la sección 3.3.

lím cos :0

−1

lím sen :0

−0

Ya que cos 0 51 y sen 0 5 0, las ecuaciones en 6 afirman que las funciones coseno y seno son continuas en 0. Entonces se pueden utilizar las fórmulas de adición para senos y cosenos para deducir que estas funciones son continuas donde sea (ejercicios 64 y 65). Del inciso 5 del teorema 4, se deduce que tan x −

sen x cos x

es continua, excepto donde cos x 5 0. Esto sucede cuando x es un número entero impar múltiplo de [email protected], por lo que y 5 tan x tiene infinitas discontinuidades cuando x 5 [email protected], [email protected], [email protected], y así sucesivamente (figura 6). y

1 3π _π

_ 2

_

π 2

0

π 2

π

3π 2

x

FIGURA 6 y − tan x

Stewart_ch02_106-123.indd 119

08/06/17 1:39 p.m.

120

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

La función inversa de cualquier función continua inyectiva también es continua. (Este hecho se demuestra en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razonable: la gráfica de f21 se obtiene reflejando la gráfica de f a través de la recta y 5 x. Por lo que si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f21.) De este modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas. En la sección 1.4 se definió la función exponencial y 5 bx para rellenar los huecos en la gráfica de la función y 5 bx donde x es racional. En otras palabras, la simple definición de y 5 bx la hace una función continua en . Por tanto, su función inversa y 5 logbx es continua sobre (0, `).

Las funciones trigonométricas inversas se repasaron en la sección 1.5.

7 Teorema Los tipos de funciones siguientes son continuos en todo número de sus dominios:

• • •

• funciones racionales • funciones raíz funciones trigonométricas • funciones trigonométricas inversas funciones exponenciales • funciones logarítmicas polinomios

ln x 1 tan21 x ? x2 2 1

EJEMPLO 6 ¿En dónde es continua la función f sxd −

SOLUCIÓN Por el teorema 7 se sabe que la función y 5 ln x es continua para x . 0 y y 5 tan21 x es continua en . Así, por el inciso 1 del teorema 4, y 5 1n x 1 tan21 x es continua en (0, `). El denominador, y 5 x2 2 1, es una función polinomial, de modo que es continua para toda x. Por tanto, por el inciso 5 del teorema 4, f es continua en todos los números positivos x, excepto donde x2 2 1 5 0 3 x 5 61. Por lo que f es continua en los intervalos (0, 1) y (1, `). n

EJEMPLO 7 Evalúe lím x:

sen x . 2 1 cos x

SOLUCIÓN El teorema 7 dice que y 5 sen x es continua. La función en el denominador, y 5 2 1 cos x, es la suma de dos funciones continuas y por tanto es continua. Observe que esta función nunca es 0 porque cos x > 21 para toda x y, en consecuencia, 2 1 cos x . 0 para toda x. Por lo que, el cociente

f sxd −

sen x 2 1 cos x

es continuo para toda x. Por tanto, por la definición de función continua, lím

x:

sen x sen − lím f sxd − f s d − x: 2 1 cos x 2 1 cos



0 −0 221

n

Otra manera de combinar las funciones continuas f y g para obtener una nueva función continua es formar la función compuesta f + g. Este hecho es una consecuencia del siguiente teorema. Este teorema expresa que un símbolo de límite se puede brincar dentro de un símbolo de función si la función es continua y el límite existe. En otras palabras, puede invertirse el orden de estos dos símbolos.

Stewart_ch02_106-123.indd 120

8 Teorema Si f es continua en b y lím tsxd − b, entonces lím f stsxdd − f sbd. x :a x :a En otras palabras,

S

D

lím f stsxdd − f lím tsxd

x:a

x: a

08/06/17 1:39 p.m.

121

SECCIÓN 2.5 Continuidad

Intuitivamente, el teorema 8 es razonable porque si x está cerca de a, entonces g(x) está cerca de b, y como f es continua en b, si g(x) está cerca de b, entonces f(g(x)) está cerca de f(b) . En el apéndice F se presenta una demostración del teorema 8.

EJEMPLO 8 Evalúe lím arcsen x :1

S

D

1 2 sx . 12x

SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplique el teorema 8:

lím arcsen

x :1

S

1 2 sx 12x

D

S S S

− arcsen lím

x :1

− arcsen lím

x :1

− arcsen lím

− arcsen

x :1

1 2 sx 12x

D

1 2 sx

(1 2 sx ) (1 1 sx ) 1 1 1 sx

D

D

1 − 2 6

n

n Aplique el teorema 8 en el caso especial donde f(x) 5 sx, donde n es un entero positivo. Entonces

n tsxd f stsxdd − s

y

S

D

f lím tsxd − x:a

tsxd s xlím :a n

Si sustituye estas expresiones en el teorema 8 se obtiene n n lím tsxd lím s tsxd − s

x:a

x:a

con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Suponiendo que las raíces existen.)

9 Teorema Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la función compuesta f + g dada por (f + g)(x) 5 f(g(x)) es continua en a.

A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función continua de una función continua es una función continua”. DEMOSTRACIÓN Como g es continua en a, se tiene

lím tsxd − tsad

x :a

Puesto que f es continua en b 5 g(a), se puede aplicar el teorema 8 para obtener lím f stsxdd − f stsadd

x:a

Stewart_ch02_106-123.indd 121

08/06/17 1:39 p.m.

122

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

que es precisamente la proposición de que la función h(x) 5 f(g(x)) es continua en a; es decir, f + g es continua en a. n

EJEMPLO 9 ¿En dónde son continuas las funciones siguientes? (a) h(x) 5 sen(x2)

(b) Fsxd − lns1 1 cos xd

SOLUCIÓN

(a) Se tiene h(x) 5f(g(x)), donde g(x) 5 x2

2 _10

10

_6

FIGURA 7 y − lns1 1 cos xd

y

f(x) 5 sen x

Ahora g es continua en  puesto que es una función polinomial, y f también es continua para toda x. Por lo que h 5 f + g es continua en  por el teorema 9. (b) Con base en el teorema 7, se sabe que f(x) 5 ln x es continua y g(x) 5 1 1 cos x es continua (ya que tanto y 5 1 como y 5 cos x son continuas). Por tanto, del teorema 9, f(x) 5 f(g(x)) es continua siempre que esté definida. Ahora ln(1 1 cos x) está definida cuando 1 1 cos x . 0. De este modo, no está definido cuando cos x 5 21, y esto sucede cuando x 5 6p, 63p, . . . . Así, F tiene discontinuidades cuando x es un múltiplo impar de p y es continua en los intervalos entre estos valores (véase la n figura 7). Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el teorema siguiente, cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo. 10 Teorema del valor intermedio Suponga que f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea N cualquier número entre f(a) y f(b) , donde f(a)  f(b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que f(c) 5 N. El teorema del valor intermedio establece que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la función f(a) y f(b). Este hecho se ilustra en la figura 8. Observe que el valor N se puede tomar una vez [como en el inciso (a)] o más de una vez [como en el inciso (b)]. y

y

f(b)

f(b)

y=ƒ

N N

y=ƒ

f(a)

0

a

c b

(a) y

f(a)

x

0

a c¡

c™



b

x

(b)

FIGURA 8

f(a)

y=ƒ y=N

N

f(b) 0

a

FIGURA 9

Stewart_ch02_106-123.indd 122

b

x

Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene huecos o rupturas, es fácil creer que el teorema del valor intermedio es verdadero. En términos geométricos, dice que si se da cualquier recta horizontal y 5 N entre y 5 f(a) y y 5 f(b), como en la figura 9, entonces la gráfica de f no puede saltar la recta: debe intersecar a y 5 N en alguna parte. Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor intermedio no se cumple para funciones discontinuas (véase el ejercicio 50).

08/06/17 1:39 p.m.

123

SECCIÓN 2.5 Continuidad

Un uso del teorema del valor intermedio es en la búsqueda de las raíces de ecuaciones, como en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 10 Demuestre que existe una raíz de la ecuación 4x 3 2 6x 2 1 3x 2 2 − 0 entre 1 y 2. SOLUCIÓN Sea f(x) 5 4x3 2 6x2 1 3x 2 2. Busque una solución de la ecuación dada;

es decir, un número c entre 1 y 2 tal que f(c) 5 0. Por tanto, tome a 5 1, b 5 2 y N 5 0 en el teorema 10, y obtenga f s1d − 4 2 6 1 3 2 2 − 21 , 0 f s2d − 32 2 24 1 6 2 2 − 12 . 0

y

Así, f(1) , 0 , f(2); es decir, N 5 0 es un número entre f(1) y f(2). Ahora bien, f es continua porque es un polinomio, de modo que el teorema del valor intermedio dice que existe un número c entre 1 y 2 tal que f(c) 5 0. En otras palabras, la ecuación 4x3 2 6x2 1 3x 2 2 5 0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo (1, 2). De hecho, se puede localizar con mayor precisión una raíz aplicando de nuevo el teorema del valor intermedio. Ya que, f s1.2d − 20.128 , 0

y

f s1.3d − 0.548 . 0

una raíz debe estar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por ensayo y error, f s1.22d − 20.007008 , 0

y

f s1.23d − 0.056068 . 0

por lo que la raíz está en el intervalo (1.22, 1.23).

n

Se puede utilizar una calculadora graficadora o computadora para ilustrar el uso del teorema del valor intermedio en el ejemplo 10. La figura 10 muestra la gráfica de f en el rectángulo de vista [21, 3] por [23, 3], y puede usted ver que la gráfica cruza el eje x entre 1 y 2. La figura 11 muestra el resultado de un acercamiento en un rectángulo de vista [1.2, 1.3] por [20.2, 0.2]. 3

0.2

3

_1

_3

FIGURA 10

1.2

1.3

_0.2

FIGURA 11

De hecho, el teorema del valor intermedio desempeña un papel importante en el modo en que funcionan estos dispositivos de graficación. Una computadora calcula un número finito de puntos de la gráfica y activa los pixeles que contienen estos puntos calculados. Supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos puntos consecutivos. Por lo que la computadora “conecta los puntos” activando los pixeles intermedios.

Stewart_ch02_106-123.indd 123

08/06/17 1:39 p.m.

124

2.5

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

EJERCICIOS

1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función f es continua en el número 4. 2. Si f es continua en (2`, `), ¿qué puede decir acerca de su gráfica? 3. (a) A partir de la gráfica de f, establezca el número en el cual f es discontinua y explique por qué. (b) Para cada uno de los números que se obtuvieron en el inciso (a), determine si f es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguno de los dos lados. y

10. Explique por qué cada una de las funciones siguientes es continua o discontinua. (a) La temperatura en una localidad específica como una función del tiempo. (b) La temperatura en un tiempo dado como una función de la distancia al oeste de París. (c) La altitud sobre el nivel del mar como una función de la distancia al oeste de París. (d) El costo de transportarse en taxi como una función de la distancia de traslado. (e) La corriente en un circuito de iluminación en una habitación como una función del tiempo. 11–14 Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que cada una de las funciones siguientes es continua en el número dado a. 11. f sxd − x 2 1 s7 2 x ,

_4

_2

0

2

4

x

6

12. tstd −

t 1 5t , a−2 2t 1 1

13. psvd − 2s3v 2 1 1 ,

4. A partir de la gráfica de g, establezca los intervalos sobre los que g es continua. y

a−4

2

a−1

3 14. f sxd − 3x 4 2 5x 1 s x2 1 4 ,

a−2

15 –16 Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que cada una de las funciones siguientes es continua en el intervalo dado. 15. f sxd − x 1 sx 2 4 , f4, `d 16. tsxd −

_3

_2

0

1

2

3

x21 , 3x 1 6

s2`, 22d

x

17– 22 Explique por qué cada una de las funciones siguientes es discontinua en el número dado a. Trace la gráfica de la función. 1 17. f sxd − a − 22 x12 5 – 8 Trace la gráfica de una función f que es continua, a excepción de la discontinuidad indicada.

18. f sxd −

5. Discontinua, pero continua por la derecha, en 2. 6. Discontinuidades en 2 1 y 4, pero continuas por la izquierda en 21 y por la derecha en 4. 7. Discontinuidad removible en 3, discontinuidad de salto en 5. 8. Ni por la izquierda ni por la derecha es continua en 22, continua solo por la izquierda en 2. 9. El peaje T que se cobra por conducir en un determinado tramo de una carretera es de $5, excepto durante las horas pico (entre las 7 y las 10 y entre las 16 y 19 horas) cuando el peaje es de $7. (a) Trace una gráfica de T como una función del tiempo t, medido en horas pasada la medianoche. (b) Analice las discontinuidades de esta función y su significado para alguien que utiliza la carretera.

Stewart_ch02_124-137.indd 124

19. f sxd −

H H

H H H

1 x12 1

si x ± 22

x 1 3 si x < 21 2x si x . 21

x2 2 x 20. f sxd − x 2 2 1 1

a − 22

si x − 22

si x ± 1

a − 21

a−1

si x − 1

cos x si x , 0 si x − 0 21. f sxd − 0 1 2 x 2 si x . 0

a−0

2x 2 2 5x 2 3 22. f sxd − x23 6

a−3

si x ± 3 si x − 3

08/06/17 2:31 p.m.

SECCIÓN 2.5 Continuidad

23 –24 ¿Cómo podría “remover la discontinuidad” en cada una de las funciones siguientes? En otras palabras, ¿cómo redefiniría f(2) para que sean continuas en 2? x2 2 x 2 2 x22

23. f sxd −

x 2 2 3x 1 2 x2 1 x 2 6

24. f sxd −

H

1 1 x2 si x < 0 si 0 , x < 2 43. f sxd − 2 2 x sx 2 2d2 si x . 2 44. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es

25 – 32 Utilizando los teoremas 4, 5, 7 y 9, explique por qué cada una de las funciones siguientes es continua en todo número de su dominio. Determine el dominio. 2x 2 2 x 2 1 x2 1 1

25. Fsxd −

3 x22 s x3 2 2

27. Qsxd −

29. Astd − arcsens1 1 2td 31. Msxd −

Î

1 11 x

26. Gsxd −

x2 1 1 2x 2 x 2 1

28. Rstd −

e sen t 2 1 cos t

30. Bsxd −

tan x s4 2 x 2 2r 2

34. y − lnstan2 xd

35 – 38 Utilice la continuidad para evaluar cada uno de los límites siguientes. x :2

x :1

36. lím sensx 1 sen xd x:

S D

37. lím ln

5 2 x2 11x

38. lím 3 sx

2 22x24

x:4

39 – 40 Demuestre que f es continua en (2`, `). 39. f sxd −

H H

1 2 x2 ln x

si x < 1 si x . 1

sen x si x , 40. f sxd − cos x si x >

y4 y4

41– 43 Encuentre los números en los que f es discontinua. ¿En cuáles de estos números f es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguna de las dos? Trace la gráfica de f.

H H

x 2 si x , 21 41. f sxd − x si 21 < x , 1 1yx si x > 1 2x si x < 1 42. f sxd − 3 2 x si 1 , x < 4 si x . 4 sx

Stewart_ch02_124-137.indd 125

si r , R si r > R

45. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua en (2`, `)?

; 33 –34 Identifique las discontinuidades de cada una de las funciones siguientes e ilústrelas con una gráfica.

35. lím x s20 2 x 2

Fsrd −

donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G la constante gravitacional. ¿Es F una función continua de r?

32. Nsrd − tan s1 1 e

1 33. y − 1 1 e 1yx

GMr R3 GM r2

2

21

125

f sxd −

d

H

cx 2 1 2x si x , 2 x 3 2 cx si x > 2

46. Encuentre los valores de a y b que hacen a f continua para todo x.

f sxd −

x2 2 4 si x , 2 x22 ax 2 2 bx 1 3 si 2 < x , 3 2x 2 a 1 b si x > 3

47. Suponga que f y g son funciones continuas tales que g(2) 5 6 y límx : 2 [3f(x) 1 f(x)g(x)] 5 36. Encuentre f(2). 48. Sea f(x) 5 [email protected] y g(x) 5 [email protected] (a) Encuentre (f + g)(x). (b) ¿Es f + g continua para todo x? Explique. 49. ¿Cuál de las funciones f siguientes tiene discontinuidad removible en a? Si la discontinuidad es removible, determine una función g que concuerde con f para x  a y sea continua en a. (a) f sxd −

x4 2 1 , x21

(b) f sxd −

x 3 2 x 2 2 2x , x22

(c) f sxd − v sen x b ,

a−1 a−2

a−

50. Suponga que una función f es continua en [0, 1], excepto en 0.25 y que f(0) 5 1 y f(1) 53. Sea N 5 2. Trace dos posibles graficas de f, una en que se muestre que f podría no satisfacer la conclusión del teorema del valor intermedio y la otra que muestre que f todavía podría satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga la hipótesis). 51. Si f(x) 5 x2 1 10 sen x, demuestre que existe un número c tal que f(c) 5 1000. 52. Suponga que f es continua sobre [1, 5] y las únicas soluciones de la ecuación f(x) 5 6 son x 5 1 y x 5 4. Si f(2) 5 8, explique por qué f(3) . 6.

08/06/17 2:31 p.m.

126

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

53– 56 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz en cada una de las ecuaciones dadas en el intervalo especificado. s1, 2d

53. x 4 1 x 2 3 − 0, 54. ln x − x 2 sx , 3 x − 1 2 x, 55. s

65. Demuestre que la función coseno es continua. 66. (a) Demuestre el teorema 4, inciso 3. (b) Demuestre el teorema 4, inciso 5. 67. ¿Para qué valores de x es f continua?

s2, 3d

f sxd −

s0, 1d

56. sen x − x 2 2 x,

s1, 2d

58. ln x − 3 2 2x

; 59– 60 (a) Demuestre que cada una de las ecuaciones siguientes tiene cuando menos una raíz real. (b) Utilice un dispositivo de graficación para encontrar la raíz redondeada hasta tres cifras decimales.

tsxd −

a b 1 3 −0 x 3 1 2x 2 2 1 x 1x22 tiene por lo menos una solución en el intervalo (21, 1). 71. Demuestre que la función f sxd −

H

x 4 sens1yxd 0

si x ± 0 si x − 0

es continua en (2`, `)

61– 62 Demuestre sin hacer la gráfica que la función tiene al menos dos intersecciones con el eje x en el intervalo dado. (1, 2)

62. y − x 2 3 1 1yx,

0 si x es racional x si x es irracional

70. Si a y b son números positivos, demuestre que la ecuación

60. arctan x − 1 2 x

2

H

69. ¿Existe un número que es exactamente 1 más que su cubo?

59. 100e2xy100 − 0.01x 2

61. y 5 sen x3,

0 si x es racional 1 si x es irracional

68. ¿Para qué valores de x es g continua?

57 – 58 Demuestre que cada una de las ecuaciones siguientes tiene cuando menos una raíz real. (b) Utilice su calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una raíz. 57. cos x − x 3

H

s0, 2d

63. Demuestre que f es continua en a si y solo si lím f sa 1 hd − f sad

h:0

64. Para demostrar que la función seno es continua necesita demostrar que límx : a sen x 5 sen a para todo número real a. Por el ejercicio 63, un enunciado equivalente es lím sensa 1 hd − sen a

h:0

72. (a) Demuestre que la función valor absoluto F(x) 5 u x u es continua para toda x. (b) Demuestre que si f es una función continua en un intervalo, entonces también lo es u f u. (c) ¿Lo inverso del enunciado del inciso (b) también es verdadero? En otras palabras, si u f u es continua, ¿se deduce que f es continua? Si es así, demuéstrelo. Si no, encuentre un contraejemplo. 73. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 y emprende su camino habitual hacia la cima de la montaña, adonde llega a las 19:00. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 y llega al monasterio a las 19:00. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en ambos días.

Utilice 6 para demostrar que esto es verdadero.

2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí se hizo tender x a un número y se vio que los valores de y se volvían arbitrariamente grandes (ya fueran positivos o negativos). En esta sección se hará a x arbitrariamente grande (positivo y negativo) y observe qué ocurre con y. Inicie por investigar el comportamiento de la función f definida por f sxd −

Stewart_ch02_124-137.indd 126

x2 2 1 x2 1 1

08/06/17 2:31 p.m.

127

SECCIÓN 2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales

conforme x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función redondeados a seis decimales, y en la figura 1 se ha trazado la gráfica de f con una computadora.

f sxd

x 0 61 62 63 64 65 610 650 6100 61000

21 0 0.600000 0.800000 0.882353 0.923077 0.980198 0.999200 0.999800 0.999998

y

y=1

0

1

y=

≈-1 ≈+1

x

FIGURA 1

Conforme x crece más y más, se puede ver que los valores de f(x) se aproximan cada vez más a 1. (La gráfica de f se acerca a la recta horizontal y 5 1 cuando se ve hacia la derecha.) De hecho, parece que los valores de f(x) se pueden acercar lo que se quiera a 1 eligiendo una x suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica al escribir lím

x:`

x2 2 1 −1 x2 1 1

En general, utilice la notación lím f(x) 5 L x:`

para indicar que los valores de f(x) tienden a L conforme x se hace más y más grande. 1 Definición intuitiva de un límite al infinito Sea f una función definida en algún intervalo (a, `). Entonces

y

lím f(x) 5 L

y=L

x:`

significa que los valores de f(x) se pueden aproximar arbitrariamente a L tanto como se quiera, eligiendo a x suficientemente grande.

y=ƒ

0

x

Otra notación para límx : ` f(x) 5 L es f(x): L

y

x:`

El símbolo ` no representa un número. No obstante, la expresión lím f(x) 5 L con frex:` cuencia se lee como

y=ƒ

“el límite de f(x), cuando x tiende al infinito, es L”

y=L

o 0

x

y

y=L

y=ƒ 0

x

FIGURA 2

Ejemplos que ilustran lím f(x) 5 L. x:`

Stewart_ch02_124-137.indd 127

cuando

o bien

“el límite de f(x), cuando x se va al infinito, es L” “el límite de f(x), cuando x crece sin cota, es L”.

El significado de estas frases está dado por la definición 1. Al final de esta sección, se encuentra una definición más precisa, utilizando la definición e, d de la sección 2.4. En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Observe que hay varias maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y 5 L (la cual se llama asíntota horizontal) a medida que usted ve hacia el extremo derecho de cada gráfica. Si regresa a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, los valores de f(x) están cercanos a 1. Al decrecer x sin cota mediante valores negativos, se puede acercar f(x) a 1 tanto como se quiera. Esto se expresa escribiendo lím

x :2`

x2 2 1 −1 x2 1 1

08/06/17 2:31 p.m.

128

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

La definición general es la siguiente. y

y=ƒ

2 Definición Sea f una función definida en algún intervalo (2`, a). Entonces lím f(x) 5 L x : 2`

y=L 0

x y

significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a L haciendo que x sea suficientemente negativa. Nuevamente el símbolo 2` no representa un número, pero la expresión lím f(x) 5 L x : 2` con frecuencia se lee como

y=ƒ

“el límite de f(x), cuando x tiende a menos infinito, es L”.

y=L

0

x

FIGURA 3

La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y 5 L a medida que ve hacia el extremo izquierdo de cada gráfica. 3 Definición La recta y 5 L se llama asíntota horizontal de la curva y 5 f(x) si lím f(x) 5 L o lím f(x) 5 L

Ejemplos que ilustran lím f(x) 5 L x : 2`

x:`

x : 2`

Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene a la recta y 5 1 como asíntota horizontal porque lím

x:`

y π 2

x2 2 1 −1 x2 1 1

Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y 5 tan21x. (Véase la figura 4.)

0 x

4

lím tan21 x − 2

x :2`

lím tan21 x −

x:`

2

2

_ π2

de modo que las rectas y 5 [email protected] y y 5 [email protected] son asíntotas horizontales. (Esto se sigue del hecho de que las rectas x 5 [email protected] son asíntotas verticales de la gráfica de la función tangente.)

FIGURA 4 y − tan21x

EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la figura 5.

y

SOLUCIÓN Vea que los valores de f(x) se vuelven grandes cuando x : 21 por ambos

lados, así

2

0

FIGURA 5

2

lím f(x) 5 `

x

x : 21

Observe que f(x) se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la izquierda, pero se hace grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo, lím f(x) 5 2`

x : 22

y

lím f(x) 5 `

x : 21

Por lo que ambas rectas x 5 21 y x 5 2 son asíntotas verticales.

Stewart_ch02_124-137.indd 128

08/06/17 2:31 p.m.

SECCIÓN 2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales

129

Cuando x es muy grande, parece que f(x) tiende a 4. Pero, conforme x decrece a través de valores negativos, f(x) tiende a 2. Por tanto, lím f(x) 5 4

y

x:`

lím f(x) 5 2

x : 2`

Esto significa que tanto y 5 4 como y 5 2 son asíntotas horizontales.

EJEMPLO 2 Encuentre lím

x:`

n

1 1 y lím . x x :2` x

SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, [email protected] es pequeño. Por ejemplo,

1 − 0.01 100

1 − 0.0001 10 000

1 − 0.000001 1 000 000

y

De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar [email protected] a 0 cuanto quiera. Por tanto, de acuerdo con la definición 1, se tiene

y=∆

lím

x:`

0

1 −0 x

x

Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, [email protected] es pequeño negativo; de este modo, también se tiene que lím

FIGURA 6 lím

x:`

1 1 − 0, lím −0 x :2` x x

x :2`

1 −0 x

Se sigue que la recta y 5 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y 5 [email protected] (que n es una hipérbola equilátera; véase la figura 6). La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se cumplen para los límites en el infinito. Se puede demostrar que las leyes de los límites, cuya lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si “x : a” se reemplaza con “x : `” o con “x : 2`”. En particular, si combina las leyes 6 y 11 con los resultados del ejemplo 2, se obtiene la siguiente regla importante para el cálculo de límites. 5 Teorema Si r . 0 es un número racional, entonces lím

x:`

1 −0 xr

Si r . 0 es un número racional tal que xr está definida para toda x, entonces lím

x :2`

1 −0 xr

EJEMPLO 3 Evalúe lím

x :`

3x 2 2 x 2 2 5x 2 1 4x 1 1

e indique cuáles propiedades de los límites se utilizaron en cada paso. SOLUCIÓN Cuando x es muy grande, tanto numerador como denominador son muy grandes, por lo que no es obvio qué pasa con su cociente. Necesita hacer algo de álgebra preliminar.

Stewart_ch02_124-137.indd 129

08/06/17 2:31 p.m.

130

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Para evaluar el límite en el infinito de cualquier función racional, primero divida el numerador y el denominador entre la potencia mayor de x que hay en el denominador. (Suponga que x  0, ya que está interesado solo en valores muy grandes de x). En este caso, la mayor potencia del denominador es x2, así se tiene 3x 2 2 x 2 2 1 2 32 2 2 3x 2 x 2 2 x2 x x lím − lím − lím x : ` 5x 2 1 4x 1 1 x : ` 5x 2 1 4x 1 1 x :` 4 1 51 1 2 2 x x x 2

S S

1 2 2 2 x x − 1 4 lím 5 1 1 2 x:` x x lím 3 2

x:`

D D

(por la ley de los límites 5)

1 2 2 lím x :` x :` x x :` − 1 lím 5 1 4 lím 1 lím x :` x :` x x :` lím 3 2 lím

y

y=0.6 0

FIGURA 7 y−

3x 2 2 x 2 2 5x 2 1 4x 1 1

1

x



32020 51010



3 5

1 x2 1 x2

(por las leyes 1, 2 y 3)

(por la ley 7 y el teorema 5)

Un cálculo semejante muestra que el límite cuando x : 2` también es 35. En la figura 7 se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función racional dada se aproxima a la asíntota horizontal y − 35 − 0.6. n

EJEMPLO 4 Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función s2x 2 1 1 3x 2 5

f sxd −

SOLUCIÓN Al dividir entre x tanto el numerador como el denominador y aplicar las propiedades de los límites, se tiene

Î

s2x 2 1 1 x s2x 2 1 1 lím − lím − lím x : ` 3x 2 5 x:` x:` 3x 2 5 x lím



x:`

lím

x:`

2x 2 1 1 x2 3x 2 5 x

Î Î S D 21

32

5 x

1 x2



lím 2 1 lím

x:`

x:`

lím 3 2 5 lím

x:`

x:`

(ya que sx 2 − x para x . 0)

1 x2 1 x



s2 1 0 s2 − 325?0 3

Por tanto, la recta y 5 [email protected] es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

Stewart_ch02_124-137.indd 130

08/06/17 2:31 p.m.

131

SECCIÓN 2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales

En el cálculo del límite conforme x : 2`, se debe recordar que para x , 0, se tiene sx2 = u x u 5 2x. Por lo que cuando se divide el numerador entre x, para x , 0 se obtiene

Î

s2x 2 1 1 s2x 2 1 1 − −2 x 2 sx 2

Î

2x 2 1 1 −2 x2

21

1 x2

Por tanto,

Î

lím

x :2`

21

2

s2x 1 1 − lím x :2` 3x 2 5 2

32

1 x2

5 x

Î

2 −

1 x :2` x 2 s2 −2 1 3 3 2 5 lím x :2` x 2 1 lím

Así la recta y 5 [email protected] también es una asíntota horizontal. Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x 2 5, es 0; esto es, cuando x − 53. Si x está cerca de 53 y x . 53, entonces el denominador está cerca de 0 y 3x 2 5 es positivo. El numerador s2x2 1 1 es siempre positivo, por lo que f(x) es positivo. Por tanto,

y

œ„2

y= 3

lím

x œ„2

y=_ 3

x=

5 3

x : s5y3d1

(Observe que el numerador no tiende a 0 cuando x : [email protected]). Si x está cerca de 53, pero x , 53, entonces 3x 2 5 , 0 y así f(x) es negativo grande, por lo que, lím

FIGURA 8 y−

x : s5y3d2

s2 x 2 1 1

s2x 2 1 1 −` 3x 2 5

s2x 2 1 1 − 2` 3x 2 5

La asíntota vertical es x − 53. Las tres asíntotas se muestran en la figura 8.

3x 2 5

n

EJEMPLO 5 Calcule lím (sx 2 1 1 2 x). x :`

SOLUCIÓN Ya que tanto sx2 1 1 como x son muy grandes cuando x es grande, es difícil

Se puede pensar que la función dada tiene un denominador igual a 1.

ver qué pasa con su diferencia, por lo que utilice el álgebra para reescribir la función. Primero multiplique el numerador y el denominador por el radical conjugado: lím (sx 2 1 1 2 x) − lím (sx 2 1 1 2 x) ?

x :`

x :`

− lím

x :`

y

y=œ„„„„„-x ≈+1

FIGURA 9

Stewart_ch02_124-137.indd 131

1

sx 2 1 1d 2 x 2 1 − lím x : ` sx 2 1 1 1 x sx 2 1 1 1 x

Observe que el denominador de esta última expresión (sx2 1 1 1 x) resulta muy grande cuando x : ` (más grande que x). Así

1 0

sx 2 1 1 1 x sx 2 1 1 1 x

x

lím (sx 2 1 1 2 x) − lím

x :`

La figura 9 ilustra este resultado.

x :`

1 −0 sx 1 1 1 x 2

n

08/06/17 2:31 p.m.

132

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

S D

1 . x22

EJEMPLO 6 Evalúe el lím1 arctan x :2

SOLUCIÓN Si t [email protected](x 2 2), se sabe que t : ` cuando x : 21. Por tanto, por la

segunda ecuación en 4, se tiene

S D 1 x22

lím arctan

x : 21

− lím arctan t − t:`

n

2

La gráfica de la función exponencial natural y 5 ex tiene a la recta y 5 0 (el eje x) como una asíntota horizontal. (Lo mismo es verdadero para cualquier función exponencial con base b . 1.) De hecho, de la gráfica en la figura 10 y la correspondiente tabla de valores, vea que

lím e x − 0

6

x : 2`

Observe que los valores de ex se aproximan a 0 muy rápidamente. y

y=´

1 0

x

1

x

ex

0 21 22 23 25 28 210

1.00000 0.36788 0.13534 0.04979 0.00674 0.00034 0.00005

FIGURA 10

EJEMPLO 7 Evalúe lím2 e 1yx. x :0

PS La estrategia de resolución de problemas para los ejemplos 6 y 7 es Introduzca algo extra (véase la página 71). Aquí, algo extra, la ayuda auxiliar, es la nueva variable t.

SOLUCIÓN Si se hace t 5 [email protected], se sabe que t : 2` cuando x : 02. Por tanto, por (6),

lím e 1yx − lím e t − 0

x : 02

t : 2`

(Véase el ejercicio 81.)

n

EJEMPLO 8 Evalúe lím sen x. x:`

SOLUCIÓN Conforme x crece, los valores de sen x oscilan infinitamente entre 1 y 21, por lo que no se aproximan a ningún número definido. En consecuencia, límx : ` sen x no existe. n

Límites infinitos en el infinito La notación lím f sxd − `

x :`

se utiliza para indicar que los valores de f(x) se hacen más grandes cuando x se hace muy grande.

Stewart_ch02_124-137.indd 132

08/06/17 2:31 p.m.

SECCIÓN 2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales

133

Un significado similar está asociado con los símbolos siguientes: lím f sxd − `

lím f sxd − 2`

x : 2`

x :`

lím f sxd − 2`

x : 2`

EJEMPLO 9 Encuentre lím x 3 y lím x 3. x:`

y

SOLUCIÓN Cuando x se hace grande, x3 también se hace grande. Por ejemplo,

y=˛

0

10 3 − 1000

x

1003 5 1 000 000

10003 5 1 000 000 000

De hecho, se puede hacer x3 tan grande como quiera tomando x suficientemente grande. Por esta razón, se puede escribir lím x 3 − ` x:`

FIGURA 11 lím x 3 − `, lím x 3 − 2`

x:`

x :2`

x :2`

Del mismo modo, cuando x es muy grande negativo, también lo es x3. Por lo que lím x 3 − 2`

x :2`

Estos límites establecidos también se pueden ver en la gráfica de y 5 x3 en la figura 11.

y

y=´

n

En la figura 10 vea que lím e x − `

x :`

y=˛ 100

0

1

FIGURA 12 ex es mucho más grande que x3 cuando x es muy grande.

pero como se observa en la figura 12, y 5 ex se hace más grande cuando x : `, con mucha mayor rapidez que y 5 x3.

x

EJEMPLO 10 Encuentre lím sx 2 2 xd. x :`

SOLUCIÓN Sería un error escribir

lím sx 2 2 xd − lím x 2 2 lím x − ` 2 `

x :`

x :`

x :`

Las leyes de los límites no pueden aplicarse a límites infinitos porque ` no es un número (` 2 ` no se puede definir). Sin embargo, se puede escribir lím sx 2 2 xd − lím xsx 2 1d − `

x :`

x :`

debido a que tanto x como x 2 1 se hacen arbitrariamente grandes y, por tanto, también su producto. n

EJEMPLO 11 Encuentre lím

x:`

x2 1 x . 32x

SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, se dividió el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x en el denominador, que es justamente x:

lím

x :`

x2 1 x x11 − lím − 2` x :` 3 32x 21 x

ya que x 1 1 : ` y [email protected] 2 1 : 0 2 1 5 21 conforme x : `.

Stewart_ch02_124-137.indd 133

n

08/06/17 2:31 p.m.

134

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

El siguiente ejemplo muestra que, utilizando límites infinitos al infinito, además de las intersecciones, se puede tener una idea general de la gráfica de una función polinomial sin tener que disponer de un gran número de puntos.

EJEMPLO 12 Trace la gráfica de y 5(x 2 2)4(x 1 1)3(x 2 1) utilizando sus intersec-

ciones y sus límites cuando x : ` y cuando x : 2`.

SOLUCIÓN La intersección con el eje y es f(0) 5 (22)4(1)3(21) 5 216 y las intersec-

ciones con el eje x, x 5 2, 21, 1 se encuentran haciendo y 5 0. Observe que puesto que (x 2 2)4 es positivo, la función no cambia de signo en 2; por lo que la gráfica no cruza el eje x en 2. La gráfica interseca el eje x en 21 y 1. Cuando x es un número positivo muy grande, todos los factores son muy grandes, así que

y

0

_1

1

2

lím sx 2 2d4sx 1 1d3sx 2 1d − `

x:`

x

Cuando x es un número negativo muy grande, el primero de los factores es un número positivo muy grande y los factores segundo y tercero son negativos muy grandes, por lo que _16

lím sx 2 2d4sx 1 1d3sx 2 1d − `

x :2`

FIGURA 13

y − sx 2 2d4 sx 1 1d3 sx 2 1d

Combinando esta información, se obtiene el trazo de la gráfica de la figura 13.

n

Definición precisa La definición 1 se puede establecer de manera precisa como sigue. 7 Definición precisa de un límite al infinito Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, `). Entonces lím f sxd − L x:`

significa que para toda e . 0 existe un correspondiente número N tal que si

x.N

entonces

| f sxd 2 L | , «

En palabras, esto indica que los valores de f(x) se pueden acercar arbitrariamente a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier número positivo) tomando x suficientemente grande (más grande que N, donde N depende de e). Gráficamente, esto dice que eligiendo x suficientemente grande (más grande que algún número N) se puede hacer que la gráfica de f esté atrapada entre las rectas horizontales dadas y 5 L 2 e y y 5 L 1 e como en la figura 14. Esto debe ser verdadero sin importar qué tan pequeño elija e. y

y=ƒ y=L+∑ ∑ L ∑ y=L-∑ 0

FIGURA 14 lím f sxd − L

x:`

Stewart_ch02_124-137.indd 134

ƒ está aquí

x

N cuando x está aquí

08/06/17 2:31 p.m.

135

SECCIÓN 2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales

La figura 15 muestra que si elige un valor de e muy pequeño, entonces se puede necesitar un valor de N muy grande.

y=ƒ y=L+∑ L y=L-∑

FIGURA 15

0

lím f(x) 5 L

x

N

x:`

Del mismo modo, una versión precisa de la definición 2 está dada por la definición 8, que se ilustra en la figura 16.

8 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (2`, a). Entonces lím f(x) 5 L

x : 2`

significa que para todo e . 0 existe un correspondiente número N tal que si

entonces

x,N

| f sxd 2 L | , «

y

y=ƒ y=L+∑ L y=L-∑

FIGURA 16

x

0

N

lím f(x) 5 L x : 2`

En el ejemplo 3 se calculó que el

lím

x:`

3x 2 2 x 2 2 3 − 2 5x 1 4x 1 1 5

En el siguiente ejemplo utilice una calculadora o computadora para relacionar este enunciado con la definición 7, con L − 35 − 0.6 y e 5 0.1. TEC En Module [email protected] puede explorar la definición precisa de límite de manera gráfica o numérica.

EJEMPLO 13 Utilice una gráfica para encontrar un número N tal que si

Stewart_ch02_124-137.indd 135

x.N

entonces

Z

3x 2 2 x 2 2 2 0.6 5x 2 1 4x 1 1

Z

, 0.1

08/06/17 2:31 p.m.

136

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

SOLUCIÓN Se reescribe la desigualdad dada como

3x 2 2 x 2 2 , 0.7 5x 2 1 4x 1 1

0.5 , 1

Necesita determinar los valores de x para los cuales la curva dada está entre las rectas horizontales y 5 0.5 y y 5 0.7. Las gráficas de la curva y de estas rectas se muestran en la figura 17. Luego utilice el cursor para calcular que la curva cruza la recta y 5 0.5 cuando x < 6.7. A la derecha de este número parece que la curva está entre las rectas y 5 0.5 y y 5 0.7. Redondeando, se puede decir que

y=0.7 y=0.5

y=

3≈-x-2 5≈+4x+1

Z

15

0

si

FIGURA 17

x.7

entonces

3x 2 2 x 2 2 2 0.6 5x 2 1 4x 1 1

Z

, 0.1

En otras palabras, para e 5 0.1 se puede elegir N 5 7 (o cualquier otro número mayor) en la definición 7. n 1 − 0. x

EJEMPLO 14 Utilice la definición 7 para demostrar que lím

x:`

SOLUCIÓN Dado e . 0, se quiere encontrar N tal que

si

entonces

x.N

Z

1 20 x

Z



Al calcular el límite se puede suponer que x . 0. Entonces [email protected] , e PQ x . [email protected] Sea N 5 [email protected] Por lo que si

x.N−

1 «

entonces

Z

1 20 x

Z



1 ,« x

Por tanto, de la definición 7 lím

x:`

1 −0 x

La figura 18 ilustra la demostración mostrando algunos valores de e y los correspondientes valores de N. y

y

y

∑=1 ∑=0.2 0

N=1

FIGURA 18

Stewart_ch02_124-137.indd 136

x

0

∑=0.1 N=5

x

0

N=10

x

n

08/06/17 2:31 p.m.

137

SECCIÓN 2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales

Por último, observe que un límite infinito al infinito puede definirse como sigue. En la figura 19 se muestra una ilustración geométrica.

y

y=M M

9 Definición de un límite infinito al infinito Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, `). Entonces 0

x

N

lím f(x) 5 ` x:`

FIGURA 19

lím f(x) 5 ` x:`

significa que para todo número positivo M existe un correspondiente número positivo N tal que si

x.N

f sxd . M

entonces

Definiciones similares se aplican cuando el símbolo ` se reemplaza por 2`. (Véase el ejercicio 80.)

EJERCICIOS

2.6

1. Explique con sus propias palabras el significado de cada uno de los límites siguientes (a) lím f(x) 5 5 (b) lím f(x) 5 3 x:`

y

x : 2`

1

2. (a) ¿Puede la gráfica de y 5 f(x) intersecar una asíntota vertical? ¿Puede intersecar una asíntota horizontal? Ilustre trazando gráficas. (b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de y 5 f(x)? Trace gráficas que muestren las posibilidades. 3. Para la función f cuya gráfica está dada, determine lo siguiente: (a) lím f(x) (b) lím f(x) x:`

x : 2`

(c) lím f(x)

(d) lím f(x)

x:1

x:3

0

x

5–10 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satis7etM0206x04 faga todas07/11/11 las condiciones dadas. 5. lím fMasterID: sxd − 2`, 00277 lím f sxd − 5, x:0

(e) Las ecuaciones de las asíntotas

lím

x:2

x : 221

lím f sxd − 0,

lím f sxd − `,

x :2

x

lím f sxd − `,

lím f sxd − 2`,

x : 222

f s0d − 0

x :`

7. lím f sxd − 2`,

x :`

f sxd − `,

lím f sxd − 0,

x : 2`

1

lím f sxd − 25

x : 2`

6. lím f sxd − `,

y

1

2

lím f sxd − 0,

x :`

x : 2`

lím f sxd − 2`

x : 01

x : 02

8. lím f sxd − 3, lím2 f sxd − `, lím1 f sxd − 2`, f es impar x:`

9. f s0d − 3, 4. Para la función g cuya gráfica está dada, determine lo siguiente. (a) lím g(x) (b) lím g(x) x:`

x : 2`

(c) lím g(x)

(d) lím g(x)

(e) lím1 g(x)

(f ) Las ecuaciones de las asíntotas

x:3

x : 22

Stewart_ch02_124-137.indd 137

x:0

x :2

x :2

lím f sxd − 4,

x : 02

lím f sxd − 2`,

x : 2`

lií

x : 01

f sxd − 2,

lím f sxd − 2`,

x : 42

lím f sxd − `,

x : 41

lím f sxd − 3

x :`

10. lím f sxd − 2`, x:3

lím f sxd − 2,

x :`

f s0d − 0,

f es par

08/06/17 2:31 p.m.

138

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

; 11. Conjeture el valor del límite lím

x :`

35. lím arctanse x d x:`

x2 2x

37. lím

evaluando la función f(x) 5 [email protected] para x 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100. Después, utilice una gráfica de f para respaldar su conjetura. ; 12. (a) Utilice la gráfica de

S D 2 x

x

2

2x 2 7 13. lím x : ` 5x 2 1 x 2 3

19. lím

t:`

21. lím

x:`

1 2x 1 3

14. lím

x:`

Î

3

9x 1 8x 2 4 3 2 5x 1 x 3

16. lím

3x 1 5 x24

18. lím

2 2 3y 2 5y 2 1 4y

st 1 t 2 2t 2 t 2

20. lím

t 2 t st 2t 3y2 1 3t 2 5

s9x 6 2 x x3 1 1

22. lím

1 2 x 2 x2 2x 2 2 7

x:`

y:`

t: `

x : 2`

s9x 6 2 x x3 1 1

s1 1 4x 6 23. lím x:` 2 2 x3

s1 1 4x 6 24. lím x : 2` 2 2 x3

sx 1 3x 2 25. lím x:` 4x 2 1

x 1 3x 2 26. lím x : ` 4x 2 1

27. lím (s9x 2 1 x 2 3x) 28. lím (s4x 2 1 3x 1 2 x ) x :2`

29. lím (sx 2 1 ax 2 sx 2 1 bx 30. lím

x : 2`

31. lím

x:`

)

33. lím sx 2 1 2x 7 d x : 2`

Stewart_ch02_138-155.indd 138

39. lím se22x cos xd

40. lím1 tan21sln xd

x:`

x:0

43. (a) Para f sxd −

x determine cada uno de los límites ln x

siguientes. (i) lím1 f sxd x:0

(ii) lím2 f sxd

(iii) lím1 f sxd

x:1

x :1

(b) Utilice una tabla de valores para calcular lím f(x). x:`

(c) Utilice la información de los incisos (a) y (b) para hacer un trazo de la gráfica de f. 2 1 determine cada uno de los límites 44. Para f sxd − 2 x ln x siguientes. (a) lím f sxd (b) lím1 f sxd x:0

x:`

(c) lím2 f sxd

(d) lím1 f sxd

x:1

x :1

(e) Utilice la información de los incisos (a)-(d) para hacer un trazo de la gráfica de f. ; 45. (a) Estime el valor de lím (sx 2 1 x 1 1 1 x)

x : 2`

al trazar la gráfica de f sxd − sx 2 1 x 1 1 1 x.

(b) Use una tabla de valores de f(x) para inferir el valor del límite. (c) Demuestre que su estimación es correcta. ; 46. (a) Utilice una gráfica de f sxd − s3x 2 1 8x 1 6 2 s3x 2 1 3x 1 1

47–52 Encuentre las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo de graficación, verifique su trabajo al trazar la gráfica de la curva y determinando las asíntotas.

( x 1 sx 2 1 2x )

x 4 2 3x 2 1 x x3 2 x 1 2

x:`

Para obtener el valor de límx : `f(x) con un decimal de precisión. (b) Utilice una tabla de valores de f(x) para calcular el límite con cuatro decimales de precisión. (c) Encuentre el valor exacto del límite.

x :`

x :`

sen2 x x2 1 1

x: `

15–42 Encuentre el límite o demuestre que no existe.

x : 2`

1 2 ex 1 1 2e x

42. lím flns2 1 xd 2 lns1 1 xdg

13–14 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las propiedades adecuadas de los límites.

17. lím

38. lím

x:`

x: `

para calcular el valor de límx : ` f(x) con una aproximación de dos cifras decimales. (b) Utilice una tabla de valores de f(x) para calcular el límite con cuatro cifras decimales.

x:`

e 3x 2 e23x e 3x 1 e23x

41. lím flns1 1 x 2 d 2 lns1 1 xdg

f sxd − 1 2

15. lím

x:`

36. lím

32. lím se2x 1 2 cos 3xd x:`

34. lím

x : 2`

1 1 x6 x4 1 1

47. y −

5 1 4x x13

48. y −

2x 2 1 1 3x 1 2x 2 1

49. y −

2x 2 1 x 2 1 x2 1 x 2 2

50. y −

1 1 x4 x2 2 x4

2

08/06/17 2:42 p.m.

139

SECCIÓN 2.6 Límites al infinito; asíntotas horizontales

x3 2 x x 2 6x 1 5

51. y −

52. y −

2

2e x e 25

el eje x en x 5 1. Se sabe que f tiene una discontinuidad removible en x 5 21 y límx : 21 f(x) 5 2. Evalúe (a) f s0d (b) lím f sxd

x

x:`

60–64 Determine los límites cuando x : ` y cuando x : 2`. Utilice esta información junto con las intersecciones para trazar la gráfica como en el ejemplo 12.

; 53. Calcule la asíntota horizontal de la función f sxd −

3

2

3x 1 500x x 3 1 500x 2 1 100x 1 2000

60. y − 2x 3 2 x 4

al hacer gráfica de f para 210 < x < 10. Después obtenga la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la discrepancia?

62. y − x 3sx 1 2d 2sx 2 1d 63. y − s3 2 xds1 1 xd 2s1 2 xd 4 64. y − x 2sx 2 2 1d 2sx 1 2d

; 54. (a) Trace la gráfica de la función f sxd −

s2x 2 1 1 3x 2 5

¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Utilice la gráfica para estimar el valor de los límites lím

x :`

s2x 2 1 1 3x 2 5

y

lím

x : 2`

s2x 2 1 1 3x 2 5

(b) Calcule algunos valores de f(x) y proporcione estimaciones numéricas de los límites del inciso (a). (c) Calcule los valores exactos de los límites en el inciso (a). ¿Obtiene el mismo valor o valores diferentes de esos dos límites? [De acuerdo con su respuesta al inciso (a), tendrá que verificar su cálculo para el segundo límite.]

65. (a) Utilice el teorema de la compresión para evaluar sen x . lím x:` x ;

lím

Psxd − 3x 5 2 5x 3 1 2x

Psxd Qsxd

67. Determine límx : ` f(x) si, para toda x . 1, 10e x 2 21 5sx , f sxd , 2e x sx 2 1

56. Realice un trazo de la curva y 5 xn (n un entero) para los cinco casos siguientes: (ii) n . 0, n impar (iv) n , 0, n impar

68. (a) Un depósito contiene 5000 l de agua pura. Se bombea salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al depósito a una rapidez de 25 [email protected] Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es

Luego use estos trazos para encontrar los límites siguientes. (a) lím1 x n

(b) lím2 x n

x :0

(c) lím x x :`

x :0

n

(d) lím x x : 2`

Cstd −

n

lím f sxd − 0,

lím f sxd − `,

x : 32

lím f sxd − 2`,

x :0

lím f sxd − 2`

x : 31

59. Una función f es un cociente de funciones cuadráticas y tiene una asíntota vertical x 5 4 y una intersección con

Stewart_ch02_138-155.indd 139

69. En el capítulo 9 se demostrará que, bajo ciertas hipótesis, la velocidad √(t) de una gota de lluvia que cae, en el instante t, es vstd − v *s1 2 e 2ttyv * d

f s2d − 0,

58. Determine una fórmula para una función que tiene asíntotas verticales x 5 1 y x 5 3 y asíntota horizontal y 5 1.

30t 200 1 t

(b) ¿Qué sucede con la concentración cuando x : `?

57. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las condiciones siguientes: x : 6`

Qsxd − 3x 5

al trazar la gráfica de las dos funciones en los rectángulos de vista [22, 2] por [22, 2] y [210, 10] por [210 000, 10 000]. (b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento en los extremos si su cociente tiende a 1 cuando x : `. Demuestre que P y Q tienen el mismo comportamiento final en los extremos.

si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor que el grado de Q.

(i) n − 0 (iii) n . 0, n par (v) n , 0, n par

(b) Trace la gráfica de f(x) 5 (sen x)@x. ¿Cuántas veces cruza la gráfica la asíntota?

; 66. Por el comportamiento en los extremos de una función se entiende una descripción de lo que sucede con sus valores x : ` y cuando x : 2`. (a) Describa y compare el comportamiento en los extremos de las funciones

55. Sea P y Q polinomios. Determine x:`

61. y − x 4 2 x 6

;

donde g es la aceleración debida a la gravedad y √* es la velocidad terminal de la gota de lluvia. (a) Encuentre límt : ` √(t). (b) Trace la gráfica de √(t) si √* 5 1 [email protected] y g 5 9.8 [email protected] ¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota de agua alcance 99% de su velocidad terminal?

08/06/17 2:42 p.m.

140

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

; 70. (a) Al trazar la gráfica de y 5 [email protected] y y 5 0.1 en una pantalla común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que [email protected] , 0.1. (b) ¿Puede resolver el inciso (a) sin un dispositivo de graficación?

76. (a) ¿Qué tan grande se debe tomar x de manera que [email protected] , 0.0001? 1

(b) Tomando r 5 2  en el teorema 5, se tiene el enunciado lím

x:`

; 71. Utilice una gráfica para determinar un número N tal que si

x.N

Z

entonces

Z

3x2 1 1 2 1.5 , 0.05 2x 2 1 x 1 1

1 sx

−0

Demuéstrelo directamente utilizando la definición 7. 77. Utilice la definición 8 para demostrar que lím

; 72. Para el límite

x : 2`

lím

x:`

1 2 3x sx 2 1 1

− 23

ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de N que correspondan a e 5 0.1 y e 5 0.05. ; 73. Para el límite lím

x :2`

1 2 3x sx 2 1 1

1 5 0. x

78. Demuestre, utilizando la definición 9, que lím x3 5 `. x:`

79. Utilice la definición 9 para demostrar que lím ex 5 `. x:`

80. Formule una definición precisa de −3

ilustre la definición 8 mediante la determinación de valores de N que correspondan a e 5 0.1 y e 5 0.05.

lím f(x) 5 2`

x : 2`

Luego utilice su definición para demostrar que

; 74. Para el límite

lím (1 1 x3) 5 2`

x : 2`

lím sx ln x − `

x:`

81. (a) Demuestre que

ilustre la definición 9 mediante la determinación de un valor de N que corresponda a M 5 100. 75. (a) ¿Qué tan grande se tiene que hacer x para que [email protected] , 0.0001? (b) Tomando r 5 2 en el teorema 5, se tiene el enunciado lím

x:`

1 50 x2

lím f(x) 5 lím1 f(1t)

x : 2`

y

t:0

lím f(x) 5 lím2 f(1t)

x : 2`

t:0

si estos límites existen. (b) Utilice el inciso (a) y el ejercicio 65 para encontrar

Demuéstrelo directamente utilizando la definición 7.

lím x sen

x : 01

1 x

2.7 Derivadas y razones de cambio El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad de un objeto implican encontrar el mismo tipo de límite, como se vio en la sección 2.1. Este tipo especial de límite se denomina derivada y se puede interpretar como una razón de cambio en las ciencias naturales o sociales y en ingeniería.

Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y 5 f(x) y uno quiere encontrar la recta tangente a C en el punto P(a, f(a)), entonces considere un punto cercano Q(x, f(x)), donde x  a, y calcule la pendiente de la recta secante PQ: mPQ −

f sxd 2 f sad x2a

Luego, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ tiende a un número m, entonces se define la tangente t como la recta que pasa por P con pendiente m.

Stewart_ch02_138-155.indd 140

08/06/17 2:42 p.m.

141

SECCIÓN 2.7 Derivadas y razones de cambio

(Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante PQ cuando Q tiende a P. Véase la figura 1.)

y

Q{ x, ƒ } ƒ-f(a) P { a, f(a)}

1 Definición La recta tangente a la curva y 5 f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente

x-a

m − lím 0

a

x

x:a

x

f sxd 2 f sad x2a

siempre que este límite exista. y

t

En nuestro primer ejemplo, se confirma la suposición que se hizo en el ejemplo 2.1.1. Q Q

EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y 5 x2 en el

Q

P

punto P(1,1). SOLUCIÓN En este caso, a 5 1 y f(x) 5 x2, de modo que la pendiente es x

0

m − lím

x :1

FIGURA 1

− lím

x :1

f sxd 2 f s1d x2 2 1 − lím x :1 x 2 1 x21 sx 2 1dsx 1 1d x21

− lím sx 1 1d − 1 1 1 − 2 x :1

Forma punto-pendiente para una recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m:

Con la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, se encuentra que la ecuación de la recta tangente en (1, 1) es y 2 1 5 2(x 2 1)

y 2 y1 5 m(x 2 x1) TEC Visual 2.7 muestra una animación de la figura 2.

y 5 2x 2 1

n

A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que, si uno se acerca lo suficiente al punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la curva y 5 x2 del ejemplo 1. Cuanto más se acerque uno, tanto más la parábola se parece a una recta. En otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente.

2

1.5

(1, 1)

0

o

1.1

(1, 1)

2

0.5

(1, 1)

1.5

0.9

1.1

FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto (1, 1) de la parábola y 5 x2

Stewart_ch02_138-155.indd 141

08/06/17 2:42 p.m.

142

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Q { a+h, f(a+h)} y

Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si h 5 x 2 a, en este caso x 5 a 1 h, entonces la pendiente de la recta secante PQ es

t

mPQ −

P { a, f(a)} f(a+h)-f(a)

h

0

a

f sa 1 hd 2 f sad h

a+h

x

FIGURA 3

(Véase la figura 3, donde se ilustra lo que pasa cuando h . 0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo, si h , 0, Q estaría a la izquierda de P.) Observe que conforme x se aproxima a a, h se acerca a 0 (puesto que h 5 x 2 a) y por ello la expresión de la pendiente de la recta tangente, en la definición 1, se convierte en

2

m − lím

h:0

f sa 1 hd 2 f sad h

EJEMPLO 2 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y [email protected], en el punto (3, 1). SOLUCIÓN Sea f(x) 5 [email protected] Entonces, de acuerdo con la ecuación 2, la pendiente de la tangente en (3, 1) es

m − lím

h:0

f s3 1 hd 2 f s3d h

3 3 2 s3 1 hd 21 31h 31h − lím − lím h:0 h:0 h h − lím

h:0

y

x+3y-6=0

y=

3 x

1 2h 1 −2 − lím 2 h:0 hs3 1 hd 31h 3

Por tanto una ecuación de la tangente en el punto (3, 1) es

(3, 1)

y 2 1 − 213 sx 2 3d x

0

que se simplifica a FIGURA 4

x 1 3y 2 6 − 0

En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente.

posición al tiempo t=a

Velocidades

posición al tiempo t=a+h En la sección 2.1 se investigó el movimiento de una pelota que se dejó caer desde s

0 f(a+h)-f(a)

f(a) f(a+h)

FIGURA 5

Stewart_ch02_138-155.indd 142

n

la Torre CN, y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio sobre períodos de tiempo cada vez más cortos. En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento s 5 f(t), donde s es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto respecto al origen, en el tiempo t. La función f que describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo de tiempo t 5 a a t 5 a 1 h, el cambio en la posición es f(a 1 h) 2 f(a). (Véase la figura 5.)

08/06/17 2:42 p.m.

143

SECCIÓN 2.7 Derivadas y razones de cambio

La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es

s

Q { a+h, f(a+h)}

velocidad promedio 5

P { a, f(a)}

desplazamiento

tiempo

5

f(a 2 h) 2 f(a)

h

h

0

a

mPQ=

a+h

t

f(a+h)-f(a) h

que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la figura 6. Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre intervalos de tiempo [a, a 1 h] más y más cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae, se definió la velocidad (o velocidad instantánea) √(a) en el instante t 5 a como el límite de estas velocidades promedio:

velocidad promedio

FIGURA 6

3

vsad − lím

h:0

f sa 1 hd 2 f sad h

Esto significa que la velocidad en el instante t 5 a es igual a la pendiente de la recta tangente en P (compare las ecuaciones 2 y 3). Ahora que sabe calcular límites, considere nuevamente el problema de la pelota que cae.

EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de la Torre CN, a 450 m sobre el nivel del suelo. (a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? (b) ¿Con qué rapidez cae cuando choca contra el suelo? Recuerde, de la sección 2.1, que la distancia (en metros) que recorre la pelota cayendo después de t segundos es 4.9t2.

SOLUCIÓN Se necesita encontrar la velocidad cuando t 5 5 y cuando la pelota golpea el suelo, de tal manera que es conveniente determinar la velocidad en un tiempo general t. Usando la ecuación de movimiento s 5 f(t) 5 4.9t2, se tiene

vstd − lím

h:0

f st 1 hd 2 f std 4.9st 1 hd2 2 4.9t 2 − lím h:0 h h

− lím

4.9st 2 1 2th 1 h 2 2 t 2 d 4.9s2th 1 h 2 d − lím h:0 h h

− lím

4.9hs2t 1 hd − lím 4.9s2t 1 hd − 9.8t h:0 h

h:0

h:0

(a) La velocidad después de 5 segundos es √(5) 5 (9.8)(5) 5 49 [email protected] (b) Puesto que la plataforma de observación está a 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota chocará contra el suelo en el instante t, cuando s(t) 5 450; es decir, 4.9t 2 − 450 Esto da t2 −

Stewart_ch02_138-155.indd 143

450 4.9

y

t−

Î

450 < 9.6 s 4.9

08/06/17 2:42 p.m.

144

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Por tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es v

SÎ D Î 450 4.9

− 9.8

450 < 94 mys 4.9

n

Derivadas Se ha visto que para determinar la pendiente de una recta tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3) surge la misma clase de límite. De hecho, límites de la forma f sa 1 hd 2 f sad h

lím

h :0

surgen cuando se calcula una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería, tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía. Ya que esta clase de límite se presenta muy a menudo, se le da un nombre y una notación especial. 4 Definición La derivada de una función f en un número a, denotada por f9(a), es f9(a) se lee “f prima de a”.

f 9sad − lím

h :0

f sa 1 hd 2 f sad h

si este límite existe.

Si se escribe x 5 a 1 h, entonces h 5 x 2 a y h tiende a 0 si y solo si x tiende a a. Por consiguiente, una manera equivalente de expresar la definición de la derivada, como se vio en la búsqueda de rectas tangentes, es

5

f 9sad − lím

x:a

f sxd 2 f sad x2a

EJEMPLO 4

Encuentre la derivada de la función f(x) 5 x2 2 8x 1 9 en el número a. SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene Las definiciones 4 y 5 son equivalentes, así que se puede usar cualquiera de los dos para calcular la derivada. En la práctica, la definición 4 conduce a menudo a cálculos más simples.

f 9sad − lím

h :0

f sa 1 hd 2 f sad h

− lím

fsa 1 hd2 2 8sa 1 hd 1 9g 2 fa 2 2 8a 1 9g h

− lím

a 2 1 2ah 1 h 2 2 8a 2 8h 1 9 2 a 2 1 8a 2 9 h

− lím

2ah 1 h 2 2 8h − lím s2a 1 h 2 8d h :0 h

h :0

h :0

h :0

− 2a 2 8

Stewart_ch02_138-155.indd 144

n

08/06/17 2:42 p.m.

SECCIÓN 2.7 Derivadas y razones de cambio

145

Se define la recta tangente a la curva y 5 f(x) en el punto P(a, f(a)) como la recta que pasa por P y tiene pendiente m, dada por la ecuación 1 o 2. Ya que, por la definición 4, esta es la misma que la derivada f9(a), se puede decir lo siguiente.

La recta tangente a y 5 f(x) en (a, f(a)) es la recta que pasa por (a, f(a)) cuya pendiente es igual a f9(a), la derivada de f en a.

Si utiliza la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, se puede escribir la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 f(x) en el punto (a, f(a)): y

y 2 f sad − f 9sadsx 2 ad y=≈-8x+9

EJEMPLO 5 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y 5 x2 2 8x 1 9 en el punto (3, 26). x

0

SOLUCIÓN Del ejemplo 4 se sabe que la derivada de f(x) 5 x2 2 8x 1 9 en el

número a es f9(a) 5 2a 2 8. Por tanto, la pendiente de la recta tangente en (3, 26) es f9(3) 5 2(3) 2 8 5 22. Por lo que la ecuación de la recta tangente, que se muestra en la figura 7, es

(3, _6)

y=_2x

y 2 s26d − s22dsx 2 3d

FIGURA 7

o

y − 22x

n

Razones de cambio Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y se expresa como y 5 f(x). Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es Dx − x 2 2 x 1 y

Q {x, ‡}

y el cambio correspondiente en y es P {⁄, fl}

Dy − f sx 2d 2 f sx 1d

Îy

El cociente de diferencias

Îx 0



¤

razón decambio cambiopromedio promedio razón de 5− mPQmPQ razón de cambio cambioinstantánea instantánea5− razón de pendiente de de la tangente enen PP pendiente la tangente

FIGURA 8

Dy f sx 2d 2 f sx 1d − Dx x2 2 x1

x

se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x sobre el intervalo [x1, x2], y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ en la figura 8. Por analogía con la velocidad, se considera la razón de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por tanto, haciendo que Dx tienda a 0. El límite de estas razones de cambio promedio se llama razón de cambio (instantánea) de y con respecto a x en x1, que se interpreta (al igual que en el caso de la velocidad) como la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 f(x) en P(x1, f(x1)):

6

Razón de cambio instantánea − lím

Dx : 0

Dy f sx2 d 2 f sx1d − lím x :x Dx x2 2 x1 2

1

Se reconoce este límite como la derivada f9(x1).

Stewart_ch02_138-155.indd 145

08/06/17 2:42 p.m.

146

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Se sabe que una interpretación de la derivada f9(a) es como la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 f(x) cuando x 5 a. Ahora se tiene una segunda interpretación: La derivada f9(a) es la razón de cambio instantánea de y 5 f(x) respecto a x cuando x 5 a.

y

Q

P

x

FIGURA 9 Los valores de y cambian rápidamente en P y lentamente en Q.

La conexión con la primera interpretación es que si dibuja la curva y 5 f(x), entonces la razón de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto donde x 5 a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y, en consecuencia, la curva es pronunciada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana (como en el punto Q), y el valor de y cambia lentamente. En particular, si s 5 f(t) es la función posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces f9(a) es la razón de cambio del desplazamiento s respecto al tiempo t. En otras palabras, f9(a) es la velocidad de la partícula en el tiempo t 5 a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir, u f9(a) u. En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que está definida verbalmente.

EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con ancho fijo. El costo de producir x metros de este tejido es de C 5 f(x) dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f9(x)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) En términos prácticos, ¿qué significa decir que f9(1000) 5 9? (c) ¿Cuál piensa que es más grande f9(50) o f9(500)? ¿Qué hay respecto a f9(5000)? SOLUCIÓN

(a) La derivada f9(x) es la razón de cambio instantánea de C respecto a x, es decir, f9(x) significa la razón de cambio del costo de producción respecto al número de metros producidos. (Los economistas llaman a esta rapidez de cambio costo marginal. Esta idea se analiza con más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.) Ya que f 9sxd − lím

Dx : 0

Aquí se está suponiendo que la función costo se comporta bien; es decir, que C(x) no oscila muy rápido cerca de x 5 1000.

DC Dx

las unidades de f9(x) son las mismas que las unidades del cociente de diferencias [email protected] Puesto que DC se mide en dólares y Dx en metros, las unidades para f9(x) son dólares por cada metro. (b) La afirmación f9(1000) 5 9 significa que, después de fabricar 1000 metros de tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de [email protected] (Cuando x 5 1000, C se incrementa 9 veces más rápido que x.) Dado que Dx 5 1 es pequeño si se le compara con x 5 1000, podría usarse la aproximación f 9s1000d <

DC DC − − DC Dx 1

y se dice que el costo de fabricación del 1000-ésimo metro (o del 1001) es de casi 9 dólares. (c) La razón a la cual se incrementa el costo de producción (por metro) probablemente es inferior cuando x 5 500 que cuando x 5 50 (el costo de fabricación del 500-ésimo

Stewart_ch02_138-155.indd 146

08/06/17 2:42 p.m.

SECCIÓN 2.7 Derivadas y razones de cambio

147

metro es menor que el costo del 50-ésimo) debido a la escala económica. (El fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que f 9s50d . f 9s500d Pero, conforme se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala será ineficiente y posiblemente existan costos por horas extra de trabajo. En estos términos, es posible que la razón de aumento de los costos empezará con el tiempo a subir. De este modo, es posible que suceda que f 9s5000d . f 9s500d

n

En el ejemplo siguiente se calcula la razón de cambio de la deuda nacional respecto al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino con una tabla de valores. t

Dstd

1994 1996 1998 2000 2002

414.0 469.5 467.3 456.4 442.3

EJEMPLO 7 Sea D(t) la deuda nacional canadiense en el tiempo t. La tabla en el margen da valores aproximados de esta función calculados a mitad de año, en miles de millones de dólares, para distintos valores entre 1994 y 2002. Interprete y calcule el valor de D’(1998). SOLUCIÓN La derivada D’(1998) significa la razón de cambio de D respecto a t cuando t 5 1998, es decir, la razón de incremento de la deuda nacional en 1998. De acuerdo con la ecuación 5,

D9s1998d − lím

t :1998

Dstd 2 Ds1998d t 2 1998

Por lo que calcule y tabule los valores del cociente de diferencias (la razón de cambio promedio) como sigue. Intervalo de tiempo Razón de cambio promedio −

t 1994 1996 2000 2002

Una nota sobre unidades Las unidades de la razón de cambio promedio [email protected] son las unidades de DD divididas entre las unidades de Dt, o sea, miles de millones de dólares por cada año. La razón de cambio instantánea es el límite de la razón de cambio promedio, por lo que se mide en las mismas unidades: miles de millones de dólares por cada año.

f1994, 1998g f1996, 1998g f1998, 2000g f1998, 2002g

Dstd 2 Ds1998d t 2 1998

13.3 21.1 25.5 26.3

A partir de esta tabla se ve que D’(1998) se localiza en alguna parte entre 21.1 y 25.5 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la suposición razonable de que la deuda no fluctuó de manera errática entre 1998 y el 2000.] Se estima que la razón de incremento de la deuda nacional de Canadá en 1998 fue el promedio de estos dos números, específicamente D9(1998) < 23.3 miles de millones de dólares por cada año. El signo menos significa que la deuda fue disminuyendo con el tiempo. Otro método sería una gráfica de la función deuda y calcular la pendiente de la recta tangente cuando t 5 1998. n En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la velocidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento respecto al tiempo; el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción respecto al número de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda respecto al tiempo es de interés en la economía. Existen otras razones de cambio: en física, la razón de cambio de trabajo respecto al tiempo se llama potencia. Los químicos que estudian una reacción química

Stewart_ch02_138-155.indd 147

08/06/17 2:42 p.m.

148

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

están interesados en la razón de cambio de la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (llamada velocidad de reacción). Un biólogo se interesa en la razón de cambio de la población de una colonia de bacterias respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería, e incluso, en las ciencias sociales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos. Todas estas razones de cambio son derivadas y por tanto se pueden interpretar como pendientes de rectas tangentes. Esto le da un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que usted resuelve problemas en que intervienen rectas tangentes, no solo resuelve un problema de geometría. También se está resolviendo en forma implícita gran variedad de problemas de ciencias y de ingeniería, que implican razones de cambio.

2.7

EJERCICIOS

1. Una curva tiene la ecuación y 5 f(x). (a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P(3, f(3)) y Q(x, f(x)). (b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P. ; 2. Trace la curva y 5 ex en los rectángulos de vista [21, 1] por [0, 2], [20.5, 0.5] por [0.5, 1.5] y [20.1, 0.1] por [0.9, 1.1]. ¿Qué nota acerca de la curva cuando hace un acercamiento hacia el punto (0, 1)? 3. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la parábola y 5 4x 2 x2 en el punto (1, 3) (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso (a). (c) Trace la gráfica de la parábola y la recta tangente. ; Como verificación de su trabajo, haga un acercamiento hacia el punto (1, 3) hasta que la parábola y la recta tangente sean indistinguibles. 4. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 x 2 x3 en el punto (1, 0) (i) usando la definición 1 (ii) usando la ecuación 2 (b) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso (a). (c) Trace la curva y la recta tangente en rectángulos de ; vista cada vez más pequeños centrados en (1, 0) hasta que parezcan coincidir la curva y la recta. 5–8 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto dado. 2

5. y − 4x 2 3x , 7. y − !x, s1, 1d

s2, 24d

6. y − x 2 3x 1 1, s2, 3d 2x 1 1 8. y − , s1, 1d x12

11. (a) Una partícula empieza moviéndose a la derecha a lo largo de una recta horizontal; la gráfica de su función posición se muestra enseguida. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha? ¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil? (b) Trace una gráfica de la función velocidad. s (metros) 4 2

0

2

4

10. (a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 [email protected] en el punto donde x 5 a.

6 t (segundos)

12. Se muestran las gráficas de las funciones posición de dos corredoras, A y B, quienes compiten en los 100 m y terminan en empate. s (metros) 80

A

40

B

3

9. (a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 3 1 4x2 2 2x 1 3 en el punto donde x 5 a. (b) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1, 5) y (2, 3). (c) Trace la gráfica de la curva y ambas rectas tangentes en ; una misma pantalla.

Stewart_ch02_138-155.indd 148

;

(b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1, 1) y (4, 12 ). (c) Trace la gráfica de la curva y ambas rectas tangentes en una misma pantalla.

0

4

8

12

t (segundos)

(a) Describa y compare cómo desarrollaron la carrera las competidoras. (b) ¿En qué momento hay la mayor distancia entre las competidoras? (c) ¿En qué momento tienen la misma velocidad? 13. Si una pelota se lanza al aire verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 10 [email protected], su altura (en metros) una vez que transcurren t segundos está dada por y 5 10t 2 4.9t2. Encuentre la velocidad cuando t 5 2.

08/06/17 2:42 p.m.

149

SECCIÓN 2.7 Derivadas y razones de cambio

14. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba en el planeta Marte con una velocidad de 10 [email protected], su altura (en metros) después de t segundos está dada por H 5 10t 2 1.86t2. (a) Encuentre la velocidad de la roca después de un segundo. (b) Encuentre la velocidad de la roca cuando t 5 a. (c) ¿Cuándo caerá la roca a la superficie? (d) ¿Con qué velocidad chocará la roca contra la superficie? 15. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta está dado por la ecuación de movimiento s 5 [email protected], donde t se mide en segundos. Encuentre la velocidad de la partícula en los instantes t 5 a, t 51, t 52 y t 53. 16. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta está dado por s 5 t2 2 8t 1 18, donde t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo: (i) f3, 4g (ii) f3.5, 4g (iii) f4, 5g (iv) f4, 4.5g (b) Encuentre la velocidad instantánea cuando t 5 4. (c) Trace la gráfica de s como función de t y trace las rectas secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio en el inciso (a). Luego, dibuje la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea en el inciso (b). 17. Para la función g cuya gráfica está dada, reordene los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento. 0

t9s22d

t9s0d

t9s2d y=©

0

1

2

3

4

x

18. Se muestra la gráfica de una función f. (a) Encuentre la razón de cambio promedio de f en el intervalo [20, 60]. (b) Identifique un intervalo en el que la razón de cambio promedio de f es 0. (c) ¿Qué intervalo da una mayor razón de cambio, [40, 60] o [40, 70]? f s40d 2 f s10d (d) Calcule ¿qué representa geométrica40 2 10 mente este valor? y 800

Stewart_ch02_138-155.indd 149

22. Si la recta tangente a y 5 f(x) en (4, 3) pasa a través del punto (0, 2), encuentre f(4) y f9(4). 23. Trace la gráfica de una función f para la cual f(0) 5 0, f9(0) 5 3, f9(1) 5 0 y f9(2) 5 21. 24. Trace la gráfica de una función g para la cual ts0d − ts2d − ts4d − 0, t9s1d − t9s3d − 0, t9s0d − t9s4d − 1, t9s2d − 21, lím x : ` tsxd − ` y lím x : 2` tsxd − 2`. 25. Trace la gráfica de una función g que es continua en su dominio (25, 5) y donde g(0) 5 1, g9(0) 5 1, g9(22) 5 0, límx : 251 g(x) 5 ` y límx : 52 g(x) 5 3. 26. Trace la gráfica de una función f donde el dominio es (22, 2), f9(0) 5 22, límx : 22 f(x) 5 `, f es continua en todos los números dentro de su dominio excepto en 61, y f es impar. 27. Si f(x) 53x2 2 x3, encuentre f9(1) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 3x2 2 x3 en el punto (1, 2).

29. (a) Si F(x) 5 [email protected](1 1 x2), encuentre F 9(2) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 [email protected](1 1 x2) en el punto (2, 2). (b) Ilustre el inciso (a) al trazar la gráfica de la curva y la ; recta tangente en la misma pantalla. 30. (a) Si G(x) 5 4x2 2 x3, encuentre G9(a) y utilícela para encontrar las rectas tangentes a la curva y 5 4x2 2 x3 en los puntos (2, 8) y (3, 9). (b) Ilustre el inciso (a) al trazar la gráfica de la curva y las ; rectas tangentes en la misma pantalla. 31–36 Encuentre f 9sad. 31. f sxd − 3x 2 2 4x 1 1 33. f std −

2t 1 1 t13

35. f sxd − s1 2 2x

32. f std − 2t 3 1 t 34. f sxd − x 22 36. f sxd −

4 s1 2 x

37–42 Cada uno de los límites siguientes representa la derivada de alguna función f en algún número a. Establezca una f y una a en cada caso.

400

0

21. Si una ecuación de la recta tangente a la curva y 5 f(x) en el punto donde a 5 2 es y 5 4x 2 5, encuentre f(2) y f9(2).

28. Si g(x) 5 x4 2 2 encuentre g9(1) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 x4 2 2 en el punto (1, 21).

t9s4d

y

_1

19. Para la gráfica de la función f del ejercicio 18: (a) Calcule el valor f9(50). (b) ¿Es f9(10) . f9(30)? f s80d 2 f s40d (c) ¿Es f 9s60d . ? Explique su respuesta. 80 2 40 20. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y 5 g(x) en x 5 5 si g(5) 5 23 y g9(5) 5 4.

20

40

60

x

37. lím

h :0

s9 1 h 2 3 h

38. lím

h :0

e221h 2 e22 h

08/06/17 2:42 p.m.

150

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

1 24 x 40. lím x : 1y4 x 2 1 4

x 6 2 64 39. lím x :2 x 2 2

41. lím

h :0

48. En la tabla se proporciona el número N de establecimientos de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de establecimientos al 1 de octubre.) 1

coss 1 hd 1 1 h

sen 2 2 y6 2 y6

42. lím :

43–44 Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta con ecuación de movimiento s 5 f(t), donde s se mide en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad y la rapidez cuando t 5 4. 43. f std − 80t 2 6t 2

45 t11

44. f std − 10 1

45. Una lata de gaseosa tibia se pone a enfriar en un refrigerador. Trace la gráfica de la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. ¿La razón de cambio inicial de la temperatura es mayor o menor que la razón de cambio después de una hora? 46. Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha alcanzado 85 °C y se coloca sobre la mesa de un cuarto donde la temperatura es de 24 °C. En la gráfica se muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la pendiente de la recta tangente, calcule la razón de cambio de la temperatura después de una hora.

Año

2004

2006

2008

2010

2012

N

8569

12,440

16,680

16,858

18,066

(a) Determine la tasa promedio de crecimiento (i) de 2006 a 2008 (ii) de 2008 a 2010 En cada caso incluya las unidades. ¿Qué concluye? (b) Calcule la razón de crecimiento instantánea en 2010 considerando el promedio de dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? (c) Calcule la razón de crecimiento instantánea en 2010 midiendo la pendiente de una recta tangente. 49. La tabla muestra el número de pasajeros P que llegaron a Irlanda por aire, en millones. Año

2001

2003

2005

2007

2009

P

8.49

9.65

11.78

14.54

12.84

(a) Encuentre la tasa promedio de incremento de P (i) de 2001 a 2005 (ii) de 2003 a 2005 (iii) de 2005 a 2007 En cada caso, incluya las unidades. (b) Calcule la razón de crecimiento instantánea en 2005 tomando el promedio de dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades?

T (°C) 80

P 40

0

30

60

90

120 150

50. La tabla muestra valores de la carga viral V(t) en el paciente 303 con vih, medido en copias de [email protected], t días después de que se comenzó con el tratamiento ABT-538.

t (min)

47. Investigadores midieron la concentración promedio de alcohol en la sangre C(t) de ocho hombres comenzando después de una hora del consumo de 30 ml de etanol (correspondiente a dos bebidas alcohólicas). t (horas)

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Cstd smgymLd

0.33

0.24

0.18

0.12

0.07

(a) Encuentre la razón de cambio promedio de C con respecto a t para cada intervalo de tiempo: (i) f1.0, 2.0g (ii) f1.5, 2.0g (iii) f2.0, 2.5g (iv) f2.0, 3.0g En cada caso, incluya las unidades. (b) Calcule la razón de cambio instantánea en t 5 2 e interprete su resultado. ¿Cuáles son las unidades? Fuente: Adaptado de P. Wilkinson et al., “Pharmacokinetics of Ethanol after Oral Administration in the Fasting State”, Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 5 (1977): 207–224.

Stewart_ch02_138-155.indd 150

t

4

8

11

15

22

Vstd

53

18

9.4

5.2

3.6

(a) Encuentre la razón de cambio promedio de V con respecto a t en cada intervalo de tiempo: (i) f4, 11g (ii) f8, 11g (iii) f11, 15g (iv) f11, 22g ¿Cuáles son las unidades? (b) Estime e interprete el valor de la derivada V9(11). Fuente: Adaptada de D. Ho et al., “Rapid Turnover of Plasma Virions and CD4 Lymphocytes in HIV-1 Infection”, Nature 373 (1995): 123–126.

51. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x) 5 5000 1 10x 1 0.05x2. (a) Encuentre la razón de cambio promedio de C con respecto a x, cuando cambia el nivel de producción: (i) de x 5100 a x 5 105 (ii) de x 5 100 a x 5 101

08/06/17 2:42 p.m.

151

SECCIÓN 2.7 Derivadas y razones de cambio

(b) Encuentre la razón de cambio instantáneo de C con respecto a x, cuando x 5 100. (Esto se conoce como costo marginal. En la sección 3.7 se explica su significado.)

(b) Calcule e interprete el valor de S9(16). S (mg / L)

52. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 litros de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, entonces la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t minutos como 1

V(t) 5 100 000 A1 260 tB

2

12 8

0 < t < 60

Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del tanque (la razón de cambio instantáneo de V con respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t 5 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una frase o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo? 53. El costo de producir x kilogramos de oro a partir de una reciente mina de oro es C 5 f(x) dólares. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f9(x)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Que significa el enunciado f9(50) 5 36? (c) ¿Qué piensa usted: los valores de f9(x) se incrementarán o disminuirán en corto plazo? ¿Y a largo plazo? Explique. 54. El número de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio es n 5 f(t). (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f9(5)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Suponga que existe una cantidad de espacio y nutrientes para las bacterias. ¿Cree que es mayor f9(5) o f9(10)? Si se limita el suministro de nutrientes, ¿afectaría su conclusión? Explique. 55. Sea H(t) el costo diario (en dólares) para acondicionar una oficina de un edificio cuando la temperatura exterior es de t grados Celsius. (a) ¿Qué significa H9(15)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Esperaría que H9(15) fuera positiva o negativa? Explique su respuesta. 56. La cantidad (en kilogramos) de un café en grano gourmet que vende una empresa a un precio de p dólares por kilogramo es Q 5 f(p). (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f9(8)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) ¿Es f9(8) positivo o negativo? Explique su respuesta. 57. La cantidad de oxígeno que se puede disolver en agua depende de la temperatura de esta. (De esa manera la contaminación térmica influye en el contenido de oxígeno en el agua.) La gráfica muestra cómo varía la solubilidad S de oxígeno como una función de la temperatura del agua T. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada S9(T)? ¿Cuáles son sus unidades?

Stewart_ch02_138-155.indd 151

16

4 0

8

16

24

32

40

T (°C)

Fuente: C. Kupchella et al., Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2a. ed. (Boston: Allyn and Bacon, 1989).

58. La gráfica muestra la influencia de la temperatura T en la rapidez máxima sostenible de nado S del salmón Coho. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada S9(T)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Calcule los valores de S9(15) y S9(25) e interprételos. S (cm/s)

20

0

10

20

T (°C)

59–60 Determine si f9(0) existe. 59. f sxd −

60. f sxd −

H H

x sen

1 x

0

x 2 sen 0

si x ± 0 si x − 0

1 x

si x ± 0 si x − 0

1 ; 61. (a) Trace la gráfica de la función f(x) 5 sen x 21000 sen(1000x) en el rectángulo de vista [22p, 2p] por [24, 4]. ¿Qué pendiente parece que tiene la gráfica en el origen? (b) Haga un acercamiento para la venta de vista [20.4, 0.4] por [20.25, 0.25] y calcule el valor de f9(0). ¿Esto concuerda con la respuesta del inciso (a)? (c) Ahora haga un acercamiento a la ventana de vista [20.008, 0.008] por [20.005, 0.005]. ¿Desea revisar su cálculo para f9(0)?

08/06/17 2:42 p.m.

152

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

PROYECTO DE REDACCIÓN

PRIMEROS MÉTODOS PARA ENCONTRAR TANGENTES La primera persona en formular explícitamente las ideas de límites y derivadas fue Sir Isaac Newton en la década de 1660. Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes”. Dos de esos gigantes fueron Pierre Fermat (1601-1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (16301677). Newton estaba familiarizado con los métodos que estos hombres habían aplicado para encontrar rectas tangentes, y los métodos de ambos tuvieron que ver con la formulación final del cálculo a la que llegó Newton. Las referencias siguientes contienen explicaciones de estos métodos. Lea una o varias de estas referencias y escriba un informe en que compare los métodos de Fermat o de Barrow con los métodos modernos. En particular, utilice el método de la sección 2.7 para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 x3 1 2x en el punto (1, 3) y muestre cómo habrían resuelto Fermat o Barrow el mismo problema. Aunque usted usó derivadas y ellos no, indique las semejanzas entre los dos métodos. 1. Carl Boyer y Uta Merzbach, A History of Mathematics (Nueva York: Wiley, 1989), pp. 389, 432. 2. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (Nueva York: Springer-Verlag, 1979), pp. 124, 132. 3. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, 6a. ed. (Nueva York: Saunders, 1990), pp. 391, 395. 4. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Nueva York: Oxford University Press, 1972), pp. 344, 346.

2.8 La derivada como una función En la sección anterior se consideró la derivada de una función f en un número fijo a:

1

f 9sad − lím

h:0

f sa 1 hd 2 f sad h

Ahora se cambiará el punto de vista y hará que el número a varíe. Si en la ecuación 1 reemplaza a con una variable x, se obtiene

2

f 9sxd − lím

h:0

f sx 1 hd 2 f sxd h

Dado cualquier número x para el cual este límite existe, asigne a x el número f9(x). De modo que considere a f9 como una nueva función, llamada derivada de f y definida por medio de la ecuación 2. Se sabe que el valor de f9 en x, f9(x), se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f(x)).

Stewart_ch02_138-155.indd 152

08/06/17 2:43 p.m.

153

SECCIÓN 2.8 La derivada como una función

La función f9 se conoce como derivada de f porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de encontrar el límite en la ecuación 2. El dominio de f9 es el conjunto {x Z f9(x) existe} y puede ser menor que el dominio de f.

EJEMPLO 1 En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f. Utilícela para dibujar la gráfica de la derivada f9.

y y=ƒ 1 0

x

1

FIGURA 1

SOLUCIÓN Se puede calcular el valor de la derivada, en cualquier valor de x, trazando la tangente en el punto (x, f(x)) y estimando su pendiente. Por ejemplo, para x 5 5, trace la recta tangente en P de la figura 2(a) y estime su pendiente alrededor de 32 , por tanto, f9(5) < 1.5. Esto nos permite situar el punto P9(5, 1.5) en la gráfica de f9 directamente debajo de P. (La pendiente de la gráfica de f se convierte en el valor de y sobre la gráfica de f9.) Si repite este procedimiento en varios puntos, se obtiene la gráfica que se muestra en la figura 2(b). Observe que las tangentes en A, B y C son horizontales, de modo que la derivada es 0 ahí, y la gráfica de f9 cruza el eje x (donde y 5 0) en los puntos A9, B9 y C9, directamente debajo de A, B y C. Entre A y B las tangentes tienen pendiente positiva, por lo que f9(x) es positiva ahí. (La gráfica está arriba del eje x.) Pero entre B y C las tangentes tienen pendiente negativa, de modo que f9(x) ahí es negativa. y

B m=0

m=0 1

y=ƒ

0

3

P

A

mÅ2

5

1

x

m=0

TEC Visual 2.8 presenta una animación de la figura 2 para diferentes funciones.

C (a) y

P ª (5, 1.5) y=fª(x)

1



Aª 0

FIGURA 2

Stewart_ch02_138-155.indd 153

(b)

1

Cª 5

x

n

08/06/17 2:43 p.m.

154

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

EJEMPLO 2

(a) Si f(x) 5 x3 2 x, encuentre una fórmula para f9(x). (b) Ilustre esta fórmula comparando las gráficas de f y f9. 2

SOLUCIÓN

f _2

2

(a) Cuando se usa la ecuación 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente como una constante durante el cálculo del límite. f sx 1 hd 2 f sxd fsx 1 hd3 2 sx 1 hdg 2 fx 3 2 xg − lím h:0 h h

f 9sxd − lím

h:0

_2 2

− lím

x 3 1 3x 2h 1 3xh 2 1 h 3 2 x 2 h 2 x 3 1 x h

− lím

3x 2h 1 3xh 2 1 h 3 2 h h

h:0

fª _2

2

h:0

− lím s3x 2 1 3xh 1 h 2 2 1d − 3x 2 2 1 h:0

_2

(b) Use un dispositivo de graficación para trazar las gráficas de f y f9 de la figura 3. Observe que f9(x) 5 0 cuando f tiene tangentes horizontales y que f9(x) es positiva cuando las tangentes tienen pendientes positivas. De modo que estas gráficas sirven como comprobación de nuestro trabajo del inciso (a).

FIGURA 3

n

EJEMPLO 3 Si f(x) 5 sx, encuentre la derivada de f. Indique el dominio de f9. SOLUCIÓN

f 9sxd − lím

h :0

− lím

h :0

f sx 1 hd 2 f sxd h sx 1 h 2 sx h

S

sx 1 h 2 sx sx 1 h 1 sx ? h sx 1 h 1 sx

D

y

− lím

1

− lím

sx 1 hd 2 x h − lím h : 0 h (sx 1 h 1 sx ) h (sx 1 h 1 sx )

− lím

1 1 1 − − 2sx sx 1 h 1 sx sx 1 sx

0

h :0

h :0

1

x h :0

(a) ƒ=œ„ x y

Observe que f9(x) existe si x . 0, de modo que el dominio de f9 es (0, `). Este es, ligeramente menor que el dominio de f, que es [0, `).

1 0

(Racionalice el numerador)

1

1 (b) f ª (x)= x 2œ„

FIGURA 4

Stewart_ch02_138-155.indd 154

x

n

Compruebe que el resultado del ejemplo 3 es razonable observando las gráficas de f y f9 en la figura 4. Cuando x está cerca de 0, sx está cerca de 0, por tanto, f9(x) 5 [email protected](2sx) es muy grande, y esto corresponde a rectas tangentes muy pronunciadas cerca de (0, 0) de la figura 4(a), y a valores grandes de f9(x) justo a la derecha de 0 en la figura 4(b). Cuando x es grande, f9(x) es muy pequeña, y esto corresponde a rectas tangentes más aplanadas en el extremo derecho de la gráfica de f y a la asíntota horizontal de la gráfica de f9.

08/06/17 2:43 p.m.

155

SECCIÓN 2.8 La derivada como una función

EJEMPLO 4 Encuentre f9 si f sxd −

12x . 21x

SOLUCIÓN

f 9sxd − lím

h:0

a c 2 ad 2 bc 1 b d − ? e bd e

Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig, en 1646, y estudió leyes, teología, filosofía y matemáticas en la universidad local, donde se graduó de bachiller a los 17 años. Después de lograr su doctorado en leyes a la edad de 20, ingresó al servicio diplomático y pasó la mayor parte de su vida viajando por las capitales de Europa, en misiones políticas. En particular, trabajó para conjurar una amenaza militar francesa contra Alemania e intentó reconciliar a las Iglesias católica y protestante. Su estudio formal de las matemáticas no se inició sino hasta 1672, cuando se encontraba en una misión diplomática en París. Allí construyó una máquina para realizar cálculos y se encontró con científicos, como Huygens, quienes dirigieron su atención hacia los desarrollos más recientes en matemáticas y en ciencias. Leibniz se empeñó en desarrollar una lógica simbólica y un sistema de notación que simplificara el razonamiento lógico. En particular, su versión del cálculo, que publicó en 1684, estableció la notación y las reglas para encontrar derivadas que aún se usan en la actualidad. Por desgracia, en la década de 1690 surgió una terrible disputa entre los seguidores de Newton y los de Leibniz acerca de quién había inventado el cálculo. Leibniz incluso fue acusado de plagio por los miembros de la Real Academia de Inglaterra. La verdad es que cada uno lo inventó por separado. Newton llegó primero a su versión del cálculo, pero —debido a su temor a la controversia—, no la publicó de inmediato. Por tanto, el informe de Leibniz del cálculo en 1684 fue el primero en publicarse.

f sx 1 hd 2 f sxd h

1 2 sx 1 hd 12x 2 2 1 sx 1 hd 21x − lím h:0 h − lím

s1 2 x 2 hds2 1 xd 2 s1 2 xds2 1 x 1 hd hs2 1 x 1 hds2 1 xd

− lím

s2 2 x 2 2h 2 x 2 2 xhd 2 s2 2 x 1 h 2 x 2 2 xhd hs2 1 x 1 hds2 1 xd

− lím

3 23h 23 − lím −2 h : 0 hs2 1 x 1 hds2 1 xd s2 1 x 1 hds2 1 xd s2 1 xd2

h:0

h:0

h:0

n

Otras notaciones Si usa la notación tradicional y 5 f(x) para indicar que la variable independiente es x y la dependiente es y, entonces algunas otras notaciones comunes para la derivada son: f 9sxd − y9 −

dy df d − − f sxd − D f sxd − Dx f sxd dx dx dx

Los símbolos D y [email protected] se llaman operadores de derivación porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada. El símbolo [email protected], introducido por Leibniz, no se debe considerar como una razón (por ahora); es sencillamente un sinónimo de f9(x). No obstante, es una notación útil y sugerente, en especial cuando se usa en la notación de incrementos. Con la ecuación 2.7.6, se puede reescribir la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma dy Dy − lím Dx : 0 Dx dx Si desea indicar el valor de una derivada [email protected] en la notación de Leibniz en un número específico a, use la notación dy dx

Z

o x−a

dy dx

G

x−a

que es un sinónimo para f9(a). La barra vertical significa “evaluar en”.

3 Definición Una función f es derivable en a si f9(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) [o (a, `) o (2`, a) o (2`, `)] si es derivable en todo número del intervalo.

Stewart_ch02_138-155.indd 155

08/06/17 2:43 p.m.

156

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

EJEMPLO 5 ¿Dónde es derivable la función f(x) 5 u x u? SOLUCIÓN Si x . 0, entonces u x u 5 x y se puede elegir h suficientemente pequeño de modo que x 1 h . 0, de aquí que u x 1 h u 5 x 1 h. Por tanto, para x . 0 se tiene

f 9sxd − lím

h:0

− lím

h:0

| x 1 h | 2 | x | − lím

h:0

h

sx 1 hd 2 x h

h − lím 1 − 1 h:0 h

y, por consiguiente, f es derivable para cualquier x . 0. De manera análoga, para x , 0 se tiene que u x u 5 2x y se puede elegir h suficientemente pequeña para que x 1 h , 0 y, así, u x 1 h u5 2(x 1 h). Por tanto, para x , 0, f 9sxd − lím

h:0

| x 1 h | 2 | x | − lím

h:0

h

2sx 1 hd 2 s2xd h

2h − lím s21d − 21 h:0 h

− lím

h:0

por lo que f es derivable para cualquier x , 0. Para x 5 0 se debe investigar f 9s0d − lím

h:0

− lím

h:0

y

f s0 1 hd 2 f s0d h

| 0 1 h | 2 | 0 | − lím | h | h

h:0

h

(si existe)

Calcule por separado los límites por la izquierda y por la derecha: lím

|h| −

lím

|h| −

h : 01

x

0

(a) y=ƒ=| x |

1 x _1

(b) y=fª(x)

FIGURA 5

h : 02

h

lím

h − lím1 1 − 1 h :0 h

lím

2h − lím2 s21d − 21 h :0 h

h : 01

h : 02

Puesto que estos límites son diferentes, f9(0) no existe. Así, f es derivable en toda x, excepto en x 5 0. Una fórmula para f9 está dada por

y

0

y

h

f 9sxd −

H

1 si x . 0 21 si x , 0

y su gráfica se muestra en la figura 5(b). El hecho de que f9(0) no exista se refleja geométricamente en el hecho de que la curva y 5 u x u no tiene una recta tangente en (0, 0). n [Véase la figura 5(a).] Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función. El teorema siguiente muestra cómo se relacionan estas propiedades. 4 Teorema Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

Stewart_ch02_156-170.indd 156

08/06/17 2:45 p.m.

SECCIÓN 2.8 La derivada como una función

157

DEMOSTRACIÓN Para demostrar que f es continua en a, se debe demostrar que límx : a f(x)5 f(a). Para esto empiece por probar que la diferencia f(x) 2 f(a) tiende a 0. La información dada es que f es derivable en a; es decir,

f 9sad − lím

x:a

SP Un aspecto importante de la solución de problemas es intentar encontrar una conexión entre lo dado y lo desconocido. Consulte el paso 2 (Piense en un plan) en Principios para la resolución de problemas, en la página 71.

f sxd 2 f sad x2a

existe (véase la ecuación 2.7.5). Para relacionar lo dado con lo desconocido, divida y multiplique f(x) 2 f(a) por x 2 a (lo cual es posible cuando x  a): f sxd 2 f sad −

f sxd 2 f sad sx 2 ad x2a

De este modo, si usa la ley del producto y la ecuación (2.7.5), se puede escribir lím f f sxd 2 f sadg − lím

x:a

x:a

− lím

x:a

f sxd 2 f sad sx 2 ad x2a f sxd 2 f sad ? lím sx 2 ad x:a x2a

− f 9sad ? 0 − 0 Para utilizar lo que se acaba de demostrar, se comienza con f(x) y se suma y se resta f(a): lím f sxd − lím f f sad 1 s f sxd 2 f saddg

x:a

x:a

− lím f sad 1 lím f f sxd 2 f sadg x:a

x:a

− f sad 1 0 − f sad Por tanto, f es continua en a.

n

NOTA El inverso del teorema 4 es falso; es decir, hay funciones que son continuas, pero que no son derivables. Por ejemplo, la función f(x) 5 u x u es continua en x 5 0 porque

| |

lím f sxd − lím x − 0 − f s0d

x:0

x:0

(Véase el ejemplo 2.3.7.) Pero en el ejemplo 5 se demostró que f no es derivable en 0.

¿Cómo deja de ser derivable una función? En el ejemplo 5 se vio que la función y 5 u x u no es derivable en 0 y en la figura 5(a) se muestra que su gráfica cambia de dirección repentinamente cuando x 5 0. En general, si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “picos”, la gráfica de f no tiene recta tangente en esos puntos y f no es derivable ahí. [Al intentar calcular f9(a), se encuentra que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes.] El teorema 4 da otra forma en que una función no tiene derivada. Este dice que si f no es continua en a, entonces f no es derivable en a. Por lo que, en cualquier discontinuidad (por ejemplo, una discontinuidad de salto), f no es derivable.

Stewart_ch02_156-170.indd 157

08/06/17 2:45 p.m.

158

CAPÍTULO 2

y

Límites y derivadas

Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x 5 a; es decir, f es continua en a y

recta tangente vertical

|

|

lím f 9sxd − `

x:a

Esto significa que las rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando x : a. En la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7(c) muestra otra. Las tres posibilidades que se acaban de analizar se ilustran en la figura 7. 0

a

x y

y

y

FIGURA 6

0

x

a

0

x

a

0

a

x

FIGURA 7 Tres maneras para que f no sea derivable en a

(a) Una esquina

(b) Una discontinuidad

(c) Una tangente vertical

Una calculadora graficadora o una computadora ofrecen otra manera de ver la derivabilidad. Si f es derivable en a, entonces, con un acercamiento al punto (a, f(a)), la gráfica se alinea y adquiere más y más la apariencia de un recta. (Véase la figura 8. Un ejemplo específico es la figura 2.7.2.) Pero no importa cuánto se acerque a puntos como los de las figuras 6 y 7(a), no puede eliminar el pico o esquina (véase la figura 9).

y

0

y

a

x

0

a

FIGURA 8

FIGURA 9

f es derivable en a

f no es derivable en a

x

Derivadas superiores Si f es una función derivable, entonces su derivada f también es una función, por lo que f puede tener una derivada de sí misma, denotada por (f9)95 f 0. Esta nueva función f 0 se llama segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación de Leibniz, la segunda derivada de y 5 f(x) se escribe como

Stewart_ch02_156-170.indd 158

d dx

S D

derivada de

primera derivada

dy dx



d 2y dx 2 segunda derivada

08/06/17 2:45 p.m.

SECCIÓN 2.8 La derivada como una función

159

EJEMPLO 6 Si f(x) 5 x3 2 x, encuentre e interprete f 0(x). SOLUCIÓN En el ejemplo 2 se encuentra que la primera derivada es f9(x) 5 3x2 2 1.

Por lo que la segunda derivada es

f 99sxd − s f 9d9sxd − lím

h :0

2 f·

_1.5

− lím

f3sx 1 hd2 2 1g 2 f3x 2 2 1g h

− lím

3x 2 1 6xh 1 3h 2 2 1 2 3x 2 1 1 h

h :0



f 9sx 1 hd 2 f 9sxd h

f h :0

1.5

− lím s6x 1 3hd − 6x h :0

_2

FIGURA 10

TEC En Module 2.8 usted puede ver cómo cambian los coeficientes de un polinomio f y cómo afectan el aspecto de la gráfica de f, f9 y f 0.

Las gráficas de f, f9 y f 0 se muestran en la figura 10. Se puede interpretar f 0(x) como la pendiente de la curva y 5 f9(x) en el punto (x, f9(x)). En otras palabras, es la razón de cambio de la pendiente de la curva original y 5 f(x). Observe de la figura 10 que f 0(x) es negativa cuando y 5 f9(x) tiene pendiente negativa y es positiva cuando y 5 f9(x) tiene pendiente positiva. De esta manera, las gráficas sirven como una comprobación de sus cálculos. n En general, una segunda derivada se puede interpretar como una razón de cambio de una razón de cambio. El ejemplo más conocido es la aceleración, que se define como sigue. Si s 5 s(t) es la función posición de un objeto que se desplaza en línea recta, su primera derivada representa la velocidad √(t) del objeto como una función del tiempo: v std − s9std −

ds dt

A la razón de cambio de la velocidad instantánea con respecto al tiempo se le llama aceleración a(t) del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la función velocidad y, en consecuencia, es la segunda derivada de la función posición: astd − v9std − s0std o en la notación de Leibniz, a−

dv d 2s − 2 dt dt

La aceleración es el cambio de velocidad que se siente cuando se acelera o se desacelera en un auto. La tercera derivada f - es la derivada de la segunda derivada: f -5 (f 0)9. Por lo que, f(x) se puede interpretar como la pendiente de la curva y 5 f 0(x) o como la razón de cambio de f 0(x). Si y 5 f(x), entonces, las notaciones alternativas para la tercera derivada son y- − f -sxd −

Stewart_ch02_156-170.indd 159

d dx

S D d2y dx 2



d 3y dx 3

08/06/17 2:45 p.m.

160

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Se puede interpretar físicamente la tercera derivada en el caso donde la función es la función posición s 5 s(t) de un objeto que se desplaza a lo largo de una línea recta. Como s -5(s0)9 5 a9, la tercera derivada de la función posición es la derivada de la función aceleración y se le denomina jerk (tirón): j−

da d 3s − 3 dt dt

Así, el jerk, j, es la razón de cambio de la aceleración. Es un nombre apropiado porque un gran jerk significa un cambio repentino de aceleración, que ocasiona un movimiento repentino en un vehículo. El proceso de derivación puede continuar. La cuarta derivada f 00 usualmente se denota mediante f(4). En general, la n-ésima derivada de f se denota mediante f(n) y se obtiene derivando n veces a f. Si y 5 f(x), se escribe y snd − f sndsxd −

dny dx n

EJEMPLO 7 Si f(x) 5 x3 2 x, encuentre f -(x) y f(4)(x). SOLUCIÓN En el ejemplo 6 se encuentra que f 0(x) 56x. La gráfica de la segunda derivada tiene ecuación y 5 6x y así, es una línea recta con pendiente 6. Ya que la derivada f -(x) es la pendiente de f 0(x), se tiene

f -sxd − 6 para todos los valores de x. Por tanto f - es una función constante y su gráfica es una recta horizontal. Por tanto, para todos los valores de x, f s4dsxd − 0

n

Se ha visto que una aplicación de la segunda y tercera derivada sucede al analizar el movimiento de objetos empleando aceleración y jerk. Se investigará otra aplicación de la segunda derivada en la sección 4.3, donde se muestra cómo el conocer f 0 da información acerca de la forma de la gráfica de f. En el capítulo 11 se verá cómo la segunda derivada y las derivadas superiores nos permiten representar funciones como sumas de series infinitas.

2.8

EJERCICIOS

1–2 Utilice la gráfica que se proporciona para calcular el valor de cada derivada. Luego trace la gráfica de f9. 1. (a) f 9s23d (e) f 9s1d

(b) f 9s22d (f ) f 9s2d

(c) f 9s21d (g) f 9s3d

(b) f 9s1d (f) f 9s5d

(c) f 9s2d (g) f 9s6d

(d) f 9s3d (h) f 9s7d

(d) f 9s0d y 1

y

0

1 1

Stewart_ch02_156-170.indd 160

2. (a) f 9s0d (e) f 9s4d

1

x

x

08/06/17 2:45 p.m.

161

SECCIÓN 2.8 La derivada como una función

3. Relacione la gráfica de cada función dada en las figuras (a)-(d) con las gráficas de sus derivadas en las figuras I-IV. Dé las razones para sus selecciones. (a)

(b)

y

y

8.

y

0

0

0

x

y

I

x

II

0

11.

y

0

x

0

y

0

x

y

y

(d)

0

x

x

10. (c)

y

9.

y

x

0

x

0

x

12. Se muestra la gráfica de la función población P(t) para células de levadura en un cultivo de laboratorio. Utilice el método del ejemplo 1 para trazar la gráfica de la derivada P9(t). ¿Qué indica la gráfica de P9 acerca de la población de levadura?

x

P (células de levadura)

III

IV

y

y

500 0

x

0

x

0

4–11 Trace o copie la gráfica de la función dada f. (Suponga que los ejes tienen escalas iguales.) Luego utilice el método del ejemplo 1 para trazar la gráfica de f9 debajo de esta. 4.

5.

y

0

15 t (horas)

10

13. Una batería recargable se conecta con un cargador. La gráfica muestra C(t), el porcentaje de capacidad que la batería alcanza como una función del tiempo t transcurrido (en horas). (a) ¿Cuál es el significado de la derivada C9(t)? (b) Trace la gráfica de C9(t). ¿Qué le indica la gráfica?

y

0

x

5

x

C 100 80

6.

7.

y

y

Porcentaje de carga total

60 40 20

0

Stewart_ch02_156-170.indd 161

x

0

x

0

2

4

6

8

10 12

t (horas)

08/06/17 2:45 p.m.

162

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

(b) Aplique la simetría para deducir los valores de f 9(221 ), f9(21), f9(22) y f9(23). (c) Utilice los valores de los incisos (a) y (b) para trazar la gráfica de f9. (d) Infiera una fórmula para f9(x). (e) Aplique la definición de derivada para demostrar que su propuesta del inciso (d) es correcta.

14. La gráfica (del Departamento de Energía de EE. UU.) muestra cómo afecta la rapidez de manejo el consumo de combustible. La economía F se mide en millas por galón, y la rapidez √ se mide en millas por hora. (a) ¿Cuál es el significado de la derivada F9(√)? (b) Trace la gráfica de la derivada de F9(√). (c) ¿A qué rapidez debería manejar si quiere ahorrar combustible? F 30

21–31 Encuentre la derivada de cada una de las funciones siguientes usando la definición de derivada. Indique los dominios de la función y de su derivada.

(mi/ gal)

21. f sxd − 3x 2 8

22. f sxd − mx 1 b

23. f std − 2.5t 2 1 6t

24. f sxd − 4 1 8x 2 5x 2

25. f sxd − x 3 2 3x 1 5

26. f sxd − x 1 sx

27. tsxd − s9 2 x

28. f sxd −

20 10

0

10

20 30 40 50 60 70

√ (mi/ h)

15. La gráfica ilustra cómo ha variado la edad promedio en que contraían matrimonio por primera vez los hombres japoneses en la segunda mitad del siglo xx. Trace la gráfica de la función derivada M9(t). ¿Durante cuáles años fue negativa la derivada?

29. Gstd −

1 2 2t 31t

x2 2 1 2x 2 3

30. f sxd − x 3y2

31. f sxd − x 4 32. (a) Trace la gráfica de f(x) 5 s6 2 x comenzando con la gráfica de y 5 sx aplicando las transformaciones de la sección 1.3. (b) Use la gráfica del inciso (a) para trazar la gráfica de f9. (c) Aplique la definición de derivada para encontrar f9(x). ¿Cuáles son los dominios de f y de f9? (d) Utilice un dispositivo de graficación para trazar la ; grafica de f9 y compárela con su trazo del inciso (b).

M

27

25 1960

1970

1980

1990

2000 t

16–18 Trace una gráfica cuidadosa de f y debajo de esta la gráfica de f9 de la misma manera que en los ejercicios 4-11. ¿Puede intuir una fórmula para f(x) a partir de su gráfica? 16. f(x) 5 sen x

17. f sxd − e x

18. f sxd − ln x

; 19. Sea f(x) 5 x2. (a) Estime los valores de f9(0), f 9( 12 ), f9(1) y f9(2) usando un dispositivo de graficación para hacer un acercamiento sobre la gráfica de f. (b) Utilice la simetría para deducir los valores de f 9(221 ), f9(21) y f9(22). (c) Con los resultados de los incisos (a) y (b), proponga una fórmula para f9(x). (d) Aplique la definición de derivada para probar que su propuesta del inciso (c) es correcta. ; 20. Sea f(x) 5 x . (a) Calcule los valores de f9(0), f 9( 12 ), f9(1), f9(2) y f9(3) usando un dispositivo de graficación para hacer un acercamiento de la gráfica de f.

33. (a) Si f(x) 5 x4 1 2x, encuentre f9(x). (b) Vea si su respuesta al inciso (a) es razonable compa; rando las gráficas de f y de f9. ;

34. (a) Si f(x) 5 x 1 [email protected], encuentre f9(x). (b) Vea si su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f y de f9. 35. La tasa de desempleo U(t) varía con el tiempo. La tabla da el porcentaje de desempleo en la fuerza laboral australiana medida a medio año de 1995 a 2004.

t

Ustd

t

Ustd

1995

8.1

2000

6.2

1996

8.0

2001

6.9

1997

8.2

2002

6.5

1998

7.9

2003

6.2

1999

6.7

2004

5.6

3

Stewart_ch02_156-170.indd 162

(a) ¿Cuál es el significado de U9(t)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Construya una tabla de valores estimados para U9(t).

08/06/17 2:45 p.m.

163

SECCIÓN 2.8 La derivada como una función

36. Sea P(t) el porcentaje de población de Filipinas arriba de 60 años de edad en el instante t. La tabla da las proyecciones de los valores de esta función de 1995 a 2020.

t

Pstd

t

Pstd

1995

5.2

2010

6.7

2000

5.5

2015

7.7

2005

6.1

2020

8.9

40. Suponga que N es el número de personas en Canadá que viajan en coche a otra provincia para vacacionar este año cuando el precio promedio de gasolina es de p dólares por litro. ¿Espera [email protected] sea positiva o negativa? Explique su respuesta. 41–44 Observe la gráfica de f. Indique, con razones, los números en los que f no es derivable. 41.

y

0

_2

(a) ¿Cuál es el significado de P9(t)? ¿Cuáles son sus unidades? (b) Construya una tabla de valores para P9(t). (c) Trace la gráfica de P y P9. 37. La tabla da la altura conforme pasa el tiempo de un árbol de pino típico de madera en un sitio administrado.

43.

14

21

28

35

42

49

Altura (pies)

41

54

64

72

78

83

2

x

y

_2

2

4

6

x

x

2

4

2

4 [

\

44.

y

0

Edad tres (años)

42.

_2

0

Fuente: Arkansas Forestry Commission

| |

Si H(t) es la altura del árbol después de t años, construya una tabla de valores calculados para H9 y trace su gráfica. 38. La temperatura del agua afecta la tasa de crecimiento de la trucha de arroyo. La tabla muestra la cantidad de peso ganado por la trucha de arroyo después de 24 días con diferentes temperaturas del agua.

Temperatura (°C)

15.5

17.7

20.0

22.4

24.4

Peso ganado (g)

37.2

31.0

19.8

9.7

29.8

; 45. Trace la gráfica de la función f sxd − x 1 s x . Haga acercamientos sucesivos primero hacia el punto (21, 0) y luego en dirección al origen. ¿Qué diferencia existe en cuanto al comportamiento de f en las cercanías de estos dos puntos? ¿Qué conclusiones infiere acerca de la derivabilidad de f? ; 46. Haga un acercamiento hacia los puntos (1, 0), (0, 1) y (21, 0) en la gráfica de la función g(x) 5(x2 2 1)[email protected] ¿Qué observa? Registre lo que observa en términos de la derivabilidad de g. 47–48 Se muestran las gráficas de una función f y su derivada f9. ¿Cuál es mayor f9(21) o f 0(21)? 47.

Si W(x) es la ganancia de peso a la temperatura x, construya una tabla de valores estimados de W9 y trace su gráfica. ¿Cuáles son las unidades de W9(x)?

y

1 x

0

Fuente: Adaptado de J. Chadwick Jr., “Temperature Effects on Growth and Stress Physiology of Brook Trout: Implications for Climate Change Impacts on an Iconic Cold-Water Fish.” Masters Theses. Paper 897. 2012. [email protected]@897.

39. Sea P el porcentaje de energía eléctrica de una ciudad que se produce por paneles solares t años después del 1 de enero de 2000. (a) ¿Qué representa [email protected] en este contexto? (b) Interprete el enunciado dP dt

Stewart_ch02_156-170.indd 163

Z

48.

y

1

x

− 3.5 t −2

08/06/17 2:45 p.m.

164

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

49. La figura muestra las gráficas de f, f9 y f 0. Indique cada curva y explique el porqué de su elección. y

; 53–54 Utilice la definición de derivada para encontrar f9(x) y f 0(x). Luego, trace la gráfica de f, f9 y f 0 en una misma pantalla y verifique para ver si sus respuestas son razonables. 53. f sxd − 3x 2 1 2x 1 1

a

54. f sxd − x 3 2 3x

; 55. Si f(x) 5 2x2 2 x3, encuentre f9(x), f 0(x) y f -(x) y f(4)(x). Trace la gráfica de f, f9, f 0 y f - en una misma pantalla. ¿Las gráficas son consistentes con la interpretación geométrica de estas derivadas?

b x

c

50. La figura muestra gráficas de f, f9, f 0 y f -. Identifique cada curva y explique las razones de su elección.

56. (a) Se muestra la gráfica de una función posición de un automóvil, donde s se mide en metros y t en segundos. Utilice la gráfica de la velocidad y la aceleración del automóvil. ¿Cuá1 es la aceleración en t 5 10 segundos? s

a b c d

y

100

x 0

10

20

t

(b) Utilice la curva de aceleración del inciso (a) para calcular el jerk en t 5 10 segundos. ¿Cuáles son las unidades del jerk? 51. La figura muestra las gráficas de tres funciones. Una es la función posición de un automóvil, otra es la velocidad del mismo, y la de su aceleración. Identifique cada curva y explique las razones de su elección. y

a b

58. (a) Si g(x) 5 [email protected], demuestre que g0(0) no existe. (b) Si a  0, encuentre g0(a). (c) Demuestre que y 5 [email protected] tiene una recta tangente vertical en (0, 0). (d) Ilustre el inciso (c) al trazar la gráfica de y 5 [email protected] ;

c

t

0

3 57. Sea f(x) 5 sx. (a) Si a  0, utilice la ecuación 2.7.5 para encontrar f9(a). (b) Demuestre que f9(0) no existe. 3 (c) Demuestre que y 5 sx tiene una recta tangente vertical en (0, 0). (Recuerde: la forma de la función de f. Véase la figura 1.2.13.)

59. Demuestre que la función f(x) 5 u x 2 6 u no es derivable en 6. Encuentre una fórmula para f9 y trace su gráfica.

52. La figura muestra las gráficas de cuatro funciones. Una es la función de posición de un auto, la de velocidad, la de aceleración y la de su jerk. Identifique cada curva y explique los motivos de su elección. y

a

0

61. (a) Trace la gráfica de la función f(x) 5 x u x u. (b) ¿Para qué valores de x es f derivable? (c) Encuentre una fórmula para f9. 62. (a) Trace la gráfica de la función g(x) 5 x 1 u x u. (b) ¿Para qué valores de x es g derivable? (c) Encuentre una fórmula para g9.

d b

60. ¿Dónde no es derivable la función parte entera f sxd − v x b ? Encuentre una fórmula para f9 y trace su gráfica.

c

t

63. Recuerde que a una función f se le denomina par si f(2x) 5 f(x) para toda x en su dominio, e impar si f(2x) 5 2f(x) para toda x. Demuestre cada uno de los enunciados siguientes. (a) La derivada de una función par es una función impar. (b) La derivada de una función impar es una función par.

8et0208x52 08/29/13 Stewart_ch02_156-170.indd 164

08/06/17 2:45 p.m.

CAPÍTULO 2

64. Las derivadas por la izquierda y por la derecha de f en a están definidas por f 92 sad − lím2

f sa 1 hd 2 f sad h

f 91 sad − lím1

f sa 1 hd 2 f sad h

h :0

y

h :0

si estos límites existen. Entonces f9(a) existe si y solo si estas derivadas laterales existen y son iguales. (a) Determine f 92s4d y f 91s4d para la función

f sxd −

0 52x

si x < 0 si 0 , x , 4

1 52x

si x > 4

65. Nick comienza a correr y corre cada vez más rápido durante 3 minutos, luego camina durante 5 minutos. Se detiene en un cruce por 2 minutos, corre bastante rápido durante 5 minutos y camina durante 4 minutos. (a) Trace una posible gráfica de la distancia s que Nick ha cubierto después de t minutos. (b) Trace una gráfica de [email protected] 66. Cuando abre el grifo del agua caliente, la temperatura T del agua depende del tiempo que el agua ha estado corriendo. (a) Trace una posible gráfica de T como función del tiempo t transcurrido desde que abrió el grifo. (b) Describa cómo varía la razón de cambio de T con respecto a t, conforme esta aumenta. (c) Trace la gráfica de la derivada de T. 67. Sea , la recta tangente a la parábola y 5 x2 en el punto (1, 1). El ángulo de inclinación de , es el ángulo f que , forma con la dirección positiva del eje x. Calcule f redondeado al grado más cercano.

(b) Trace la gráfica de f. (c) ¿Dónde es discontinua f? (d) ¿Dónde f no es derivable?

2

165

Repaso

REPASO

VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS

Las respuestas a la verificación de conceptos se encuentran en las páginas finales del libro.

1. Explique qué significa cada uno de los enunciados siguientes e ilustre con un trazo. (a) lím f sxd − L

(b) lím1 f sxd − L

(d) lím f sxd − `

(e) lím f sxd − L

x :a x :a

x :a

(c) lím2 f sxd − L x :a

x :`

2. Describa varias formas en que un límite puede no existir. Ilustre con gráficas. 3. Enuncie las leyes de los límites siguientes. (a) Ley de la suma (b) Ley de la diferencia (c) Ley del múltiplo constante (d) Ley del producto (e) Ley del cociente (f) Ley de la potencia (g) Ley de la raíz

7. (a) ¿Qué significa que f sea continua en a? (b) ¿Qué significa que f sea continua sobre el intervalo (2`, `)? ¿Qué puede decir acerca de la gráfica de esta función? 8. (a) Dé ejemplos de funciones que sean continuas en [21, 1]. (b) Dé un ejemplo de una función que no sea continua en [0, 1]. 9. ¿Qué establece el teorema del valor intermedio? 10. Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 f(x) en el punto (a, f(a)).

4. ¿Qué establece el teorema de la compresión?

11. Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con posición f(t) en el instante t. Escriba una expresión para la velocidad instantánea de un objeto en el instante t 5 a. ¿Cómo se puede interpretar esta velocidad en términos de la gráfica de f?

5. (a) ¿Qué quiere darse a entender al decir que la recta x 5 a es una asíntota vertical de la curva y 5 f(x)? Trace curvas para ilustrar las diversas posibilidades. (b) ¿Qué significa decir que la recta y 5 L es una asíntota horizontal de la curva y 5 f(x)? Trace curvas para ilustrar las diversas posibilidades.

12. Si y 5 f(x) y x cambia de x1 a x2, escriba expresiones para lo siguiente. (a) La razón promedio de cambio de y con respecto a x a lo largo del intervalo [x1, x2]. (b) La razón de cambio instantáneo de y con respecto a x en x 5 x1.

6. ¿Cuáles de las curvas siguientes tienen asíntotas verticales? ¿Cuáles tienen asíntotas horizontales? (a) y − x 4 (b) y 5 sen x (c) y − tan x (d) y − tan21x (e) y − e x (f) y − ln x (g) y − 1yx (h) y 5 sx

13. Defina la derivada f9(a). Analice dos maneras de interpretar este número.

Stewart_ch02_156-170.indd 165

14. Defina la segunda derivada de f. Si f(t) es la función de posición de una partícula, ¿cómo puede interpretar la segunda derivada?

08/06/17 2:45 p.m.

166

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

15. (a) ¿Qué significa que f sea derivable en a? (b) ¿Cuál es la relación entre derivabilidad y continuidad de una función? (c) Trace la gráfica de una función que sea continua, pero no derivable en a 5 2.

16. Describa varias maneras en que una función puede no ser derivable. Ilustre con gráficas.

EXAMEN VERDADERO-FALSO Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero explique por qué. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute el enunciado. 1. lím

x :4

S

2x 8 2 x24 x24

D

2x 8 − lím 2 lím x :4 x 2 4 x :4 x 2 4

x :1

17. Si f es continua en 5 y f(5) 5 2 y f(4) 5 3, entonces límx : 2 f(4x2 2 11) 5 2.

x:1

x2 2 9 −x13 x23 x:3

14. Si f tiene dominio [0, `) y no tiene asíntota horizontal entonces límx : ` f(x) 5 ` o límx : ` f(x) 5 2`.

16. Si f(1) . 0 y f(3) , 0, entonces existe un número c entre 1 y 3 tal que f(c) 5 0.

lím sx 2 3d x23 x:1 3. lím 2 − x : 1 x 1 2x 2 4 lím sx 2 1 2x 2 4d

5. lím

13. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas.

15. Si la recta x 5 1 es una asíntota vertical de y 5 f(x), entonces f no está definida en 1.

lím sx 2 1 6x 2 7d x 2 1 6x 2 7 x :1 − 2. lím 2 x : 1 x 1 5x 2 6 lím sx 2 1 5x 2 6d

4.

12. Si límx : 0 f(x) 5 ` y límx : 0 g(x) 5 `, entonces límx : 0 [f(x) 2 g(x)] 5 0.

18. Si f es continua en [21, 1] y f(21) 5 4 y f(1)5 3, entonces existe un número r tal que u r u , 1 y f(r) 5 p.

x2 2 9 − lím sx 1 3d x:3 x23

19. Sea f una función tal que límx : 0 f(x) 5 6. Entonces existe un número positivo d tal que si 0 , u x u , d, entonces u f(x) 2 6 u , 1.

6. Si límx : 5 f(x) 5 2 y límx : 5 g(x) 5 0, entonces límx : 5 [f(x)@g(x)] no existe.

20. Si f(x). 1 para toda x y límx : 0 f(x) existe, entonces límx : 0 f(x) . 1.

7. Si límx : 5 f(x) 5 0 y límx : 5 g(x) 5 0, entonces límx : 5 [f(x)@g(x)] no existe.

21. Si f es continua en a, entonces f es derivable en a.

8. Si no existe el límx : a f(x) y ni el límx : a g(x), entonces límx : a [f(x) 1 g(x)] no existe. 9. Si el límx : a f(x) existe pero no existe el límx : a g(x), entonces límx : a [f(x) 1 g(x)] no existe. 10. Si existe el límx : 6 [f(x)g(x)] entonces el límite debe ser igual a f(6) g(6). 11. Si p es un polinomio, entonces límx : b p(x)5 p(b)

22. Si f9(r) existe, entonces límx : r f(x)5 f(r). 23.

d 2y − dx 2

S D dy dx

2

24. La ecuación x10 1 10x2 1 5 5 0 tiene una raíz en el intervalo (0, 2). 25. Si f es continua en a, también lo es u f u. 26. Si u f u es continua en a, también lo es f.

EJERCICIOS 1. Se da la gráfica de f.

(iv) lím f sxd (vii) lím f sxd x :`

x

1

x :2

Stewart_ch02_156-170.indd 166

(ii)

(vi) lím2 f sxd x :2

(viii) lím f sxd x : 2`

2. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes: lím f sxd − 22,

(a) Encuentre cada uno de los límites siguientes o explique por qué no existen. (i) lím1 f sxd

lím f sxd

x :0

(b) Exprese las ecuaciones de las asíntotas horizontales. (c) Exprese las ecuaciones de las asíntotas verticales. (d) ¿En qué números f es discontinua? Explique.

1 0

(v)

x :4

y

lím f sxd

x : 231

(iii) lím f sxd x : 23

x : 2`

lím f sxd − 2`,

x : 32

lím f sxd − 0,

x:`

lím f sxd − `,

x : 23

lím f sxd − 2,

x : 31

f es continua por la derecha en 3

08/06/17 2:45 p.m.

CAPÍTULO 2

x :1

5. lím

x : 23

2

32x

x :3

x2 2 9 x 1 2x 2 3

sh 2 1d3 1 1 h

9. lím

sr sr 2 9d4

r :9

6. lím1 x :1

2

7. lím

h :0

x 29 x 2 1 2x 2 3

4. lím

x2 2 9 x 1 2x 2 3

t :2

|4 2 v|

v:4

u 21 u 3 1 5u 2 2 6u

13. lím

sx 2 9 2x 2 6

14. lím

sx 2 2 9 2x 2 6

15. lím2 lnssen xd

16. lím

1 2 2x 2 2 x 4 5 1 x 2 3x 4

2

x:`

x:3

x : 2`

x:

x : 2`

17. lím (sx 2 1 4x 1 1 2 x) 18. lím e x 2x x:`

x :`

19. lím1 tan21s1yxd

20. lím

x :0

x:1

sx 2 2 9 x2 2 2

33–34 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado.

sx 1 6 2 x x 3 2 3x 2

11. lím

12. lím

32. tsxd −

31. hsxd − xe sen x

42v

10. lím1

4

u:1

31–32 Demuestre que cada una de las funciones siguientes es continua en su dominio. Exprese el dominio.

2

t2 2 4 t3 2 8

8. lím

167

(a) Para cada uno de los números 2, 3 y 4, descubra si g es continua por la izquierda, por la derecha o continua en el número. (b) Trace la gráfica de g.

3–20 Encuentre cada uno de los límites siguientes. 3. lím e x

Repaso

s1, 2d

33. x 5 2 x 3 1 3x 2 5 − 0, 34. cos sx − e 2 2, x

s0, 1d

35. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y 5 9 2 2x2 en el punto (2, 1). (b) Determine la ecuación de esta tangente.

2

S

1 1 1 2 x21 x 2 3x 1 2

D

36. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y−

2 1 2 3x

y los puntos de abscisas 0 y 21. ; 21–22 Utilice las gráficas para descubrir las asíntotas de la curva. Después, demuestre lo que ha descubierto. cos2 x 21. y − 22. y − sx 2 1 x 1 1 2 sx 2 2 x x2 23. Si 2x 2 1 < f(x) < x2 para 0 , x , 3, encuentre límx : 1 f(x). 24. Demuestre que límx : 0 x2 cos([email protected]) 5 0. 25–28 Demuestre cada uno de los enunciados siguientes utilizando la definición precisa de límite. 25. lím s14 2 5xd − 4

3 26. lím s x −0

27. lím sx 2 3xd − 22

28. lím1

x:2

x:0

2

x:2

x:4

2 −` sx 2 4

H

29. Sea

si x , 0 s2x f sxd − 3 2 x si 0 < x , 3 2 sx 2 3d si x . 3 (a) Evalúe cada límite si este existe. (ii) lím2 f sxd (i) lím1 f sxd x :0

(iv) lím2 f sxd x :3

x :0

(v) lím1 f sxd x :3

(iii) lím f sxd x :0

(vi) lím f sxd

38. De acuerdo con la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija, entonces el producto de la presión P y el volumen V es constante. Suponga que, para cierto gas, PV 5 4000, donde P se mide en pascales y V en litros. (a) Encuentre la razón de cambio promedio de P cuando V se incrementa de 3 L a 4 L. (b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón de cambio instantánea de V con respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado de P. 39. (a) Utilice la definición de derivada para encontrar f9(2), donde f(x) 5 x3 2 2x. (b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 x3 2 2x en el punto (2, 4). (c) Ilustre el inciso (b) dibujando la curva y la recta tan; gente en la misma pantalla. 40. Encuentre una función f y un número a tales que

(b) ¿Dónde es discontinua f? (c) Trace la gráfica de f.

lím

30. Sea

h :0

tsxd −

Stewart_ch02_156-170.indd 167

x :3

37. El desplazamiento (en metros) de un objeto que se mueve en línea recta está dado por s − 1 1 2t 1 14 t 2, donde t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio en los períodos de tiempo siguientes: (i) f1, 3g (ii) f1, 2g (iii) f1, 1.5g (iv) f1, 1.1g (b) Encuentre la velocidad instantánea cuando t 5 1.

2x 2 x 22x x24

2

si si si si

0<x<2 2,x<3 3,x,4 x>4

s2 1 hd6 2 64 − f 9sad h

41. El costo total de pagar un préstamo para estudiante a una tasa de interés de r% por año es C 5 f(r). (a) ¿Cuál es el significado de la derivada f9(r)? ¿Cuáles son sus unidades?

08/06/17 2:45 p.m.

168

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

(b) ¿Qué significa el enunciado f9(10) 5 1200? (c) ¿Es f9(r) siempre positiva o cambia de signo?

49. Trace la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes: el dominio de f es todos los números reales excepto 0, lím2 f(x) 5 1, lím1 f(x) 5 0, f9(x) . 0 para x:0

42–44 Trace o copie la gráfica de la función dada. Luego trace directamente debajo su derivada. 42.

y

0

x x

y

t

2000

2001

2002

2003

2004

Estd

0.955

0.847

0.986

1.149

1.218

51. Sea B(t) el número de billetes de 20 dólares en circulación al tiempo t. La tabla da los valores de esta función de 1990 a 2010, al 31 de diciembre, en miles de millones. Interprete y calcule el valor de B9(2000).

x

0

x:`

50. Sea E(t) el valor del euro (la moneda europea) en términos del dólar de los Estados Unidos al tiempo t. La tabla da los valores de la función, a partir de mediados de año, de 2000 a 2004. Interprete E9(2002) y calcule su valor.

0

44.

x : 2`

y

43.

x:0

toda x en el dominio de f, lím f9(x) 5 0, lím f9(x) 5 1.

45. (a) Si f(x) 5 s3 2 5x utilice la definición de derivada para encontrar f9(x). (b) Encuentre los dominios de f y f9. (c) Trace la gráfica de f y f9 en una pantalla común. Com; pare las gráficas para ver si su respuesta al inciso (a) es razonable. 42x 46. (a) Encuentre las asíntotas de la gráfica de f sxd − y 31x utilícelas para dibujar la gráfica. (b) Utilice la gráfica del inciso (a) y trace la gráfica de f9. (c) Utilice la definición de derivada para encontrar f9(x). (d) Utilice un dispositivo de graficación para trazar la grá; fica de f9 y compárela con su trazo del inciso (b). 47. Se muestra la gráfica de f. Enuncie, con razones, los números en los que f no es derivable. y

t

1990

1995

2000

2005

2010

Bstd

3.45

4.21

4.93

5.77

6.53

52. La tasa de fertilidad total, al tiempo t, denotada con F(t), es una estimación del número promedio de niños nacidos de cada mujer (suponiendo que las tasas de natalidad actuales permanezcan constantes). En la gráfica de la tasa de fertilidad total en EE. UU., se muestran las fluctuaciones desde 1940 hasta 2010. (a) Calcule los valores de F9(1950), F9(1965) y F9(1987). (b) ¿Cuáles son los significados de estas derivadas? (c) ¿Puede sugerir razones para los valores de estas derivadas? y

explosión de la natalidad

3.5 _1 0

2

4

6

x

caída de la natalidad

3.0 2.5

y=F(t)

48. La figura muestra la gráfica de f, f9 y f 0. Identifique cada curva y explique su elección.

natalidad moderada

2.0 1.5

y

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010 t

a

b x

0

c

Stewart_ch02_156-170.indd 168

53. Suponga que u f(x) u < g(x) para todo x, donde límx : a g(x) 5 0. Encuentre límx : a f(x). 54. Sea f sxd − v x b 1 v 2x b (a) ¿Para qué valores de a existe límx : a f(x)? (b) ¿En qué números es discontinua la función f?

08/06/17 2:45 p.m.

Problemas adicionales

En el análisis de los principios para la resolución de problemas, se consideró la estrategia para resolver problemas llamada Introduzca algo extra (véase la página 71). En el ejemplo siguiente se muestra cómo este principio resulta útil a veces cuando evalúa límites. La idea es cambiar la variable, introducir una nueva variable relacionada con la original, de tal manera que el problema se haga más sencillo. Más adelante, en la sección 5.5, se utilizará más esta idea general. 3 1 1 cx 2 1 s , donde c es una constante. x:0 x SOLUCIÓN Como se ve, este límite parece desafiante. En la sección 2.3 se evaluaron varios límites en los que tanto el numerador como el denominador tendieron a 0. Ahí, la estrategia fue realizar cierto tipo de manipulación algebraica que condujo a una eliminación simplificadora, pero en este caso no está claro qué clase de álgebra se necesita. Por tanto, se introduce una nueva variable t con la ecuación

EJEMPLO Evalúe lím

3 t−s 1 1 cx

También se necesita expresar x en términos de t, por lo que se resuelve esta ecuación t 3 − 1 1 cx

x−

t3 2 1 c

(si c Z 0)

Observe que x : 0 es equivalente a t : 1. Esto permite convertir el límite dado en uno que implique a la variable t: 3 1 1 cx 2 1 t21 s − lím 3 t :1 st 2 1dyc x:0 x

lím

− lím t :1

cst 2 1d t3 2 1

El cambio de variable permitió reemplazar un límite relativamente complicado con uno más sencillo de un tipo que ya se ha visto. Al factorizar el denominador como una diferencia de cubos, se obtiene lím t :1

cst 2 1d cst 2 1d − lím t :1 st 2 1dst 2 1 t 1 1d t3 2 1 − lím t :1

c c − t 1t11 3 2

Al hacer el cambio de variable se tuvo que excluir el caso en que c 5 0. Pero si c 5 0, la función es 0 para toda x distinta de cero y así este límite es 0. Por tanto, en todos los n casos, el límite es [email protected] Los problemas siguientes sirven para poner a prueba y desafiar sus habilidades para resolver problemas. Algunos requieren una cantidad considerable de tiempo para pensar, de modo que no se desaliente si no los puede resolver de inmediato. Si tiene alguna dificultad, quizá le sirva consultar en la página 71 el análisis de los principios para la resolución de problemas. PROBLEMAS

3 x 21 s . sx 2 1

1.

Evalúe el lím

2.

Encuentre los números a y b tales que el lím

x :1

x :0

sax 1 b 2 2 − 1. x

169

Stewart_ch02_156-170.indd 169

08/06/17 2:45 p.m.

3. Evalúe lím

x:0

4.

y

y=≈ Q

P

| 2x 2 1 | 2 | 2x 1 1 | . x

En la figura se muestra un punto P sobre la parábola y 5 x2 y el punto Q donde la bisectriz perpendicular de OP interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué sucede con Q? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela.

5. Evalúe los límites siguientes, si estos existen, donde v x b denota la función parte entera. v xb (a) lím (b) lím x v 1yx b x:0 x:0 x

0

x

FIGURA PARA EL PROBLEMA 4

6. Trace la región en el plano definida por cada una de las ecuaciones siguientes: (b) v xb 2 2 v yb 2 − 3 (a) v xb 2 1 v yb 2 − 1 2 (c) v x 1 yb − 1 (d) v xb 1 v yb − 1 7. Encuentre todos los valores de a tales que f sea continua en . f sxd −

H

x11 x2

si x < a si x . a

8. Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c) 5 c. (La función no mueve a c; este permanece fijo.) (a) Trace la gráfica de una función continua con dominio [0, 1] cuyo rango también se encuentre en [0, 1]. Localice un punto fijo de f. (b) Intente graficar una función continua con dominio [0, 1] y rango en [0, 1] que no tenga un punto fijo. ¿Cuál es el obstáculo? (c) Utilice el teorema de valor intermedio para comprobar que cualquier función continua con dominio [0, 1] y rango en [0, 1] debe tener un punto fijo. 9. Si límx : a[f(x) 1 g(x)] 5 2 y límx : a[f(x) 2 g(x)] 5 1, encuentre límx : a[f(x) g(x)]. A

P

B

C M

FIGURA PARA EL PROBLEMA 10

10. (a) En la figura se muestra un triángulo isósceles ABC con j B 5 j C. La bisectriz del ángulo B interseca el lado AC en el punto P. Suponga que la base BC permanece fija, pero que la altura u AM u del triángulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medio M de BC. ¿Qué sucede con P durante este proceso? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. (b) Intente trazar la trayectoria recorrida por P durante este proceso. Luego encuentre la ecuación de esta curva y úsela para trazarla. 11. (a) Si parte de 0° de latitud y avanza en dirección oeste, puede denotar con T(x) la temperatura en el punto x en cualquier tiempo dado. Suponga que T es una función continua de x, y demuestre que, en cualquier tiempo fijo, existen por lo menos dos puntos opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura. (b) ¿E1 resultado del inciso (a) se cumple para puntos que estén sobre cualquier circunferencia sobre la superficie de la Tierra? (c) ¿El resultado del inciso (a) se cumple para la presión barométrica y para la altitud arriba del nivel del mar? 12. Si f es una función derivable y g(x) 5 xf(x), utilice la definición de derivada para demostrar que g9(x) 5 xf9(x) 1 f(x). 13. Suponga que f es una función que satisface la ecuación f sx 1 yd − f sxd 1 f s yd 1 x 2 y 1 xy 2 para todos los números reales x y y. Suponga también que lím

x :0

(a) Encuentre f(0).

f sxd −1 x

(b) Encuentre f9(0).

(c) Encuentre f9(x).

14. Suponga que f es una función con la propiedad de que u f(x) u < x2 para toda x. Demuestre que f(0) 5 0. Luego muestre que f9(0) 5 0.

170

Stewart_ch02_156-170.indd 170

08/06/17 2:45 p.m.

3

Reglas de derivación

En el proyecto de la página 208 se calculará la distancia de una pista del aeropuerto en la que un piloto debe iniciar el descenso para un aterrizaje suave. © Mechanik / Shutterstock.com

HASTA AQUÍ SE HA VISTO CÓMO INTERPRETAR las derivadas en términos de pendientes y razones de cambio. Se han estudiado cómo estimar las derivadas de funciones dadas por medio de tablas de valores. También se ha aprendido la manera de graficar las derivadas de funciones que se definen gráficamente y utilizado la definición de derivada para calcular las derivadas de funciones definidas mediante fórmulas. Pero sería tedioso siempre tener que aplicar la definición, por lo que en este capítulo se desarrollan las reglas para determinar derivadas sin tener que usar directamente la definición. Estas reglas de derivación permiten calcular con relativa facilidad derivadas de funciones polinomiales, racionales, algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas. Entonces se usarán estas reglas para resolver problemas en que intervienen razones de cambio y la aproximación de funciones.

171

Stewart_ch03_171-179.indd 171

08/06/17 2:47 p.m.

172

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales En esta sección aprenderá la manera de derivar funciones constantes, potencia, polinomiales y exponenciales. Se empieza por la más sencilla de todas las funciones: la función constante f(x) 5 c. La gráfica de esta función es la recta horizontal y 5 c, la cual tiene pendiente 0, por lo que debe tener f9(x) 5 0. (Véase la figura 1.) Una demostración formal, a partir de la definición de derivada, también es fácil:

y

y=c

c

pendiente=0

f 9sxd − lím

h:0

f sx 1 hd 2 f sxd c2c − lím − lím 0 − 0 h:0 h:0 h h

x

0

En la notación de Leibniz se escribe esta regla de la siguiente manera. FIGURA 1

La gráfica de f(x) 5 c es la recta y 5 c, por lo que f9(x) 5 0.

Derivada de una función constante d scd − 0 dx

Función potencia Enseguida, se consideran las funciones f(x) 5 xn, donde n es un entero positivo. Si n 5 1, la gráfica de f(x) 5 x es la recta y 5 x, que tiene pendiente 1 (véase la figura 2). Por lo que

y

y=x pendiente=1

d sxd − 1 dx

1

0 x

FIGURA 2

La gráfica de f(x) 5 x es la recta y 5 x, por lo que f9(x) 5 1.

(También puede demostrar la ecuación 1 a partir de la definición de derivada.) Ya se ha investigado los casos n 5 2 y n 5 3. En efecto, en la sección 2.8 (ejercicios 19 y 20) se encontró que 2

d sx 2 d − 2x dx

d sx 3 d − 3x 2 dx

Para n 5 4, se encontró la derivada de f(x) 5 x4 como sigue: f 9sxd − lím

f sx 1 hd 2 f sxd sx 1 hd4 2 x 4 − lím h:0 h h

− lím

x 4 1 4x 3h 1 6x 2h 2 1 4xh 3 1 h 4 2 x 4 h

− lím

4x 3h 1 6x 2h 2 1 4xh 3 1 h 4 h

h:0

h:0

h:0

− lím s4x 3 1 6x 2h 1 4xh 2 1 h 3 d − 4x 3 h:0

Así 3

Stewart_ch03_171-179.indd 172

d sx 4 d − 4x 3 dx

08/06/17 2:47 p.m.

173

SECCIÓN 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales

Si compara las ecuaciones (1), (2) y (3), se observa un patrón emergente. Parece razonable presuponer que, cuando n es un entero positivo, ([email protected])(xn) 5 nxn21. Esto resulta cierto.

Regla de la potencia Si n es un entero positivo, entonces d sx n d − nx n21 dx

PRIMERA DEMOSTRACIÓN La fórmula

x n 2 a n − sx 2 adsx n21 1 x n22a 1 ∙ ∙ ∙ 1 xa n22 1 a n21 d se puede verificar simplemente multiplicando el lado derecho (o mediante la suma del segundo factor como una serie geométrica). Si f(x) 5 x n, se puede utilizar la ecuación 2.7.5 para f9(a) y la ecuación anterior para escribir f sxd 2 f sad xn 2 an − lím x:a x 2 a x2a

f 9sad − lím

x:a

− lím sx n21 1 x n22a 1

1 xa n22 1 a n21 d

x:a

− a n21 1 a n22a 1

1 aa n22 1 a n21

− na n21 SEGUNDA DEMOSTRACIÓN

f 9sxd − lím

h:0

El teorema del binomio se presenta en la página de referencia 1.

f sx 1 hd 2 f sxd sx 1 hdn 2 x n − lím h:0 h h

Al determinar la derivada de x 4, se tuvo que desarrollar (x 1 h)4. En este caso, se necesita desarrollar (x 1 h)n y, para hacerlo, se utiliza el teorema del binomio:

f 9sxd − lím

F

x n 1 nx n21h 1

nsn 2 1d n22 2 x h 1 2

h:0

h nx n21h 1

− lím

h:0

− lím

h:0

G

1 nxh n21 1 h n 2 x n

F

nx n21 1

nsn 2 1d n22 2 x h 1 2 h nsn 2 1d n22 x h1 2

1 nxh n21 1 h n

1 nxh n22 1 h n21

G

− nx n21 porque todos los términos, excepto el primero, tienen h como factor, y, por tanto, tienden a 0.

n

En el ejemplo 1 se ilustra la regla de la potencia usando varias notaciones.

Stewart_ch03_171-179.indd 173

08/06/17 2:47 p.m.

174

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

EJEMPLO 1

(a) Si f(x) 5 x6, entonces f9(x) 5 6x5. dy (c) Si y 5 t 4, entonces . − 4t 3. dt

(b) Si y 5 x1000, entonces y9 5 1000x999. d 3 (d) sr d − 3r 2 dr

n

¿Qué se puede decir acerca de las funciones potencia con exponentes enteros negativos? En el ejercicio 65 se pide al lector que verifique, a partir de la definición de derivada, que d dx

SD 1 x

−2

1 x2

Por lo que se puede escribir de nuevo esta ecuación como d sx 21 d − s21dx 22 dx y, por consiguiente, la regla de la potencia se cumple cuando n 5 21. De hecho, en la sección siguiente [ejercicio 3.2.64(c)] se demuestra que se cumple para todos los enteros negativos. ¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el ejemplo 2.8.3 se encontró que d 1 sx − dx 2 sx lo cual se puede escribir como d 1y2 sx d − 12 x21y2 dx Esto hace ver que la regla de la potencia es verdadera incluso cuando n − 12. De hecho, en la sección 3.6 se demuestra que es verdadera para todos los números reales n. Regla de la potencia (versión general) Si n es cualquier número real, entonces d sx n d − nx n21 dx

En la figura 3 se muestra la función y del ejemplo 2(b) y su derivada y9. Observe que y no es derivable en 0 (y9 no está definida ahí).

EJEMPLO 2 Derive: (a) f sxd −

1 x2

3 x2 (b) y − s

SOLUCIÓN En cada caso, reescriba la función como una potencia de x. (a) Dado que f(x) 5 x22, se utiliza la regla de la potencia con n 5 22:

2

f 9sxd −

y



_3

3

_2

FIGURA 3 3 x2 y−s

Stewart_ch03_171-179.indd 174

(b)

d 2 sx 22 d − 22x 2221 − 22x 23 − 2 3 dx x

dy d 3 2 d s − sx 2y3 d − 23 x s2y3d21 − 23 x21y3 sx d − dx dx dx

n

Observe de la figura 3 que la función y del ejemplo 2(b) está aumentando cuando y9 es positiva y disminuye cuando y9 es negativa. En el capítulo 4 se demostrará que, en general, una función es creciente cuando su derivada es positiva y decreciente cuando su derivada es negativa.

08/06/17 2:47 p.m.

175

SECCIÓN 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales

La regla de la potencia permite determinar rectas tangentes sin hacer uso de la definición de derivada. Además, permite encontrar rectas normales. La recta normal a una curva C en un punto P es la recta a través de P que es perpendicular a la recta tangente en P. (En el estudio de la óptica, necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la recta normal a un lente.)

EJEMPLO 3 Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva y 5 x !x en el punto (1, 1). Ilustre trazando la curva y estas rectas. SOLUCIÓN La derivada de f(x) 5 x !x 5 [email protected] 5 [email protected] es

3

f 9sxd − 32 x s3y2d21 − 32 x 1y2 − 32 s!x x

tangente

Por lo que, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f9(1) 5 32. Por consiguiente, la ecuación de la recta tangente es

normal _1

y 2 1 − 32 sx 2 1d

3

o

y − 32 x 2 12

La recta normal es perpendicular a la recta tangente de tal manera que su pendiente es el recíproco negativo de 32, es decir, 223. En estos términos, una ecuación de la recta normal es

_1

FIGURA 4

y 5 x !x

y 2 1 − 232 sx 2 1d

o

y − 232 x 1 53

En la figura 4 se traza la gráfica de la curva y las rectas tangente y normal.

n

Nuevas derivadas a partir de anteriores Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adición, sustracción o multiplicación por una constante, sus derivadas se pueden calcular en términos de la derivada de sus funciones anteriores. En particular, en la fórmula siguiente dice que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Interpretación geométrica de la regla del múltiplo constante y

y=2ƒ

Regla del múltiplo constante Si c es una constante y f es una función derivable, entonces d d fcf sxdg − c f sxd dx dx

y=ƒ 0

x

La multiplicación por c 5 2 estira la gráfica verticalmente en un factor de 2. Todas las elevaciones se han duplicado, pero los desplazamientos permanecen iguales. Las pendientes también se duplican.

DEMOSTRACIÓN Sea g(x) 5 cf(x). Entonces

t9sxd − lím

h=0

tsx 1 hd 2 tsxd cf sx 1 hd 2 cf sxd − lím h=0 h h

F

− lím c h=0

− c lím

h=0

− cf 9sxd

Stewart_ch03_171-179.indd 175

f sx 1 hd 2 f sxd h

f sx 1 hd 2 f sxd h

G

(por la ley 3 de los límites)

n

08/06/17 2:47 p.m.

176

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

EJEMPLO 4 (a)

d d s3x 4 d − 3 sx 4 d − 3s4x 3 d − 12x 3 dx dx

(b)

d d d s2xd − fs21dxg − s21d sxd − 21s1d − 21 dx dx dx

n

La regla siguiente dice que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. Si se utiliza la notación con primas, puede escribir la regla de la suma como

Regla de la suma Si f y g son derivables, entonces

(f 1 g)9 5 f9 1 g9

d d d f f sxd 1 tsxdg − f sxd 1 tsxd dx dx dx

DEMOSTRACIÓN Sea F(x) 5 f(x) 1 g(x). Entonces

F9sxd − lím

h:0

− lím

h:0

− lím

h:0

− lím

h:0

Fsx 1 hd 2 Fsxd h f f sx 1 hd 1 tsx 1 hdg 2 f f sxd 1 tsxdg h

F

tsx 1 hd 2 tsxd f sx 1 hd 2 f sxd 1 h h

G

f sx 1 hd 2 f sxd tsx 1 hd 2 tsxd 1 lím h: 0 h h

(por la ley 1 de los límites)

− f 9sxd 1 t9sxd

n

La regla de la suma puede extenderse a la suma de cualquier número de funciones. Por ejemplo, si se aplica este teorema dos veces, se obtiene s f 1 t 1 hd9 − fs f 1 td 1 hg9 − s f 1 td9 1 h9 − f 9 1 t9 1 h9 Al escribir f 2 g como f 1 (21)g y aplicar la regla de la suma y la del múltiplo constante, se obtiene la fórmula siguiente.

Regla de la diferencia Si tanto f como g son derivables, entonces d d d f f sxd 2 tsxdg − f sxd 2 tsxd dx dx dx

Las reglas de múltiplo constante, la suma y la diferencia se pueden combinar con la regla de la potencia para derivar cualquier función polinomial, como se muestra en los ejemplos que siguen.

Stewart_ch03_171-179.indd 176

08/06/17 2:47 p.m.

177

SECCIÓN 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales

EJEMPLO 5 d sx 8 1 12x 5 2 4x 4 1 10x 3 2 6x 1 5d dx d d d d d d − sx 8 d 1 12 sx 5 d 2 4 sx 4 d 1 10 sx 3 d 2 6 sxd 1 s5d dx dx dx dx dx dx − 8x 7 1 12s5x 4 d 2 4s4x 3 d 1 10s3x 2 d 2 6s1d 1 0 − 8x 7 1 60x 4 2 16x 3 1 30x 2 2 6

n

EJEMPLO 6 Encuentre los puntos sobre la curva y 5 x 4 2 6x 2 1 4 donde la recta tangente es horizontal.

y (0, 4)

SOLUCIÓN Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Observe que,

0

x

{_ œ„ 3, _5}

3, _5} {œ„

FIGURA 5 La curva y 5 x 2 6x 1 4 y sus tangentes horizontales 4

2

dy d d d − sx 4 d 2 6 sx 2 d 1 s4d dx dx dx dx − 4x 3 2 12x 1 0 − 4xsx 2 2 3d Así, [email protected] 5 0 si x 5 0 o x2 2 3 5 0, es decir, x 5 6 !3. Por tanto, la curva dada tiene rectas tangentes horizontales cuando x 5 0, !3 y 2 !3. Los puntos correspondientes son (0, 4), (!3, 25), y (2 !3, 25). (Véase la figura 5.) n

EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s 5 2t3 2 5t2 1 3t 1 4, donde s se mide en centímetros y t en segundos. Determine la aceleración como una función del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos? SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son

ds − 6t 2 2 10t 1 3 dt dv − 12t 2 10 astd − dt vstd −

La aceleración después de 2 s es a(2) 5 14 [email protected]

n

Funciones exponenciales Intente calcular la derivada de la función exponencial f(x) 5 bx, aplicando la definición de derivada: f 9sxd − lím

h:0

− lím

h:0

f sx 1 hd 2 f sxd b x1h 2 b x − lím h:0 h h b xb h 2 b x b x sb h 2 1d − lím h:0 h h

El factor bx no depende de h, por lo que puede llevarlo delante del límite: f 9sxd − b x lím

h:0

Stewart_ch03_171-179.indd 177

bh 2 1 h

08/06/17 2:47 p.m.

178

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Observe que el límite es el valor de la derivada de f en 0; esto es, lím

h=0

bh 2 1 − f 9s0d h

Por tanto, ha demostrado que, si la función exponencial f(x) 5 bx es derivable en 0, entonces es derivable para cualquier x; por lo que f 9sxd − f 9s0db x

4

2h 2 1 h

3h 2 1 h

0.1

0.7177

1.1612

0.01

0.6956

1.1047

0.001

0.6934

1.0992

0.0001

0.6932

1.0987

h

Esta ecuación dice que la razón de cambio de cualquier función exponencial es proporcional a la función misma. (La pendiente es proporcional a la altura.) En la tabla que aparece a la izquierda, se presenta una evidencia numérica de la existencia de f9(0) en los casos b 5 2 y b 5 3. (Los valores tienen una aproximación redondeada a cuatro decimales.) Parece que los límites existen y para b − 2,

f 9s0d − lím

2h 2 1 < 0.69 h

para b − 3,

f 9s0d − lím

3h 2 1 < 1.10 h

h=0

h=0

De hecho, se puede demostrar que estos límites existen y se redondean hasta seis decimales, los valores son d s2 x d dx

Z

x−0

< 0.693147

d s3 x d dx

Z

x−0

< 1.098612

Por esto, de la ecuación 4, se tiene 5

d s2 x d < s0.69d2 x dx

d s3 x d < s1.10d3 x dx

De todas las elecciones posibles para la base b de la ecuación 4, se tiene la fórmula más sencilla de derivación cuando f9(0) 5 1. En vista de los cálculos de f9(0) para b 5 2 y b 5 3, parece razonable que exista un número b entre 2 y 3 para el que f9(0) 5 1. Es costumbre denotar este valor con la letra e. (De hecho, así se presentó e en la sección 1.4.) Así, se tiene la definición siguiente.

En el ejercicio 1 verá que e se encuentra entre 2.7 y 2.8. Más adelante se podrá demostrar que e con cinco dígitos (o posiciones) decimales es

Definición del número e e es el número tal que

lím

h=0

eh 2 1 −1 h

e < 2.71828

Geométricamente, esto significa que, de todas las funciones exponenciales posibles y 5 b x, la función f(x) 5 e x es aquella cuya recta tangente en (0, 1) tiene pendiente f9(0) que es exactamente 1. (Véanse las figuras 6 y 7.)

Stewart_ch03_171-179.indd 178

08/06/17 2:47 p.m.

179

SECCIÓN 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales

y

y

y=3® { x, e ® } pendiente =e®

y=2® y=e ® 1

1

pendiente=1

y=e ® x

0

0

FIGURA 6

x

FIGURA 7

Si se hace b 5 e y, por tanto, f9(0) 5 1 en la ecuación 4, se convierte en la siguiente importante fórmula de derivación.

TEC Visual 3.1 utiliza el comportamiento de una pendiente para ilustrar esta fórmula.

Derivada de la función exponencial natural d se x d − e x dx

De aquí se ve que la función exponencial f(x) 5 e x tiene la propiedad de que es su propia derivada. El significado geométrico de esto es que la pendiente de una recta tangente a la curva y 5 e x es igual a la coordenada y del punto (véase la figura 7).

EJEMPLO 8 Si f(x) 5 e x 2 x, encuentre f9 y f 0. Compare las gráficas de f y f9.

3

SOLUCIÓN Si se aplica la regla de la diferencia, se tiene f

f 9sxd − fª _1.5

1.5

d x d x d se 2 xd − se d 2 sxd − e x 2 1 dx dx dx

En la sección 2.8 se define la segunda derivada como la derivada de f9, por lo que f 99sxd −

_1

FIGURA 8

d x d x d se 2 1d − se d 2 s1d − e x dx dx dx

La función f y su derivada f9 se grafican en la figura 8. Observe que f tiene una recta tangente horizontal cuando x 5 0; esto corresponde al hecho de que f9(0) 5 0. Observe también que para x . 0, f9(x) es positiva y f es creciente. Cuando x , 0, f9(x) es negativa y f es decreciente. n y

EJEMPLO 9 ¿En qué punto de la curva y 5 ex la recta tangente es paralela a la recta

3

y 5 2x?

(ln 2, 2)

SOLUCIÓN Puesto que y 5 e x, se tiene y9 5 e x. Sea a la coordenada x del punto en

2

cuestión. Entonces, la pendiente de la recta tangente en ese punto es e a. Esta recta tangente será paralela a la recta y 5 2x si tiene la misma pendiente; es decir, 2. Si se igualan las pendientes, se tiene

y=2x 1

y=´ 0

FIGURA 9

Stewart_ch03_171-179.indd 179

1

x

ea − 2

a − ln 2

Por tanto, el punto requerido es (a, e a) 5 (ln 2, 2). (Véase la figura 9.)

n

08/06/17 2:47 p.m.

180

CAPÍTULO 3

Límites y derivadas

3.1 EJERCICIOS 1. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) Use una calculadora para estimar los valores de los límites h

lím

h=0

2.7 2 1 h

h

y

lím

h=0

2.8 2 1 h

redondeelos hasta dos decimales. ¿Qué puede concluir acerca del valor de e? 2. (a) Trace a mano la función f(x) 5 ex, poniendo particular atención a la forma en como la gráfica cruza el eje y. ¿Qué hecho le permite hacer esto? (b) ¿Qué tipos de funciones son f(x) 5 ex y g(x) 5 xe? Compare las fórmulas de derivación para f y g. (c) ¿Cuál de las dos funciones en el inciso (b) crece más rápidamente cuando x es muy grande?

3. f sxd − 186.5

4. f sxd − s30

5. f sxd − 5.2x 1 2.3

6. tsxd − 74 x 2 2 3x 1 12

7. f std − 2t 2 3t 2 4t

8. f std − 1.4t 2 2.5t 1 6.7

2

9. tsxd − x s1 2 2xd 2

13. Fsrd −

5

2

10. Hsud − s3u 2 1dsu 1 2d

5 r3

4 16. hstd − s t 2 4et

17. Ss pd − sp 2 p

3 18. y − s x s2 1 xd

4 sx 3

21. hsud − Au 3 1 Bu 2 1 Cu 23. y −

x 2 1 4x 1 3 sx

sx 1 x x2

24. Gstd − s5t 1 b

s7 t c

25. jsxd − x 2.4 1 e 2.4

26. y − aev 1

27. Gsqd − s1 1 q 21d 2

28. Fszd −

3 v 2 2ve v s 29. f svd − v

1 1 16t 2 30. Dstd − s4td 3

31. z −

A y 1 Be y10

v

1

v2

A 1 Bz 1 Cz 2 z2

Stewart_ch03_180-189.indd 180

37–38 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las curvas siguientes en el punto dado. 37. y − x 2 2 x 4,

s1, 0d

38. y 2 − x 3, s1, 1d

; 39–40 Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto dado, a cada una de las curvas siguientes. Ilustre trazando la gráfica de la curva y de la recta tangente, en la misma pantalla. 40. y 5 x 2 !x,

s1, 0d

; 41–42 Encuentre f9(x). Compare las gráficas de f y f9 y utilícelas para explicar por qué su respuesta es razonable. 41. f sxd − x 4 2 2x 3 1 x 2 42. f sxd − x 5 2 2x 3 1 x 2 1

; 44. (a) Trace la gráfica de la función g(x) 5 ex 2 3x2 en el rectángulo de vista [21, 4] por [28, 8]. (b) Utilizando la gráfica del inciso (a) para calcular pendientes, haga a mano un trazo aproximado de la gráfica de g9. (Véase el ejemplo 2.8.1.) (c) Calcule g9(x) y utilice esta expresión, con un dispositivo graficador, para trazar la gráfica de g9. Compare con su trazo del inciso (b). 45–46 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las funciones siguientes. 45. f sxd − 0.001x 5 2 0.02x 3

32. y − e x11 1 1

33–36 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto dado. 33. y − 2x 3 2 x 2 1 2, s1, 3d

s1, 0d

en el rectángulo de vista [23, 5] por [210, 50]. (b) Con la misma gráfica del inciso (a) estime las pendientes y trace a mano la gráfica de f9. (Véase el ejemplo 2.8.1.) (c) Calcule f9(x) y utilice esta expresión para graficar f9 con una calculadora graficadora. Compare con su trazo del inciso (b).

20. VsRd − 43 R 3 22. y −

4

36. y 5 !x 2 x

f sxd − x 4 2 3x 3 2 6x 2 1 7x 1 30

14. y − x 5y3 2 x 2y3

15. Rsad − s3a 1 1d2

19. y − 3e x 1

2 , s2, 3d x

; 43. (a) Trace la gráfica de la función

12. Bs yd − ay23

11. y − x22y5

35. y − x 1

39. y − 3x 2 2 x 3, s1, 2d

3–32 Derive cada una de las funciones siguientes.

3

34. y − 2e x 1 x, s0, 2d

3 46. G(r) 5 !r 1 !r

; 47–48 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las funciones siguientes. Verifique para ver si sus respuestas son razonables, comparando las gráficas de f, f9 y f 0. 47. f sxd − 2 x 2 5x 3y4

48. f sxd − e x 2 x 3

08/06/17 2:54 p.m.

181

SECCIÓN 3.1 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales

49. La ecuación de movimiento de una partícula es s 5 t 3 2 3t, donde s está en metros y t en segundos. Encuentre (a) la velocidad y la aceleración como funciones de t, (b) la aceleración después de 2 s, y (c) la aceleración cuando la velocidad es cero. 50. La ecuación de movimiento de una partícula es s 5 t 4 2 2t 3 1 t 2 2 t, donde s está en metros y t en segundos. (a) Encuentre la velocidad y la aceleración como funciones de t. (b) Encuentre la aceleración después de 1 s. (c) Grafique las funciones posición, velocidad y acelera; ción, en la misma pantalla. 51. Los biólogos han propuesto un polinomio cúbico para modelar la longitud L del pescado de roca de Alaska de edad A:

donde L se mide en pulgadas y A en años. Calcule

Z

57. Demuestre que la curva y 5 2e x 1 3x 1 5x 3 no tiene una recta tangente cuya pendiente es 2. 58. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 x 4 1 1 que es paralela a la recta 32x 2 y 5 15. 59. Encuentre las ecuaciones de ambas rectas tangentes a la curva y 5 x 3 2 3x 2 1 3x 2 3 y paralela a la recta 3x 2 y 5 15.

61. Determine una ecuación de la recta normal a la curva y 5 !x que es paralela a la recta 2x 1 y 5 1.

A −12

e interprete su respuesta. 52. El número de especies de árbol S en un área dada A en la reserva forestal de Pasoh en Malasia se ha modelado por la función potencia SsAd − 0.882 A 0.842 donde A se mide en metros cuadrados. Determine S9(100) e interprete su respuesta. Fuente: Adaptado de K. Kochummen et al., “Floristic Composition of Pasoh Forest Reserve, A Lowland Rain Forest in Peninsular Malaysia,” Journal of Tropical Forest Science 3 (1991): 1–13.

53. La ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión P del gas es inversamente proporcional al volumen del gas. (a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106 m 3 a 25 °C es 50 kPa. Exprese V como una función de P. (b) Calcule [email protected] cuando P 5 50 kPa. ¿Cuál es el significado de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades? ; 54. Los neumáticos de automóvil deben ser inflados correctamente porque un alto o bajo inflado puede causar desgaste prematuro. Los datos de la tabla muestran la vida L (en miles de kilómetros) para un determinado tipo de neumático a diversas presiones P (en kPa). P

179

193

214

242

262

290

311

L

80

106

126

130

119

113

95

(a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para modelar la vida del neumático con una función cuadrática de la presión. (b) Utilice el modelo para calcular [email protected] cuando P 5 200 y cuando P 5 300. ¿Cuál es el significado de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades? ¿Cuál es el significado de los signos de las derivadas?

Stewart_ch03_180-189.indd 181

56. ¿Para qué valores de x la gráfica de f(x) 5 e x 2 2x tiene una recta tangente horizontal?

; 60. ¿En qué punto sobre la curva y 5 1 1 2e x 2 3x es la recta tangente paralela a la recta 3x 2 y 5 5? Ilustre trazando la gráfica de la curva y de ambas rectas.

L − 0.0155A 3 2 0.372A 2 1 3.95A 1 1.21 dL dA

55. Encuentre los puntos sobre la curva y 5 2x 3 1 3x 2 2 12x 1 1 donde la recta tangente es horizontal.

62. ¿Dónde la recta normal a la parábola y 5 x 2 2 1 en el punto (21, 0) interseca la parábola por segunda vez? Ilustre con un trazo de la gráfica. 63. Dibuje un diagrama que muestre que hay dos rectas tangentes a la parábola y 5 x 2 que pasan por el punto (0, 24). Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectas tangentes intersectan la parábola. 64. (a) Encuentre las ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto (2, 23) que son tangentes a la parábola y 5 x 2 1 x. (b) Demuestre que no hay una recta que pase por el punto (2, 7) que sea tangente a la parábola. Luego dibuje un diagrama para ver por qué. 65. Utilice la definición de derivada para demostrar que si f(x) 5 [email protected], entonces f9(x) 5 [email protected] 2. (Esto demuestra la regla de la potencia para el caso n 5 21.) 66. Encuentre la n-ésima derivada de cada una de las funciones siguientes calculando algunas derivadas y observando el patrón de recurrencia. (a) f sxd − x n (b) f sxd − 1yx

67. Encuentre un polinomio P de segundo grado tal que P(2) 5 5, P9(2) 5 3, y P 0(2) 5 2. 68. La ecuación y 0 1 y92 2y 5 x 2 es una ecuación diferencial porque implica una función desconocida y y sus derivadas y9 y y 0. Encuentre las constantes A, B y C tales que la función y 5 Ax 2 1 Bx 1 C satisface esta ecuación. (Las ecuaciones diferenciales se estudiarán en detalle en el capítulo 9.) 69. Encuentre una ecuación cúbica y 5 ax 3 1 bx 2 1 cx 1 d cuya gráfica tiene rectas tangentes horizontales en los puntos (22, 6) y (2, 0). 70. Encuentre una parábola con ecuación y 5 ax 2 1 bx 1 c que tiene pendiente 4 en x 5 1, pendiente 28 en x 5 21 y que pasa por el punto (2, 15).

08/06/17 2:54 p.m.

182

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

71. Sea f sxd −

H

x 2 1 1 si x , 1 x 1 1 si x > 1

¿Es f derivable en 1? Trace las gráficas de f y f9. 72. ¿En qué números es derivable la función g siguiente?

H

80. La gráfica de cualquier función cuadrática f(x) 5 ax 2 1 bx 1 c es una parábola. Demuestre que el promedio de las pendientes de las rectas tangentes a la parábola en los puntos finales de cualquier intervalo [p, q] es igual a la pendiente de la tangente en el punto medio del intervalo. 81. Sea f sxd −

2x si x < 0 tsxd − 2x 2 x 2 si 0 , x , 2 22x si x > 2

H

x2 si x < 2 mx 1 b si x . 2

Encuentre los valores de m y b que hacen que f sea derivable para todas.

74. ¿Dónde es derivable la función h(x) 5 u x 2 1 u 1 u x 1 2 u? Dé la función para h9 y trace las gráficas de h y h9.

82. Se dibuja una recta tangente a la hipérbola xy 5 c en un punto P. (a) Demuestre que el punto medio del segmento de esta recta tangente comprendido entre los ejes de coordenadas es P. (b) Demuestre que el triángulo formado por la recta tangente y los ejes de coordenadas siempre tiene la misma área, no importa dónde se encuentre P sobre la hipérbola.

75. Encuentre la parábola con ecuación y 5 ax 2 1 bx cuya recta tangente en (1, 1) tiene por ecuación y 5 3x 2 2.

83. Evalúe lím

Proporcione una fórmula para g9 y trace las gráficas de g y g9. 73. (a) ¿Para qué valores de x es la función f(x) 5 u x 2 2 9 U es derivable? Encuentre una fórmula para f9. (b) Trace las gráficas de f y f9.

x:1

x 1000 2 1 . x21

76. Suponga que la curva y 5 x 1 ax 1 bx 1 cx 1 d tiene una recta tangente cuando x 5 0 con ecuación y 5 2x 1 1 y una recta tangente cuando x 5 1 con ecuación y 5 2 2 3x. Encuentre los valores de a, b, c, y d.

84. Dibuje un diagrama que muestre dos rectas perpendiculares que se intersecan en el eje y y que son ambas tangentes a la parábola y 5 x 2. ¿Dónde se intersecan estas rectas?

77. ¿Para qué valores de a y b la recta 2x 1 y 5 b es tangente a la parábola y 5 ax 2 cuando x 5 2?

85. Si c . 2 , ¿cuántas rectas que pasan por el punto (0, c) son 1 rectas normales a la parábola y 5 x 2? ¿Qué pasa si c < 2 ?

4

3

2

3

78. Encuentre el valor de c tal que la recta y 5 2 x 1 6 es tangente a la curva y 5 c !x.

1

86. Trace las parábolas y 5 x 2 y y 5 x 2 2 2x 1 2. ¿Piensa que existe una recta que es tangente a ambas curvas? Si es así, encuentre su ecuación. Si no es así, ¿por qué no?

79. ¿Cuál es el valor de c tal que la recta y 5 2x 1 3 es tangente a la parábola y 5 cx 2?

PROYECTO DE APLICACIÓN CONSTRUCCIÓN DE UNA MEJOR MONTAÑA RUSA



P

Suponga que le piden que diseñe la primera subida y bajada de una nueva montaña rusa. Luego de estudiar fotografías de sus montañas rusas favoritas, decide hacer la pendiente de la subida de 0.8 y la pendiente de la bajada de 21.6. Usted decide unir estos dos tramos rectos y 5 L1(x) y y 5 L2(x) con parte de la parábola y 5 f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, donde x y f(x) se miden en metros. Para que la pista sea suave no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo que se quiere que los segmentos rectos L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. (Véase la figura). Para simplificar las ecuaciones, decide ubicar el origen en P.

f

Q L™

7et0301apun01 01/13/10 MasterID: 00344

1. (a) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es de 30 m. Escriba las ecuaciones en a, b y c que aseguren que la pista sea suave en los puntos de transición. (b) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) para a, b, y c para encontrar una fórmula para f(x). ;

(c) Trace L1, f, y L2 para verificar gráficamente que las transiciones son suaves. (d) Determine la diferencia de elevación de P y Q. 2. La solución en el problema 1 podría parecer suave, pero se puede no sentir suave ya que la función está definida en partes [que consiste de L1(x) para x , 0, f(x) para 0 < x < 30, y

Stewart_ch03_180-189.indd 182

08/06/17 2:54 p.m.

SECCIÓN 3.2 Reglas del producto y el cociente

183

© Susana Ortega / Shutterstock.com

L2(x) para x . 30] no tiene una segunda derivada continua. Por lo que decide mejorar el diseño utilizando una función cuadrática q(x) 5 ax 2 1 bx 1 c solo en el intervalo 3 < x < 27 y unir las funciones lineales con dos funciones cúbicas: tsxd − kx 3 1 lx 2 1 mx 1 n

0<x,3

hsxd − px 3 1 qx 2 1 rx 1 s

27 , x < 30

(a) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incógnitas que garanticen que las funciones y sus dos primeras derivadas coinciden en los puntos de transición. (b) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) con un sistema algebraico computacional para encontrar las fórmulas para q(x), g(x) y h(x).

SAC

(c) Trace la gráfica de L1, g, q, h, y L2, y compare con la gráfica del problema 1(c).

3.2

Reglas del producto y el cociente Las fórmulas de esta sección permiten derivar nuevas funciones formadas a partir de anteriores, por multiplicación o división.

Regla del producto

Î√



u Î√

u√

Por analogía con las reglas de la suma y la diferencia, podría tener la tentación de suponer, como Leibniz lo hizo hace tres siglos, que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. Sin embargo, puede ver que esta suposición es errónea al considerar un ejemplo particular. Sea f(x) 5 x y g(x) 5 x2. Por tanto, la regla de la potencia da | f9(x) 5 1 y g9(x) 5 2x. Pero ( fg)(x) 5 x3, por lo que ( fg)9(x) 5 3x2. Por lo que, ( fg)9  f9g9. La fórmula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo después de su falso inicio) y se llama regla del producto. Antes de enunciar la regla del producto, vea cómo podría descubrirla. Inicie por suponer que u 5 f(x) y √ 5 g(x) son funciones positivas derivables. Entonces se puede interÎu Î√ pretar el producto u√ como el área de un rectángulo (véase la figura 1). Si x cambia una cantidad Dx, entonces los cambios correspondientes en u y √ son √ Îu

Du − f sx 1 Dxd 2 f sxd u

Dv − tsx 1 Dxd 2 tsxd

Îu

FIGURA 1 Geometría de la regla del producto

y el nuevo valor del producto, (u 1 Du)(√ 1 D√), se puede interpretar como el área del rectángulo grande en la figura 1 (siempre que Du y D√ sean positivos). El cambio en el área del rectángulo es 1

Dsuvd − su 1 Dudsv 1 Dvd 2 uv − u Dv 1 v Du 1 Du Dv 5 suma de las tres áreas sombreadas

Si se divide entre Dx, se obtiene Dv Du Dv Dsuvd −u 1v 1 Du Dx Dx Dx Dx

Stewart_ch03_180-189.indd 183

08/06/17 2:54 p.m.

184

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Recuerde que en la notación de Leibniz Si ahora se hace que Dx : 0, se obtiene la derivada de u√: la definición de derivada se puede escribir como d Dsuvd Dv Du Dv dy Dy suvd − lím − lím u 1v 1 Du Dx = 0 Dx = 0 − lím dx Dx Dx Dx Dx Dx = 0 Dx dx

S

− u lím

Dx = 0

−u 2

Dv Du 1 v lím 1 Dx = 0 Dx Dx

S

DS

lím Du

Dx = 0

lím

Dx = 0

D Dv Dx

D

dv du dv 1v 10? dx dx dx

dv du d suvd − u 1v dx dx dx

(Observe que ∆u : 0 cuando ∆x : 0 ya que f es derivable y, por tanto, continua.) Aun cuando se partió de la hipótesis (para la interpretación geométrica) que todas las cantidades son positivas, observe que la ecuación 1 siempre es verdadera. (El álgebra es válida si u, √, ∆u y ∆√ son positivas o negativas.) Por lo que se ha demostrado la ecuación 2, conocida como regla del producto, para todas las funciones derivables u y √. Regla del producto Si f y g son derivables, entonces

En notación prima:

d d d f f sxdtsxdg − f sxd ftsxdg 1 tsxd f f sxdg dx dx dx

s ftd9 − ft9 1 t f 9

En palabras, la regla del producto dice que la derivada de un producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

EJEMPLO 1

(a) Si f(x) 5 xex, encuentre f9(x). (b) Determine la n-ésima derivada, f(n)(x). SOLUCIÓN En la figura 2 se muestran las gráficas de la función f del ejemplo 1 y su derivada f9. Observe que f9(x) es positiva cuando f es creciente y negativa cuando f es decreciente.

(a) Por la regla del producto se tiene que f 9sxd −

d sxe x d dx

−x

3

d x d se d 1 e x sxd dx dx

− xe x 1 e x ∙ 1 − sx 1 1de x f

fª _3

1.5 _1

FIGURA 2

(b) Aplicando la regla del producto una segunda vez, se obtiene f 99sxd −

d fsx 1 1de x g dx

− sx 1 1d

d x d se d 1 e x sx 1 1d dx dx

− sx 1 1de x 1 e x ? 1 − sx 1 2de x

Stewart_ch03_180-189.indd 184

08/06/17 2:54 p.m.

185

SECCIÓN 3.2 Reglas del producto y el cociente

Las aplicaciones de la regla del producto siguientes dan f 999sxd − sx 1 3de x

f s4dsxd − sx 1 4de x

De hecho, cada derivada sucesiva agrega otro término e x, por lo que f sndsxd − sx 1 nde x

En el ejemplo 2, a y b son constantes. Es habitual en matemáticas el uso de las primeras letras del alfabeto, para representar constantes y las últimas para representar variables.

n

EJEMPLO 2 Derive la función f(t) 5 !t (a 1 bt).

SOLUTION 1 Utilizando la regla del producto, se tiene que

f 9std − st

d d sa 1 btd 1 sa 1 btd (st ) dt dt

− st ? b 1 sa 1 btd ? 12 t 21y2 − bst 1

a 1 bt a 1 3bt − 2 st 2 st

SOLUCIÓN 2 Si primero se utilizan las leyes de los exponentes para reescribir f(t), entonces se puede proceder directamente sin utilizar la regla del producto.

f std − ast 1 btst − at 1y2 1 bt 3y2 f 9std − 12 at21y2 1 32 bt 1y2 que es equivalente a la respuesta dada en la solución 1.

n

El ejemplo 2 muestra que a veces es más fácil simplificar un producto de funciones antes de derivar que utilizar directamente la regla del producto. En el ejemplo 1, sin embargo, la regla del producto es el único método posible.

EJEMPLO 3 Si f(x) 5 !x g(x), donde g(4) 5 2 y g9(4) 5 3, encuentre f9(4).

SOLUCIÓN Aplicando la regla del producto, se tiene que

f 9sxd −

d d d ftsxdg 1 tsxd sx tsxd − sx sx dx dx dx

f

g

f g

− sx t9sxd 1 tsxd − sx t9sxd 1 Por lo que

1 2

x 21y2

tsxd 2 sx

f 9s4d − s4 t9s4d 1

ts4d 2 −2 31 − 6.5 2 s4 2 2

n

Regla del cociente Se encontró una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u 5 f(x) y √ 5 g(x) en gran parte de la misma manera que se ha encontrado la regla del producto.

Stewart_ch03_180-189.indd 185

08/06/17 2:54 p.m.

186

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Si x, u y √ cambian en cantidades ∆x, ∆u y ∆√, entonces el cambio correspondiente en el cociente [email protected]√ es

SD

D

u v

− −

u 1 Du u su 1 Dudv 2 usv 1 Dvd 2 − v 1 Dv v v sv 1 Dvd v Du 2 uDv v sv 1 Dvd

por tanto, d dx

SD u v

Dsuyvd − lím − lím Dx = 0 Dx = 0 Dx

v

Dv Du 2u Dx Dx v sv 1 Dvd

Cuando ∆x : 0, también ∆√ : 0, porque √ 5 g(x) es derivable y, por consiguiente, continua. Así, al aplicar las leyes de los límites, se obtiene

d dx

SD u v

Du Dv du dv 2 u lím v 2u Dx = 0 Dx Dx dx dx − v lím sv 1 Dvd v2

v lím

Dx = 0



Dx : 0

En notación prima:

SD

f 9 t f 9 2 ft9 − t t2

Regla del cociente Si f y g son derivables, entonces d dx

Se puede utilizar un dispositivo de graficación para verificar que la respuesta al ejemplo 4 es razonable. En la figura 3 se muestran las gráficas de la función del ejemplo 4 y su derivada. Observe que cuando y crece con rapidez (cerca de 22), y9 es grande. Y cuando y crece con lentitud, y9 está cerca de 0.

EJEMPLO 4 Sea y −

4 y

Stewart_ch03_180-189.indd 186

d d sx 2 1 x 2 2d 2 sx 2 1 x 2 2d sx 3 1 6d dx dx sx 3 1 6d2



sx 3 1 6ds2x 1 1d 2 sx 2 1 x 2 2ds3x 2 d sx 3 1 6d2



s2x 4 1 x 3 1 12x 1 6d 2 s3x 4 1 3x 3 2 6x 2 d sx 3 1 6d2



2x 4 2 2x 3 1 6x 2 1 12x 1 6 sx 3 1 6d2

_1.5

FIGURA 3



x2 1 x 2 2 . Entonces x3 1 6

sx 3 1 6d

yª _4

f sxd tsxd

d d f f sxdg 2 f sxd ftsxdg dx dx ftsxdg 2

En palabras: la regla del cociente dice que la derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. La regla del cociente y las otras fórmulas de derivación permiten calcular la derivada de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

y9 −

1.5

F G

tsxd

n

08/06/17 2:54 p.m.

SECCIÓN 3.2 Reglas del producto y el cociente

187

EJEMPLO 5 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 e [email protected](1 1 x 2) en

el punto s1, 12 ed.

SOLUCIÓN De acuerdo con la regla del cociente

dy − dx

2.5 y=

s1 1 x 2 de x 2 e x s2xd e x s1 2 2x 1 x 2 d − 2 2 s1 1 x d s1 1 x 2 d 2



e x s1 2 xd2 s1 1 x 2 d2

Por lo que la pendiente de la recta tangente en s1, 12 ed es

´ 1+≈

dy dx

1

FIGURA 4

0

d d se x d 2 e x s1 1 x 2 d dx dx s1 1 x 2 d2



y=2 e _2

s1 1 x 2 d

3.5

Z

x−1

−0

Esto significa que la recta tangente en s1, 12 ed es horizontal, y su ecuación es y − 12 e. Véase la figura 4. Observe que la función es creciente y cruza su recta tangente en

f

s1, 12 ed.g

n

NOTA No use la regla del cociente cada vez que vea un cociente. A veces es más fácil reescribir un cociente en una forma que sea más sencilla para los fines de derivación. Por ejemplo, aun cuando es posible derivar la función Fsxd −

3x 2 1 2sx x

aplicando la regla del cociente, es más fácil dividir primero y escribir la función como Fsxd − 3x 1 2x 21y2 antes de derivar. A continuación, se resumen las fórmulas de derivación que ha aprendido hasta el momento. Tabla de fórmulas de derivación d scd − 0 dx

d sx n d − nx n21 dx

d se x d − e x dx

scf d9 − cf 9

s f 1 td9 − f 91 t9

s f 2 td9 − f 92 t9

s ftd9 − ft9 1 tf 9

Stewart_ch03_180-189.indd 187

SD

tf 9 2 ft9 f 9 − t t2

08/06/17 2:54 p.m.

188

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

3.2 EJERCICIOS 1. Encuentre la derivada de f (x) 5 (1 1 2x2)(x 2 x2) de dos maneras: aplicando la regla del producto y efectuando primero la multiplicación. ¿Sus respuestas son equivalentes?

29. f sxd −

2. Encuentre la derivada de la función Fsxd −

31. y −

en dos maneras diferentes: utilizando la regla del cociente y simplificando primero. Demuestre que sus respuestas son equivalentes. ¿Cuál método prefiere?

7. tsxd −

6. y − 3x 2 1 2x 1 1

ex 11x

8. f std −

2t 4 2 t2

9. Hsud − su 2 su dsu 1 su d 10. Jsvd − sv 2 2 vdsv 3

11. Fs yd −

S

24

1v d

D

1 3 s y 1 5y 3 d 2 2 y y4

x2 1 1 x3 2 1

14. y −

sx 21x

15. y −

t 3 1 3t t 2 2 4t 1 3

16. y −

1 t 3 1 2t 2 2 1

3

v

s 2 ss 19. y − s2 21. f std −

3 t s t23

r

ae b 1 er

18. hsrd −

20. y − sz 1 e dsz 2

22. Vstd −

2 x

z

(0, 12 )

34. y −

2x , s1, 1d x2 1 1

35. (a) La curva y 5 [email protected](1 1 x2) se llama bruja de María Agnesi. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto s21, 12 d. (b) Ilustre el inciso (a) trazando las gráficas de la curva y la ; recta tangente en la misma pantalla.

38. (a) Si f(x) 5 [email protected](2x2 1 x 1 1), determine f9(x). (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable ; comparando las gráficas de f y f9. ;

39. (a) Si f(x) 5 (x2 2 1)@(x2 1 1), determine f9(x) y f 0(x). (b) Verifique si sus respuestas en el inciso (a) son razonables al comparar las gráficas de f, f9 y f 0.

40. (a) Si f(x) 5 (x2 2 1)ex, determine f9(x) y f 0(x). (b) Verifique para comprobar que sus respuestas en el inciso ; (a) son razonables al comparar las gráficas de f, f9 y f 0. 41. Si f(x) 5 [email protected](1 1 x), determine f 0(1).

43. Suponga que f(5) 5 1, f9(5) 5 6, g(5) 5 23 y g9(5) 5 2. Encuentre los valores siguientes (a) (fg)9(5) (b) (f/g)9(5) (c) (g/f )9(5)

x e x2 1 ex

24. Fstd −

At Bt 2 1 Ct 3

25. f sxd −

A B 1 Ce x

26. f sxd −

ax 1 b cx 1 d

27–30 Determine f9(x) y f 0(x) de cada una de las funciones siguientes.

Stewart_ch03_180-189.indd 188

11x , 1 1 ex

41t te t

23. f sxd −

27. f sxd − sx 3 1 1de x

32. y −

37. (a) Si f(x) 5 (x3 2 x)ex, encuentre f9(x). (b) Compruebe que su respuesta al inciso (a) es razonable ; comparando las gráficas de f y f9.

13. y −

v 2 2v sv

s1, 0d

36. (a) La curva y 5 [email protected](1 1 x2) se llama serpentina. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (3, 0.3). (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de la curva y la ; recta tangente, en la misma pantalla.

22

12. f szd − s1 2 e zdsz 1 e zd

17. y −

x2 2 1 , x 1x11 2

33. y − 2x e x, s0, 0d

4. tsxd − ( x 1 2sx ) e x

ex x2

x x2 2 1

33–34 Determine las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a cada una de las curvas dadas en el punto que se especifica.

3–26 Derive.

5. y −

30. f sxd −

31–32 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado.

x 4 2 5x 3 1 sx x2

3. f sxd − s3x 2 2 5xde x

x2 1 1 ex

28. f(x) 5 !x e x

42. Si g(x) 5 [email protected], determine g(n)(x).

44. Suponga que f(4) 5 2, g(4) 5 5, f9(4) 5 6 y g9(4) 5 23. Encuentre h9(4). (a) hsxd − 3 f sxd 1 8tsxd (c) hsxd −

f sxd tsxd

(b) hsxd − f sxdtsxd (d) hsxd −

tsxd f sxd 1 tsxd

08/06/17 2:54 p.m.

189

SECCIÓN 3.2 Reglas del producto y el cociente

45. Si f9(x) 5 e x g(x), donde g(0) 5 2 y g9(0) 5 5, determine f9(0).

54. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva

46. Si h(2) 5 4 y h9(2) 5 23, encuentre d dx

S DZ hsxd x

y−

que sean paralelas a la recta x 2 2y 5 2. x−2

55. Encuentre R9(0), donde

47. Si g(x) 5 xf(x), donde f(3) 5 4 y f9(3) 5 22, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto donde x 5 3. 48. Si f(2) 5 10 y f9(x) 5 x 2f(x) para toda x, encuentre f 0(2). 49. Si f y g son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sean u(x) 5 f(x)g(x) y √(x) 5 f(x)@g(x). (a) Encuentre u9(1). (b) Encuentre √9(5).

Rsxd −

x 2 3x 3 1 5x 5 1 1 3x 3 1 6x 6 1 9x 9

Sugerencia: en vez de encontrar primero R9(x), sea f(x) el numerador y g(x) el denominador de R(x) y calcule R9(0) usando f(0), f9(0), g(0) y g9(0). 56. Utilice el método del ejercicio 55 para calcular Q9(0), donde Qsxd −

y

f g

1 0

x

1

50. Sea P(x) 5 F(x)G(x) y Q(x) 5 F(x)@G(x), donde F y G son las funciones cuyas gráficas se muestran (a) Encuentre P9(2). (b) Encuentre Q9(7). y

F

G

1 0

x

1

51. Si g es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. x (a) y − xtsxd (b) y − tsxd tsxd (c) y − x 52. Si f es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. (a) y − x 2 f sxd (c) y −

x2 f sxd

f sxd (b) y − x2 (d) y −

1 1 x f sxd sx

53. ¿Cuántas rectas tangentes a la curva y 5 [email protected](x 1 1) pasan por el punto (1, 2)? ¿En qué puntos toca la curva estas rectas tangentes?

Stewart_ch03_180-189.indd 189

x21 x11

1 1 x 1 x 2 1 xe x 1 2 x 1 x 2 2 xe x

57. En este ejercicio, calcule la proporción a la que está creciendo el ingreso personal total en el área metropolitana de RichmondPetersburg, Virginia. En 1999, la población de esta área era 961 400 y la población aumentaba en alrededor de 9200 personas al año. El ingreso anual promedio era $30 593 per cápita, y este promedio se incrementaba en cerca de $1400 al año (ligeramente por arriba del promedio nacional de alrededor de $1225 al año). Use la regla del producto y estas cifras para calcular la proporción en la que estaba aumentando el ingreso personal total en el área de Richmond-Petersburg en 1999. Explique el significado de cada término en la regla del producto. 58. Un fabricante produce rollos de una tela con un ancho fijo. La cantidad q de esta tela (medida en metros) que se vende es función del precio de venta p (en dólares por metro), de modo que q 5 f(p). Entonces, el ingreso total que se percibe con el precio de venta p es R(p) 5 pf(p). (a) ¿Qué significa decir que f(20) 5 10 000 y f9(20) 5 2350? (b) Suponiendo los valores del inciso (a), encuentre R9(20) e interprete su respuesta. 59. La ecuación de Michaelis-Menten de la enzima quimotripsina es v−

0.14fSg 0.015 1 fSg

donde √ es la velocidad de una reacción enzimática y [S] es la concentración de un sustrato S. Calcule d√@d[S] e interprétela. 60. La biomasa B(t) de la población de peces es la masa total de los miembros de la población en el tiempo t. Es el producto del número de especímenes N(t) en la población y la masa promedio M(t) de los peces al tiempo t. En el caso de los guppies, la reproducción ocurre continuamente. Suponga que al tiempo t 5 4 semanas la población es de 820 guppies y está creciendo a un ritmo de 50 guppies por semana, mientras que la masa promedio es de 1.2 g y está aumentando a una tasa de 0.14 [email protected] ¿Con qué razón está aumentando la biomasa cuando t 5 4?

08/06/17 2:54 p.m.

190

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

61. (a) Utilice la regla del producto dos veces para probar que, si f, g y h son derivables, entonces (fgh)9 5 f9gh 1 fg9h 1 fgh9. (b) Tomando f 5 g 5 h en el inciso (a), demuestre que

64. (a) Si g es derivable la regla del recíproco indica que

d f f sxdg 3 − 3f f sxdg 2 f 9sxd dx (c) Use el inciso (b) para diferenciar y 2 e3x. 62. (a) Si F(x) 5 f(x) g(x), donde f y g son derivables en todos los órdenes, demuestre que F 0 5 f 0g 1 2f9g9 1 fg0. (b) Determine fórmulas similares para F- y F(4). (c) Intente una fórmula para F(n). 63. Determine expresiones para las primeras cinco derivadas de f(x) 5 x 2e x. ¿Observa algún patrón en estas expresiones? Infiera una fórmula para f(n)(x) y demuéstrela por medio de inducción matemática.

d dx

F G 1 gsxd

−2

g9sxd f gsxdg 2

Utilice la regla del cociente para demostrar la regla del recíproco. (b) Utilice la regla del recíproco para derivar la función del ejercicio 16. (c) Utilice la regla del recíproco para comprobar que la regla de la potencia es válida para números enteros negativos, es decir, d 2n sx d − 2nx2n21 dx para todos los números enteros positivos n.

3.3 Derivadas de funciones trigonométricas En el apéndice D se presenta un repaso de las funciones trigonométricas.

Antes de iniciar esta sección, quizá necesite repasar las funciones trigonométricas. En particular, es importante que recuerde que cuando habla de la función f definida para todos los números reales x, mediante f(x) 5 sen x se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Para las demás funciones trigonométricas: cos, tan, csc, sec y cot se cumple con una convención similar. Recuerde de la sección 2.5 que todas las funciones trigonométricas son continuas en cada número en sus dominios. Si traza la gráfica de la función f(x) 5 sen x y utiliza la interpretación de f9(x) como la pendiente de la recta tangente a la curva seno para trazar la gráfica de f9 (véase el ejercicio 2.8.16), parece que la gráfica de f9 es la misma que la curva coseno (véase la figura 1).

y y=ƒ=sen x

0

TEC Visual 3.3 muestra una animación de la figura 1.

π 2

π



x

y y=fª(x )

0

π 2

π

x

FIGURA 1

Stewart_ch03_190-199.indd 190

09/06/17 2:04 a.m.

SECCIÓN 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas

191

Intente confirmar la conjetura de que si f(x) 5 sen x, entonces f9(x) 5 cos x. A partir de la definición de derivada, se tiene f 9sxd − lím

h:0

Se utilizó la fórmula de adición para el seno. Véase el apéndice D.

− lím

h:0

− lím

h:0

− lím

h:0

1

f sx 1 hd 2 f sxd sensx 1 hd 2 sen x − lím h : 0 h h sen x cos h 1 cos x sen h 2 sen x h

F F S

G S DG

sen x cos h 2 sen x cos x sen h 1 h h

sen x

cos h 2 1 h

− lím sen x ? lím h:0

h:0

D

1 cos x

sen h h

cos h 2 1 sen h 1 lím cos x ? lím h : 0 h : 0 h h

Dos de estos cuatro límites son fáciles de evaluar. Puesto que se considera a x como constante al calcular un límite cuando h : 0, se tiene lím sen x − sen x

h:0

y

lím cos x − cos x

h:0

El límite de (sen h)@h no es tan obvio. Con base en la evidencia numérica y gráfica, en el ejemplo 2.2.3 se infiere que

2

lím

:0

sen

−1

D B

1

O

E

Ahora se utilizará un argumento geométrico para demostrar la ecuación 2. Suponga primero que u se encuentra entre 0 y [email protected] En la figura 2(a) se muestra un sector de circunferencia con centro en O, ángulo central u, y radio 1. BC se traza perpendicular a OA. Por la definición de radián, se tiene que arco AB 5 u. También, u BC u 5 u OB usen u 5 sen u. Con base en el diagrama, se observa que

| BC | , | AB | , arc AB

¨ C

A

(a) B E A

O

Por tanto

sen

,

tal que

sen

,1

Suponga que las rectas tangentes en A y B se intersecan en E. Se puede ver de la figura 2(b), que la circunferencia es menor que la longitud del polígono circunscrito, y por lo que arc AB , u AE u 1 u EB u. Así,

| | | | , | AE | 1 | ED | − | AD | − | OA | tan

− arc AB , AE 1 EB (b)

FIGURA 2

− tan (En el apéndice F se demuestra directamente la desigualdad u < tan u a partir de la

Stewart_ch03_190-199.indd 191

09/06/17 2:04 a.m.

192

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

definición de la longitud de arco, sin recurrir a la intuición geométrica, como se hizo aquí.) Por tanto, se tiene que sen cos

,

por lo que

cos

,

sen

,1

Se sabe que límu:0 1 5 1 y límu:0 cos u 5 1, por lo que, por el teorema de la compresión lím1 :0

sen

−1

Pero la función (sen u)@u es una función par, por lo que sus límites por la derecha y por la izquierda deben ser iguales. Por tanto, se tiene lím

:0

sen

−1

por lo que se ha demostrado la ecuación 2. Se puede deducir el valor del límite restante en (1) como sigue: Multiplique el numerador y el denominador por cos u 1 1 para poner la función de manera que pueda usar los límites que conoce.

lím

:0

cos

21

− lím

:0

S

21

?

cos cos

D S

11 11

− lím

2sen2 sen − 2lím : 0 scos 1 1d

− lím

:0

− 2lím

:0

− 21 ?

3

cos

sen

? lím

:0

S D 0 111

lím

:0

cos

?

sen cos 1 1

D

sen cos 1 1

−0

21

:0

cos2 2 1 scos 1 1d

(por la ecuación 2)

−0

Si ahora se ponen los límites (2) y (3) en (1), se obtienen f 9sxd − lím sen x ? lím h:0

h:0

cos h 2 1 sen h 1 lím cos x ? lím h:0 h:0 h h

− ssen xd ? 0 1 scos xd ? 1 − cos x Por lo que se ha demostrado la fórmula para la derivada de la función seno:

4

Stewart_ch03_190-199.indd 192

d ssen xd − cos x dx

09/06/17 2:04 a.m.

SECCIÓN 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas

193

EJEMPLO 1 Derive y 5 x 2 sen x. La figura 3 muestra las gráficas de la función del ejemplo 1 y su derivada. Observe que y9 5 0 siempre que y tenga una recta tangente horizontal.

SOLUCIÓN Con la regla del producto y la fórmula 4, se tiene

dy d d − x2 ssen xd 1 sen x sx 2 d dx dx dx − x 2 cos x 1 2x sen x

5 yª _4

y 4

_5

n

Si se aplican los mismos métodos que en la demostración de la fórmula 4, puede demostrarse (véase el ejercicio 20) que d scos xd − 2sen x dx

5

FIGURA 3

También puede derivar la función tangente utilizando la definición de derivada, pero es más fácil usar la regla del cociente con las fórmulas 4 y 5: d d stan xd − dx dx

S D

cos x −

sen x cos x

d d ssen xd 2 sen x scos xd dx dx cos2x



cos x ? cos x 2 sen x s2sen xd cos2x



cos2x 1 sen2x cos2x



1 − sec2x cos2x d stan xd − sec2x dx

6

También es fácil determinar las derivadas de las funciones trigonométricas restantes, csc, sec y cot, aplicando la regla del cociente (véanse los ejercicios 17-19). En la tabla siguiente aparecen todas las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas. Recuerde que son válidas solo cuando x se mide en radianes. Derivadas de las funciones trigonométricas

Cuando memorice esta tabla, resulta útil observar que los signos menos van con las derivadas de las “cofunciones”; es decir, coseno, cosecante y cotangente.

Stewart_ch03_190-199.indd 193

d ssen xd − cos x dx

d scsc xd − 2csc x cot x dx

d scos xd − 2sen x dx

d ssec xd − sec x tan x dx

d stan xd − sec2x dx

d scot xd − 2csc 2x dx

09/06/17 2:04 a.m.

194

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

sec x . ¿Para cuáles valores de x la gráfica de f tiene 1 1 tan x una recta tangente horizontal?

EJEMPLO 2 Derive f sxd −

SOLUCIÓN Por la regla del cociente se tiene que

s1 1 tan xd f 9sxd −



s1 1 tan xd sec x tan x 2 sec x ? sec2x s1 1 tan xd2



sec x stan x 1 tan2x 2 sec2xd s1 1 tan xd2



sec x stan x 2 1d s1 1 tan xd2

3

_3

d d ssec xd 2 sec x s1 1 tan xd dx dx s1 1 tan xd2

5

_3

En la simplificación de la respuesta se ha utilizado la identidad tan2x 1 1 5 sec2x. Ya que sec x nunca es 0, vea que f9(x) 5 0 cuando tan x 5 1, y esto sucede cuando FIGURA 4 n Las tangentes horizontales del ejemplo 2. x 5 np 1 [email protected], donde n es un entero (véase la figura 4). Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del mundo real. En particular, las vibraciones, ondas, movimientos elásticos y otras cantidades que varían de manera periódica, se pueden describir usando funciones trigonométricas. En el ejemplo siguiente se analiza un caso de movimiento armónico simple.

EJEMPLO 3 Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se desplaza hacia abajo 4 cm más allá de su posición en reposo, para estirar el resorte, y se deja en libertad en el instante t 5 0. (Véase la figura 5 y observe que la dirección hacia abajo es positiva.) Su posición en el instante t es

0 4

s 5 f(t) 5 4 cos t

s

Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t y úselas para analizar el movimiento del objeto.

FIGURA 5

SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son

s



a

2 0

π

_2

FIGURA 6

Stewart_ch03_190-199.indd 194

2π t

v−

ds d d − s4 cos td − 4 scos td − 24 sen t dt dt dt

a−

dv d d − s24 sen td − 24 ssen td − 24 cos t dt dt dt

El objeto oscila desde el punto más bajo (s 5 4 cm) hasta el punto más alto (s 5 24 cm). El período de la oscilación es 2p, el período de cos t. La rapidez es u √ u 5 4 u sen t u, la cual es máxima cuando u sen t u 5 1; es decir, cuando cos t 5 0. Por lo que el objeto se mueve con la mayor rapidez cuando pasa por su posición de equilibrio (s 5 0). Su rapidez es 0 cuando sen t 5 0; esto es, en los puntos alto y bajo. La aceleración a 5 24 cos t 5 0 cuando s 5 0. Alcanza la magnitud máxima en los n puntos alto y bajo. Observe la gráfica en la figura 6.

09/06/17 2:04 a.m.

SECCIÓN 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas

195

EJEMPLO 4 Determine la vigésima séptima derivada de cos x. SOLUCIÓN Las primeras derivadas de f(x) 5 cos x son como sigue:

f 9sxd − 2sen x

SP Busque un patrón.

f 99sxd − 2cos x f999sxd − sen x f s4dsxd − cos x f s5dsxd − 2sen x Se observó que las derivadas sucesivas ocurren en un ciclo de longitud 4 y, en particular, f(n)(x) 5 cos x cada vez que n es un múltiplo de 4. Por tanto, f s24dsxd − cos x y, derivando tres veces más, se tiene f s27dsxd − sen x

n

La principal aplicación del límite en la ecuación 2 ha sido comprobar la fórmula de derivación de la función seno. Pero este límite también se aplica en la búsqueda de otros límites trigonométricos, como en los dos ejemplos siguientes.

EJEMPLO 5 Determine lím

x:0

sen 7x . 4x

SOLUCIÓN Con objeto de aplicar la ecuación 2, primero vuelva a escribir la función para multiplicarla por 7 y dividirla entre 7:

S D

sen 7x 7 sen 7x − 4x 4 7x

Observe que sen 7x ≠ 7 sen x.

Si se hace u 5 7x, entonces u : 0, conforme x : 0, por lo que, por la ecuación 2 se tiene lím

x:0

S D

sen 7x 7 sen 7x − lím 4x 4 x:0 7x −

7 sen lím 4 :0



7 7 ?1− 4 4

n

EJEMPLO 6 Calcule lím x cot x. x:0

SOLUCIÓN En este caso se divide tanto el numerador como el denominador entre x:

lím x cot x − lím

x:0

x:0

x cos x sen x

lím cos x cos x x:0 − x : 0 sen x sen x lím x:0 x x cos 0 − (por la continuidad del coseno y la ecuación 2) 1 −1 − lím

Stewart_ch03_190-199.indd 195

n

09/06/17 2:04 a.m.

196

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

3.3 EJERCICIOS 31. (a) Utilice la regla del cociente para derivar la función

1–16 Derive cada una de las funciones siguientes: 1. f sxd − x 2 sen x

2. f sxd − x cos x 1 2 tan x

3. f sxd − e x cos x

4. y − 2 sec x 2 csc x

5. tstd − t cos t

6. tst d − 4 sec t 1 tan t

7. hs d − csc

8. y − e u scos u 1 cud

3

9. y −

1 e cot

x 2 2 tan x

11. f s d −

cos

10. y − sen

sen 1 1 cos

12. y −

cos x 1 2 sen x

t sen t 13. y − 11t

sen t 14. y − 1 1 tan t

15. f s d −

16. f std − te cot t

cos sen

f sxd −

tan x 2 1 sec x

(b) Simplifique la expresión para f(x) expresándola en términos de sen x y cos x, y enseguida determine f9(x). (c) Demuestre que sus respuestas a los incisos (a) y (b) son equivalentes. 32. Suponga f([email protected]) 5 4 y f9([email protected]) 5 22, y sea g(x) 5 f(x)sen x y h(x) 5 (cos x)@f(x). Determine (a) g9([email protected]) (b) h9sy3d 33–34 ¿Para qué valores de x la gráfica de f tiene una recta tangente horizontal? 33. f (x) 5 x 1 2 sen x

34. f sxd − e x cos x

t

d 17. Demuestre que scsc xd − 2csc x cot x. dx 18. Demuestre que

d ssec xd − sec x tan x. dx

19. Demuestre que

d scot xd − 2csc 2x. dx

20. Demuestre, usando la definición de derivada que si f sxd − cos x, entonces f 9(x) 5 2sen x.

35. Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie lisa y nivelada (véase la figura). Su ecuación de movimiento es x(t) 5 8 sen t, donde t está en segundos y x en centímetros. (a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. (b) Encuentre la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el instante t 5 [email protected] ¿En qué dirección se desplaza en ese instante?

posición de equilibrio

21–24 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las curvas siguientes, en el punto dado. 21. y − sen x 1 cos x, s0, 1d

22. y − e x cos x, s0, 1d

23. y − cos x 2 sen x, s , 21d

24. y − x 1 tan x, s , d

25. (a) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 2x sen x en el punto ([email protected], p). (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de la curva y la ; recta tangente en la misma pantalla. 26. (a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 3x 1 6 cos x en el punto ([email protected], p 1 3). (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de la curva y la ; recta tangente en la misma pantalla. ;

27. (a) Si f(x) 5 sec x 2 x, encuentre f9(x). (b) Compruebe para ver que su respuesta al inciso (a) es razonable trazando las gráficas de f y f9 para uxu , [email protected]

28. (a) Si f(x) 5 ex cos x, obtenga f9(x) y f 0(x). (b) Verifique que su respuesta del inciso (a) sea razonable ; trazando la gráfica de f, f9 y f”. 29. Si H(u) 5 u sen u, determine H9(u)y H0(u). 30. Si f(t) 5 sec t, determine f0([email protected]).

Stewart_ch03_190-199.indd 196

0

x

x

; 36. Una banda elástica cuelga de un gancho, con una masa sujeta en su extremo inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajo y, luego, se deja en libertad, vibra verticalmente. La ecuación de movimiento es s 5 2 cos t 1 3 sen t, t > 0, donde s se mide en centímetros y t en segundos. (Tome la dirección positiva correspondiente hacia abajo.) (a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. (b) Dibuje las funciones velocidad y aceleración. (c) ¿Cuándo pasa la masa por la posición de equilibrio por primera vez? (d) ¿Cuán lejos de su posición de equilibrio viaja la masa? (e) ¿Cuándo es máxima la rapidez? 37. Una escalera de 6 m de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea u el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia del extremo inferior de aquella hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿qué tan rápido cambia x respecto a u cuando u 5 [email protected]? 38. Un objeto con masa m es arrastrado a lo largo de un plano horizontal, por una fuerza que actúa a lo largo de una

09/06/17 2:04 a.m.

SECCIÓN 3.4 La regla de la cadena

cuerda sujeta al objeto. Si la cuerda forma un ángulo u con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es F−

sen

mt 1 cos

;

55. Derive cada una de las identidades trigonométricas siguientes para obtener una identidad nueva (o conocida). (a) tan x −

donde m es una constante llamada coeficiente de fricción. (a) Encuentre la razón de cambio de F respecto a u. (b) ¿Cuándo es igual a 0 esta razón de cambio? (c) Si m 5 20 kg y g 5 9.8 [email protected], y m 5 0.6, dibuje la gráfica de F como función de u y úsela para localizar el valor de u para el cual [email protected] 5 0. ¿Es coherente el valor con su respuesta al inciso (b)?

sen x cos x

(c) sen x 1 cos x −

sen 5x 3x tan 6t 41. lím t : 0 sen 2t sen 3x 43. lím x : 0 5x 3 2 4x :0

lím1 :0

sen x sen x cos 2 1 42. lím :0 sen sen 3x sen 5x 44. lím x:0 x2

sen 1 tan

P

10 cm

x:0

sensx 2 d 48. lím x:0 x sensx 2 1d 50. lím 2 x:1 x 1 x 2 2

52.

54. (a) Evalúe lím x sen

1 . x

(b) Evalúe lím x sen

1 . x

;

10 cm ¨ R

57. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una cuerda de longitud d, los dos están subtendidos por un ángulo central u. Encuentre lím1 :0

d

d 35 sx sen xd dx 35

53. Encuentre constantes A y B tales que la función y 5 A sen x 1 B cos x satisface la ecuación diferencial y 0 1 y9 2 2y 5 sen x.

Q B(¨ )

46. lím csc x senssen xd

d 99 ssen xd dx 99

x:0

As d Bs d

A(¨ )

51–52 Encuentre la derivada que se muestra, mediante la búsqueda de las primeras derivadas y observando el patrón que aparece.

x:`

1 1 cot x csc x

x:0

cos 2 1 47. lím :0 2 2 1 2 tan x 49. lím x : y4 sen x 2 cos x

51.

1 cos x

40. lím

x:0

45. lím

(b) sec x −

56. Un semicírculo con diámetro PQ descansa sobre un triángulo isósceles PQR para formar una región en forma de cono para helados como el que se muestra en la figura. Si A(u) es el área del semicírculo y B(u) es el área del triángulo, determine

39–50 Determine cada uno de los límites siguientes. 39. lím

197

s d s

¨

x . s1 2 cos 2x (a) Trace la gráfica de f. ¿Qué tipo de discontinuidad parece tener en 0? (b) Calcule los límites por la izquierda y por la derecha en 0. ¿Confirman estos valores su respuesta al inciso (a)?

; 58. Sea f sxd −

(c) Ilustre los incisos (a) y (b) trazando la gráfica de y 5 x sen([email protected]).

3.4 La regla de la cadena Suponga que se le pide derivar la función Fsxd − sx 2 1 1 Las fórmulas de derivación que usted aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no le permiten calcular F9(x).

Stewart_ch03_190-199.indd 197

09/06/17 2:05 a.m.

198

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Véase la sección 1.3 para un repaso de funciones compuestas.

Observe que F es una función compuesta. De hecho, si y 5 f(u) 5 !u y u 5 g(x) 5 x2 1 1, entonces se puede escribir y 5 F(x) 5 f(g(x)); es decir, F 5 f + g. Se sabe cómo derivar tanto f como g, por lo que sería útil contar con una regla que indique cómo determinar la derivada de F 5 f + g en términos de las derivadas de f y g. Resulta que la derivada de la función compuesta f + g es el producto de las derivadas de f y g. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se llama regla de la cadena. Esto parece verosímil si se interpretan las derivadas como razones de cambio. Considere [email protected] como la razón de cambio de u respecto a x, [email protected] como la razón de cambio de y respecto a u, y [email protected] como la razón de cambio de y respecto a x. Si u cambia dos veces más rápido que x y y varía tres veces más rápido que u, entonces parece razonable que y se modifique seis veces más rápido que x, y, por lo que, se espera que dy dy du − dx du dx Regla de la cadena Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces la función compuesta F 5 f + g definida mediante F(x) 5 f(g(x)) es derivable en x, y F9 está dada por el producto F9(x) 5 f9(g(x)) ? g9(x) En la notación de Leibniz, si y 5 f(u) y u 5 g(x) son funciones derivables, entonces dy dy du − dx du dx

James Gregory El primero en formular la regla de la cadena fue el matemático escocés James Gregory (1638-1675), quien también diseñó el primer telescopio práctico. Gregory descubrió las ideas básicas del cálculo en la misma época que Newton. Se convirtió en el primer profesor de matemáticas en la Universidad de St. Andrews y más tarde realizó la misma actividad en la Universidad de Edimburgo. Pero un año después de aceptar ese cargo, falleció a la edad de 36 años.

COMENTARIOS SOBRE LA DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Sea ∆u el

cambio en u correspondiente a un cambio de ∆x en x; es decir, Du 5 g(x 1 Dx) 2 g(x) Entonces el cambio correspondiente en y es Dy − f su 1 Dud 2 f sud Resulta tentador escribir dy Dy − lím Dx: 0 Dx dx 1

− lím

Dy Du ? Du Dx

− lím

Dy Du ? lím Du Dx : 0 Dx

− lím

Dy Du ? lím Dx : 0 Du Dx

Dx : 0

Dx : 0

Du : 0



Stewart_ch03_190-199.indd 198

(Observe que ∆u : 0 conforme ∆x : 0 porque g es continua.)

dy du du dx

09/06/17 2:05 a.m.

199

SECCIÓN 3.4 La regla de la cadena

El único defecto de este razonamiento es que en (1) podría suceder que Du 5 0 (aun cuando ∆x  0) y, por supuesto, no se puede dividir entre 0. No obstante, este razonamiento sugiere por lo menos que la regla de la cadena es verdadera. Al final de esta sección se da una demostración completa de la regla de la cadena. n La regla de la cadena se puede escribir en notación prima (f + g)9(x) 5 f9(g(x)) ? g9(x)

2

o, si y 5 f(u) y u 5 g(x), en la notación de Leibniz: dy dy du − dx du dx

3

La ecuación 3 es fácil de recordar porque si [email protected] y [email protected] fueran cocientes, entonces se podría cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y [email protected] no se debe pensar como un cociente real.

EJEMPLO 1 Encuentre F9(x) si F(x) 5 !x2 1 1.

SOLUCIÓN 1 (Utilizando la ecuación 2): al principio de esta sección, se expresa a F como F(x) 5 (f + g)(x) 5 f(g(x)) donde f(u) 5 !u y g(x) 5 x2 1 1. Dado que

f 9sud − 12 u21y2 −

1

y

2 su

t9sxd − 2x

F9sxd − f 9s tsxdd ? t9sxd

se tiene



1 2 sx 2 1 1

? 2x −

x sx 2 1 1

SOLUCIÓN 2 (Utilizando la ecuación 3): Si se hace u 5 x2 1 1 y y 5 !u, entonces

F9sxd −

dy du 1 1 x − s2xd − s2xd − 2 1 1 du dx 2 su 2 sx 2 1 1 sx

n

Al utilizar la fórmula 3, se debe tener presente que [email protected] se refiere a la derivada de y cuando esta se considera como función de x (llamada la derivada de y respecto a x), mientras que [email protected] se refiere a la derivada de y cuando se considera como función de u (la derivada de y respecto a u). Por lo que, en el ejemplo 1, y se puede considerar como función de x (y 5 !x2 1 1) y también como una función de u (y 5 !u). Observe que dy x − F9sxd − dx sx 2 1 1

mientras que

dy 1 − f 9sud − du 2 su

NOTA En la aplicación de la regla de la cadena, se trabajó de afuera hacia adentro. La fórmula 2 expresa que se deriva la función exterior [en la función interior g(x)] y, luego se multiplica por la derivada de la función interior. d dx

Stewart_ch03_190-199.indd 199

f

stsxdd

función exterior

evaluada en la función interior



f9

s tsxdd

derivada de la función exterior

evaluada en la función interior

?

t9sxd derivada de la función interior

09/06/17 2:05 a.m.

200

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

EJEMPLO 2 Derive (a) y 5 sen(x2) y (b) y 5 sen2x. SOLUCIÓN

(a) Si y 5 sen(x2), entonces la función exterior es la función seno, y la interior es la función elevar al cuadrado, por lo que la regla de la cadena da dy d − dx dx

sen sin

sx 2 d

función exterior

evaluada en la función interior

cos

sx 2 d

derivada de la función exterior

evaluada en la función interior



?

2x derivada de la función interior

− 2x cossx 2 d (b) Observe que sen2x 5 (sen x)2. En este caso, la función exterior es la de elevar al 7et0304note2 cuadrado, y la interior es la función seno. Por tanto,

01/13/10

dy d (sen x)22 01593 − MasterID: ssin xd − 2 dx dx función interior

Véase la página de referencia 2 o el apéndice D.

función derivada interior de la función exterior

?

(sen x) ssin xd

?

derivada evaluada evaluada derivada de la en la en la de la función función función función exterior interior interior interior

cos x derivada de la función interior

La respuesta se puede dejar como 2 sen x cos x, o se escribe como sen 2x (por una iden7et0304note3 7et0304note3 tidad trigonométrica conocida como fórmula del ángulo doble). n

01/13/10 01/13/10 En el ejemplo 2(a), se combinó la regla de la01594 cadena con la regla para derivar la funMasterID: MasterID: 01594

ción seno. En general, si y 5 sen u, donde u es una función derivable de x, entonces, por la regla de la cadena, dy dy du du − − cos u dx du dx dx d du ssen ud − cos u dx dx

Por lo que

De modo semejante, todas las fórmulas para derivar funciones trigonométricas se pueden combinar con la regla de la cadena. Se hace explícito el caso especial de la regla de la cadena donde la función exterior f es una función potencia. Si y 5 [g(x)]n, entonces se puede escribir y 5 f(u) 5 u n donde u 5 g(x). Si se aplica la regla de la cadena y luego la regla de la potencia, se obtiene dy dy du du − − nu n21 − nftsxdg n21 t9sxd dx du dx dx 4 Regla de la potencia combinada con la regla de la cadena Si n es cualquier número real y u 5 g(x) es derivable, entonces d du su n d − nu n21 dx dx De modo alternativo,

d ftsxdg n − nftsxdg n21 ? t9sxd dx

Observe que la derivada en el ejemplo 1 pudo calcularla tomando n − 12 en la regla 4.

Stewart_ch03_200-209.indd 200

09/06/17 1:52 a.m.

201

SECCIÓN 3.4 La regla de la cadena

EJEMPLO 3 Derive y 5 (x 3 2 1)100. SOLUCIÓN Haciendo u 5 g(x) 5 x 3 2 1 y n 5 100 en (4), se tiene

dy d d − sx 3 2 1d100 − 100sx 3 2 1d99 sx 3 2 1d dx dx dx − 100sx 3 2 1d99 ? 3x 2 − 300x 2sx 3 2 1d99 1 . sx 1 x 1 1

EJEMPLO 4 Encuentre f9(x) si f sxd −

3

2

SOLUCIÓN En primer lugar, reescriba a f:

Así

n

f sxd − sx 2 1 x 1 1d21y3

f 9sxd − 213 sx 2 1 x 1 1d24y3

d sx 2 1 x 1 1d dx

− 213 sx 2 1 x 1 1d24y3s2x 1 1d

n

EJEMPLO 5 Encuentre la derivada de la función tstd −

S D t22 2t 1 1

9

SOLUCIÓN Si se combinan la regla de la potencia, la regla de la cadena y la regla del cociente, se obtiene

S D S D S D

t9std − 9

t22 2t 1 1

8

d dt

t22 2t 1 1

8

−9

s2t 1 1d ? 1 2 2st 2 2d 45st 2 2d8 − 2 s2t 1 1d s2t 1 1d10

t22 2t 1 1

n

EJEMPLO 6 Derive y 5 (2x 1 1)5(x3 2 x 1 1)4. En la figura 1 se muestran las gráficas de las funciones y y y9 del ejemplo 6. Observe que y9 es grande cuando y crece con rapidez, y y9 5 0 cuando y tiene una recta tangente horizontal. Por lo que la respuesta parece ser razonable.

SOLUCIÓN En este ejemplo se debe aplicar la regla del producto antes de aplicar la regla de la cadena:

dy d d − s2x 1 1d5 sx 3 2 x 1 1d4 1 sx 3 2 x 1 1d4 s2x 1 1d5 dx dx dx − s2x 1 1d5 ? 4sx 3 2 x 1 1d3

1 sx 3 2 x 1 1d4 ? 5s2x 1 1d4

10

yª 1

y _10

Stewart_ch03_200-209.indd 201

d s2x 1 1d dx

− 4s2x 1 1d5sx 3 2 x 1 1d3s3x 2 2 1d 1 5sx 3 2 x 1 1d4s2x 1 1d4 ? 2

_2

FIGURA 1

d sx 3 2 x 1 1d dx

Observe que cada término tiene el factor común 2(2x 1 1)4(x 3 2 x 1 1)3, por lo que se puede factorizar y escribir la respuesta como dy − 2s2x 1 1d4sx 3 2 x 1 1d3s17x 3 1 6x 2 2 9x 1 3d dx

n

09/06/17 1:52 a.m.

202

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

EJEMPLO 7 Derive y 5 esen x. SOLUCIÓN En este caso la función interior es g(x) 5 sen x, y la exterior es la función exponencial f(x) 5 e x. Por tanto, por la regla de la cadena, Más generalmente, la regla de la cadena da: d u du se d − e u dx dx

dy d d − se senx d − e senx ssen xd − e senx cos x dx dx dx

n

Se puede aplicar la regla de la cadena para derivar una función exponencial con cualquier base b . 0. Recuerde, por lo visto en la sección 1.5, que b 5 eln b. De este modo, b x − se ln b d x − e sln bdx y la regla de la cadena da d d d sb x d − se sln bdx d − e sln bdx sln bdx dx dx dx − e sln bdx ∙ ln b − b x ln b porque ln b es una constante. Por lo que se tiene la fórmula

No confunda la fórmula 5 (donde x es el exponente) con la regla de la potencia (donde x es la base): d sx n d − nx n21 dx

5

d sb x d − b x ln b dx

En particular, si b 5 2, se obtiene 6

d s2 x d − 2 x ln 2 dx

En la sección 3.1, se dio la estimación d s2 x d < s0.69d2 x dx Esto resulta coherente con la fórmula exacta (6) porque ln 2 < 0.693147. La razón para el nombre “regla de la cadena” queda clara cuando se ve como analogía de agregar eslabones para alargar una cadena. Suponga que y 5 f(u), u 5 g(x), y x 5 h(t), donde f, g y h son funciones derivables. Entonces, para calcular la derivada de y respecto a t, se utiliza dos veces la regla de la cadena: dy dy dx dy du dx − − dt dx dt du dx dt

EJEMPLO 8 Si f(x) 5 sen(cos(tan x)), entonces f 9sxd − cosscosstan xdd

d cosstan xd dx

− cosscosstan xddf2senstan xdg

d stan xd dx

− 2cosscosstan xdd senstan xd sec2x Observe que se ha aplicado dos veces la regla de la cadena.

Stewart_ch03_200-209.indd 202

n

09/06/17 1:52 a.m.

SECCIÓN 3.4 La regla de la cadena

203

EJEMPLO 9 Derive y 5 esec 3u. SOLUCIÓN La función exterior es la función exponencial, la función de en medio es la función secante y la función interna es el triple de la función. Por lo que

dy d − e sec 3 ssec 3d d d − e sec 3 sec 3 tan 3

d s3d d

− 3e sec 3 sec 3 tan 3

n

Cómo demostrar la regla de la cadena Recuerde que si y 5 f(x) y x cambia de a a a 1 Dx, se define el incremento de y como Dy 5 f(a 1 Dx) 2 f(a) De acuerdo con la definición de derivada, se tiene que lím

Dx = 0

Dy − f 9sad Dx

Por lo que, si se denota por e el cociente de diferencias y la derivada, se obtiene lím « − lím

Dx = 0

pero

«−

Dx = 0

S

D

Dy 2 f 9sad − f 9sad 2 f 9sad − 0 Dx

Dy 2 f 9sad Dx

Dy − f 9sad Dx 1 « Dx

Si se define e como 0 cuando Dx 5 0, entonces e se convierte en una función continua de Dx. Por lo que, para una función derivable f, se puede escribir 7

Dy − f 9sad Dx 1 « Dx

donde

« : 0 cuando Dx : 0

y e es una función continua de Dx. Esta propiedad de las funciones derivables es lo que permite demostrar la regla de la cadena. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Suponga que u 5 g(x) es derivable en a y y 5 f(u) es derivable en b 5 g(a). Si Dx es un incremento en x, y Du y Dy son los incrementos correspondientes en u y y, entonces se puede aplicar la ecuación 7 para escribir

8

Du − t9sad Dx 1 «1 Dx − ft9sad 1 «1 g Dx

donde e1 : 0 conforme Dx : 0. De manera análoga, 9

Dy − f 9sbd Du 1 «2 Du − f f 9sbd 1 «2 g Du

donde e2 : 0 conforme Du : 0. Si ahora se sustituye la expresión para Du de la ecuación 8 en la ecuación 9, se obtiene Dy − f f 9sbd 1 «2 gft9sad 1 «1 g Dx

Stewart_ch03_200-209.indd 203

09/06/17 1:52 a.m.

204

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Dy − f f 9sbd 1 «2 gft9sad 1 «1 g Dx

por lo que

A medida que Dx : 0, la ecuación 8 muestra que Du : 0. Por tanto e1 : 0 como e2 : 0 cuando Dx : 0. Por tanto Dy dy − lím − lím f f 9sbd 1 «2 gft9sad 1 «1 g Dx = 0 Dx Dx = 0 dx − f 9sbd t9sad − f 9stsadd t9sad Esto demuestra la regla de la cadena.

n

3.4 EJERCICIOS 1–6 Escriba la función compuesta en la forma f(g(x)). [Identifique la función interior u 5 g(x) y la exterior y 5 f(u)]. Luego, encuentre la derivada [email protected] de cada una de las funciones siguientes. 1. y − sen 4x

2. y − s4 1 3x

3. y − s1 2 x 2 d10

4. y − tanssen xd

5. y − e sx

6. y − s2 2 e x

7–46 Obtenga la derivada de cada una de las funciones siguientes. 7. Fsxd − s5x 1 2x d 6

3 4

8. Fsxd − s1 1 x 1 x d

12. ts d − cos2

11. f s d − coss 2 d

14. f std − t sen

2 23x

13. y − x e

16. tsxd − e

15. f std − e sen bt at

32. Fstd −

33. Gsxd − 4 Cyx

34. Us yd −

35. y − senstan 2xd

36. y − sec 2 sm d

37. y − cot 2ssen d

38. y − s1 1 xe22x

39. f std − tanssecscos tdd

40. y − e sen 2x 1 sense 2x d

41. f std − tanse t d 1 e tan t

42. y − senssenssen xdd

43. tsxd − s2ra rx 1 nd p

44. y − 2 3

45. y − cos ssenstan xd

46. y − fx 1 sx 1 sen2 xd3 g 4

st 1 1 3

S D y4 1 1 y2 1 1

5

2 99

1 10. f sxd − 3 2 sx 2 1

9. f sxd − s5x 1 1

t2

31. Fstd − e t sen 2t

t

4x

x 2 2x

47–50 Encuentre y9 y y 99.

17. f sxd − s2x 2 3d4 sx 2 1 x 1 1d5

1 s1 1 tan xd 2

18. tsxd − sx 2 1 1d3 sx 2 1 2d6

47. y − cosssen 3 d

48. y −

19. hstd − st 1 1d2y3 s2t 2 2 1d3

49. y − s1 2 sec t

50. y − e e

x

20. Fstd − s3t 2 1d4 s2t 1 1d23 21. y −

Î

23. y − e tan 25. tsud −

S D

x x11

S

u3 2 1 u3 1 1

22. y − x 1

D

27. rstd − 10 2st 29. Hsrd −

sr 2 2 1d 3 s2r 1 1d 5

Stewart_ch03_200-209.indd 204

24. f std − 2 t

8

26. sstd −

1 x

5

51. y − 2 x, s0, 1d

3

Î

51–54 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

1 1 sen t 1 1 cos t

28. f szd − e zysz21d 30. Js d − tan 2 sn d

53. y − senssen xd, s , 0d

52. y − s1 1 x 3 , 54. y − xe

2x 2

s2, 3d

, s0, 0d

55. (a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 [email protected](1 1 e2x) en el punto (0, 1). (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de la curva y la recta ; tangente, en la misma pantalla.

09/06/17 1:52 a.m.

205

SECCIÓN 3.4 La regla de la cadena

56. (a) La curva y 5 u x u !2 2 x2 se llama curva nariz de bala. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1). (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de la curva y la ; recta tangente, en la misma pantalla.

66. Si f es la función cuya gráfica se muestra, sea h(x) 5 f(f(x)) y g(x) 5 f(x2). Utilice la gráfica de f para calcular el valor de cada derivada. (a) h9s2d (b) g9(2)

57. (a) Si f(x) 5 x !2 2 x2, encuentre f9(x). (b) Verifique que su respuesta al inciso (a) es razonable ; comparando las gráficas de f y f9.

y

; 58. La función f(x) 5 sen(x 1 sen 2x), 0 < x < p), surge en aplicaciones a la sintonía de frecuencia modulada (fm). (a) Utilice una gráfica de f producida por una calculadora graficadora para realizar un trazo aproximado de la gráfica de f9. (b) Calcule f9(x) y utilice esta expresión, para trazar la gráfica de f9 con una calculadora graficadora. Compare con su trazo del inciso (a).

1

y=ƒ

0

1

x

67. Si g(x) 5 !f(x), donde f es la gráfica que se muestra, evalúe g9(3). y

59. Encuentre todos los puntos sobre la gráfica de la función f(x) 5 2 sen x 1 sen2x en los cuales la recta tangente es horizontal. 60. ¿En qué puntos de la curva y 5 !1 1 2x, es la recta tangente perpendicular a la recta 6x 1 2y 5 1?

61. Si F(x) 5 f(g(x)), donde f(22) 5 8, f9(22) 5 4, f9(5) 5 3, g(5) 5 22, y g9(5) 5 6, determine F9(5).

62. Si h(x) 5 !4 1 3f(x), donde f(1) 5 7 y f9(1) 5 4, determine h9(1). 63. Se da una tabla de valores de f, g, f9 y g9. x

f sxd

g (x)

f 9sxd

g9(x)

1 2 3

3 1 7

2 8 2

4 5 7

6 7 9

(a) Si h(x) 5 f(g(x)), encuentre h9(1). (b) Si H(x) 5 g(f(x)), determine H9(1).

1

x

68. Suponga que f es derivable en  y a es un número real. Sea F(x) 5 f(x a) y y G(x) 5 [f(x)]a. Encuentre expresiones para (a) F9(x) y (b) G9(x). 69. Suponga que f es derivable en . Sea F(x) 5 f(ex) y G(x) 5 e f (x). Encuentre expresiones para (a) F9(x) y (b) G9(x). 70. Sea g(x) 5 e cx 1 f(x) y h(x) 5 e k xf(x), donde f(0) 5 3, f9(0) 5 5, y f 0(0) 5 22. (a) Encuentre g9(0) y g 0(0) en términos de c. (b) En términos de k, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de h en el punto donde x 5 0.

72. Si g es una función dos veces derivable y f(x) 5 xg(x 2), determine f 0 en términos de g, g9 y g 0.

65. Sean f y g las funciones cuyas gráficas se muestran; sea u(x) 5 f(g(x)), √(x) 5 g(f(x)) y w(x) 5 g(g(x)). Encuentre, si existe, cada derivada. Si no existe, explique por qué. (a) u9(1) (b) v9(1) (c) w9(1)

73. Si F(x) 5 f(3f(4f(x))), donde f(0) 5 0 y f9(0) 5 2, encuentre F9(0). 74. Si F(x) 5 f(xf(xf(x))), donde f(1) 5 2, f(2) 5 3, f9(1) 5 4, f9(2) 5 5 y f9(3) 5 6, determine F9(1). 75. Demuestre que la función y 5 e 2 x(A cos 3x 1 B sen 3x) satisface la ecuación diferencial y 02 4y9 1 13y 5 0.

y

f

76. ¿Para qué valores de r la función y 5 e r x satisface la ecuación diferencial y 02 4y9 1 y 5 0? g

1

Stewart_ch03_200-209.indd 205

0

71. Si r(x) 5 f(g(h(x))), donde h(1) 5 2, g(2) 5 3, h9(1) 5 4, g9(2) 5 5 y f9(3) 5 6, encuentre r9(1).

64. Sean f y g las funciones del ejercicio 63. (a) Si F(x) 5 f(f(x)), encuentre F9(2). (b) Si G(x) 5 g(g(x)), encuentre G9(3).

0

f

1

1

77. Encuentre la derivada cincuenta de y 5 cos 2x. x

78. Encuentre la derivada mil de f(x) 5 xe2x.

09/06/17 1:52 a.m.

206

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

79. El desplazamiento de una partícula sobre una cuerda ; vibrante está dada por la ecuación s(t) 5 10 1 14 sen(10pt) donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad de la partícula después de t segundos. 80. Si la ecuación del movimiento de una partícula está dada por s 5 A cos(vt 1 d), se dice que la partícula describe un movimiento armónico simple. (a) Encuentre la velocidad de la partícula en el instante t. (b) ¿Cuándo es 0 la velocidad? 81. Una estrella variable Cefeida tiene una brillantez que aumenta y disminuye de manera alternada. La estrella de ese tipo más visible es Delta Cefeida, para la cual el intervalo entre los momentos de máxima brillantez es de 5.4 días. La brillantez promedio de esta estrella es de 4.0, y cambia en 60.35. En vista de estos datos, la brillantez de Delta Cefeida en el tiempo t, donde t se mide en días, se ha modelado por la función Bstd − 4.0 1 0.35 sen

S D 2 t 5.4

(a) Determine la razón de cambio de la brillantez después de t días. (b) Encuentre, la razón de aumento después de un día, redondeada a dos decimales. 82. En el ejemplo 1.3.4, se obtuvo un modelo para la duración de la luz diurna (en horas) en Ankara, Turquía, en el t-ésimo día del año: Lstd − 12 1 2.8 sen

F

2 st 2 80d 365

G

Utilice este modelo para comparar cómo aumentan las horas de luz diurna en Ankara el 21 de marzo y el 21 de mayo. ; 83. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de fricción o una fuerza de amortiguamiento (como un amortiguador en un automóvil) se modela a menudo mediante el producto de una función exponencial y una función seno o coseno. Suponga que la ecuación del movimiento de un punto sobre tal resorte es

(c) Grafique p para el caso en que a 5 10, k 5 0.5, con t medido en horas. Utilice la gráfica para calcular cuánto tiempo transcurrirá para que 80% de la población escuche el rumor. 85. La concentración de alcohol en sangre (bac, por su sigla en inglés) de ocho sujetos masculinos se midió después del consumo de 15 mL de etanol (correspondiente a una bebida alcohólica). Los datos resultantes fueron modelados por la función de la concentración Cstd − 0.0225te 20.0467t donde t se mide en minutos después del consumo y C se mide en [email protected] (a) ¿Qué tan rápido aumentó la bac después de 10 minutos? (b) ¿Qué tan rápido disminuyó una media hora más tarde? Fuente: Adaptado de P. Wilkinson et al., “Pharmacokinetics of Ethanol after Oral Administration in the Fasting State,” Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 5 (1977): 207–224.

86. En la sección 1.4 se modeló la población mundial de 1900 a 2010 con la función exponencial Pstd − s1436.53d ? s1.01395d t donde t 5 0 corresponde al año 1900 y P(t) se mide en millones. De acuerdo con este modelo, ¿cuál fue la razón de incremento de la población mundial en 1920? ¿En 1950? ¿Y en el año 2000? 87. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con desplazamiento s(t), velocidad √(t) y aceleración a(t). Demuestre que astd − vstd

dv ds

Explique la diferencia entre los significados de las derivadas d√@dt y d√@ds. 88. Se bombea aire dentro de un globo esférico para el clima. En cualquier tiempo t, el volumen del globo es V(t), y su radio es r(t). (a) ¿Qué representan las derivadas [email protected] y [email protected]? (b) Exprese [email protected] en términos de [email protected]

; 89. El flash de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un capacitor y su liberación repentina cuando se activa el obturador. Los datos siguientes describen la carga Q donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la que queda en el capacitor (en microcoulombs, mC) en el velocidad después que transcurren t segundos y grafique las instante t (en segundos). funciones de posición y de velocidad para 0 < t < 2. s(t) 5 2e21.5t sen 2pt

84. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce de acuerdo con la ecuación pstd −

1 1 1 ae 2k t

donde p(t) es la proporción de la población que lo conoce en el tiempo t, y a y k son constantes positivas. [En la sección 9.4 se verá que esta es una ecuación razonable para p(t).] (a) Encuentre lím t : ` p(t). (b) Determine la rapidez de esparcimiento del rumor.

Stewart_ch03_200-209.indd 206

t

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Q

100.00

81.87

67.03

54.88

44.93

36.76

(a) Determine, usando una calculadora graficadora o una computadora, un modelo exponencial para la carga. (b) La derivada Q9(t) representa la corriente eléctrica (en microamperes, mA) que fluye del capacitor hacia el bulbo del flash. Con el resultado del inciso (a), estime la corriente cuando t 5 0.04 s. Compare la respuesta con el resultado del ejemplo 2.1.2.

09/06/17 1:52 a.m.

207

SECCIÓN 3.4 La regla de la cadena

; 90. En la tabla se presenta la población de México (millones) en los años censados en el siglo xx. Año

Población

Año

Población

1900

13.6

1960

34.9

1910

15.2

1970

48.2

1920

14.3

1980

66.8

94. Utilice la regla de la cadena y la regla del producto para obtener una demostración alternativa de la regla del cociente. [Sugerencia: escriba f(x)@g(x) 5 f(x)[g(x)]21.]

1930

16.6

1990

81.2

95. (a) Si n es un entero positivo, demuestre que

1940

19.7

2000

97.5

1950

25.8

(a) Use una calculadora graficadora o una computadora para ubicar los datos con una función exponencial. Trace los puntos correspondientes a los datos y el modelo exponencial. ¿Qué tan bien ajustan? (b) Estime las tasas de crecimiento de la población en 1950 y 1960 promediando las pendientes de las rectas secantes. (c) Use el modelo exponencial del inciso (a) para estimar las tasas de crecimiento de la población mexicana en el siglo xx. (d) Utilice el modelo exponencial del inciso (c) para predecir las tasas de crecimiento de la población en 1950 y 1960. Compare con sus estimaciones del inciso (b). SAC

SAC

93. Mediante la regla de la cadena demuestre lo siguiente. (a) La derivada de una función par es una función impar. (b) La derivada de una función impar es una función par.

91. Los sistemas algebraicos computacionales (sac) tienen comandos que derivan funciones, pero la forma de la respuesta quizá no convenga; en consecuencia, pueden ser necesarios otros comandos para simplificarla. (a) Use un sac para determinar la derivada del ejemplo 5 y compárela con la respuesta en ese ejemplo. Después, use el comando de simplificación y vuelva a comparar. (b) Utilice un sac para derivar la función del ejemplo 6. ¿Qué sucede si usa el comando de simplificación? ¿Qué ocurre si emplea el comando de factorización? ¿Cuál forma de la respuesta sería la mejor para localizar las rectas tangentes horizontales? 92. (a) Use un sac para derivar la función f sxd −

Î

x4 2 x 1 1 x4 1 x 1 1

y simplificar el resultado. (b) ¿En dónde tiene la gráfica de f rectas tangentes horizontales? (c) Trace las gráficas de f y f9 en la misma pantalla. ¿Son coherentes las gráficas con su respuesta al inciso (b)?

Stewart_ch03_200-209.indd 207

d ssen n x cos nxd − n sen n21x cossn 1 1dx dx (b) Determine una fórmula para la derivada de y 5 cos n x cos nx que es similar a la del inciso (a). 96. Suponga que y 5 f(x) es una curva que siempre queda arriba del eje x y nunca tiene una recta tangente horizontal, donde f es derivable para toda x. ¿Para qué valor de y la razón de cambio de y 5 respecto a x es 80 veces la razón de cambio de y respecto a x? 97. Use la regla de la cadena para demostrar que si u se mide en grados, entonces d ssen d − cos d 180 (Esto da un argumento para justificar la convención de que siempre se use el radián cuando se manejen funciones trigonométricas en cálculo: las fórmulas de derivación no serían tan sencillas si usara el grado como medida.) 98. (a) Escriba u x u5 !x2 y utilice la regla de la cadena para demostrar que d x − dx

| |

x x

| |

(b) Si f(x) 5 u sen x u, encuentre f9(x) y trace las gráficas de f y f9. ¿En dónde f no es derivable? (c) Si g(x) 5 senu x u, determine g9(x) y trace las gráficas de g y g9. ¿En dónde g no es derivable? 99. Si y 5 f(u) y u 5 g(x), donde f y g son funciones dos veces derivables, demuestre que d2y d2y 2 − dx du 2

S D du dx

2

1

dy d 2u du dx 2

100. Si y 5 f(u) y u 5 g(x), donde f y g tienen tercera derivada, obtenga una fórmula para d [email protected] 3 parecida a la que se da en el ejercicio 99.

09/06/17 1:52 a.m.

208

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

PROYECTO DE APLICACIÓN ¿DÓNDE DEBERÍA UN PILOTO INICIAR EL DESCENSO? En la figura se muestra una trayectoria de aproximación para el aterrizaje de un avión, que satisface las condiciones siguientes:

y

(i) La altura de crucero es h cuando se inicia el descenso a una distancia , del punto de contacto con la pista en el origen. y=P(x)

(ii) El piloto debe mantener una rapidez horizontal constante en todo el descenso.

h

(iii) El valor absoluto de la aceleración vertical no debe sobrepasar una constante k (la cual es mucho menor que la aceleración debida a la gravedad). 0

x



1. Encuentre un polinomio cúbico P(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d que satisfaga la condición (i), imponiendo condiciones adecuadas sobre P(x) y P9(x) en el inicio del descenso y el contacto con la pista. 2. Use las condiciones (ii) y (iii) para demostrar que 6h v 2
3.5 Derivación implícita Las funciones que se han encontrado hasta ahora se pueden describir expresando una variable explícitamente en términos de la otra variable, por ejemplo, y 5 !x3 1 1

o

y 5 x sen x

o, en general, y 5 f(x). Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por medio de una relación entre x y y como 1

x 2 1 y 2 − 25

2

x 3 1 y 3 − 6xy

o

En algunos casos, es posible resolver una ecuación de ese tipo para y como una función explícita (o varias funciones) de x. Por ejemplo, si se resuelve la ecuación 1 para y, se obtiene y 5 6!25 2 x 2, por lo que dos de las funciones determinadas por la ecuación implícita 1 son f(x) 5 !25 2 x 2 y g(x) 5 2!25 2 x 2. Las gráficas de f y g son las semicircunferencias superior e inferior de la circunferencia x 2 1 y 2 5 25. (Véase la figura 1.) y

0

FIGURA 1

Stewart_ch03_200-209.indd 208

(a) ≈+¥=25

y

x

0

25-≈ (b) ƒ=œ„„„„„„

y

x

0

x

25-≈ (c) ©=_ œ„„„„„„

09/06/17 1:52 a.m.

SECCIÓN 3.5 Derivación implícita

209

No es fácil resolver explícitamente la ecuación 2 para y como función x. (Con un sistema algebraico computacional no hay dificultad, pero las expresiones que se obtienen son muy complicadas). Sin embargo, (2) es la ecuación de una curva llamada folium de Descartes, que se muestra en la figura 2 y, que de manera implícita define a y como varias funciones de x. En la figura 3 se muestran las gráficas de esas tres funciones. Cuando se dice que f es una función definida implícitamente por la ecuación 2, significa que la ecuación x 3 1 f f sxdg 3 − 6x f sxd es verdadera para todos los valores de x en el dominio de f. y

y

y

y

˛+Á=6xy

0

x

FIGURA 2 Folium de Descartes

0

0

x

x

0

x

FIGURA 3 Gráficas de tres funciones definidas por el folium de Descartes

Por fortuna, no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x para determinar la derivada de y. En lugar de ello, se aplica el método de derivación implícita. Este método consiste en derivar ambos miembros de la ecuación respecto a x y después resolver la ecuación resultante para y9. En los ejemplos y ejercicios de esta sección, siempre se supone que la ecuación dada determina a y implícitamente como una función derivable de x, por lo que se puede aplicar el método de derivación implícita.

EJEMPLO 1

dy . dx (b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2 1 y 2 5 25, en el punto (3, 4).

(a) Si x 2 1 y 2 5 25, encuentre

SOLUCIÓN 1

(a) Derive ambos miembros de la ecuación x 2 1 y 2 5 25: d d sx 2 1 y 2 d − s25d dx dx d d sx 2 d 1 sy 2 d − 0 dx dx Recuerde que y es una función de x, por lo que hay que utilizar la regla de la cadena para obtener d d dy dy sy 2 d − sy 2 d − 2y dx dy dx dx Por tanto

Stewart_ch03_200-209.indd 209

2x 1 2y

dy −0 dx

09/06/17 1:52 a.m.

210

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Ahora se resuelve esta ecuación para [email protected]: dy x −2 dx y (b) En el punto (3, 4) se tiene que x 5 3 y y 5 4, por lo que dy 3 −2 dx 4 Por tanto, la ecuación de la tangente a la circunferencia, en (3, 4), es y 2 4 − 234 sx 2 3d

o

3x 1 4y − 25

SOLUCIÓN 2

(b) Al resolver x 2 1 y 2 5 25, para y, se obtiene y 5 6!25 2 x 2. El punto (3, 4) se encuentra en la semicircunferencia superior y 5 !25 2 x 2 y, por consiguiente, considere la función f(x) 5 !25 2 x 2. Al derivar f usando la regla de la cadena, se tiene f 9sxd − 12 s25 2 x 2 d21y2

d s25 2 x 2 d dx

− 12 s25 2 x 2 d21y2s22xd − 2 En el ejemplo 1 se ilustra que aun cuando es posible resolver una ecuación explícita para y en términos de x puede ser más fácil aplicar la derivación implícita.

Por lo que

f 9s3d − 2

x s25 2 x 2

3 3 −2 2 4 s25 2 3

y, como en la solución 1, la ecuación de la recta tangente es 3x 1 4y 5 25.

n

NOTA 1 La expresión [email protected] 5 [email protected] en la solución 1 da la derivada en términos tanto de x como de y. Esto es correcto sin importar cuál función y queda determinada por la ecuación dada. Por ejemplo, para y 5 f(x) 5 !25 2 x 2 se tiene dy x x −2 −2 dx y s25 2 x 2

en tanto que para y 5 g(x) 5 2!25 2 x 2 se tiene

dy x x x −2 −2 − 2 dx y 2s25 2 x s25 2 x 2

EJEMPLO 2 (a) Encuentre y9 si x 3 1 y 3 5 6xy. (b) Determine la recta tangente al folium de Descartes x 3 1 y 3 5 6xy, en el punto (3, 3). (c) ¿En cuál punto en el primer cuadrante es horizontal la recta tangente? SOLUCIÓN

(a) Si se derivan ambos miembros de x 3 1 y 3 5 6xy respecto a x, considerando a y como función de x, y usando la regla de la cadena en el término y 3, y la regla del producto en el término 6xy, se obtiene 3x 2 1 3y 2 y9 − 6xy9 1 6y o

Stewart_ch03_210-219.indd 210

x 2 1 y 2 y9 − 2xy9 1 2y

09/06/17 2:16 a.m.

211

SECCIÓN 3.5 Derivación implícita

y 2 y9 2 2xy9 − 2y 2 x 2

Ahora se resuelve para y9:

sy 2 2 2xdy9 − 2y 2 x 2 y

y9 −

(3,  3)

0

2y 2 x 2 y 2 2 2x

(b) Cuando x 5 y 5 3,

x

y9 − FIGURA 4

2 ? 3 2 32 − 21 32 2 2 ? 3

un vistazo a la figura 4 confirma que es un valor razonable para la pendiente en (3, 3). Por lo que, la ecuación de la recta tangente al folium en (3, 3) es y 2 3 − 21sx 2 3d

4

o

x1y−6

(c) La recta tangente es horizontal si y9 5 0. Si se utiliza la expresión para y9 del inciso (a), se observa que y9 5 0 cuando 2y 2 x 2 5 0 (siempre que y 2 2 2x  0). Al sustituir y − 12 x 2 en la ecuación de la curva, se obtiene x 3 1 ( 12 x 2) − 6x ( 12 x 2) 3

4

0

FIGURA 5

lo cual se simplifica para quedar x 6 5 16x 3. Ya que x  0 en el primer cuadrante, se tiene x 3 5 16. Si x 5 [email protected] 5 [email protected], entonces y − 12 s2 8y3 d − 2 5y3. Por tanto, la recta tangente es horizontal en ([email protected], [email protected]) que es aproximadamente (2.5198, 3.1748). Al estudiar la figura 5, es claro que la respuesta es razonable. n NOTA 2 Existe una fórmula para obtener las tres raíces de una ecuación cúbica, que es semejante a la fórmula cuadrática, pero mucho más complicada. Si se utiliza esta fórmula (o un sistema algebraico computacional) para resolver la ecuación x 3 1 y 3 5 6xy para y en términos de x, se obtienen tres funciones determinadas por la ecuación: 3 3 221 x 3 1 s14 x 6 2 8x 3 1 s 221 x 3 2 s14 x 6 2 8x 3 y − f sxd − s

Abel y Galois En 1824, el matemático noruego Niels Abel demostró que no puede darse una fórmula general para la obtención de las raíces de una ecuación de quinto grado. Tiempo después, el matemático francés Evariste Galois demostró que es imposible determinar una fórmula general para las raíces de una ecuación de n-ésimo grado (en términos de operaciones algebraicas sobre los coeficientes), si n es cualquier entero mayor que 4.

y y−

1 2

f2f sxd 6 s23 (s221 x 3

3

3 1 s14 x 6 2 8x 3 2 s 221 x 3 2 s14 x 6 2 8x 3

)g

(Estas son las tres funciones cuyas gráficas se muestran en la figura 3.) Usted puede ver que el método de la derivación implícita ahorra una cantidad enorme de trabajo en casos como este. Más aún, la derivación implícita funciona con igual facilidad para ecuaciones como y 5 1 3x 2 y 2 1 5x 4 − 12 en las cuales es imposible determinar una expresión similar para y en términos de x.

EJEMPLO 3 Encuentre y9 si sen(x 1 y) 5 y 2 cos x. SOLUCIÓN Si se deriva implícitamente respecto a x y se considera que y es una función de x, se obtiene

cossx 1 yd ? s1 1 y9d − y 2s2sen xd 1 scos xds2yy9d

Stewart_ch03_210-219.indd 211

09/06/17 2:16 a.m.

212

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

(Note que en el lado izquierdo se ha aplicado la regla de la cadena y, en el derecho, la regla de la cadena y la regla del producto). Si se agrupa los términos que contienen a y9, se obtiene

2

cossx 1 yd 1 y 2 sen x − s2y cos xdy9 2 cossx 1 yd ? y9 _2

2

y9 −

Por tanto

y 2 sen x 1 cossx 1 yd 2y cos x 2 cossx 1 yd

En la figura 6, trazada con la instrucción de construcción de gráficas en forma implícita de un sistema algebraico computacional, se muestra parte de la curva sen(x 1 y) 5 y 2 cos x. Como comprobación del cálculo, se observa que y9 5 21, cuando x 5 y 5 0 y, al parecer de la gráfica, la pendiente es aproximadamente 21 en el origen. n

_2

FIGURA 6

Las figuras 7, 8 y 9 muestran tres curvas más, producidas por computadora. En los ejercicios 41-42 se tendrá oportunidad de crear y analizar curvas atípicas de esta naturaleza. 4

_4

15

4

12

_15

15

_4

_12

_15

FIGURA 7 sx 2 2 1dsx 2 2 4dsx 2 2 9d − y 2 s y 2 2 4ds y 2 2 9d

12

_12

FIGURA 8 cos(x 2 sen y) 5 sen(y 2 sen x)

FIGURA 9 sen(xy) 5 sen x 1 sen y

En el siguiente ejemplo se muestra cómo encontrar la segunda derivada de una función que está definida implícitamente.

EJEMPLO 4 Determinar y 0 si x 4 1 y 4 5 16. SOLUCIÓN Derivando la ecuación de manera implícita respecto a x, se obtiene

4x 3 1 4y 3 y9 − 0 Resolviendo para y9 se obtiene 3

y9 − 2

x3 y3

Para determinar y 0 se deriva esta expresión para y9 aplicando la regla del cociente, considerando que y es una función de x: y99 −

d dx

−2

Stewart_ch03_210-219.indd 212

S D 2

x3 y3

−2

y 3 sdydxdsx 3 d 2 x 3 sdydxdsy 3 d sy 3 d2

y 3 ? 3x 2 2 x 3s3y 2 y9d y6

09/06/17 2:16 a.m.

SECCIÓN 3.5 Derivación implícita

213

Si se sustituye la ecuación 3 en esta expresión, se obtiene

S D

3x 2 y 3 2 3x 3 y 2 2 y99 − 2

−2

x3 y3

y6 3sx 2 y 4 1 x 6 d 3x 2sy 4 1 x 4 d − 2 y7 y7

Pero los valores de x y y deben satisfacer la ecuación original x 4 1 y 4 5 16, por lo que la respuesta se simplifica a y99 − 2

3x 2s16d x2 − 248 7 7 y y y

La figura 10 muestra la gráfica de la curva x 4 1 y 4 5 16 del ejemplo 4. Observe que es una versión extendida y achatada de la circunferencia x 2 1 y 2 5 4. Por esta razón algunas veces se le llama circunferencia gorda. Empieza muy empinada a la izquierda, pero rápidamente se hace muy plana. Esto se puede ver en la expresión y9 − 2

SD

x3 x −2 y3 y

3

n

x $+y$ =16

2

2 x

0

FIGURA 10

Derivadas de funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas inversas se repasan en la sección 1.5. En la sección 2.5 se analiza su continuidad, y en la sección 2.6, sus asíntotas. Aquí se usa la derivación implícita para determinar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, suponiendo que estas funciones son derivables. [En efecto, si f es una función inyectiva derivable, se puede demostrar que su función inversa f también es derivable, excepto donde sus rectas tangentes son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no tiene vértices ni giros y, por esta razón, si se refleja a través de y 5 x, la gráfica de su función inversa tampoco tiene vértices ni giros.] Recuerde la definición de la función arco seno: y 5 sen21x

significa

sen y 5 x

y

2

 
Al derivar implícitamente sen y 5 x respecto a x, se obtiene cos y

dy −1 dx

o

dy 1 − dx cos y

Ahora cos y > 0, debido a que [email protected] < y < [email protected], por lo que cos y − s1 2 sen 2 y − s1 2 x 2

Stewart_ch03_210-219.indd 213

09/06/17 2:16 a.m.

214

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

dy 1 1 − − dx cos y s1 2 x 2

El mismo método se puede utilizar para Por tanto determinar una fórmula para la derivada de cualquier función inversa. Véase el ejercicio 77.

En la figura 11 se muestra la gráfica de f(x) 5 tan21x y su derivada f9(x) 5 [email protected](1 1 x2). Observe que f es creciente y f9(x) es siempre positiva. El hecho de que tan21x : 6 [email protected] cuando x : 6 ` se refleja en el hecho de que f9(x) : 0 cuando x : 6 `.

d 1 ssen21xd − dx s1 2 x 2

La fórmula para la derivada de la función arco tangente se obtiene de manera semejante. Si y 5 tan21x, entonces tan y 5 x. Si se deriva esta última ecuación implícitamente respecto a x, se tiene sec2 y

dy 1 1 1 − − − 2 2 dx sec y 1 1 tan y 1 1 x2

1.5 y=

dy −1 dx

y=tan–! x

1 1+≈

_6

6

d 1 stan21xd − dx 1 1 x2

_1.5

FIGURA 11

EJEMPLO 5 Derive (a) y − SOLUCIÓN

(a)

1 y (b) f(x) 5 x arctan!x. sin21x dy d d − ssen21xd21 − 2ssen21xd22 ssen21xd dx dx dx −2

Recuerde que arctan x es una notación alternativa para tan21 x.

(b)

1 ssen xd s1 2 x 2 21

f 9sxd − x



2

1 1 1 (sx ) 2

( 21 x21y2) 1 arctansx

sx 1 arctansx 2s1 1 xd

n

Las funciones trigonométricas inversas que se presentan con mayor frecuencia son las que se acaban de analizar. Las derivadas de las cuatro restantes se presentan en la tabla siguiente. Las demostraciones de las fórmulas se dejan como ejercicios. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Las fórmulas para las derivadas de csc21x y sec21x dependen de las definiciones que se apliquen para estas funciones. Véase el ejercicio 64.

Stewart_ch03_210-219.indd 214

d 1 ssen21xd − dx s1 2 x 2

d 1 scsc21xd − 2 dx x sx 2 2 1

d 1 scos21xd − 2 dx 2 s1 x 2

d 1 ssec21xd − dx x sx 2 2 1

d 1 stan21xd − dx 1 1 x2

d 1 scot21xd − 2 dx 1 1 x2

09/06/17 2:16 a.m.

SECCIÓN 3.5 Derivación implícita

215

3.5 EJERCICIOS 1–4 (a) Encuentre y9 por derivación implícita. (b) Resuelva la ecuación explícita para y y derive para obtener y9 en términos de x. (c) Compruebe la coherencia de sus soluciones en los incisos (a) y (b) sustituyendo la expresión para y en su solución del inciso (a). 2

2

29. x 2 1 y 2 − s2x 2 1 2y 2 2 xd2,

s0, 12 d,

(cardioide)

y

x

2

1. xy 1 2x 1 3x − 4

2. 4x 1 9y − 36

3. sx 1 sy − 1

4.

2 1 2 −4 x y

30. x 2y3 1 y 2y3 − 4,

A23 !3, 1B,

(astroide)

y

5–20 Encuentre [email protected] por derivación implícita. 5. x 2 2 4xy 1 y 2 − 4 4

2

2

6. 2x 2 1 xy 2 y 2 − 2

3

3

7. x 1 x y 1 y − 5 9.

2

10. x 4 sx 1 yd − y 2s3x 2 yd

11. x 2 y 2 1 x sen y − 4

12. 1 1 x − sensxy 2 d

13. sx 1 y − x 4 1 y 4

14. e y sen x − x 1 xy

15. e

x

8

8. x 2 xy 1 y − 1

x2 − y2 1 1 x1y

xyy

0

3

16. xy − sx 1 y 2

−x2y

31. 2sx 2 1 y 2 d2 − 25sx 2 2 y 2 d,

(3, 1),

(lemniscata)

y

x

0 2

17. tan21sx 2 yd − x 1 xy 2

18. x sen y 1 y sen x − 1

19. sensxyd − cossx 1 yd

20. tansx 2 yd −

y 1 1 x2

21. Si f(x) 1 x 2 [f(x)]3 5 10 y f(1) 5 2, encuentre f9(1).

32. y 2s y 2 2 4d − x 2sx 2 2 5d,

(0, 22),

(curva del diablo)

y

x

22. Si g(x) 1 x sen g(x) 5 x 2, determine g9(0). 23–24 Considere y como la variable independiente y x como la variable dependiente y utilice la derivación implícita para calcular [email protected] 23. x 4y 2 2 x 3y 1 2xy 3 − 0

24. y sec x − x tan y

25–32 Utilice la derivación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 25. y sen 2x 5 x cos 2y,

sy2, y4d

26. x 2 1 xy 1 y 2 − 3,

s1, 1d

(elipse)

27. x 2 2 xy 2 y 2 − 1,

s2, 1d

(hipérbola)

28. x 2 1 2xy 1 4y 2 − 12, s2, 1d

Stewart_ch03_210-219.indd 215

(elipse)

33. (a) La curva con ecuación y 2 5 5x 4 2 x 2 se llama campila de Eudoxo. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 2). (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de la curva y la ; recta tangente, en una pantalla común. (Si su dispositivo graficador puede trazar gráficas de curvas definidas implícitamente, entonces utilice esa capacidad. Si no es así, puede trazar esta curva trazando sus mitades superior e inferior por separado.) 34. (a) La curva con ecuación y 2 5 x 3 1 3x 2 se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, 22). (b) ¿En cuáles puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? (c) Ilustre los incisos (a) y (b) trazando la gráfica de la ; curva y las rectas tangentes en una pantalla común.

09/06/17 2:16 a.m.

216

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

35–38 Determine y 0 por derivación implícita.

SAC

35. x 2 1 4y 2 − 4

36. x 2 1 xy 1 y 2 − 3

37. sen y 1 cos x 5 1

38. x 3 2 y 3 − 7

p s pyqd21 x q

y9 −

39. Si xy 1 e y 5 e, encuentre el valor de y 0 en el punto donde x 5 0.

49–60 Determine la derivada de cada una de las funciones siguientes. Simplifique donde sea posible.

40. Si x 2 1 xy 1 y 3 5 1, encuentre el valor de y - en el punto donde x 5 1.

49. y − tan21sx

50. y − stan21x

51. y − sen21s2x 1 1d

52. tsxd − arccos sx

41. Es posible crear formas caprichosas con las capacidades de trazado implícito de los sistemas algebraicos computacionales. (a) Trace la gráfica de la curva con ecuación ys y 2 2 1ds y 2 2d − xsx 2 1dsx 2 2d ¿En cuántos puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? Estime las coordenadas x de estos puntos. (b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (0, 1) y (0, 2). (c) Determine las coordenadas x exactas de los puntos del inciso (a). (d) Cree curvas incluso más caprichosas modificando la ecuación del inciso (a).

SAC

Si y 5 x [email protected], entonces y q 5 x p. Utilizando la derivación implícita demuestre que

42. (a) La curva con ecuación 2y 3 1 y 2 2 y 5 − x 4 2 2x 3 1 x 2 se ha relacionado a un carretón que rebota. Utilice un sistema algebraico computacional para la curva y descubra por qué. (b) ¿En cuántos puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? Encuentre las coordenadas x de estos puntos. 43. Determine los puntos de la lemniscata del ejercicio 31 donde la recta tangente sea horizontal. 44. Demuestre por derivación implícita que la recta tangente a la elipse x2 y2 −1 2 1 a b2 en el punto (x0, y0) es x0 x y0 y 1 2 −1 a2 b

53. Fsxd − x sec 21 sx 3 d 54. y − tan21 s x 2 s1 1 x 2 d 55. hstd − cot21std 1 cot21s1ytd

56. Rstd − arcsens1ytd

57. y − x sen21 x 1 s1 2 x 2

58. y − cos21ssen21 td

S Î

59. y − arccos

60. y − arctan

en el punto (x0, y0). 46. Demuestre que la suma de las intersecciones en x y y de cualquier recta tangente a la curva !x 1 !y 5 !c es igual a c.

47. Demuestre, usando derivación implícita que cualquier recta tangente en un punto P a una circunferencia con centro O es perpendicular al radio OP. 48. La regla de la potencia se puede demostrar por medio de la derivación implícita para el caso donde n es un número racional, n 5 [email protected], y y 5 f(x) 5 xn es una función derivable.

Stewart_ch03_210-219.indd 216

0<x< , a.b.0

12x 11x

; 61–62 Encuentre f9(x). Compruebe si su respuesta es razonable comparando las gráficas de f y f9. 61. f(x) 5 !1 2 x 2 arcsen x

62. f sxd − arctansx 2 2 xd

63. Demuestre la fórmula para ([email protected])(cos21x) por el mismo método utilizado para demostrar ([email protected])(sen21x). 64. (a) Una manera de definir sec21x es decir que y 5 sec21x P Q sec y 5 x y 0  y , [email protected], o p  y , [email protected] Demuestre que, con esta definición d 1 ssec21xd − dx x sx 2 2 1 (b) Otro modo de definir sec21x que se utiliza a veces es decir que y 5 sec21x P Q sec y 5 x y 0  y  p, y  [email protected] Demuestre que, con esta definición d 1 ssec21xd − dx x sx 2 2 1

| |

45. Determine una ecuación para la recta tangente a la hipérbola x2 y2 −1 2 2 a b2

D

b 1 a cos x , a 1 b cos x

65–68 Dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las familias de curvas dadas son trayectorias ortogonales entre sí; es decir, cualquier curva en una familia es ortogonal a cualquier curva en la otra familia. Trace ambas familias de curvas usando los mismos ejes de coordenadas. 65. x 2 1 y 2 − r 2,

ax 1 by − 0

66. x 2 1 y 2 − ax,

x 2 1 y 2 − by

67. y − cx 2,

x 2 1 2y 2 − k

68. y − ax 3,

x 2 1 3y 2 − b

09/06/17 2:16 a.m.

PROYECTO DE LABORATORIO

;

69. Demuestre que la elipse x 2ya 2 1 y 2yb 2 − 1 y la hipérbola x 2yA2 2 y 2yB 2 − 1 son trayectorias ortogonales si A2 , a2 y a2 2 b 2 5 A2 1 B2 (la elipse y la hipérbola tienen los mismos focos).

76. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x2 1 4y2 5 36 que pasan por el punto (12, 3). 77. (a) Suponga que f es una función inyectiva derivable y que su función inversa f21 también es derivable. Utilice la derivación implícita para demostrar que

71. (a) La ecuación de van der Waals para n moles de un gas es P1

D

n 2a sV 2 nbd − nRT V2

s f 21d9sxd −

donde P es la presión, V es el volumen y T es la temperatura del gas. La constante R es la constante universal de los gases, y a y b son constantes positivas que son características de un gas particular. Si T permanece constante, utilice derivación implícita para obtener [email protected] (b) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto a la presión de 1 mol de dióxido de carbono a un volumen de V 5 10 L y una presión de P 5 2.5 atm. Utilice a 5 3.592 [email protected] y b 5 0.04267 [email protected] 72. (a) Utilice derivación implícita para encontrar y9 si x 2 1 xy 1 y 2 1 1 − 0 SAC

(b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de la elipse y la recta normal. 75. Encuentre todos los puntos de la curva x 2 y 2 1 xy 5 2 donde la pendiente de la recta tangente es 21.

70. Encuentre el valor del número a tal que las familias de curvas y 5 (x 1 c)21 y y 5 a(x 1 k)[email protected] son trayectorias ortogonales.

S

(b) Trace la gráfica de la curva del inciso (a). ¿Qué observa? Demuestre que lo que ve es correcto. (c) En vista del inciso (b), ¿qué puede decir acerca de la expresión para y9 que encontró en el inciso (a)?

78. (a) Demuestre que f(x) 5 x 1 ex es inyectiva. (b) ¿Cuál es el valor de f21(1)? (c) Utilice la fórmula del ejercicio 77(a) para determinar (f21)9(1). 79. La función de Bessel de orden 0, y 5 J(x), satisface la ecuación diferencial xy 0 1 y9 1 xy 5 0 para todos los valores de x, y su valor en 0 es J(0) 5 1. (a) Encuentre J9(0). (b) Utilice la derivación implícita para encontrar J 0(0). 80. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia la derecha del eje y y una sombra creada por la región elíptica x 2 1 4y 2 < 5. Si el punto (25, 0) está en el borde de la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara?

74. (a) ¿Dónde interseca por segunda vez la recta normal en el punto (21, 1) a la elipse x 2 2 xy 1 y 2 5 3?

SAC

1 f 9s f 21sxdd

siempre que el denominador sea diferente de 0. (b) Si f(4) 5 5 y f 9s4d − 23, encuentre (f21)9(5).

y

73. La ecuación x 2 2 xy 1 y 2 5 3 representa una “elipse rotada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.

PROYECTO DE LABORATORIO

217

Familias de curvas implícitas

? 0

_5

3

x

≈+4¥=5

FA M I L I A D E C U R VA S I M P L Í C I TA S

En este proyecto se explorarán las formas cambiantes de curvas implícitamente definidas cuando varían las constantes en una familia y se determinarán las características comunes a todas las funciones de la familia. 1. Si se considera la familia de curvas y 2 2 2x 2 sx 1 8d − cfs y 1 1d2 sy 1 9d 2 x 2 g (a) Trazando la gráfica de las curvas con c 5 0 y c 5 2, determine cuántos puntos de intersección hay. (Usted puede hacer acercamientos con el zoom para encontrarlos.) (b) Ahora añada las curvas con c 5 5 y c 5 10 a sus gráficas del inciso (a). ¿Qué observa? ¿Qué pasa con otros valores de c?

Stewart_ch03_210-219.indd 217

09/06/17 2:16 a.m.

218

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

2. (a) Trace la gráfica de varios miembros de la familia de curvas x 2 1 y 2 1 cx 2 y 2 − 1 Describa cómo cambia la gráfica cuando cambia el valor de c. (b) ¿Qué sucede con la curva cuando c 5 21? Describa lo que aparece en la pantalla. ¿Puede probarlo algebraicamente? (c) Encuentre y9 por derivación implícita. Para el caso c 5 21, ¿es coherente la expresión y9 con lo que descubrió en el inciso (b)?

3.6

Derivadas de funciones logarítmicas En esta sección se utilizará la derivación implícita para determinar las derivadas de las funciones logarítmicas y 5 logb x y, en particular, de la función logaritmo natural y 5 ln x. [A partir de sus gráficas, es posible probar que las funciones logarítmicas son derivables (véase la figura 1.5.12).] 1

d 1 slog b xd − dx x ln b

DEMOSTRACIÓN Sea y 5 logb x. Entonces

by 5 x

La fórmula 3.4.5 dice que d sb x d − b x ln b dx

Si mediante la fórmula (3.4.5) se deriva esta ecuación de manera implícita respecto a x, se

obtiene b ysln bd y, por consiguiente,

dy −1 dx

dy 1 1 − y − dx b ln b x ln b

n

Si en la fórmula 1 se hace b 5 e, entonces el factor ln b en el lado derecho se convierte en ln e 5 1 y se obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural loge x 5 ln x: d 1 sln xd − dx x

2

Si se comparan las fórmulas 1 y 2, se evidencia una de las razones principales por la que se usan los logaritmos naturales (logaritmos con base e) en el cálculo. La fórmula de derivación es más sencilla cuando b 5 e, porque ln e 5 1.

EJEMPLO 1 Derive y 5 ln(x3 1 1). SOLUCIÓN Para utilizar la regla de la cadena, se hace u 5 x 3 1 1. Entonces y 5 ln u,

por lo que dy dy du 1 du − − dx du dx u dx −

Stewart_ch03_210-219.indd 218

1 3x 2 s3x 2 d − 3 x 11 x 11 3

n

09/06/17 2:16 a.m.

SECCIÓN 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas

219

En general, si se combina la fórmula 2 con la regla de la cadena como en el ejemplo 1, se obtiene

d 1 du sln ud − dx u dx

3

EJEMPLO 2 Encuentre

o

d t9sxd fln tsxdg − dx tsxd

d ln(sen x). lnssin xd dx

SOLUCIÓN Utilizando (3), se tiene que

d 1 d 1 lnssen xd − ssen xd − cos x − cot x dx sen x dx sen x

n

EJEMPLO 3 Derive f(x) 5 !ln x.

SOLUCIÓN En esta ocasión el logaritmo es la función interior, por lo que la regla de la

cadena da

f 9sxd − 12 sln xd21y2

d 1 1 1 sln xd − ? − dx 2sln x x 2x sln x

n

EJEMPLO 4 Derive f(x) 5 log10(2 1 sen x). SOLUCIÓN Si se usa la fórmula 1 con b 5 10, se tiene

f 9sxd −

En la figura 1 se muestra la gráfica de la función f del ejemplo 5, junto con la gráfica de su derivada. Da una comprobación visual de nuestro cálculo. Observe que f9(x) es grande negativa cuando f está decreciendo con rapidez. y

EJEMPLO 5 Encuentre SOLUCIÓN 1



1 d s2 1 sen xd s2 1 sen xd ln 10 dx



cos x s2 1 sen xd ln 10

d x11 ln − dx sx 2 2

1 x

Stewart_ch03_210-219.indd 219

1 d x11 x 1 1 dx sx 2 2 sx 2 2



sx 2 2 sx 2 2 1 2 sx 1 1d( 12 )sx 2 2d21y2 x11 x22



x 2 2 2 12 sx 1 1d sx 1 1dsx 2 2d



x25 2sx 1 1dsx 2 2d



FIGURA 1

n

d x11 ln . dx sx 2 2

f

0

d log 10s2 1 sen xd dx

09/06/17 2:16 a.m.

220

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

SOLUCIÓN 2 Si primero se simplifica la función dada aplicando las leyes de los logaritmos, entonces la derivación se vuelve más fácil:

d x11 d ln − flnsx 1 1d 2 12 lnsx 2 2dg dx dx sx 2 2 −

1 1 2 x11 2

S D 1 x22

(Esta respuesta se puede dejar como está, pero si se usara un denominador común, se vería que da la misma respuesta en la solución 1). n En la figura 2 se muestra la gráfica de la función f(x) 5 ln u x u del ejemplo 6 y la de su derivada f9(x) 5 [email protected] Observe que cuando x es pequeña, la gráfica de y 5 lnu x u es muy empinada y, así f9(x) es grande (positiva o negativa). 3

EJEMPLO 6 Encuentre f9(x) si f(x) 5 lnuxu: SOLUCIÓN Puesto que

f sxd −

ln x lns2xd

si x . 0 si x , 0

se sigue que 1 si x . 0 x 1 1 s21d − si x , 0 2x x

fª f

f 9sxd −

_3

H

3

Por lo que, f 9(x) 5 [email protected] para todo x  0. _3

n

Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 6:

FIGURA 2

d 1 ln x − dx x

| |

4

Derivación logarítmica Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos. El método que se aplica en el ejemplo siguiente se llama derivación logarítmica.

EJEMPLO 7 Derive y −

x 3y4 sx 2 1 1 . s3x 1 2d5

SOLUCIÓN Tome logaritmos de ambos miembros de la ecuación y aplique las leyes de los logaritmos, para simplificar:

ln y − 34 ln x 1 12 lnsx 2 1 1d 2 5 lns3x 1 2d Al derivar implícitamente respecto a x, se obtiene 1 dy 3 1 1 2x 3 − ? 1 ? 2 25? y dx 4 x 2 x 11 3x 1 2 Al resolver para [email protected], se obtiene

S

dy 3 x 15 −y 1 2 2 dx 4x x 11 3x 1 2

Stewart_ch03_220-229.indd 220

D 09/06/17 2:06 a.m.

221

SECCIÓN 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas

Si no se hubiera utilizado la derivación logarítmica en el ejemplo 7, se habría tenido que aplicar tanto la regla del cociente como la regla del producto. El proceso de cálculo habría sido horrendo.

Puesto que se tiene una expresión explícita para y, se puede sustituir y escribir

S

x 3y4 sx 2 1 1 3 x 15 dy − 1 2 2 dx s3x 1 2d5 4x x 11 3x 1 2

D

n

Pasos en la derivación logarítmica 1. Tome logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y 5 f(x) y utilice las leyes de los logaritmos para simplificar. 2. Derive implícitamente respecto a x. 3. Resuelva la ecuación resultante para y 9.

Si f(x) , 0 para algunos valores de x, entonces ln f(x) no está definida, pero se puede escribir u y u 5 u f(x) u y utilizar la ecuación 4. Este procedimiento se ilustra demostrando la versión general de la regla de la potencia, como se prometió en la sección 3.1.

Regla de la potencia Si n es cualquier número real y f(x) 5 x n, entonces f 9(x) 5 nx n21

DEMOSTRACIÓN Sea y 5 x n y utilice derivación logarítmica: Si x 5 0, se puede demostrar directamente que f9(0) 5 0 para n . 1 a partir de la definición de derivada.

| |

| |

ln y − ln x

| |

− n ln x

x±0

y9 n − y x

Por tanto, Por lo que,

n

y9 − n

y xn −n − nx n21 x x

n

Debe distinguir con cuidado la regla de la potencia [(x n)9 5 nx n21], donde la base es variable y el exponente constante, de la regla para derivar funciones exponenciales [(b x)9 5 b x ln b], donde la base es constante y el exponente es variable. En general, se tienen cuatro casos para exponentes y bases: Base constante, exponente constante

1.

d sb n d − 0 dx

Base variable, exponente constante

2.

d f f sxdg n − nf f sxdg n21 f 9sxd dx

Base constante, exponente variable

3.

d t sxd t sxd [b fb g(x) ]g 5 − bbg(x) (ln sln b)g9(x) bdt9sxd dx

Base variable, exponente variable

4. Para determinar ([email protected])[f(x)] g (x), se puede aplicar la derivación logarítmica, como en el ejemplo que sigue.

Stewart_ch03_220-229.indd 221

(b y n son constantes)

09/06/17 2:06 a.m.

222

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

EJEMPLO 8 Derive y − x sx . SOLUCIÓN 1 Dado que la base y el exponente son variables, se utiliza la derivación

logarítmica: La figura 3 ilustra el ejemplo 8 mostrando las gráficas de f sxd − x sx y su derivada.

ln y − ln x sx − sx ln x y9 1 1 − sx ? 1 sln xd y x 2 sx

y

S

f

y9 − y

fª 1

1 ln x 1 2 sx sx

D S − x sx

2 1 ln x 2 sx

D

SOLUCIÓN 2 Otro método es escribir x sx − se ln x d sx :

0

x

1

d d d s x sx d − dx se sx ln x d − e sx ln x dx ssx ln xd dx

FIGURA 3

− x sx

S

2 1 ln x 2 sx

D

(como en la solución 1)

n

El número e como un límite Se ha demostrado que si f(x) 5 ln x, entonces f9(x) 5 [email protected] Debido a esto, f9(1) 5 1. Se utilizará este hecho para expresar el número e como un límite. A partir de la definición de derivada como un límite, se tiene que f 9s1d − lím

h:0

− lím

x:0

y

f s1 1 hd 2 f s1d f s1 1 xd 2 f s1d − lím x:0 h x lns1 1 xd 2 ln 1 1 − lím lns1 1 xd x:0 x x

− lím lns1 1 xd1yx 3 2

x:0

Ya que f9(1) 5 1, se tiene

y=(1+x)!?®

lím lns1 1 xd1yx − 1

1

x:0

0

x

Luego, por el teorema 2.5.8 y la continuidad de la función exponencial, se tiene que e − e1 − e lím

FIGURA 4 x

s1 1 xd 1yx

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001

2.59374246 2.70481383 2.71692393 2.71814593 2.71826824 2.71828047 2.71828169 2.71828181

5

lns11xd1yx

1yx

− lím e lns11xd − lím s1 1 xd1yx x:0

x:0

e − lím s1 1 xd1yx x:0

En la figura 4 se ilustra la fórmula 5 mediante la gráfica de la función y 5 (1 1 x)[email protected] y una tabla para valores pequeños de x. Esto ilustra el hecho que redondeada a siete decimales e < 2.7182818

Si se hace n 5 [email protected] en la fórmula 5, entonces n : ` cuando x : 01 y, por lo que, una expresión alternativa para e es

6

Stewart_ch03_220-229.indd 222

x:0

e − lím

n:`

S D 11

1 n

n

09/06/17 2:06 a.m.

223

SECCIÓN 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas

3.6 EJERCICIOS 1. Explique por qué en cálculo se usa con mucha más frecuencia la función logarítmica natural y 5 ln x, que las otras funciones logarítmicas, y 5 logb x. 2–22 Derive la función.

3. f sxd − sensln xd

4. f sxd − lnssen2xd

5 ln x 5. f sxd − s

5 6. f sxd − ln s x

7. f sxd − log10 s1 1 cos xd

8. f sxd − log10 sx

; 36. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y 5 (ln x)@x, en los puntos (1, 0) y (e, [email protected]). Ilustre lo anterior trazando la curva y sus rectas tangentes. 37. Sea f(x) 5 cx 1 ln(cos x). ¿Para qué valores de c es f9([email protected]) 5 6?

11. Fstd − sln td 2 sen t

12. hsxd − lns x 1 sx 2 2 1 d

13. tsxd − ln ( x sx 2 2 1 )

14. Psvd −

15. Fssd − ln ln s

16. y − ln 1 1 t 2 t 3

17. T szd − 2 z log 2 z

18. y − lnscsc x 2 cot xd

19. y − lnse2x 1 xe2x d

20. Hszd − ln

21. y − tan flnsax 1 bdg

ln v 12v

Î

|

a2 2 z2 a2 1 z2

22. y − log 2 sx log 5 xd

|

25. y − ln sec x

24. y −

|

ln x 1 1 ln x

26. y − lns1 1 ln xd

27–30 Derive f y encuentre el dominio de f. x 27. f sxd − 1 2 lnsx 2 1d

28. f sxd − s2 1 ln x

29. f sxd − lnsx 2 2 2xd

30. f sxd − ln ln ln x

38. Sea f(x) 5 logb(3x 2 22). ¿Para qué valor de b es f9(1) 5 3? 39–50 Utilice la derivación logarítmica para determinar la derivada de la función.

23–26 Encuentre y9 y y 0 en cada una de las funciones siguientes. 23. y − sx ln x

s1, 0d

; 35. Si f(x) 5 sen x 1 ln x, encuentre f9(x). Compruebe si su respuesta es razonable comparando las gráficas de f y f9.

10. tstd − s1 1 ln t

|

32. Si f(x) 5 cos(ln x2), determine f9(1).

Stewart_ch03_220-229.indd 223

40. y − sx e x sx 2 1 1d10 2

39. y − s2x 1 1d5sx 4 2 3d6 41. y −

Î

x21 x4 1 1

42. y − sx e x 2x sx 1 1d2y3 2

43. y − x x

44. y − x cos x

45. y − x sen x

46. y − (sx )

47. y − scos xd x

48. y − ssen xd ln x

49. y − stan xd 1yx

50. y − sln xdcos x

x

51. Encuentre y9 si y 5 ln(x2 1 y2). 52. Determine y9 si x y 5 y x. 53. Encuentre una fórmula para f (n)(x) si f(x) 5 ln(x 2 1). 54. Encuentre

d9 sx 8 ln xd. dx 9

55. Use la definición de derivada para demostrar que lím

31. Si f(x) 5 ln(x 1 ln x), determine f9(1).

s3, 0d

33. y − lnsx 2 2 3x 1 1d, 34. y − x 2 ln x,

2. f sxd − x ln x 2 x

9. tsxd − lnsxe 22x d

33–34 Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

x:0

56. Demuestre que lím

n:`

lns1 1 xd −1 x

S D 11

x n

n

− e x para cualquier x . 0.

09/06/17 2:06 a.m.

224

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales Se sabe que si y 5 f(x), entonces la derivada [email protected] se puede interpretar como la razón de cambio de y respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta idea a la física, la química, la biología, la economía y otras ciencias. Recuerde de la sección 2.7, la idea básica que se encuentra detrás de las razones de cambio. Si x varía de x1 a x2, entonces el cambio en x es Dx 5 x2 2 x1 y el cambio correspondiente en y es Dy 5 f(x2) 2 f(x1) El cociente de diferencias Dy f sx 2 d 2 f sx 1 d − Dx x2 2 x1 es la razón de cambio promedio de y respecto a x en el intervalo [x1, x2] y se puede interpretar como la pendiente de la recta secante PQ en la figura 1. Su límite, cuando Dx : 0 es la derivada f9(x1), la cual se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de y respecto a x, o la pendiente de la recta tangente en P(x1, f(x1)). Si se usa la notación de Leibniz, se escribe el proceso en la forma

y

Q {x, ‡} Îy

P { ⁄, fl} Îx 0



x2

mPQ=razón de cambio promedio m=fª(⁄)=razón de cambio instantáneo

FIGURA 1

Dy dy − lím Dx : 0 dx Dx

x

Siempre que la función y 5 f(x) tenga una interpretación específica en una de las ciencias, su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio. (Como se analizó en la sección 2.7, las unidades de [email protected] son las unidades de y divididas entre las unidades de x.) Vea ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias naturales y sociales.

Física Si s 5 f(t) es la función posición de una partícula que se mueve en una línea recta, entonces [email protected] representa el promedio de la velocidad en un período Dt, y √ 5 [email protected] representa la velocidad instantánea (la razón de cambio del desplazamiento respecto al tiempo). La razón de cambio instantáneo de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración: a(t) 5 √9(t) 5 s 0(t). Esto se discutió en las secciones 2.7 y 2.8, pero ahora que se conocen las fórmulas de derivación, se pueden resolver con más facilidad problemas que implican el movimiento de objetos.

EJEMPLO 1 La posición de una partícula está dada por la función siguiente s − f std − t 3 2 6t 2 1 9t donde t se mide en segundos y s en metros. (a) Encuentre la velocidad en el instante t. (b) ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 s? (c) ¿Cuándo está en reposo la partícula? (d) ¿Cuándo se mueve la partícula hacia adelante (es decir, en dirección positiva)? (e) Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la partícula. (f) Encuentre la distancia total recorrida por la partícula durante los primeros cinco segundos. (g) Determine la aceleración en el tiempo t y después de 4 s.

Stewart_ch03_220-229.indd 224

09/06/17 2:06 a.m.

225

SECCIÓN 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales

(h) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para 0 < t < 5. (i) ¿Cuándo aumenta su rapidez la partícula? ¿Cuándo la disminuye? SOLUCIÓN

(a) La función velocidad es la derivada de la función posición. s − f std − t 3 2 6t 2 1 9t vstd −

ds − 3t 2 2 12t 1 9 dt

(b) La velocidad después de 2 s significa la velocidad instantánea cuando t 5 2; es decir, vs2d −

Z

ds dt

t−2

− 3s2d2 2 12s2d 1 9 − 23 mys

La velocidad después de 4 s es vs4d − 3s4d2 2 12s4d 1 9 − 9 mys

(c) La partícula está en reposo cuando √(t) 5 0; esto es, 3t 2 2 12t 1 9 − 3st 2 2 4t 1 3d − 3st 2 1dst 2 3d − 0 y esto se cumple cuando t 5 1 o t 5 3. Por tanto, la partícula está en reposo después de 1 s y después de 3 s. (d) La partícula se mueve en dirección positiva cuando √ (t) . 0; es decir, 3t 2 2 12t 1 9 − 3st 2 1dst 2 3d . 0

t=3 s=0

t=0 s=0

s

t=1 s=4

Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positivos (t . 3) o cuando los dos son negativos (t , 1). Así, la partícula se mueve en dirección positiva en los intervalos de tiempo t , 1 y t . 3. Se mueve hacia atrás (en la dirección negativa) cuando 1 , t , 3. (e) Utilizando la información del inciso (d), en la figura 2 se esquematiza el movimiento de la partícula hacia atrás y hacia adelante a lo largo de una recta (el eje s). (f) A partir de lo aprendido en los incisos (d) y (e), se necesita calcular las distancias recorridas durante los intervalos de tiempo [0, 1], [1, 3] y [3, 5], por separado. La distancia recorrida en el primer segundo es

| f s1d 2 f s0d | − | 4 2 0 | − 4 m

FIGURA 2

De t 5 1 a t 5 3, la distancia recorrida es

| f s3d 2 f s1d | − | 0 2 4 | − 4 m De t 5 3 a t 5 5, la distancia recorrida es

| f s5d 2 f s3d | − | 20 2 0 | − 20 m

25



s

0

-12

FIGURA 3

Stewart_ch03_220-229.indd 225

La distancia total es 4 1 4 1 20 5 28 m. (g) La aceleración es la derivada de la función velocidad:

a 5

d 2s dv − − 6t 2 12 dt 2 dt as4d − 6s4d 2 12 − 12 mys 2 astd −

(h) La figura 3 muestra las gráficas de s, √, y a.

09/06/17 2:07 a.m.

226

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

( i) La rapidez de la partícula aumenta cuando la velocidad es positiva y creciente (√ y a son positivas) y también cuando la velocidad es negativa y decreciente (√ y a son negativas). En otras palabras, la rapidez de la partícula aumenta cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo. (La partícula se empuja en la misma dirección en que se está moviendo.) En la figura 3 se ve que esto sucede cuando 1 , t , 2 y cuando t . 3. La partícula disminuye su rapidez cuando √ y a tienen signos opuestos; es decir, cuando 0 < t , 1 y cuando 2 , t , 3. La figura 4 resume el movimiento de la partícula.

a



TEC En Module 3.7 puede ver una animación de la figura 4 con una expresión para s que puede elegir usted mismo.

s

5 0 _5

t

1

hacia adelante

hacia adelante

hacia atrás

dismi- aumenta disminuye la la nuye la rapidez rapidez rapidez

FIGURA 4

aumenta la rapidez

n

EJEMPLO 2 Si una varilla o un trozo de alambre son homogéneos, entonces su densidad lineal es uniforme y se define como la masa por unidad de longitud (r 5 [email protected]) y se mide en kilogramos por metro. Pero suponga que la varilla no es homogénea, sino que su masa medida desde su extremo izquierdo hasta un punto x es m 5 f(x), como se muestra en la figura 5. x

FIGURA 5



x™

Esta parte de la varilla tiene masa ƒ.

La masa de la parte de la varilla que se encuentra entre x 5 x1 y x 5 x2 está dada por Dm 5 f(x2) 2 f(x1), por lo que la densidad promedio de esa sección de la varilla es densidad promedio −

Dm f sx 2 d 2 f sx 1 d − Dx x2 2 x1

Si ahora se hace que Dx : 0 (es decir, x2 : x1), se calcula la densidad promedio sobre un intervalo cada vez más pequeño. La densidad lineal r en x1 es el límite de estas densidades promedio cuando Dx : 0; es decir, la densidad lineal es la razón de cambio de la masa respecto a la longitud. En forma simbólica, − lím

Dx : 0

Dm dm − Dx dx

Por lo que, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la masa respecto a la longitud. Por ejemplo, si m 5 f(x) 5 !x, donde x se mide en metros y m en kilogramos, entonces la densidad promedio de la parte de la varilla dada por 1 < x < 1.2 es Dm f s1.2d 2 f s1d s1.2 2 1 − − < 0.48 kgym Dx 1.2 2 1 0.2

Stewart_ch03_220-229.indd 226

09/06/17 2:07 a.m.

227

SECCIÓN 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales

mientras que la densidad en x 5 1 es − 2

2

FIGURA 6

2 2

2

2 2

dm dx

Z

x−1



Z

1 2 sx

x−1

− 0.50 kgym

n

EJEMPLO 3 Siempre que las cargas eléctricas se mueven, hay corriente. En la figura 6 se muestra parte de un alambre con electrones que se mueven a través de una superficie plana, mostrada en gris oscuro. Si DQ es la carga neta que pasa por esta superficie durante un período Dt, entonces la corriente promedio durante este intervalo de tiempo se define como corriente promedio −

DQ Q2 2 Q1 − Dt t2 2 t1

Si se toma el límite de esta corriente promedio sobre intervalos de tiempo más y más pequeños, se obtiene lo que se llama corriente I en un tiempo dado t1: I − lím

Dt : 0

DQ dQ − Dt dt

Por lo que, la corriente es la rapidez con que la carga fluye por una superficie; se mide en unidades de carga por unidad de tiempo (con frecuencia coulombs por segundo, llamados amperes). n La velocidad, la densidad y la corriente no son las únicas razones de cambio de importancia para la física. Otras incluyen la potencia (la rapidez a la cual se realiza trabajo), la razón de flujo de calor, el gradiente de temperatura (la razón de cambio de la temperatura respecto a la posición) y la razón de decaimiento de una sustancia radiactiva en física nuclear.

Química EJEMPLO 4 El resultado de una reacción química en la formación de una o más sustancias (llamadas productos) a partir de uno o más materiales (reactivos). Por ejemplo, la “ecuación” 2H2 1 O2 : 2H2 O indica que dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno forman dos moléculas de agua. Considere la reacción A1B:C donde A y B son los reactivos y C es el producto. La concentración de un reactivo A es el número de moles (1 mol 5 6.022 3 10 23 moléculas) por litro y se denota con [A]. La concentración varía durante una reacción, por lo que [A], [B] y [C] son todas funciones del tiempo (t). La rapidez promedio de reacción del producto C en un intervalo de tiempo t1 < t < t2 es fCgst2 d 2 fCgst1 d DfCg − Dt t2 2 t1 Pero los químicos tienen más interés en la rapidez de reacción instantánea, la cual se obtiene tomando el límite de la rapidez promedio de reacción cuando el intervalo Dt tiende a 0: rapidez de reacción − lím

Dt : 0

Stewart_ch03_220-229.indd 227

DfCg dfCg − Dt dt

09/06/17 2:07 a.m.

228

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Dado que la concentración del producto aumenta a medida que la reacción avanza, la derivada d[C]@dt será positiva, y así la rapidez de reacción de C es positiva. Sin embargo, las concentraciones de los reactivos disminuyen durante la reacción, por lo que, para que la rapidez de reacción de A y B sean números positivos, se ponen signos negativos delante de las derivadas d[A]@dt y d[B]@dt. Dado que [A] y [B] disminuyen con la misma rapidez que [C] crece, se tiene que rapidez de reacción −

dfCg dfAg dfBg −2 −2 dt dt dt

De modo más general, resulta que para una reacción de la forma aA 1 bB : cC 1 dD se tiene que 2

1 dfAg 1 dfBg 1 dfCg 1 dfDg −2 − − a dt b dt c dt d dt

La rapidez de reacción se puede determinar a partir de datos y con métodos gráficos. En algunos casos existen fórmulas explícitas para las concentraciones como funciones del tiempo que permiten calcular la rapidez de reacción (véase el ejercicio 24). n

EJEMPLO 5 Una de las cantidades de interés en termodinámica es la compresibilidad. Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, entonces su volumen depende de su presión P. Se puede considerar la razón de cambio del volumen respecto a la presión: a saber, la derivada [email protected] Conforme P crece, V decrece, por lo que [email protected] , 0. La compresibilidad se define al introducir un signo menos y dividir esta derivada entre el volumen V: compresibilidad isotérmica −

−2

1 dV V dP

Por lo cual b mide qué tan rápido, por unidad de volumen, decrece el volumen de una sustancia a medida que la presión aumenta, a temperatura constante. Por ejemplo, se encontró que el volumen V (en metros cúbicos) de una muestra de aire a 25 °C está relacionado con la presión P (en kilopascales) mediante la ecuación V−

5.3 P

La razón de cambio de V respecto a P cuando P 5 50 kPa, es dV dP

Z

P−50

Z

−2

5.3 P2

−2

5.3 − 20.00212 m 3ykPa 2500

P−50

La compresibilidad a esa presión es

−2

Stewart_ch03_220-229.indd 228

1 dV V dP

Z

P−50



0.00212 − 0.02 sm 3ykPadym 3 5.3 50

n

09/06/17 2:07 a.m.

SECCIÓN 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales

229

Biología EJEMPLO 6 Sea n 5 f(t) el número de individuos de una población de animales o plantas al tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t 5 t1 y t 5 t2 es Dn 5 f(t2) 2 f(t1), por lo que la razón de crecimiento promedio durante el período t1 < t < t2 es razón de crecimiento promedio −

f st2 d 2 f st1 d Dn − Dt t2 2 t1

La razón de crecimiento instantáneo se obtiene a partir de esta razón de crecimiento promedio al hacer que el período Dt tienda a 0: razón de crecimiento − lím

Dt : 0

Dn dn − Dt dt

En términos estrictos, esto no es muy exacto porque la gráfica real de una función de población n 5 f(t) sería una función escalón que es discontinua siempre que ocurre un nacimiento o una muerte y, por tanto, no es derivable. Sin embargo, para una población grande de animales o plantas, es posible reemplazar la gráfica con una curva de aproximación uniforme como en la figura 7. n

FIGURA 7

© Eye of Science / Science Source

Una curva suave que se aproxima a una función de crecimiento

Las bacterias E.coli tienen aproximadamente dos micrómetros (μm) de longitud y 0.75 μm de ancho. La imagen se obtuvo con un microscopio electrónico de barrido.

0

t

Para ser más específicos, considere una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Suponga que, por medio de la toma de muestras de la población a ciertos intervalos, se determina que esa población se duplica cada hora. Si la población inicial es n0 y el tiempo t se mide en horas, entonces f s1d − 2f s0d − 2n0 f s2d − 2f s1d − 2 2n0 f s3d − 2f s2d − 2 3n0 y, en general, f std − 2 t n0 La función de población es n 5 n02t.

Stewart_ch03_220-229.indd 229

09/06/17 2:07 a.m.

230

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

En la sección 3.4 se demostró que d sb x d − b x ln b dx Por lo que la razón de crecimiento de la población de bacterias en el tiempo t, es dn d − sn0 2t d − n0 2t ln 2 dt dt Por ejemplo, suponga que se tiene una población inicial de n0 5 100 bacterias. Entonces, la razón de crecimiento después de 4 horas es dn dt

Z

− 100 ? 24 ln 2 − 1600 ln 2 < 1109

t−4

Esto significa que, después de 4 horas, la población de bacterias crece en una cantidad de casi 1109 bacterias por hora. n

EJEMPLO 7 Cuando se considera el flujo de sangre por un vaso sanguíneo, como una vena o una arteria, este vaso puede tomar la forma de un tubo cilíndrico con radio R y longitud l como se muestra en la figura 8.

R

r

FIGURA 8 Flujo de sangre dentro de una arteria

l

Debido a la fricción en las paredes del tubo, la velocidad √ de la sangre es máxima a lo largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia r al eje, hasta que √ es igual a 0 en la pared. La relación entre √ y r está dada por la ley del flujo laminar descubierta por el físico francés Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840. En esta se establece que 1 Para información más detallada, véase W. Nichols y M. O’Rourke (eds.), McDonald’s Blood Flow in Arteries: Theoretic, Experimental, and Clinical Principles, 5a. ed. (Nueva York, 2005).

v−

P sR 2 2 r 2 d 4 l

donde  es la viscosidad de la sangre y P es la diferencia en la presión entre los extremos del tubo. Si P y l son constantes, entonces √ es función de r, con dominio [0, R]. La razón de cambio promedio de la velocidad, al moverse desde r 5 r1 hacia afuera hasta r 5 r2, está dada por vsr2 d 2 vsr1 d Dv − Dr r2 2 r1

y si se hace que Dr : 0, se obtiene el gradiente de velocidad, es decir, la razón de cambio instantáneo de la velocidad respecto a r: gradiente de velocidad − lím

Dr : 0

Dv dv − Dr dr

Utilizando la ecuación 1, se obtiene dv P Pr − s0 2 2rd − 2 dr 4 l 2 l

Stewart_ch03_230-239.indd 230

09/06/17 2:23 a.m.

SECCIÓN 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales

231

Para una de las arterias humanas más pequeñas, puede tomar h 5 0.027, R 5 0.008 cm, l 5 2 cm y P 5 4 000 [email protected], lo que da v−

4000 s0.000064 2 r 2 d 4s0.027d2

< 1.85 3 10 4s6.4 3 10 25 2 r 2 d En r 5 0.002 cm la sangre fluye a una rapidez de vs0.002d < 1.85 3 10 4s64 3 1026 2 4 3 10 26 d

− 1.11 cmys y el gradiente de velocidad en ese punto es dv dr

Z

r−0.002

−2

4000s0.002d < 274 scmysdycm 2s0.027d2

Para tener una idea de lo que esto significa, se cambian las unidades de centímetros a micrómetros (1 cm 5 10 000 mm). Entonces el radio de la arteria es de 80 mm. La velocidad en el eje central es de 11 850 [email protected], que disminuye hasta 11 110 [email protected] a una distancia de r 5 20 mm. El hecho de que d√@dr 5 274 ([email protected])@mm significa que cuando r 5 20 mm, la velocidad disminuye en una cantidad de casi 74 [email protected] por cada micrómetro que se aleja del centro. n

Economía EJEMPLO 8 Suponga que C(x) es el costo total en que una compañía incurre al producir x unidades de cierto artículo. La función C se llama función de costo. Si el número de artículos producidos se incrementa desde x1 hasta x2, entonces el costo adicional es DC 5 C(x2) 2 C(x1), y la razón de cambio promedio del costo es DC Csx 2 d 2 Csx 1 d Csx 1 1 Dxd 2 Csx 1 d − − Dx x2 2 x1 Dx El límite de esta cantidad conforme Dx : 0, es decir, a la razón de cambio instantáneo del costo los economistas le llaman costo marginal, respecto al número de artículos producidos: costo marginal − lím

Dx : 0

DC dC − Dx dx

[Ya que x suele tomar solo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer que Dx tienda a 0, pero siempre podrá reemplazar C(x) con una función suave de aproximación uniforme, como en el ejemplo 6.] Si se toma Dx 5 1 y n grande (de tal manera que Dx sea pequeño en comparación con n), se tiene que C9snd < Csn 1 1d 2 Csnd Así, el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al costo de producir una unidad más [la (n 1 1)-ésima unidad]. Con frecuencia resulta apropiado representar con un polinomio una función de costo total Csxd − a 1 bx 1 cx 2 1 dx 3

Stewart_ch03_230-239.indd 231

09/06/17 2:23 a.m.

232

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

donde a representa el costo de los gastos generales (alquiler, calefacción, mantenimiento) y los demás términos representan el costo de las materias primas, la mano de obra y demás. (El costo de las materias primas puede ser proporcional a x, pero los costos de la mano de obra podrían depender en parte de potencias mayores de x, debido a los costos del tiempo extra y a las faltas de eficiencia relacionadas con las operaciones a gran escala.) Por ejemplo, suponga que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de producir x artículos es Csxd − 10,000 1 5x 1 0.01x 2 Entonces, la función de costo marginal es C9sxd − 5 1 0.02x El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es C9(500) 5 5 1 0.02(500) 5 [email protected]ículo Esto da la cantidad a la que se incrementan los costos respecto al nivel de producción cuando x 5 500 y predice el costo del artículo 501. El costo real de producir el artículo 501 es Cs501d 2 Cs500d − f10,000 1 5s501d 1 0.01s501d2 g −

2 f10,000 1 5s500d 1 0.01s500d2 g

− $15.01 Observe que C9(500) < C(501) 2 C(500).

n

Los economistas también estudian la demanda, el ingreso y la utilidad marginal, que son las derivadas de las funciones de demanda, ingreso y utilidad. Estas se consideran en el capítulo 4, después de desarrollar las técnicas para determinar los valores máximos y mínimos de funciones.

Otras ciencias Las razones de cambio se presentan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en conocer la razón a la cual una masa incrustada de roca fundida se enfría por conducción del calor hacia las rocas que la rodean. Un ingeniero desea conocer la proporción a la cual el agua fluye hacia dentro o hacia fuera de una represa. Un geógrafo urbano se interesa en la razón de cambio de la densidad de población en una ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo tiene interés por la razón de cambio de la presión atmosférica respecto a la altura (véase el ejercicio 3.8.19). En psicología, quienes se interesan en la teoría del aprendizaje estudian la curva del aprendizaje, que se presenta en forma de gráfica el rendimiento P(t) de alguien que aprende una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. Tiene un interés particular la razón a la cual mejora el rendimiento a medida que pasa el tiempo; es decir, [email protected] En sociología, el cálculo diferencial se aplica al análisis de la divulgación de rumores (o de innovaciones, novedades o moda). Si p(t) denota la proporción de una población que conoce un rumor en el momento t, entonces la derivada [email protected] denota la razón de divulgación de ese rumor (véase el ejercicio 3.4.84).

Una sola idea, varias interpretaciones La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura, en física; la velocidad de reacción y la compresibilidad, en química; la rapidez de crecimiento y el gradiente de velocidad de la sangre, en biología; el costo marginal y la

Stewart_ch03_230-239.indd 232

09/06/17 2:23 a.m.

SECCIÓN 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales

233

utilidad marginal, en economía; la rapidez de flujo del calor, en geología; la rapidez de mejora del rendimiento, en psicología; y la rapidez de divulgación de un rumor, en sociología; son casos especiales de un concepto matemático: la derivada. Esta es una ilustración del hecho de que parte del poder de las matemáticas descansa en su abstracción. Un solo concepto matemático abstracto (como la derivada) puede tener interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando se desarrollen las propiedades del concepto matemático, de una vez y por todas, podrá dar la vuelta y aplicar estos resultados a todas las ciencias. Esto es mucho más eficiente que desarrollar propiedades de conceptos especiales en cada una por separado. El matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) lo expresó de manera sucinta: “Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los unen”.

3.7 EJERCICIOS 1–4 Una partícula se mueve según una ley del movimiento s 5 f(t), t > 0, donde t se mide en segundos y s en metros. (a) Encuentre la velocidad en el instante t. (b) ¿Cuál es la velocidad después de 1 s? (c) ¿Cuándo está en reposo la partícula? (d) ¿Cuándo se mueve hacia la dirección positiva? (e) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 6 segundos. (f) Dibuje un diagrama, como el de la figura 2, para ilustrar el movimiento de la partícula. (g) Determine la aceleración en el tiempo t y después de 1 segundo. ; (h) Trace la gráfica de las funciones posición, velocidad y aceleración para 0 < t < 6. (i) ¿Cuándo la partícula aumenta su rapidez? ¿Cuándo disminuye? 9t t2 1 9

1. f std − t 3 2 8t 2 1 24t

2. f std −

3. f(t) 5 sen(pt2)

4. f std − t 2e 2t

5. Se muestran las gráficas de las funciones velocidad de dos partículas, donde t se mide en segundos. ¿Cuándo incrementa su rapidez cada partícula? ¿Cuándo la disminuyen? Explique. (a) √ √ (b)√ √

0 0

1 1

t t

0 0 1 1

t t

6. Se muestran las gráficas de las funciones de posición de dos partículas, donde t se mide en segundos. ¿Cuándo incrementa su rapidez cada una de las partículas? ¿Cuándo la disminuyen? Explique. (a) s s (b)s s

0 0 1 1

Stewart_ch03_230-239.indd 233

t t

0 0 1 1

t t

7. La altura (en metros) de un proyectil disparado verticalmente hacia arriba, desde un punto a 2 m por encima del nivel del suelo con una velocidad inicial de 24.5 [email protected] es h 5 2 1 24.5t 2 4.9t2 después de t segundos. (a) Encuentre la velocidad después de 2 s y después de 4 s. (b) ¿Cuándo alcanza el proyectil su altura máxima? (c) ¿Cuál es su altura máxima? (d) ¿En qué momento cae al suelo? (e) ¿Con qué velocidad cae al suelo? 8. Si un balón es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 24.5 [email protected], entonces su altura después de t segundos es s 5 24.5 t 2 4.9t 2. (a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el balón? (b) ¿Cuál es la velocidad del balón cuando está a 29.4 m por encima del suelo en su camino ascendente? ¿Y en su camino en descenso? 9. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba desde la superficie de Marte, con una velocidad de 15 [email protected], su altura después de t segundos es h 5 15t 2 1.86t 2. (a) ¿Cuál es la velocidad de la roca después de que transcurren 2 s? (b) ¿Cuál es la velocidad de la roca una vez que ha alcanzado una altura de 25 m durante el ascenso? ¿Y en su descenso? 10. Una partícula se mueve de acuerdo con la función posición s − t 4 2 4t 3 2 20t 2 1 20t

t>0

(a) ¿En qué momento la partícula tiene una velocidad de 20 [email protected]? (b) ¿En qué momento su aceleración es 0? ¿Cuál es el significado de este valor de t? 11. (a) Una compañía fabrica chips para computadora a partir de placas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud del lado de esas placas muy próxima a 15 mm y, asimismo, saber cómo cambia el área A(x) de ellas cuando varía la longitud x del lado. Encuentre A9(15) y explique su significado en esta situación. (b) Demuestre que la rapidez de cambio del área de uno de los cuadrados respecto a la longitud de su lado es la mitad de su perímetro. Trate de explicar geométricamente por qué esto es cierto, dibujando un cuadrado cuya longitud x del lado se incrementa en una cantidad Dx. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área, DA, si Dx es pequeño?

09/06/17 2:23 a.m.

234

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

12. (a) Es fácil hacer crecer cristales de clorato de sodio en forma de cubos dejando que una solución de esta sal en agua se evapore con lentitud. Si V es el volumen de uno de esos cubos, con longitud x por lado, calcule [email protected] cuando x 5 3 mm y explique su significado. (b) Demuestre que la razón de cambio del volumen de un cubo respecto a la longitud de su arista es igual a la mitad del área superficial de ese cubo. Explique geométricamente por qué este resultado es cierto y argumente por analogías con el ejercicio 11(b). 13. (a) Encuentre la razón de cambio promedio del área de un círculo respecto a su radio r cuando r cambia de (i) 2 a 3 (ii) 2 a 2.5 (iii) 2 a 2.1 (b) Encuentre la razón de cambio instantáneo cuando r 5 2. (c) Demuestre que la razón de cambio del área de un círculo respecto a su radio (a cualquier r) es igual a la circunferencia del círculo. Intente explicar geométricamente por qué esto es cierto dibujando un círculo cuyo radio se incrementa en una cantidad Dr. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área DA si Dr es pequeño? 14. Se deja caer una piedra en un lago, lo que crea una onda circular que viaja hacia afuera con una rapidez de 60 [email protected] Encuentre la razón a la que aumenta el área dentro del círculo después de (a) 1 s, (b) 3 s, y (c) 5 s. ¿Qué puede concluir? 15. Se está inflando un globo esférico. Encuentre la razón de aumento del área superficial (S 5 4pr 2) respecto al radio r, cuando r es igual a (a) 20 cm, (b) 40 cm, y (c) 60 cm. ¿A qué conclusiones llega? 16. (a) El volumen de una célula esférica en crecimiento es V − 43 r 3, donde el radio r se mide en micrómetros (1 mm 5 1026 m). Encuentre la razón de cambio promedio de V respecto a r, cuando cambia de (i) 5 a 8 mm (ii) 5 a 6 mm (iii) 5 a 5.1 mm (b) Determine la razón de cambio instantáneo de V respecto a r, cuando r 5 5 mm. (c) Demuestre que la razón de cambio del volumen de una esfera respecto a su radio es igual a su área superficial. Explique geométricamente por qué esto es cierto. Argumente por analogía con el ejercicio 13(c). 17. La masa de la parte de una varilla metálica que se encuentra entre su extremo izquierdo y un punto x metros a la derecha es 3x 2 kg. Encuentre la densidad lineal (véase el ejemplo 2) cuando x es (a) 1 m, (b) 2 m y (c) 3 m. ¿En dónde es más alta la densidad?, ¿dónde es más baja? 18. Si un tanque contiene 5000 litros de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque en 40 min, entonces la ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque después de t minutos como 1 V 5 5000 (1 2 40 t)

0 < t < 40

Encuentre la rapidez de drenado de agua después de (a) 5 min, (b) 10 min, (c) 20 min, y (d) 40 min. ¿En qué momento f luye el agua más rápido hacia afuera? ¿Con mayor lentitud? Resuma sus hallazgos.

Stewart_ch03_230-239.indd 234

19. La cantidad de carga, Q, en coulombs (C) que ha pasado por un punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segundos) se expresa con Q(t) 5 t 3 2 2t 2 1 6t 1 2. Encuentre la corriente cuando (a) t 5 0.5 s y (b) t 5 1 s. [Véase el ejemplo 3. La unidad de la corriente es el ampere (1 A 5 1 [email protected]).] ¿En qué momento la corriente es la más baja? 20. La ley de Newton de la gravitación dice que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de masa M es F−

GmM r2

donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos. (a) Encuentre [email protected] y explique su significado. ¿Qué indica el signo menos? (b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con una fuerza que disminuye a razón de 2 [email protected], cuando r 5 20 000 km. ¿Con qué rapidez cambia esta fuerza cuando r 5 10 000 km? 21. La fuerza F que actúa sobre un cuerpo con masa m y velocidad √ es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento: F 5 ([email protected])(m√). Si m es constante, esto se convierte en F 5 ma, donde a 5 d√@dt es la aceleración. Pero en la teoría de la relatividad, la masa de una partícula varía con √ como sigue: m 5 m0!1 2 √ 2c 2, donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la velocidad de la luz. Demuestre que F−

m0a s1 2 v 2yc 2 d3y2

22. Algunas de las mareas más altas en el mundo se producen en la Bahía de Fundy en la costa atlántica de Canadá. En el cabo de Hopewell, la profundidad del agua durante la marea baja es aproximadamente 2.0 m y durante la marea alta es cerca de 12.0 m. El período natural de oscilación es un poco más de 12 horas, y el 30 de junio de 2009, la marea alta se produjo a las 6:45. Esto ayuda a explicar el siguiente modelo para la profundidad del agua D (en metros) en función del tiempo t (en horas después de la medianoche) ese día: Dstd − 7 1 5 cosf0.503st 2 6.75dg ¿Con qué rapidez fue subiendo la marea (o cayendo) en los momentos siguientes? (a) 3:00 (b) 6:00 (c) 9:00 (d) mediodía 23. La ley de Boyle establece que, cuando se comprime una muestra de gas a una temperatura constante, el producto de la presión y el volumen se mantiene constante: PV 5 C. (a) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto a la presión. (b) Una muestra de gas está en un recipiente a baja presión y se le comprime paulatinamente a temperatura constante durante 10 minutos. ¿El volumen disminuye con mayor rapidez al principio o al final de los 10 minutos? Explique. (c) Demuestre que la compresibilidad isotérmica (véase el ejemplo 5) se expresa mediante b 5 [email protected]

09/06/17 2:23 a.m.

SECCIÓN 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales

24. Si, en el ejemplo 4, una molécula del producto C está formada por una molécula del reactivo A y una molécula del reactivo B y la concentración inicial de A y B tienen un valor común [A] 5 [B] 5 a [email protected], entonces fCg − a 2ktysakt 1 1d donde k es una constante. (a) Encuentre la rapidez de reacción en el tiempo t. (b) Demuestre que si x 5 [C], entonces dx − ksa 2 xd2 dt

(c) ¿Qué pasa con la concentración conforme t : `? (d) ¿Qué sucede con la velocidad de reacción conforme t : `? (e) ¿Qué significan los resultados de los incisos (c) y (d) en términos prácticos? 25. En el ejemplo 6 se considera una población de bacterias que se duplica cada hora. Suponga que otra población de bacterias se triplica cada hora y comienza con 400 bacterias. Encuentre una expresión para el número n de bacterias después de t horas y utilícela para calcular la tasa de crecimiento de la población de bacterias después de 2.5 horas. 26. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio aumenta rápidamente al principio, pero finalmente se nivela. La población es modelada por la función a n − f std − 1 1 be20.7t donde t es medido en horas. En el tiempo t 5 0 la población es de 20 células y está aumentando a un ritmo de 12 cé[email protected] Encuentre los valores de a y b. De acuerdo con este modelo, ¿qué sucede con la población de levadura a largo plazo? ; 27. La tabla siguiente da la población del mundo P(t), en millones, donde t se mide en años y t 5 0 corresponde al año 1900.

t

Población (millones)

t

Población (millones)

0 10 20 30 40 50

1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560

60 70 80 90 100 110

3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 6 870

(a) Calcule la tasa de crecimiento poblacional en 1920 y en 1980 mediante el promedio de las pendientes de dos rectas secantes. (b) Utilice una calculadora graficadora o computadora para encontrar una función cúbica (un polinomio de tercer grado) que modele los datos. (c) Utilice el modelo del inciso (b) para encontrar un modelo para la tasa de crecimiento de la población. (d) Utilice el inciso (c) para estimar las tasas de crecimiento en 1920 y 1980. Compare con sus estimaciones del inciso (a).

Stewart_ch03_230-239.indd 235

235

(e) En la sección 1.1 se modeló P(t) con la función exponencial f std − s1.43653 3 10 9 d ? s1.01395d t Use este modelo para encontrar un modelo para la tasa de crecimiento de la población. (f) Utilice el modelo del inciso (e) para calcular la tasa de crecimiento en 1920 y 1980. Compare con sus cálculos de los incisos (a) y (d). (g) Calcule la tasa de crecimiento en 1985. ; 28. La tabla muestra cómo ha variado la edad promedio del primer matrimonio de las mujeres japonesas desde 1950. t

Astd

t

Astd

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980

23.0 23.8 24.4 24.5 24.2 24.7 25.2

1985 1990 1995 2000 2005 2010

25.5 25.9 26.3 27.0 28.0 28.8

(a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para modelar estos datos con una función polinomial de cuarto grado. (b) Utilice el inciso (a) para encontrar un modelo para A9(t). (c) Calcule la razón de cambio de la edad de matrimonio en 1990. (d) Trace la gráfica de los puntos de datos y los modelos para A y A9. 29. Refiérase a la ley de flujo laminar del ejemplo 7. Considere también un vaso sanguíneo con radio 0.01 cm, longitud 3 cm, diferencia de presión de 3000 [email protected] y una viscosidad de h 5 0.027. (a) Encuentre la velocidad de la sangre a lo largo de la línea central r 5 0, en un radio r 5 0.005 cm y en la pared r 5 R 5 0.01 cm. (b) Encuentre el gradiente de velocidad en r 5 0, r 5 0.005 y r 5 0.01. (c) ¿Dónde es mayor la velocidad? ¿Dónde está el mayor cambio de velocidad? 30. La frecuencia de vibración de una cuerda de violín está dada por f−

1 2L

Î

T 

donde L es la longitud de la cuerda, T es su tensión y r es su densidad lineal. [Véase el capítulo 11 en D. E. Hall, Musical Acoustic, 3a. ed. (Pacific Grove, California, 2002).] (a) Encuentre la rapidez de cambio de la frecuencia respecto a (i) la longitud (cuando T y r son constantes), (ii) la tensión (cuando L y r son constantes), y (iii) la densidad lineal (cuando L y T son constantes). (b) El tono de una nota (qué tan altas o bajas son las notas) está determinado por la frecuencia f. (Cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será el tono.) Utilice los signos

09/06/17 2:23 a.m.

236

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

de las derivadas en el inciso (a) para determinar lo que sucede con el tono de una nota (i) cuando se reduce la longitud efectiva colocando un dedo sobre la cuerda, haciendo que vibre solo una porción menor de la cuerda, (ii) cuando se incrementa la tensión girando la llave de ajuste, (iii) cuando aumenta la densidad lineal por cambiar a otra cuerda. 31. El costo en dólares de producir x pares de una nueva línea de jeans es Csxd − 2000 1 3x 1 0.01x 2 1 0.0002x 3 (a) Encuentre la función de costo marginal. (b) Obtenga C9(100) y explique su significado. ¿Qué predice? (c) Compare C9(100) con el costo de fabricar el par 101 de jeans. 32. La función de costo de producción de cierto artículo es Csqd − 84 1 0.16q 2 0.0006q 2 1 0.000003q 3 (a) Obtenga e interprete C9(100). (b) Compare C9(100) con el costo de producir el artículo 101. 33. Si p(x) es el valor total de la producción cuando hay x trabajadores en una planta, entonces la productividad promedio de la fuerza de trabajo en la planta es Asxd −

psxd x

(a) Determine A9(x). ¿Por qué quiere la empresa contratar a más trabajadores si A9(x) . 0? (b) Demuestre que A9(x) . 0 si p9(x) es mayor que la productividad promedio. 34. Si R denota la reacción del cuerpo a cierto estímulo de esfuerzo x, la sensibilidad S se define como la rapidez de cambio de la reacción respecto a x. Un ejemplo concreto es que cuando el brillo x de una fuente de luz aumenta, el ojo reacciona disminuyendo la zona R de la pupila. La fórmula experimental R−

;

40 1 24x 0.4 1 1 4x 0.4

ha sido utilizada para modelar la dependencia de R sobre x cuando R se mide en milímetros cuadrados y x se mide en unidades apropiadas de brillo. (a) Encuentre la sensibilidad. (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica tanto de R como de S como funciones de x. Haga comentarios relacionados con los valores de R y S en bajos niveles de brillo. ¿Esto es lo que esperaría? 35. Los pacientes se someten a tratamiento de diálisis para eliminar urea de la sangre cuando sus riñones no están funcionando correctamente. La sangre se desvía del paciente a través de una máquina que filtra la urea. Bajo ciertas condiciones, la duración de la diálisis requerida, dado que

Stewart_ch03_230-239.indd 236

la concentración inicial de urea es c . 1, está dado por la ecuación

S

t − ln

3c 1 s9c 2 2 8c 2

D

Calcule la derivada de t con respecto a c e interprétela. 36. Las especies invasoras con frecuencia muestran una onda de avance para colonizar nuevas áreas. Los modelos matemáticos basados en la reproducción y dispersión al azar han demostrado que la velocidad de dichas ondas en movimiento está dada por la función f(r) 5 2 !Dr, donde r es la tasa reproductiva de los individuos y D es un parámetro de cuantificación de la dispersión. Calcule la derivada de la velocidad de la onda con respecto a la tasa de reproducción r y explique su significado. 37. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T (en kelvin), la presión P (en atmósfera) y el volumen V (en litros) es PV 5 nRT, donde n es el número de moles del gas y R 5 0.0821 es la constante del gas. Suponga que, en cierto instante, P 5 8.0 atm y está aumentando a razón de 0.10 [email protected] y V 5 10 L y está disminuyendo a razón de 0.15 [email protected] Encuentre la razón de cambio de T respecto al tiempo en ese instante si n 5 10 mol. 38. En una granja piscícola se introduce una población de peces en un estanque y se cosechan con regularidad. Un modelo para la razón de cambio de la población se expresa con la ecuación

S

D

dP Pstd Pstd 2 Pstd − r0 1 2 dt Pc donde r0 es la tasa de nacimientos de peces, Pc es la población máxima que el estanque puede contener (llamada capacidad de carga) y b es el porcentaje de la población que se cosecha. (a) ¿Cuál valor de [email protected] correspondiente a una población estable? (b) Si el estanque puede sostener 10 000 peces, la tasa de nacimiento es de 5% y la cantidad de cosecha es de 4%, encuentre el nivel estable de la población. (c) Si b se eleva hasta 5%, ¿qué sucede? 39. En el estudio de los ecosistemas, a menudo se usan los modelos presa-depredador para estudiar la interacción entre las especies. Considere una población de lobos de la tundra, dada por W(t), y de caribúes, dada por C(t), en el norte de Canadá. La interacción se ha modelado mediante las ecuaciones dC − aC 2 bCW dt

dW − 2cW 1 dCW dt

(a) ¿Cuáles valores de [email protected] y [email protected] corresponden a poblaciones estables? (b) ¿Cómo se representaría matemáticamente el enunciado “Los caribúes van hacia la extinción”? (c) Suponga que a 5 0.05, b 5 0.001, c 5 0.05 y d 5 0.0001. Encuentre todas las parejas de poblaciones (C, W) que conducen a poblaciones estables. De acuerdo con este modelo, ¿es posible que las especies vivan en equilibrio o una de ellas, o ambas, se extinguirán?

09/06/17 2:23 a.m.

237

SECCIÓN 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales

3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales En muchos fenómenos naturales, las cantidades crecen o decrecen en una cantidad proporcional a su tamaño. Por ejemplo, si y 5 f(t) es el número de individuos en una población de animales o bacterias en el tiempo t, entonces parece razonable esperar que la razón de crecimiento f9(t) sea proporcional a la población f(t); es decir, f9(t) 5 kf(t) para alguna constante k. A propósito, bajo condiciones ideales (ambientes sin límites, nutrición adecuada, inmunidad a las enfermedades) el modelo matemático dado por la ecuación f9(t) 5 kf(t) predice, sin duda, con precisión lo que realmente sucede. Otro ejemplo sucede en física nuclear donde la masa de una sustancia radiactiva decae en una cantidad proporcional a su masa. En química la velocidad de una reacción de primer orden unimolecular es proporcional a la concentración de la sustancia. En finanzas, el valor de una cuenta de ahorros con interés compuesto se incrementa de manera continua en una cantidad proporcional a ese valor. En general, si y(t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la razón de cambio de y respecto a t es proporcional a su tamaño y(t) en cualquier tiempo, entonces dy − ky dt

1

donde k es una constante. Algunas veces la ecuación 1 se llama la ley de crecimiento natural (si k . 0) o ley de decaimiento natural (si k , 0). También, se le denomina ecuación diferencial porque implica una función desconocida y y su derivada [email protected] No es difícil intuir una solución de la ecuación 1. Esta ecuación pide determinar una función cuya derivada es un múltiplo constante de sí misma. En este capítulo se encontrarán tales funciones. Cualquier función exponencial en la forma y(t) 5 Ce k t, donde C es una constante, satisface y9std − Cske kt d − ksCe kt d − kystd Se verá en la sección 9.4 que cualquier función que satisface [email protected] 5 ky debe ser en la forma y 5 Ce k t. Para ver el significado de la constante C, observe que ys0d − Ce k?0 − C Por tanto, C es el valor inicial de la función. 2 Teorema Las únicas soluciones de la ecuación diferencial [email protected] 5 ky son las funciones exponenciales ystd − ys0de kt

Crecimiento de población ¿Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad k? En el panorama del crecimiento de la población, cuando P(t) es el tamaño de una población en el tiempo t, se escribe 3

dP − kP dt

o

1 dP −k P dt

La cantidad 1 dP P dt es la tasa de crecimiento dividida entre el tamaño de la población, a la que se le denomina tasa de crecimiento relativo.

Stewart_ch03_230-239.indd 237

09/06/17 2:23 a.m.

238

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

De acuerdo con (3), en lugar de decir “la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población” se puede decir “la razón o tasa de crecimiento relativo es constante”. Por tanto, (2) indica que una población con crecimiento relativo constante debe crecer en forma exponencial. Observe que la tasa de crecimiento relativo k aparece como el coeficiente de t en la función exponencial Ce k t. Por ejemplo, si dP − 0.02P dt donde t se mide en años, entonces la rapidez de crecimiento relativo es k 5 0.02 y el crecimiento de población a una rapidez relativa es de 2% por cada año. Si la población en el tiempo 0 es P0, entonces la expresión para la población es Pstd − P0 e 0.02t

EJEMPLO 1 Utilice el hecho de que la población mundial fue 2560 millones en 1950 y 3040 millones en 1960, para modelar la población del mundo en la segunda mitad del siglo xx. (Suponga que la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población). ¿Cuál es la rapidez de crecimiento relativo? Utilice el modelo para estimar la población mundial en 1993 y, del mismo modo, predecir la población en el año 2020. SOLUCIÓN Mida el tiempo t en años y haga t 5 0 en el año 1950. Mida la población P(t) en millones de personas. Entonces, P(0) 5 2560 y P(10) 5 3040. Ya que se supone que [email protected] 5 kP, el teorema 2 da

Pstd − Ps0de kt − 2560e kt Ps10d − 2560e 10k − 3040 k−

1 3040 ln < 0.017185 10 2560

La rapidez de crecimiento relativo es casi 1.7% por cada año, y el modelo es Pstd − 2560e 0.017185t Se estima que en 1993 la población mundial fue Ps43d − 2560e 0.017185s43d < 5360 million millones El modelo predice que en 2020 la población será Ps70d − 2560e 0.017185s70d < 8524 million millones La gráfica en la figura 1 muestra que el modelo ya es bastante exacto para finales del siglo xx (los puntos representan la población actual); de esta manera, la estimación para 1993 es completamente confiable, pero la predicción para el 2020 es aventurada. P 6000

P=2560e 0.017185t

Población (en millones)

FIGURA 1 Un modelo para el crecimiento de la población mundial en la segunda mitad del siglo xx

Stewart_ch03_230-239.indd 238

0

20

Años desde 1950

40

t

n

09/06/17 2:23 a.m.

239

SECCIÓN 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales

Decaimiento radiactivo Una sustancia radiactiva decae emitiendo radiación de manera espontánea. Si m(t) es la masa que queda a partir de una masa inicial m0 de la sustancia después del tiempo t, entonces la rapidez de decaimiento relativo 2

1 dm m dt

es constante según se ha verificado experimentalmente. (Ya que [email protected] es negativa, la rapidez de desintegración relativa es positiva.) Se sigue que dm − km dt donde k es una constante negativa. En otras palabras, las sustancias radiactivas decaen en una cantidad proporcional a la masa restante. Esto significa que se puede utilizar (2) para demostrar que la masa decae de manera exponencial: mstd − m0 e kt Los físicos expresan la rapidez de decaimiento en términos del tiempo de vida media, el tiempo que se requiere para que la mitad de cualquier cantidad conocida se desintegre.

EJEMPLO 2 El tiempo de vida media del radio-226 es 1590 años. (a) Una muestra de radio-226 tiene una masa de 100 mg. Determine una fórmula para la masa de la muestra que permanece después de t años. (b) Determine la masa exacta en miligramos, después de 1000 años. (c) ¿Cuándo se reducirá la masa a 30 mg? SOLUCIÓN

(a) Sea m(t) la masa de radio-226 (en miligramos) que permanece después de t años. Entonces [email protected] 5 km y m(0) 5 100, por lo que (2) da mstd − ms0de kt − 100e kt Para determinar el valor de k, se utiliza el hecho de que ms1590d − 12 (100). s100d Así, 100e 1590k − 50 y

por lo que

1590k − ln 12 − 2ln 2 k−2

Por tanto

e 1590k − 12

ln 2 1590

mstd − 100e2sln 2dty1590

Se puede utilizar el hecho de que eln 2 5 2 para escribir la expresión para m(t) en la forma alternativa mstd − 100 3 2 2ty1590 (b) La masa después de 1000 años es ms1000d − 100e2sln 2d1000y1590 < 65 mg (c) Se quiere encontrar el valor de t tal que m(t) 5 30, es decir, 100e2sln 2dty1590 − 30

Stewart_ch03_230-239.indd 239

o

e2sln 2dty1590 − 0.3

09/06/17 2:23 a.m.

240

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Resolviendo esta ecuación para t tomando el logaritmo natural de ambos lados: 150

2

ln 2 t − ln 0.3 1590

m=100e_(ln 2)t/1590

Por tanto,

t − 21590

m=30 0

FIGURA 2

4000

ln 0.3 < 2762 years años ln 2

n

Para una verificación del ejemplo 2, utilice un dispositivo de graficación para dibujar la gráfica de m(t) de la figura 2 junto con la recta horizontal m 5 30. Estas curvas se intersecan cuando t < 2800, y esto concuerda con la respuesta del inciso (c).

Ley de enfriamiento de Newton La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su ambiente, siempre que esta diferencia no sea muy grande. (Esta ley también se aplica al calentamiento.) Si se hace T(t) la temperatura del objeto en el tiempo t y Ts la temperatura del ambiente, entonces se puede formular la ley de enfriamiento de Newton como una ecuación diferencial: dT − ksT 2 Ts d dt donde k es una constante. Esta ecuación no es completamente la misma que la ecuación 1, por lo que se hace el cambio de variable y(t) 5 T(t) 2 Ts. Ya que Ts es constante, se tiene que y9(t) 5 T9(t), por lo que la ecuación se convierte en dy − ky dt Entonces se puede utilizar (2) para determinar una expresión para y en la que se puede encontrar T.

EJEMPLO 3 Una botella con una bebida gasificada a temperatura ambiente (22 °C) se coloca dentro de un refrigerador donde la temperatura es 7 °C. Después de media hora la bebida se ha enfriado hasta 16 °C. (a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida después de otra media hora? (b) ¿Cuánto tardará la bebida en enfriarse a 10 °C? SOLUCIÓN (a) Sea T(t) la temperatura de la bebida después de t minutos. La temperatura ambiente es Ts 5 7 °C, por lo que, la ley de enfriamiento de Newton se expresa como dT − ksT 2 7d dt Si se hace y 5 T 2 7, entonces y(0) 5 T(0) 2 7 5 22 2 7 5 15, por lo que y es una solución del problema de valor inicial dy − ky dt

ys0d − 15

y por (2) se tiene que ystd − ys0de kt − 15e kt Se tiene que T(30) 5 16, por lo que y(30) 5 16 2 7 5 9 y 15e 30k − 9

Stewart_ch03_240-249.indd 240

e 30k − 35

09/06/17 3:02 a.m.

241

SECCIÓN 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales

Tomando logaritmos, se tiene que k−

ln ( 35 ) < 20.01703 30

Por lo que ystd − 15e 20.01703t Tstd − 7 1 15e 20.01703t Ts60d − 7 1 15e 20.01703s60d < 12.4 Por tanto, después de la otra mitad de la hora, la bebida se ha enfriado a casi 12 °C. (b) Se tiene T(t) 5 10 cuando 7 1 15e 20.01703t − 10 3 e 20.01703t − 15 − 15

t−

T 22

La bebida se enfría a 10 °C después de casi 1 hora 35 minutos.

7 0

ln ( 15 ) < 94.5 20.01703 n

Observe que en el ejemplo 3, se tiene que 30

FIGURA 3

60

90

t

lím Tstd − lím s7 1 15e 20.01703t d − 7 1 15 0 − 7

t:`

t:`

lo cual se esperaba. La gráfica de la función temperatura se muestra en la figura 3.

Interés compuesto continuamente EJEMPLO 4 Si se invierten $1000 a 6% de interés compuesto anualmente, entonces, después de 1 año la inversión es valorada en $1000(1.06) 5 $1060, después de 2 años su valor es $[1000(1.06)]1.06 5 $1123.60 y después de t años su valor es $1000(1.06)t. En general, si se invierte una cantidad A0 a una tasa de interés r (r 5 0.06, en este ejemplo), entonces, después de t años su valor es de A0(1 1 r)t. No obstante, por lo general el interés es compuesto con más frecuencia, es decir, n veces al año. Por tanto, en cada período de capitalización, la tasa de interés es [email protected] y hay nt períodos en t años, por lo que el valor de la inversión es

S D

A0 1 1

r n

nt

Por ejemplo, una inversión de 1000 dólares después de 3 años a 6% de interés estarán valorados en $1000s1.06d3 − $1191.02 with compuesto annual anualmente compounding $1000s1.03d6 − $1194.05 with compuesto semiannual semestralmente compounding $1000s1.015d12 − $1195.62 with compuesto quarterly trimestralmente compounding $1000s1.005d36 − $1196.68 with compuesto monthly mensualmente compounding

S

$1000 1 1

Stewart_ch03_240-249.indd 241

0.06 365

D

365 ? 3

− $1197.20 with compuesto daily compounding diariamente

09/06/17 3:02 a.m.

242

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Se puede ver que el pago del interés se incrementa cuando el número de períodos compuestos (n) se incrementa. Si se hace que n : `, entonces estará componiendo el interés continuamente, y el valor de la inversión será

S FS F S F S

Astd − lím A0 1 1 n:`

r n

D

nt

DG DG DG

− lím A0

11

r n

− A0 lím

11

r n

− A0 lím

11

1 m

n:`

n:`

m: `

nyr

rt

nyr

rt

m

rt

(donde m − nyr)

Pero el límite en esta expresión es igual al número e (véase la ecuación 3.6.6). Por lo que, componiendo en forma continua con una tasa de interés r, la cantidad después de t años es Astd − A0 e rt Si se deriva esta función, se obtiene dA − rA0 e rt − rAstd dt la cual dice que, componiendo continuamente el interés, la tasa de incremento de una inversión es proporcional a su tamaño. Regresando al ejemplo de 1000 dólares invertidos por 3 años a 6% de interés anual, el valor de la inversión será As3d − $1000e s0.06d3 − $1197.22 Observe cómo se acerca esto a la cantidad calculada por componer diariamente $1197.20, pero es más fácil calcular la cantidad si se aplica la composición continua.

n

3.8 EJERCICIOS 1. Una población de protozoarios se desarrolla con una tasa de crecimiento relativo constante de 0.6028 por miembro por cada día. En el día cero la población consiste de dos miembros. Encuentre el tamaño de la población después de siete días. 2. Un habitante común del intestino humano es la bacteria Escherichia coli, llamada así por el pediatra alemán Theodor Escherich, quien la identificó en 1885. Una célula de esta bacteria en un caldo nutriente se divide en dos células cada 20 minutos. La población inicial de un cultivo es de 50 células. (a) Determine la tasa de crecimiento relativo. (b) Encuentre una expresión para el número de células después de t horas.

Stewart_ch03_240-249.indd 242

(c) Calcule el número de células después de 6 horas. (d) Determine la tasa de crecimiento después de 6 horas. (e) ¿Cuándo alcanzará la población de un millón de células? 3. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 células y crece en una cantidad proporcional a su tamaño. Después de 1 hora la población se ha incrementado a 420. (a) Determine una expresión para el número de bacterias después de t horas. (b) Calcule el número de bacterias después de 3 horas. (c) Encuentre la tasa de crecimiento después de 3 horas. (d) ¿Cuándo alcanza la población el valor 10 000?

09/06/17 3:02 a.m.

SECCIÓN 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales

4. Un cultivo de bacterias crece con una tasa de crecimiento relativo constante. Después de 2 horas existen 400 bacterias y después de 6 horas la cuenta es de 25 600. (a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo? Exprese su respuesta en porcentaje. (b) ¿Cuál fue el tamaño inicial del cultivo? (c) Encuentre una expresión para el número de bacterias después de t horas. (d) Encuentre el número de células después de 4.5 horas. (e) Encuentre la tasa de crecimiento después de 4.5 horas. (f) ¿Cuándo alcanzará la población 50 000? 5. La tabla da estimaciones de la población mundial, en millones, de 1750 al 2000.

Año

Población

Año

Población

1750 1800 1850

790 980 1260

1900 1950 2000

1650 2560 6080

(a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de población para 1750 y 1800 para predecir la población mundial en 1900 y en 1950. Compare con las cifras actuales. (b) Utilice el modelo exponencial y las cifras de población para 1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950. Compare con la población real en ese año. (c) Emplee el modelo exponencial y las cifras de población en 1900 y 1950 para predecir la población mundial en el 2000. Compare con la población real e intente explicar la discrepancia. 6. La tabla proporciona la población de Indonesia, en millones, para la segunda mitad del siglo xx.

Año

Población

1950

83

1960

100

1970

122

1980

150

1990

182

2000

214

(a) Suponiendo que la población crece a una razón proporcional a su tamaño, utilice las cifras de censo para 1950 y 1960 para predecir la población en 1980. Compare con las cifras reales. (b) Utilice las cifras del censo para 1960 y 1980 para predecir la población en el 2000. Compare con la población real. (c) Utilice las cifras del censo para 1980 y 2000 para predecir la población en el 2010. Compare con la población real de 243 millones. (d) Utilice el modelo del inciso (c) para predecir la población en 2020. ¿Cree qué la predicción será demasiado alta o muy baja? ¿Por qué?

Stewart_ch03_240-249.indd 243

243

7. Los experimentos muestran que si la reacción química N2O5 : 2NO 2 1 12 O 2 se realiza a 45 °C, la velocidad de reacción del pentóxido de dinitrógeno es proporcional a su concentración como sigue: 2

dfN2O5g − 0.0005fN2O5g dt

(Véase el ejemplo 3.7.4.) (a) Determine una expresión para la concentración [N2O5] después de t segundos si la concentración inicial es C. (b) ¿Cuánto tiempo le toma a la reacción reducir la concentración de N2O5 a 90% de su valor original? 8. El estroncio-90 tiene un tiempo de vida media de 28 días. (a) Una muestra tiene originalmente una masa de 50 mg. Determine una fórmula para la masa que queda después de t días. (b) Calcule la masa restante después de 40 días. (c) ¿Cuánto tiempo le toma a la muestra reducir su masa a 2 mg? (d) Trace la gráfica de la función masa. 9. El tiempo de vida media del cesio-137 es de 30 años. Suponga que se tiene una muestra de 100 mg. (a) Establezca la masa que permanece después de t años. (b) ¿Cuánto de la muestra permanece después de 100 años? (c) ¿Después de cuánto tiempo permanece únicamente 1 mg? 10. Una muestra de tritio-3 se desintegró a 94.5% de su cantidad original después de 1 año. (a) ¿Cuál es el tiempo de vida media del tritio-3? (b) ¿Cuánto tardaría en decaer a 20% de su cantidad original? 11. Los científicos pueden establecer la edad de objetos antiguos mediante el método de datación por radiocarbono. El bombardeo de la atmósfera superior por los rayos cósmicos convierte al nitrógeno en un isótopo radioactivo de carbono, 14 C, con un tiempo de vida media aproximado de 5730 años. La vegetación absorbe dióxido de carbono a través de la atmósfera, y la vida animal asimila 14 C a través de la cadena alimenticia. Cuando una planta o un animal mueren, se detiene la sustitución de su carbono, y la cantidad de 14 C inicia su disminución a través de la desintegración radiactiva. Por tanto el nivel de radiactividad también decae de manera exponencial. En un fragmento de pergamino se descubrió que había aproximadamente 74% de tanta radioactividad 14 C como en el material con el que se hace el pergamino que hay sobre la Tierra hoy en día. Estime la edad del pergamino. 12. Los fósiles de dinosaurios son demasiado viejos para ser datados en forma confiable usando carbono-14. (Véase el ejercicio 11). Suponga que se tuvo un fósil de dinosaurio de 68 millones de años de edad. ¿Qué fracción del 14 C que tuvo el dinosaurio permanece hoy? Suponga que la cantidad mínima detectable es de 0.1%. ¿Cuál es la edad máxima de un fósil que podríamos fechar usando el 14 C? 13. Los fósiles de dinosaurios se datan con frecuencia mediante el uso de un elemento que no sea carbono, como el potasio-40, que tiene una vida media más larga (en este caso, aproximadamente 1250 millones de años). Suponga que la cantidad mínima

09/06/17 3:02 a.m.

244

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

detectable es de 0.1% y un dinosaurio se data con 40K en 68 millones de años. ¿Es posible esta datación? En otras palabras, ¿cuál es la edad máxima de un fósil que se podría datar con 40K? 14. Una curva pasa a través del punto (0, 5) y tiene la propiedad de que la pendiente de la curva en cualquier punto P es dos veces la coordenada y de P. ¿Cuál es la ecuación de la curva? 15. De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura ha alcanzado 85 °C y se coloca sobre una mesa en un espacio donde la temperatura es 22 °C. (a) Si la temperatura del pavo es 65 °C después de media hora, ¿cuál es la temperatura 45 minutos después? (b) ¿Cuándo se enfriará el pavo a 40 °C? 16. En una investigación de asesinato, la temperatura del cadáver fue de 32.5 °C a las 13:30 y de 30.3 °C una hora más tarde. La temperatura corporal normal es de 37.0 °C y la temperatura del ambiente era de 20.0 °C. ¿Cuándo tuvo lugar el asesinato? 17. Cuando se saca una bebida fría del refrigerador, su temperatura es 5 °C. Después de 25 minutos dentro de una habitación a 20 °C su temperatura se incrementa a 10 °C. (a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida 50 minutos después? (b) ¿Cuándo estará su temperatura a 15 °C? 18. Una taza de café recién preparado tiene 95 °C de temperatura en una habitación a 20 °C. Cuando la temperatura es de 70 °C, se enfría con una rapidez de 1 °C por cada minuto. ¿Cuándo sucede esto?

PROYECTO DE APLICACIÓN

19. La rapidez de cambio de la presión atmosférica P respecto a la altitud h es proporcional a P, siempre que la temperatura sea constante. A 15 °C la presión es 101.3 kPa al nivel del mar y 87.14 kPa en h 5 1000 m. (a) ¿Cuál es la presión a una altitud de 3000 m? (b) ¿Cuál es la presión en la cima del monte McKinley, a una altitud de 6187 m? 20. (a) Si se prestan 1000 a 8% de interés, calcule la cantidad que se debe al final de 3 años si el interés es compuesto de forma: (i) anual, (ii) trimestral, (iii) mensual, (iv) semanal, (v) diario, (vi) por hora y (vii) de manera continua. (b) Suponga que se prestan 1000 dólares y el interés es ; compuesto de manera continua. Si A(t) es la cantidad que se debe después de t años, donde 0 < t < 3, trace la gráfica de A(t) en una pantalla común, para cada una de las tasas de interés: 6%, 8% y 10%. 21. (a) Si invierten 3000 dólares a 5% de interés, calcule el valor de la inversión al final de 5 años si el interés es compuesto de forma (i) anual, (ii) semestral, (iii) mensual, (iv) semanal, (v) por día y (vi) de manera continua. (b) Si A(t) es la cantidad de la inversión al tiempo t para el caso de composición continua, establezca una ecuación diferencial y una condición inicial que satisfaga A(t). 22. (a) ¿Cuánto transcurrirá para que una inversión se duplique en valor si la tasa de interés anual es de 6% compuesto de manera continua? (b) ¿Cuál es la tasa de interés anual equivalente?

CONTROLAR LA PÉRDIDA DE GLÓBULOS ROJOS DURANTE UNA CIRUGÍA El volumen típico de sangre en el cuerpo humano es aproximadamente de 5 L. Un porcentaje de ese volumen (llamado el hematocrito) se compone de glóbulos rojos (gr); el hematocrito es aproximadamente el 45% en varones. Suponga que una cirugía dura cuatro horas y un paciente masculino pierde 2.5 L de sangre. Durante la cirugía, el volumen de sangre del paciente se mantiene en 5 L mediante inyección de solución salina, que rápidamente se mezcla con la sangre pero la diluye por lo que el hematocrito disminuye conforme pasa el tiempo.

© Condor 36 / Shutterstock.com

1. Suponiendo que la tasa de pérdida de glóbulos rojos es proporcional al volumen de los glóbulos rojos, determine el volumen de gr del paciente al final de la operación. 2. Se ha desarrollado un procedimiento llamado hemodilución normovolémica aguda (anh, por su sigla en inglés) que minimiza la pérdida de gr durante la cirugía. En este procedimiento se extrae sangre del paciente antes de la operación y se reemplaza con solución salina. Esta diluye la sangre del paciente, dando por resultado que se pierdan menos gr durante la hemorragia. Entonces después de la cirugía la sangre extraída se devuelve al paciente. Pero como solo se puede extraer una cantidad de sangre dada, debido a que nunca se puede permitir que la concentración de gr caiga por debajo de 25% durante la cirugía. ¿Cuál es la cantidad máxima de sangre que se puede extraer en el procedimiento de la anh para la cirugía que se describe en este proyecto? 3. ¿Cuál es la pérdida de gr sin el procedimiento de la anh? ¿Cuál es la pérdida si el procedimiento se realiza con el volumen calculado en el inciso 2?

Stewart_ch03_240-249.indd 244

09/06/17 3:02 a.m.

245

SECCIÓN 3.9 Razones relacionadas

3.9 Razones relacionadas Si está inflando un globo, tanto su volumen como su radio se incrementan, y sus razones de incremento están relacionadas entre sí. Pero es más fácil medir de modo directo la rapidez de aumento de volumen que la rapidez de crecimiento del radio. En un problema de razones de cambio relacionadas, la idea es calcular la razón de cambio de una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad (la que podría medirse con más facilidad). El procedimiento es determinar una ecuación que relacione las dos cantidades y luego se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros con respecto al tiempo.

EJEMPLO 1 Se infla un globo esférico y su volumen crece a razón de 100 [email protected] ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm? SP De acuerdo con los principios para la resolución de problemas estudiados en la página 71, el primer paso es entender el problema. Esto incluye leer con cuidado el problema, identificar los datos y las incógnitas y proponer una notación adecuada.

SOLUCIÓN Se empieza por identificar dos cuestiones:

la información dada (datos): la razón de incremento del volumen del globo es 100 [email protected] y lo que no se conoce (incógnitas): la rapidez de incremento del radio cuando el diámetro es 50 cm Para expresar estas cantidades en forma matemática, introduzca una notación sugerente: sea V el volumen del globo y r su radio. La clave que se debe tener presente es que las razones de cambio son derivadas. En este problema, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo t. La rapidez de incremento del volumen respecto al tiempo es la derivada [email protected], y la rapidez del incremento del radio es [email protected] Por tanto, replantee lo dado y lo que desconoce de la manera siguiente:

SP La segunda etapa de la resolución de problemas es concebir un plan para relacionar los datos con las incógnitas.

Datos:

dV − 100 cm3ys dt

Incógnitas:

dr dt

when r r−525 cuando 25cm cm

Para relacionar [email protected] con [email protected], primero se relaciona V con r mediante la fórmula del volumen de una esfera: V − 43 r 3 Para utilizar la información dada, derive respecto a t ambos miembros de la ecuación. Para derivar el lado derecho necesita utilizar la regla de la cadena: Observe que, aunque [email protected] es constante, [email protected] no es constante

dV dV dr dr − − 4r 2 dt dr dt dt Ahora resuelva para la cantidad desconocida: dr 1 dV − dt 4r 2 dt

Stewart_ch03_240-249.indd 245

09/06/17 3:02 a.m.

246

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Si se sustituye r 5 25 y [email protected] 5 100 en esta ecuación, se obtiene dr 1 1 − 2 100 − dt 4s25d 25 El radio del globo se incrementa a razón de [email protected](25p) < 0.0127 [email protected]

n

EJEMPLO 2 Una escalera de 5 m de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a razón de 1 [email protected], ¿qué tan rápido la parte superior de la escalera resbala hacia abajo por la pared cuando la parte inferior de la escalera está a 3 m del muro?

muro

5

y

x

suelo

FIGURA 1

SOLUCIÓN Primero dibuje un esquema y etiquete los datos como se muestra en la figura 1. Sea x metros la distancia desde la parte inferior de la escalera al muro y y metros la distancia desde la parte superior de la escalera al piso. Observe que x y y son funciones de t (tiempo medido en segundos). Se sabe que [email protected] 5 1 [email protected], y se pide determinar [email protected] cuando x 5 3 m (véase la figura 2). En este problema, la relación entre x y y está dada por el teorema de Pitágoras:

x 2 1 y 2 − 25 dy dt

Al derivar con respecto a t ambos miembros usando la regla de la cadena se tiene

=? y

2x x

dx dy 1 2y −0 dt dt

y al resolver esta ecuación para determinar la rapidez deseada, se obtiene dx dt

=1

FIGURA 2

dy x dx −2 dt y dt Cuando x 5 3, el teorema de Pitágoras da y 5 4 y al sustituir estos valores y [email protected] 5 1, se tiene dy 3 3 − 2 s1d − 2 mys dt 4 4 El hecho de que [email protected] sea negativa quiere decir que la distancia desde la parte superior de la escalera al suelo está decreciendo a razón de 34 mys. En otras palabras, la parte superior de la escalera se resbala hacia abajo de la pared a razón de 34 mys. n

EJEMPLO 3 Un depósito para agua tiene la forma de un cono circular invertido; el radio de la base es de 2 m, y la altura es de 4 m. Si el agua se bombea hacia el depósito a razón de 2 [email protected], determine la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 3 m de profundidad.

2

r 4 h

FIGURA 3

Stewart_ch03_240-249.indd 246

SOLUCIÓN Primero trace un diagrama del cono y denote la información como en la figura 3. Sean V, r y h el volumen del agua, el radio de la superficie circular y la altura al tiempo t, respectivamente, donde t se mide en minutos. Dan [email protected] 5 2 [email protected], y se nos pide determinar [email protected] cuando h es 3 m. Las cantidades V y h se relacionan con la ecuación

V − 13 r 2h

09/06/17 3:02 a.m.

SECCIÓN 3.9 Razones relacionadas

247

pero es muy útil expresar V en función solo de h. Para eliminar r, utilice los triángulos semejantes en la figura 3 para escribir r 2 − h 4

r−

h 2

y la expresión para V se vuelve V−

SD

1 h  3 2

2

h−

 3 h 12

Ahora se puede derivar cada miembro respecto a t: dV  2 dh − h dt 4 dt Por lo que

dh 4 dV − dt h 2 dt

Al sustituir h 5 3 m y [email protected] 5 2 [email protected] se tiene que

SP Reflexione: ¿qué ha aprendido de los ejemplos 1 a 3 que lo ayude a resolver problemas futuros?

ADVERTENCIA un error común es sustituir la información numérica conocida (por cantidades que varían con el tiempo) muy pronto. La sustitución se efectúa solo después de que se deriva. (El paso 7 sigue al paso 6.) Es decir, en el ejemplo 3 se tratan valores generales de h hasta que al último se sustituye h 5 3 en la última etapa. (Si hubiera sustituido h 5 3 desde antes, se habría obtenido [email protected] 5 0, lo cual es evidentemente erróneo.)

dh 4 8 − 2 ? 2 − dt s3d 9 El nivel del agua está subiendo a razón de [email protected](9p)) < 0.28 [email protected]

n

Estrategia de resolución de problemas Es útil recordar algunos de los principios para la resolución de problemas que se encuentran en la página 71 y adaptarlos a las razones de cambio relacionadas, luego de la experiencia en los ejemplos 1-3: 1. Lea con cuidado el problema. 2. Si es posible, dibuje un diagrama. 3. Introduzca la notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que están en función del tiempo. 4. Exprese la información dada y la razón requerida en términos de derivadas. 5. Escriba una ecuación que relacione las diferentes cantidades del problema. Si es necesario, utilice las propiedades geométricas de la situación para eliminar una de las variables por sustitución (como en el ejemplo 3). 6. Utilice la regla de la cadena para derivar respecto a t ambos miembros de la ecuación. 7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la razón de cambio desconocida. Los ejemplos siguientes son ilustraciones adicionales de la estrategia.

C y B

FIGURA 4

Stewart_ch03_240-249.indd 247

x

z

A

EJEMPLO 4 El automóvil A se dirige hacia el oeste a 90 [email protected] y el automóvil B viaja hacia el norte a 100 [email protected] Ambos se dirigen hacia la intersección de las dos carreteras. ¿Con qué rapidez se aproximan los vehículos entre sí cuando el automóvil A está a 60 m y el automóvil B está a 80 m de la intersección? SOLUCIÓN Dibuje la figura 4, donde C es la intersección de las carreteras. En un tiempo dado t, sea x la distancia entre el automóvil A a C, sea y la distancia del automóvil B a C y sea z la distancia entre los vehículos, donde x, y y z se miden en kilómetros.

09/06/17 3:02 a.m.

248

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Dan que [email protected] 5 290 [email protected] y [email protected] 5 2100 [email protected] Las derivadas son negativas porque x y y son decrecientes. Se pide calcular [email protected] La ecuación que relaciona x, y y z la da el teorema de Pitágoras: z2 5 x2 1 y2 Al derivar ambos lados respecto a t, se tiene 2z

dz dx dy − 2x 1 2y dt dt dt dz 1 − dt z

S

x

dx dy 1y dt dt

D

Cuando x 5 0.06 km y y 5 0.08 km, el teorema de Pitágoras da z 5 0.1 km, por lo que dz 1 − f0.06s290d 1 0.08s2100dg dt 0.1 − 2134 kmyh Los autos se aproximan entre sí a razón de 134 [email protected]

n

EJEMPLO 5 Un hombre camina a lo largo de una trayectoria recta a una rapidez de 1.5 [email protected] Un faro está situado al nivel de la tierra a 6 m de la trayectoria y se mantiene enfocado hacia el hombre. ¿Con qué rapidez el faro gira cuando el hombre está a 8 m del punto sobre la trayectoria más cercana a la fuente de luz?

x

SOLUCIÓN Trace la figura 5 y haga que x sea la distancia desde el hombre hasta el punto sobre la trayectoria que esté más cercana al faro. Sea u el ángulo entre el rayo desde el faro y la perpendicular a la trayectoria. Se sabe que [email protected] 5 1.5 [email protected], y se pide calcular [email protected] cuando x 5 8. La ecuación que relaciona x con u se puede escribir a partir de la figura 5:

x − tan  6

6

x − 6 tan 

¨

Al derivar respecto a t ambos miembros, se obtiene FIGURA 5

dx d − 6 sec2 dt dt por lo que

d 1 dx − cos2 dt 6 dt −

1 1 cos2 s1.5d − cos2 6 4

Cuando x 5 8, la longitud del rayo es 10, por lo que cos  − 35 y 1 d − dt 4

SD 3 5

El faro gira con una rapidez de 0.09 [email protected]

Stewart_ch03_240-249.indd 248

2



9 − 0.09 100 n

09/06/17 3:02 a.m.

SECCIÓN 3.9 Razones relacionadas

249

3.9 EJERCICIOS 1. Si V es el volumen de un cubo con arista x, y el cubo se expande conforme pasa el tiempo, exprese [email protected] en términos de [email protected] 2. (a) Si A es el área de un círculo cuyo radio es r, y el círculo se expande conforme pasa el tiempo, exprese [email protected] en términos de [email protected] (b) Suponga que se derrama aceite de un depósito agrietado y que se extiende siguiendo un patrón circular. Si el radio del derrame de aceite se incrementa con una rapidez constante de 1 [email protected], ¿qué tan rápido se incrementa el área del derrame cuando el radio es de 30 m? 3. Cada lado de un cuadrado se incrementa a razón de 6 [email protected] ¿Con qué rapidez se incrementa el área del cuadrado cuando su área es de 16 cm2? 4. El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8 [email protected] y el ancho a razón de 3 [email protected] Cuando el largo es 20 cm y el ancho es 10 cm, ¿qué tan rápido se incrementa el área del rectángulo? 5. Un tanque cilíndrico con 5 m de radio se está llenando con agua a razón de 3 [email protected] ¿Qué tan rápido se incrementa la altura del agua? 6. El radio de una esfera se incrementa a razón de 4 [email protected] ¿Qué tan rápido se incrementa el volumen cuando el diámetro es de 80 mm? 7. El radio de una pelota esférica está aumentando a razón de 2 [email protected] ¿Con qué velocidad está aumentando la superficie de la pelota cuando el radio es de 8 cm? 8. El área de un triángulo con lados de longitudes a y b y ángulo contenido u es 1

A 5 2 ab sen u (a) Si a 5 2 cm, b 5 3 cm, y u aumenta a un ritmo de 0.2 [email protected], ¿qué tan rápido aumenta el área cuando u 5 [email protected]? (b) Si a 5 2 cm, b aumenta a razón de 1.5 [email protected], u aumenta a razón de 0.2 [email protected], ¿qué tan rápido aumenta el área cuando b 5 3 cm y u 5 [email protected]? (c) Si a aumenta a razón de 2.5 [email protected], b aumenta a razón de 1.5 [email protected] y u aumenta a razón de 0.2 [email protected], ¿qué tan rápido está aumentando el área cuando a 5 2 cm, b 5 3 cm y u 5 [email protected]? 9. Suponga que y 5 !2x 1 1, donde x y y son funciones de t. (a) Si [email protected] 5 3, encuentre [email protected] cuando x 5 4. (b) Si [email protected] 5 5, encuentre [email protected] cuando x 5 12. 10. Suponga que 4x 2 1 9y 2 5 36, donde x y y son funciones de t. 1

13–16 (a) (b) (c) (d) (e)

¿Qué cantidades se conocen en el problema? ¿Qué cantidades se desconocen? Trace un diagrama de la situación para cualquier tiempo t. Plantee una ecuación que relacione las cantidades. Termine de resolver el problema.

13. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 2 km y a una rapidez de 800 [email protected] y pasa directamente sobre una estación de radar. Calcule la rapidez con la que aumenta la distancia desde el avión a la estación cuando este se encuentra a 3 km de la estación. 14. Si una bola de nieve se derrite de tal modo que el área superficial disminuye a razón de 1 [email protected], calcule la rapidez con la que disminuye el diámetro cuando es 10 cm. 15. Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 6 m de altura. Un hombre de 2 m de estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 1.5 [email protected] a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido se desplaza la punta de su sombra cuando el hombre está a 10 m del poste? 16. A mediodía, un barco A está a 150 km al oeste del barco B. El barco A navega hacia el este a 35 [email protected] y el barco B navega hacia el norte a 25 [email protected] ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos a las 16:00? 17. Dos automóviles parten desde el mismo punto. Uno se dirige hacia el sur a 30 [email protected] y el otro hacia el oeste a 72 [email protected] ¿Con qué rapidez se incrementa la distancia entre los automóviles dos horas después? 18. Un foco sobre el piso ilumina una pared a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de estatura camina desde el foco hacia el edificio a una rapidez de 1.6 [email protected], ¿qué tan rápido disminuye la longitud de su sombra sobre la pared cuando está a 4 m del edificio? 19. Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 1.2 [email protected] desde un punto P. Cinco minutos más tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 1.6 [email protected] desde un punto a 200 m directo al este de P. ¿Con qué rapidez se están separando las personas 15 min después de que la mujer empezó a caminar? 20. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies por lado. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base con una rapidez de 24 [email protected] (a) ¿Con qué rapidez decrece su distancia desde la segunda base cuando está a medio camino de la primera base? (b) ¿Con qué rapidez se incrementa su distancia desde la tercera base en el mismo momento?

2

(a) Si [email protected] 5 3 , encuentre [email protected] cuando x 5 2 y y 5 3 !5. 2 (b) Si [email protected] 5 3, encuentre [email protected] cuando x 5 2 2 y y 5 3 !5.

11. Si x 2 1 y 2 1 z 2 5 9, [email protected] 5 5 y [email protected] 5 4, encuentre [email protected] cuando (x, y, z) 5 (2, 2, 1).

12. Una partícula se desplaza a lo largo de la hipérbola xy 5 8. Cuando alcanza el punto (4, 2), la coordenada y disminuye con una rapidez de 3 [email protected] ¿Qué tan rápido cambia la coordenada x del punto en movimiento en ese instante?

Stewart_ch03_240-249.indd 249

90 pies

09/06/17 3:02 a.m.

250

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

21. La altura de un triángulo se incrementa a razón de 1 [email protected], mientras que el área del triángulo aumenta a razón de 2 [email protected] ¿Con qué rapidez cambia la base del triángulo cuando la altura es de 10 cm y el área es de 100 cm2?

una pila en forma de cono cuyo diámetro y altura son siempre iguales. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de la pila cuando esta mide 3 m de alto?

22. Un bote se jala hacia un muelle mediante una soga unida a la proa y que pasa por una polea que se encuentra instalada en el muelle a 1 m más arriba que la proa del bote. Si la soga se jala a una rapidez de 1 [email protected], ¿qué tan rápido se aproxima el bote al muelle cuando se encuentra a 8 m?

23. A mediodía, el barco A está a 100 km al oeste del barco B. El barco A se dirige hacia el sur a 35 [email protected], y el barco B va hacia el norte a 25 [email protected] ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos a las 16:00?

30. Un papalote que está a 50 m arriba de la superficie de la tierra se desplaza en forma horizontal a una rapidez de 2 [email protected] ¿Con qué rapidez disminuye el ángulo entre la cuerda y la horizontal cuando se han soltado 100 m de cuerda?

24. Una partícula se desplaza a lo largo de la curva y 5 2 sen([email protected]). Cuando la partícula pasa por el punto ( 13 , 1) , su coordenada x se incrementa a razón de !10 [email protected] ¿Qué tan rápido cambia la distancia desde la partícula al origen en este instante?

31. Los lados de un triángulo equilátero están aumentando a razón de 10 [email protected] ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando los lados tienen un largo de 30 cm?

25. El agua sale de un depósito en forma de cono invertido a razón de 10 000 [email protected] al mismo tiempo que se bombea agua al depósito a razón constante. El depósito mide 6 m de altura, y el diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua se eleva a razón de 20 [email protected] cuando la altura del agua es de 2 m, calcule la razón a la cual el agua está siendo bombeada hacia el tanque. 26. Se tiene un canal de 6 m de largo con extremos en forma de triángulos isósceles que están a 1 m en la parte superior y tiene una altura de 50 cm. Si el canal se está llenando de agua a razón de 1.2 [email protected], ¿qué tan rápido está aumentando el nivel del agua cuando se encuentra a 30 cm de profundidad? 27. Un canal de agua tiene 10 m de longitud y una sección transversal en forma de un trapecio isósceles con 30 cm de ancho en la parte inferior, 80 cm de ancho en la parte superior, y una altura de 50 cm. Si el canal se llena con agua a razón de 0.2 [email protected], ¿qué tan rápido está aumentando el nivel del agua cuando se encuentra a 30 cm de profundidad? 28. Una piscina mide 5 m de ancho, 10 m de largo, 1 m de profundidad en el extremo de poco fondo y 3 m de profundidad en la parte más honda. En la figura se muestra una sección transversal de la piscina. Si esta se está llenando a razón de 0.1 [email protected], ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando tiene 1 m en el punto más hondo? 1 2 1.5

3

4

1.5

29. Se descarga grava por medio de una banda transportadora a razón de 3 [email protected], y el grosor de granos es tal que forma

Stewart_ch03_250-259.indd 250

32. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo entre el muro y la escalera en el ejemplo 2, cuando la parte inferior de la escalera está a 3 m del muro? 33. La parte superior de una escalera se desliza por una pared con una rapidez vertical de 0.15 [email protected] En el momento en que la parte inferior de la escalera está a 3 m de la pared, se desliza alejándose de esta con una rapidez de 0.2 [email protected] ¿Cuál es la longitud de la escalera? 34. De acuerdo con el modelo que utilizamos para resolver el ejemplo 2, ¿qué pasa conforme la parte superior de la escalera se acerca al suelo? ¿Es adecuado el modelo para valores pequeños de y? 35. Si el minutero de un reloj tiene longitud r (en centímetros), encuentre la rapidez con la que barre el área en función de r. ; 36. Un grifo está llenando un recipiente hemisférico de 60 cm de diámetro, a razón de 2 [email protected] Encuentre la rapidez a la que está aumentando el agua en el recipiente cuando está medio lleno. [Utilice los hechos: 1 L es 1000 cm3. El volumen de la parte de una esfera con radio r desde la parte inferior a una altura h es V −  (rh 2 2 13 h 3), como se demostrará en el capítulo 6.] 37. La ley de Boyle establece que, cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV 5 C, donde C es una constante. Suponga que en un cierto instante el volumen es de 600 cm3, la presión es de 150 kPa y que la presión se incrementa a razón de 20 [email protected] ¿Con qué rapidez disminuye el volumen en ese instante? 38. Cuando el aire se expande en forma adiabática (no gana ni pierde calor), su presión P y su volumen V se relacionan mediante la ecuación PV 1.4 5 C, donde C es una constante. Suponga que en un cierto instante el volumen es 400 cm3 y que la presión es 80 kPa y está disminuyendo a razón de 10 [email protected] ¿Con qué rapidez aumenta el volumen en este instante?

09/06/17 3:10 a.m.

SECCIÓN 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales

39. Si se conectan dos resistencias R1 y R2 en paralelo, como se muestra en la figura, entonces la resistencia total R, medida en ohms (Ω) está dada por 1 1 1 − 1 R R1 R2 Si R1 y R2 se incrementan a razón de 0.3 Ω@s y 0.2 Ω@s, respectivamente, ¿qué tan rápido cambia R cuando R1 5 80 Ω y R2 5 100 Ω?



R™

40. El peso B del cerebro en función del peso del cuerpo W en los peces se ha modelado mediante la función potencia B 5 0.007W [email protected], donde B y W se dan en gramos. Un modelo para el peso corporal en función de la longitud del cuerpo L (medido en centímetros), es W 5 0.12L2.53. Si en 10 millones de años la longitud promedio de ciertas especies de peces evolucionaron de 15 a 20 cm a rapidez constante, ¿qué tan rápido creció el cerebro de estas especies cuando la longitud promedio era de 18 cm? 41. Los lados de un triángulo tienen longitudes de 12 y 15 m. El ángulo entre ellos se incrementa a razón de 2°@min. ¿Qué tan rápido se incrementa la longitud del tercer lado cuando el ángulo entre los lados de longitud fija es de 60º? 42. Dos carros A y B están conectados por medio de una soga de 12 m de longitud que pasa por una polea P (véase la figura). El punto Q está en el suelo a 4 m directamente abajo de P y entre los carros. El carro A es jalado a partir de Q a una rapidez de 0.5 [email protected] ¿Qué tan rápido se mueve el carro B hacia Q en el instante en que el carro A está a 3 m de Q?

4m B Q

43. Una cámara de televisión se instala a 1200 m de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar con la rapidez correcta con el objeto de tener siempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la cámara tiene que tomar en cuenta la distancia creciente de la cámara al cohete que se eleva. Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 200 [email protected] cuando se ha elevado 900 m. (a) ¿Qué tan rápido cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese momento? (b) Si la cámara de televisión se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿qué tan rápido cambia el ángulo de elevación de la cámara en ese momento? 44. Un faro se localiza en una pequeña isla a 3 km de distancia del punto P más cercano que se encuentra en una playa recta, y su luz da cuatro revoluciones por minuto. ¿Qué tan rápido se mueve el haz de luz a lo largo de la playa cuando está a 1 km de P? 45. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 5 km y pasa directamente sobre un telescopio de seguimiento en la superficie de la Tierra. Cuando el ángulo de elevación es [email protected], este ángulo está disminuyendo a razón de [email protected] [email protected] ¿Con qué rapidez está viajando el avión en ese instante? 46. Una rueda de la fortuna de 10 m de radio está girando a razón de una revolución cada 2 min. ¿Qué tan rápido se está elevando un pasajero cuando su silla está a 16 m del nivel del suelo? 47. Un avión que vuela con rapidez constante de 300 [email protected] pasa sobre una estación terrestre de radar a una altitud de 1 km y se eleva con un ángulo de 30°. ¿Con qué rapidez se incrementa la distancia del avión a la estación de radar un minuto más tarde? 48. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 4 [email protected], y la otra camina hacia el noreste a 2 [email protected] ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las personas después de 15 minutos? 49. Un individuo corre por una pista circular de 100 m de radio a una rapidez constante de 7 [email protected] Un amigo del corredor está parado a una distancia de 200 m del centro de la pista. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los amigos cuando la distancia entre ellos es de 200 m?

P

A

251

50. La manecilla de los minutos de un reloj mide 8 mm de largo y la manecilla de las horas mide 4 mm de largo. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las puntas de las manecillas cuando es 13:00?

3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales Se ha visto que una curva se encuentra muy cerca de su recta tangente cerca del punto de tangencia. De hecho, al realizar un acercamiento hacia el punto en la gráfica de una función derivable, se observa que la gráfica se parece cada vez más a su recta tangente. (Véase la figura 2.7.2.) Esta observación es la base de un método para determinar valores aproximados de funciones. La idea es que puede resultar fácil calcular un valor f(a) de una función, pero difícil (o aun imposible) calcular valores cercanos de f. Por tanto, se recurre a los valores

Stewart_ch03_250-259.indd 251

09/06/17 3:10 a.m.

252

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

calculados fácilmente de la función lineal L cuya gráfica es la recta tangente de f en (a, f(a)). (Véase la figura 1.) En otras palabras, se utiliza la recta tangente en (a, f(a)) como una aproximación a la curva y 5 f(x) cuando x está cerca de a. Una ecuación para la recta tangente es

y

y=ƒ y=L(x)

{a, f(a)}

y − f sad 1 f 9sadsx 2 ad y la aproximación x

0

1

FIGURA 1

f sxd < f sad 1 f 9sadsx 2 ad

se conoce con el nombre de aproximación lineal o aproximación de la recta tangente de f en a. A la función lineal cuya gráfica es esta recta tangente, es decir,

2

Lsxd − f sad 1 f 9sadsx 2 ad

se le llama linealización de f en a.

EJEMPLO 1 Encuentre la linealización de la función f(x) 5 !x 1 3 en a 5 1 y úsela para obtener una aproximación de los números !3.98 y !4.05. ¿Estas aproximaciones

son sobreestimaciones o subestimaciones?

SOLUCIÓN La derivada de f(x) 5 (x 1 3)[email protected] es

f 9sxd − 12 sx 1 3d21y2 −

1 2sx 1 3

y se tiene que f(1) 5 2 y f9(1) 5 14 . Si se sustituyen estos valores en la ecuación 2, se observa que la linealización es Lsxd − f s1d 1 f 9s1dsx 2 1d − 2 1 14 sx 2 1d −

7 x 1 4 4

La aproximación lineal correspondiente (1) es 7

x

4

4

!x 1 3 < 1

(cuando x está cerca de 1)

En particular, se tiene que

s3.98 < 74 1 0.98 4 − 1.995

y 7

x

y= 4 + 4 (1, 2) _3

0

1

FIGURA 2

Stewart_ch03_250-259.indd 252

y= œ„„„„ x+3 x

y

s4.05 < 74 1 1.05 4 − 2.0125

En la figura 2 se ilustra la aproximación lineal. En ella se observa que, en efecto, la recta tangente es una buena aproximación a la función dada cuando x está cerca de 1. También se observa que las aproximaciones son sobreestimaciones porque la recta tangente se encuentra por arriba de la curva. Por supuesto, una calculadora podría dar aproximaciones para !3.98 y !4.05, pero la aproximación lineal da una aproximación sobre todo un intervalo. n

09/06/17 3:10 a.m.

253

SECCIÓN 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales

En la tabla siguiente se comparan las estimaciones de la aproximación lineal del ejemplo 1 con los valores reales. Observe en esta tabla, y también en la figura 2, que la aproximación con la recta tangente da buenas estimaciones cuando x está cerca de 1, pero la precisión de la aproximación disminuye cuando x está más lejos de 1. x

De Lsxd

Valor real

s3.9

0.9

1.975

1.97484176. . .

s3.98

0.98

1.995

1.99499373. . .

s4

1

2

2.00000000. . .

s4.05

1.05

2.0125

2.01246117. . .

s4.1

1.1

2.025

2.02484567. . .

s5 s6

2

2.25

2.23606797. . .

3

2.5

2.44948974. . .

¿Qué tan buena es la aproximación obtenida en el ejemplo 1? El ejemplo siguiente muestra que usando una calculadora graficadora o una computadora es posible determinar un intervalo a lo largo del cual una aproximación lineal proporciona una precisión específica.

EJEMPLO 2 ¿Para cuáles valores de x la aproximación lineal sx 1 3 <

7 x 1 4 4

es exacta con una diferencia menor que 0.5? ¿Qué puede decir de una exactitud con una diferencia menor que 0.1? SOLUCIÓN Una exactitud con una diferencia menor que 0.5 significa que las funciones deben diferir en menos de 0.5:

4.3

Z

Q y= œ„„„„ x+3+0.5

L(x)

P

y= œ„„„„ x+3-0.5

_4

sx 1 3 2

sx 1 3 2 0.5 ,

_1

FIGURA 3

Q y= œ„„„„ x+3+0.1

FIGURA 4

7 x 1 , sx 1 3 1 0.5 4 4

sx 1 3 <

y= œ„„„„ x+3-0.1

1

, 0.5

Esto expresa que la aproximación lineal debe encontrarse entre las curvas que se obtienen al desplazar la curva y 5 !x 1 3 hacia arriba y hacia abajo en una cantidad de 0.5. En la figura 3 se muestra la recta tangente y 5 (7 1 x)@ 4 que interseca la curva superior y 5 !x 1 3 1 0.5 en P y Q. Al hacer un acercamiento y usar el cursor, en la computadora se estima que la coordenada x de P se aproxima a 22.66, y la coordenada x de Q es más o menos 8.66. Así, con base en la gráfica, la aproximación

3

_2

7 x 1 4 4

De modo equivalente, se podría escribir 10

P

S DZ

5

7 x 1 4 4

es exacta con una diferencia menor que 0.5 cuando 22.6 , x , 8.6. (Se ha redondeado para quedar dentro del margen de seguridad.) De manera análoga, en la figura 4 se observa que la aproximación es exacta con una diferencia menor que 0.1 cuando 21.1 , x , 3.9. n

Aplicaciones en física Las aproximaciones lineales se usan con frecuencia en la física. Al analizar las consecuencias de una ecuación, a veces un físico necesita simplificar una función sustituyéndola con una aproximación lineal. Por ejemplo, al derivar una fórmula para el período de un péndulo, los libros de texto de física obtienen la expresión aT 5 2g senu para la

Stewart_ch03_250-259.indd 253

09/06/17 3:10 a.m.

254

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

aceleración tangencial, y luego sustituyen sen u por u haciendo la observación de que sen u está muy cerca de u si no es demasiado grande. [Véase, por ejemplo, Physics: Calculus, 2a. ed., por Eugene Hecht (Pacific Grove, CA: [email protected], 2000), p. 431.] Se puede comprobar que la linealización de la función f(x) 5 sen x en a 5 0 es L(x) 5 x, de manera que la aproximación lineal en 0 es sen x < x (véase el ejercicio 42). Por lo que, en efecto, la derivación de la fórmula para el período de un péndulo utiliza la aproximación a la recta tangente para la función seno. Otro ejemplo se presenta en la teoría de la óptica, donde los rayos de luz que llegan con ángulos bajos en relación con el eje óptico se llaman rayos paraxiales. En la óptica paraxial (o gaussiana) tanto sen u como cos u se sustituyen con sus linealizaciones. En otras palabras, las aproximaciones lineales sen u < u

y

cos  < 1

se utilizan porque u está cerca de 0. Los resultados de los cálculos que se efectúan con estas aproximaciones se convierten en la herramienta teórica básica que se utiliza para diseñar lentes. [Véase Optics, 4a. ed., por Eugene Hecht (San Francisco: 2002), p. 154.] En la sección 11.11 aparecen varias aplicaciones de la idea de aproximación lineal a la física e ingeniería.

Diferenciales Las ideas detrás de las aproximaciones lineales se formulan en ocasiones en la terminología y la notación de diferenciales. Si y 5 f(x), donde f es una función derivable, entonces la diferencial dx es una variable independiente; esto es, dx es cualquier número real. La diferencial dy es entonces definida en términos de dx mediante la ecuación

Si dx  0, se puede dividir ambos lados de la ecuación 3 entre dx para obtener dy − f 9sxd dx Antes ha visto ecuaciones similares, pero ahora el lado izquierdo se puede interpretar en forma genuina como un cociente de diferenciales. y

Q

R

3

dy − f 9sxd dx

Por lo que dy es una variable dependiente: depende de los valores de x y dx. Si dx se le da un valor específico, y x se considera como algún número específico en el dominio de f, entonces se determina el valor numérico de dy. En la figura 5 se muestra el significado geométrico de los diferenciales. Sean P(x, f(x)) y Q(x 1 Dx, f(x 1 Dx)) puntos sobre la gráfica de f, y sea dx 5 Dx. El cambio correspondiente en y es Dy − f sx 1 Dxd 2 f sxd

Îy

P dx=Îx

0

x

y=ƒ

FIGURA 5

dy

S

x+Î x

x

La pendiente de la recta tangente PR es la derivada f9(x). Por lo que, la distancia dirigida de S a R es f9(x)dx 5 dy. Por tanto, dy representa la cantidad que la recta tangente se levanta o cae (el cambio en la linealización), mientras que Dy representa la cantidad que la curva y 5 f(x) se levanta o cae cuando x cambia en una cantidad dx.

EJEMPLO 3 Compare los valores de Dy y dy si y 5 f(x) 5 x 3 1 x 2 2 2x 1 1 y x cam-

bia (a) de 2 a 2.05 y (b) de 2 a 2.01. SOLUCIÓN

(a) Se tiene que f s2d − 2 3 1 2 2 2 2s2d 1 1 − 9 f s2.05d − s2.05d3 1 s2.05d2 2 2s2.05d 1 1 − 9.717625 Dy − f s2.05d 2 f s2d − 0.717625

Stewart_ch03_250-259.indd 254

09/06/17 3:10 a.m.

SECCIÓN 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales

La figura 6 muestra la función del ejemplo 3 y una comparación de dy y Dy cuando a 5 2. El rectángulo de vista es [1.8, 2.5] por [6, 18].

255

dy − f 9sxd dx − s3x 2 1 2x 2 2d dx

En general,

Cuando x 5 2 y dx 5 Dx 5 0.05, esto se transforma en dy − f3s2d2 1 2s2d 2 2g0.05 − 0.7

y=˛+≈-2x+1

(b) dy

Îy

f s2.01d − s2.01d3 1 s2.01d2 2 2s2.01d 1 1 − 9.140701 Dy − f s2.01d 2 f s2d − 0.140701

(2, 9)

Cuando dx 5 Dx 5 0.01, FIGURA 6

dy − f3s2d2 1 2s2d 2 2g0.01 − 0.14

n

Observe que, en el ejemplo 3, la aproximación Dy < dy mejora a medida que Dx se hace más pequeña. Observe también que es más fácil calcular dy que Dy. En el caso de funciones más complicadas, sería imposible calcular exactamente Dy. En estos casos, la aproximación mediante diferenciales es especialmente útil. En la notación de diferenciales, la aproximación lineal (1) se puede escribir como f sa 1 dxd < f sad 1 dy Por ejemplo, para la función f(x) 5 !x 1 3 del ejemplo 1, se tiene que dy − f 9sxd dx −

dx 2 sx 1 3

Si a 5 1 y dx 5 Dx 5 0.05, entonces dy − y

0.05 − 0.0125 2 s1 1 3

s4.05 − f s1.05d < f s1d 1 dy − 2.0125

igual a lo que encontró en el ejemplo 1. Este ejemplo final ilustra el uso de diferenciales para estimar los errores que ocurren debido a mediciones aproximadas.

EJEMPLO 4 Se midió el radio de una esfera y se encontró que es 21 cm con un posible error en la medición de cuando mucho 0.05 cm. ¿Cuál es el error máximo al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera? SOLUCIÓN Si el radio de la esfera es r, entonces el volumen es V − 43 r 3. Si el error en

el valor medido de r se denota por medio de dr 5 Dr, entonces el error correspondiente en el valor calculado de V es DV, que se puede aproximar mediante el diferencial dV − 4r 2 dr Cuando r 5 21 y dr 5 0.05, esto se convierte en dV − 4s21d2 0.05 < 277 El error máximo en el volumen calculado es de alrededor de 277 cm3.

Stewart_ch03_250-259.indd 255

n

09/06/17 3:10 a.m.

256

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

NOTA Si bien el posible error en el ejemplo 4 puede parecer bastante grande, el error relativo ofrece un mejor panorama del error; se calcula dividiendo el error entre el volumen total: DV dV 4r 2 dr dr < − 4 3 −3 V V r 3 r Por esto, el error relativo en el volumen es aproximadamente tres veces el error relativo en el radio. En el ejemplo 4, el error relativo en el radio es [email protected] 5 [email protected] < 0.0024 y produce un error relativo de alrededor de 0.007 en el volumen. Los errores se pueden expresar asimismo como errores de porcentaje de 0.24% en el radio y 0.7% en el volumen.

3.10 EJERCICIOS 1–4 Encuentre la linealización L(x) de la función en a. 1. f sxd − x 2 x 1 3, a − 22 3

2

2. f sxd − sen x, 3. f sxd − sx ,

15. y − e x y10,

a − y6

16. y − cos

a−4

4. f sxd − 2 x, a − 0

; 6. Encuentre la aproximación lineal de la función 3 g(x) 5 ! 1 1 x en a 5 0 y utilícela para hacer una aproxi3 3 mación a los números ! 0.95 y ! 1.1. Ilustre trazando la gráfica de g y la recta tangente.

; 7–10 Compruebe la aproximación lineal dada en a 5 0. Luego determine los valores de x para los cuales la aproximación lineal es exacta hasta un valor menor que 0.1.

9. 1ys1 1 2xd 4 < 1 2 8x

8. tan x < x 10. e x cos x < 1 1 x

11–14 Obtenga la derivada de cada una de las funciones siguientes. 11. (a) y − xe 24x 12. (a) y −

1 1 2u 1 1 3u

13. (a) y − tan st 14. (a) y − lnssen d

Stewart_ch03_250-259.indd 256

x − 0, x,

x−

17. y − s3 1 x 2 ,

; 5. Encuentre la aproximación lineal a la función f(x) 5 !1 2 x en a 5 0 y úsela para hacer una aproximación a los números !0.9 y !0.99. Ilustre trazando la gráfica de f y la recta tangente.

7. lns1 1 xd < x

15–18 (a) Encuentre la diferencial dy y (b) evalúe dy para los valores dados de x y dx en cada una de las funciones siguientes.

(b) y − s1 2 t 4 (b) y − (b) y −

2

sen 2

1 2 v2 1 1 v2

18. y −

e 1 2 ex

dx − 20.02

x − 1, x − 2,

dx − 20.1

dx − 0.05

19–22 Calcule Dy y dy para los valores dados de x y dx 5 Dx. Luego trace un diagrama como el de la figura 5 en el que se muestren los segmentos de recta con longitudes dx, dy y Dy. 19. y − x 2 2 4x,

x − 3, Dx − 0.5

20. y − x 2 x 3,

x − 0, Dx − 20.3

21. y − sx 2 2 ,

x − 3, Dx − 0.8

x

22. y − e ,

x − 0, Dx − 0.5

23–28 Utilice la aproximación lineal (o diferenciales) para estimar cada uno de los números dados. 23. s1.999d4

24. 1y4.002

3 25. s 1001

26. s100.5

27. e 0.1

28. cos 29°

29–31 Explique, en términos de aproximaciones lineales o diferenciales, por qué es razonable la aproximación de cada uno de los números siguientes. 29. sec 0.08 < 1

x

(b) y −

x11 , x21

dx − 0.1 1 3,

31.

30. s4.02 < 2.005

1 < 0.1002 9.98

09/06/17 3:10 a.m.

257

SECCIÓN 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales

32. Sean y

;

f(x) 5 (x 2 1)2

g(x) 5 e22x

(Esta se conoce como ley de Poiseuille; en la sección 8.4 se muestra el porqué es verdadera.) Una arteria parcialmente obstruida se puede expandir por medio de una operación llamada angioplastia, en la cual un catéter provisto de un globo en la punta se infla dentro del vaso para ensancharlo y restituir el flujo sanguíneo normal. Demuestre que el cambio relativo en F es alrededor de cuatro veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará un aumento de 5% en el radio al flujo de sangre?

h(x) 5 1 1 ln(1 2 2x)

(a) Encuentre la linealización de f, g y h en a 5 0. ¿Qué observa? ¿Cómo explica lo que sucedió? (b) Trace la gráfica de f, g y h y su aproximación lineal. ¿Para cuál función es mejor la aproximación lineal? ¿Para cuál es peor? Explique.

41. Establezca las reglas siguientes para trabajar con diferenciales (donde c es una constante y u y √ son funciones de x). (a) dc − 0 (b) dscud − c du (c) dsu 1 vd − du 1 dv (d) dsuvd − u dv 1 v du

33. Se encontró que la arista de un cubo es 30 cm, con un posible error en la medición de 0.1 cm. Utilice diferenciales para estimar el error máximo posible, el error relativo y el porcentaje de error al calcular (a) el volumen del cubo y (b) el área superficial del cubo.

SD

34. Se da el radio de un disco circular como de 24 cm, con un error máximo en la medición de 0.2 cm. (a) Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el área calculada del disco. (b) ¿Cuál es el error relativo? ¿Cuál es el porcentaje de error?

(e) d

37. (a) Utilice diferenciales para determinar una fórmula para el volumen aproximado de un cascarón cilíndrico de altura h, radio interno r y espesor Dr. (b) ¿Cuál es el error que hay al utilizar la fórmula del inciso (a)? 38. Se sabe que un lado de un triángulo rectángulo es de 20 cm de longitud, y se mide el ángulo opuesto como 30º, con un posible error de 61°. (a) Utilice diferenciales para estimar el error al calcular la longitud de la hipotenusa. (b) ¿Cuál es el porcentaje de error? 39. Si una corriente I pasa a través de un resistor con resistencia R, la ley de Ohm establece que la caída de voltaje es V 5 RI. Si V es constante y R se mide con un cierto error, utilice diferenciales para demostrar que el cálculo de I es aproximadamente el mismo (en magnitud) que el error relativo en R. 40. Cuando la sangre fluye por un vaso sanguíneo, el flujo F (el volumen de sangre por unidad de tiempo que corre por un punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio R del vaso sanguíneo: F − kR 4

Stewart_ch03_250-259.indd 257

v



v du 2 u dv v2

(f) dsx n d − nx n21 dx

42. En la página 431 de Physics: Calculus, 2a. ed., por Eugene Hecht (Pacific Grove, CA: [email protected], 2000), al derivar la fórmula T 5 2p !Lg para el período de un péndulo de longitud L, el autor obtiene la ecuación aT 5 2g sen u para la aceleración tangencial del péndulo. Luego dice “para ángulos pequeños, el valor de u en radianes está muy cerca del valor de sen u; difieren menos que 2% hasta alrededor de 20 º ”. (a) Compruebe la aproximación lineal en 0 para la función seno:

35. La circunferencia de una esfera se midió como 84 cm, con un posible error de 0.5 cm. (a) Use diferenciales para calcular el error máximo en el área superficial calculada. ¿Cuál es el error relativo? (b) Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el volumen calculado. ¿Cuál es el error relativo? 36. Utilice diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0.05 cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un diámetro de 50 m.

u

sen x < x ;

(b) Utilice un dispositivo graficador para determinar los valores de x para los cuales sen x y x difieren menos de 2%. Luego compruebe la afirmación de Hecht convirtiendo de radianes a grados. 43. Suponga que la única información acerca de una función f es que f(1) 5 5 y la gráfica de su derivada es como se muestra. (a) Use una aproximación lineal para estimar f(0.9) y f(1.1). (b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes o demasiado pequeñas? Explique. y

y=fª(x) 1 0

1

x

44. Suponga que no tiene una fórmula para g(x), pero sabe que g(2) 5 24 y g9(x) 5 !x 2 1 5 para toda x. (a) Use una aproximación lineal para estimar g(1.95) y g(2.05). (b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes o demasiado pequeñas? Explique.

09/06/17 3:10 a.m.

258

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

PROYECTO DE LABORATORIO

;

POLINOMIOS DE TAYLOR

La aproximación por medio de una recta tangente L(x) es la mejor aproximación de primer grado (lineal) a f(x) cerca de x 5 a porque f(x) y L(x) tienen la misma razón de cambio (derivada) en a. Para tener una mejor aproximación que una lineal, intente una aproximación de segundo grado (cuadrática) P(x). En otras palabras, aproxime una curva mediante una parábola, en lugar de utilizar una recta. Para tener la seguridad de que la aproximación es buena, establezca lo siguiente: (i) P(a) 5 f(a)

(ii) P9(a) 5 f9(a)

(iii) P 0(a) 5 f 0(a)

(P y f deben tener el mismo valor en a.)

(P y f deben tener la misma razón de cambio en a.)

(Las pendientes de P y f deben tener la misma razón de cambio en a.)

1. Encuentre la aproximación cuadrática P(x) 5 A 1 Bx 1 Cx2 para la función f(x) 5 cos x, que satisfaga las condiciones (i), (ii) y (iii), con a 5 0. Grafique P, f y la aproximación lineal L(x) 5 1 en una pantalla común. Comente qué tan bien las funciones P y L se aproximan a f. 2. Determine los valores de x para los que la aproximación cuadrática f(x) < P(x) del problema 1 es exacta con una diferencia menor que 0.1. [Sugerencia: trace la gráfica de y 5 P(x), y 5 cos x 2 0.1 y y 5 cos x 1 0.1 en una pantalla común.] 3. Para aproximar una función f mediante una función cuadrática P cerca de un número a, lo mejor es escribir P en la forma Psxd − A 1 Bsx 2 ad 1 Csx 2 ad2 Demuestre que la función cuadrática que satisface las condiciones (i), (ii) y (iii) es Psxd − f sad 1 f 9sadsx 2 ad 1 12 f 99sadsx 2 ad2 4. Encuentre la aproximación para f(x) 5 !x 1 3 cerca de a 5 1. Trace las gráficas de f, la aproximación cuadrática y la aproximación lineal del ejemplo 3.10.2 en una pantalla común. ¿Qué podría concluir? 5. En lugar de quedar conforme con una aproximación lineal o con una cuadrática para f(x), cerca de x 5 a, intente determinar mejores aproximaciones con polinomios de grado más alto. Busque un polinomio de n-ésimo grado Tnsxd − c0 1 c1 sx 2 ad 1 c2 sx 2 ad2 1 c3 sx 2 ad3 1 ∙ ∙ ∙ 1 cn sx 2 adn tal que Tn y sus n primeras derivadas tengan los mismos valores en x 5 a como f y sus n primeras derivadas. Derive repetidas veces y haga x 5 a para demostrar que estas condicio1 nes se satisfacen si c0 5 f(a), c1 5 f9(a), c2 5 2 f 0(a) y, en general, ck −

f skdsad k!

donde k! − 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ∙ ∙ ∙ ? k. El polinomio resultante Tn sxd − f sad 1 f 9sadsx 2 ad 1

f 99sad f sndsad sx 2 ad2 1 ∙ ∙ ∙ 1 sx 2 adn 2! n!

Se llama polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f centrado en a. 6. Encuentre el polinomio de Taylor de octavo grado, centrado en a 5 0, para la función f(x) 5 cos x. Trace la gráfica de f junto con los polinomios de Taylor T2, T4, T6 y T8, en rectángulos de vista [25, 5] por [21.4, 1.4] y comente qué tan bien se aproximan a f.

Stewart_ch03_250-259.indd 258

09/06/17 3:10 a.m.

SECCIÓN 3.11 Funciones hiperbólicas

259

3.11 Funciones hiperbólicas Ciertas combinaciones pares e impares de las funciones exponenciales e x y e 2x surgen con tanta frecuencia en matemáticas y sus aplicaciones que merecen recibir un nombre especial. En muchos aspectos son similares a las funciones trigonométricas y tienen la misma relación con la hipérbola que las funciones trigonométricas tienen con la circunferencia. Por esta razón, se les llama en forma colectiva funciones hiperbólicas, y de manera individual se les conoce como seno hiperbólico, coseno hiperbólico, y así sucesivamente.

Definición de las funciones hiperbólicas senh x −

e x 2 e2x 2

csch x −

1 senh x

cosh x −

e x 1 e2x 2

sech x −

1 cosh x

tanh x −

senh x cosh x

coth x −

cosh x senh x

t Las gráficas del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico se pueden trazar mediante la suma gráfica como en las figuras 1 y 2. y

y

y=cosh x 1 y= 2 ´

0

1

x

y=1

y= 2 ´

FIGURA 1

FIGURA 2

y − cosh x − 12 e x 1 12 e 2x

y − senh x − 12 e x 2 12 e 2x

y

FIGURA 4 Una catenaria y 5 c 1 a cosh([email protected])

x

y=_1 0

0

0

1

1

y= 2 e–®

1 y=_ 2 e–®

Stewart_ch03_250-259.indd 259

y

y=senh x

x

x

FIGURA 3 y − tanh x

Observe que senh tiene dominio  y rango , mientras cosh tiene dominio  y rango [1, `). En la figura 3 se muestra la gráfica de tanh, con sus asíntotas horizontales y 5 61. (Véase el ejercicio 23.) Algunos de los usos matemáticos de las funciones hiperbólicas se tratan en el capítulo 7. Las aplicaciones en ciencia e ingeniería se tienen siempre que una entidad física como la luz, velocidad, electricidad o la radiactividad, se absorbe o se extingue en forma gradual, puesto que el decaimiento puede representarse mediante funciones hiperbólicas. La aplicación más famosa es el uso del coseno hiperbólico para describir la forma de un cable colgante. Se puede demostrar que si un cable pesado y flexible (como los que se usan para las líneas telefónicas o eléctricas) se tiende entre dos puntos a la misma altura, entonces el cable toma la forma de una curva con ecuación y 5 c 1 a cosh([email protected]) que se denomina catenaria (véase la figura 4). (Esta palabra proviene de la palabra latina catena que significa “cadena”.)

09/06/17 3:10 a.m.

260

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Otra aplicación de las funciones hiperbólicas aparece en la descripción de las olas del mar: la velocidad de una ola con longitud L que se mueve a través de un cuerpo de agua con profundidad d se modela por la función

L d

v− FIGURA 5

Î

S D

tL 2 d tanh 2 L

donde g es la aceleración debida a la gravedad (véanse la figura 5 y el ejercicio 49). Las funciones hiperbólicas satisfacen un número de identidades que son similares a las muy bien conocidas identidades trigonométricas. A continuación, se presentan algunas de ellas, y la mayoría de las demostraciones se deja para los ejercicios.

Ola de mar idealizada

Identidades hiperbólicas senhs2xd − 2senh x

coshs2xd − cosh x

cosh2x 2 senh2x − 1

1 2 tanh2x − sech2x

© Stockbyte / Getty Images

senhsx 1 yd − senh x cosh y 1 cosh x senh y coshsx 1 yd − cosh x cosh y 1 senh x senh y

El arco Gateway en St. Louis se diseñó utilizando una función coseno hiperbólico (véase el ejercicio 48).

EJEMPLO 1 Demuestre que (a) cosh2x 1 senh2x 5 1 y (b) 1 2 tanh2x 5 sech2x. SOLUCIÓN

(a)

cosh2x 2 senh2x −

S

e x 1 e2x 2

D S 2

2

e x 2 e2x 2

D

2



e 2x 1 2 1 e22x e 2x 2 2 1 e22x 2 4 4



4 −1 4

(b) Empiece con la identidad demostrada en el inciso (a): cosh2x 2 senh2x 5 1 Si divide los dos lados entre cosh2x, obtiene 12

y P(cos t, sen t)

o O

Q

x

≈ +¥=1

FIGURA 6 y

Stewart_ch03_260-269.indd 260

senh2x 1 − cosh2x cosh2x

1 2 tanh2x − sech2x

n

La identidad demostrada en el ejemplo 1(a) proporciona una pista sobre el nombre de funciones “hiperbólicas”. Si t es cualquier número real, entonces el punto P(cos t, sen t) queda sobre la circunferencia unitaria x2 1 y2 5 1 porque cos2t 1 sen2t 5 1. De hecho, t se puede interpretar como la medida en radianes de /POQ de la figura 6. Esta es la razón por la que las funciones trigonométricas se denominan algunas veces funciones circulares.

P(cosh t, senh t)

09/06/17 3:12 a.m.

O

Q

x

≈ +¥=1 SECCIÓN 3.11 Funciones hiperbólicas

y

P(cosh t, senh t)

0

x

261

De manera similar, si t es cualquier número real, entonces el punto P(cosh t, senh t) queda en la rama derecha de la hipérbola x 2 2 y 2 5 1 porque cosh 2 t 2 senh 2 t 5 1 y cosh t > 1. Pero ahora t no representa la medida de un ángulo. Resulta que t representa el doble del área del sector hiperbólico sombreado de la figura 7, de la misma manera que en el caso trigonométrico t representa el doble del área del sector circular sombreado en la figura 6. Las derivadas de las funciones hiperbólicas son fáciles de calcular. Por ejemplo, d d ssenh xd − dx dx

≈ -¥=1

S

e x 2 e2x 2

D



e x 1 e2x − cosh x 2

FIGURA 7

En la tabla 1 se da una lista de las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas. El resto de las demostraciones se dejan como ejercicios. Observe la similitud con las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas, pero observe que los signos son diferentes en algunos casos.

1 Derivadas de las funciones hiperbólicas d ssenh xd − cosh x dx

d scsch xd − 2csch x coth x dx

d scosh xd − senh x dx

d ssech xd − 2sech x tanh x dx

d stanh xd − sech2 x dx

d scoth xd − 2csch2 x dx

EJEMPLO 2 Cualquiera de estas reglas de derivación se puede combinar con la regla de la cadena. Por ejemplo, d senh sx d s cosh sx d − senh sx ? sx − dx dx 2 sx

n

Funciones hiperbólicas inversas De acuerdo con las figuras 1 y 3, senh y tanh son funciones inyectivas por lo que tienen funciones inversas denotadas por senh21 y tanh21. En la figura 2 se observa que cosh no es inyectiva, pero que cuando queda restringida al dominio [0, `) se transforma en inyectiva. La función coseno hiperbólico inversa se define como la inversa de esta función restringida.

2

y − senh21x

P Q

senh y − x

y − cosh21x

P Q

cosh y − x

y − tanh21x

P Q

tanh y − x

y

y>0

Las funciones hiperbólicas inversas que faltan se definen de manera similar (véase el ejercicio 28).

Stewart_ch03_260-269.indd 261

09/06/17 3:12 a.m.

262

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

Las funciones senh21, cosh21 y tanh21 se grafican en las figuras 8, 9 y 10 con ayuda de las figuras 1, 2 y 3. y

y y

0 0

x

_1 0

FIGURA 8 y 5 senh21x dominio 5  rango 5 

1

x

x

1

FIGURA 9 y 5 cosh21x dominio 5 [1, `) rango 5 [0, `)

FIGURA 10 y 5 tanh21 x dominio 5 (21, 1) rango 5 

Puesto que las funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones exponenciales, no sorprende que las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse en términos de logaritmos. En particular, se tiene que:

La fórmula 3 se demuestra en el ejemplo 3. En los ejercicios 26 y 27 se piden las demostraciones de las fórmulas 4 y 5.

3

senh21x − lns x 1 sx 2 1 1 d

x[R

4

cosh21x − lns x 1 sx 2 2 1 d

x>1

5

tanh21x − 12 ln

S D 11x 12x

21 , x , 1

EJEMPLO 3 Demuestre que senh21x 5 lnAx 1 !x2 1 1 B

SOLUCIÓN Sea y 5 senh21x. Entonces

x − senh y −

e y 2 e2y 2

e y 2 2x 2 e2y − 0

por lo que o, si multiplicamos por e y,

e 2y 2 2xe y 2 1 − 0 Esto es ni más ni menos que una ecuación cuadrática en e y: se y d2 2 2xse y d 2 1 − 0 Al resolver la ecuación cuadrática, se obtiene ey −

2x 6 s4x 2 1 4 − x 6 sx 2 1 1 2

Observe que e y . 0, pero x 2 !x 2 1 1 , 0 Aporque x , !x 2 1 1 B. Por lo que el signo menos es inadmisible y se tiene que ey 5 x 1 !x 2 1 1

Stewart_ch03_260-269.indd 262

09/06/17 3:12 a.m.

SECCIÓN 3.11 Funciones hiperbólicas

Por tanto, Esto demuestra que

263

y 5 ln(ey) 5 lnAx 1 !x 2 1 1B senh21x 5 lnAx 1 !x 2 1 1 B

(Véase el ejercicio 25 para otro método.)

n

6 Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas

Observe que, al parecer, las fórmulas para las derivadas de tanh21x y coth21x son idénticas, pero los dominios de estas funciones no tienen números comunes: tanh21x se define para u x u , 1, mientras que coth21x se define para u x u. 1.

d 1 ssenh 21xd − dx s1 1 x 2

d 1 scsch21xd − 2 dx x sx 2 1 1

d 1 scosh21xd − 2 dx sx 2 1

d 1 ssech21xd − 2 dx x s1 2 x 2

d 1 stanh21xd − dx 1 2 x2

d 1 scoth21xd − dx 1 2 x2

| |

Las funciones hiperbólicas inversas son derivables porque las funciones hiperbólicas también lo son. Las fórmulas de la tabla 6 se pueden demostrar por el método de las funciones inversas o mediante la derivación de las fórmulas 3, 4 y 5.

EJEMPLO 4 Demuestre que

d 1 ssenh 21xd − . dx s1 1 x 2

SOLUCIÓN 1 Sea y 5 senh21x. Entonces senh y 5 x. Si se deriva esta ecuación en for-

ma implícita respecto a x, se obtiene cosh y

dy −1 dx

Puesto que cosh2y 2 senh2y 5 1 y cosh y > 0, se tiene cosh y 5 !1 1 senh 2 y, por lo que dy 1 1 1 − − − 2 dx cosh y s1 1 senh y s1 1 x 2 SOLUCIÓN 2 De acuerdo con la ecuación 3 (demostrada en el ejemplo 3) se tiene

d d ssenh 21xd − lns x 1 sx 2 1 1 d dx dx −



Stewart_ch03_260-269.indd 263

1

d s x 1 sx 2 1 1 d x 1 sx 1 1 dx 2

1 x 1 sx 1 1 2

S

11

x sx 1 1



sx 2 1 1 1 x ( x 1 sx 2 1 1 ) sx 2 1 1



1 sx 2 1 1

2

D

n

09/06/17 3:12 a.m.

264

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

EJEMPLO 5 Determine

d [tanh ftanh21(sen ssin xdg x)]. dx

SOLUCIÓN Usando la tabla 6 y la regla de la cadena, se obtiene

d 1 d ftanh21ssen xdg − ssen xd dx 1 2 ssen xd2 dx −

1 cos x cos x − − sec x 1 2 sen 2x cos2x

n

3.11 EJERCICIOS 1–6 Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes. 1. (a) senh 0

(b) cosh 0

2. (a) tanh 0

(b) tanh 1

3. (a) coshsln 5d

(b) cosh 5

4. (a) senh 4

(b) senh(ln 4)

5. (a) sech 0

(b) cosh21 1

6. (a) senh 1

(b) senh21 1

7–19 Demuestre las identidades siguientes. 7. senh(2x) 5 2senh x (Esto demuestra que senh x es una función impar.) 8. coshs2xd − cosh x (Esto demuestra que cosh x es una función par.) 9. cosh x 1 senh x 5 e x 10. cosh x 2 senh x 5 e

2x

11. senh(x 1 y) 5 senh x cosh y 1 cosh x senh y

21. Si cosh x − 53 y x . 0, calcule los valores de las otras funciones hiperbólicas en x. 22. (a) Utilice las gráficas de senh, cosh y tanh de las figuras 1 a 3 para dibujar las gráficas de csch, sech y coth. (b) Verifique las gráficas que trazó en el inciso (a) mediante ; una calculadora graficadora o una computadora. 23. Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas para determinar cada uno de los límites siguientes. (a) lím tanh x (b) lím tanh x x:`

x :2`

(c) lím senh x

(d) lím senh x

(e) lím sech x

(f) lím coth x

(g) líim1 coth x

(h) lím2 coth x

(i)

( j) lím

x:` x:` x :0

lím csch x

x :2`

x :2` x:` x :0

x:`

senh x ex

24. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 1 para las derivadas de las funciones (a) cosh, (b) tanh, (c) csch , (d) sech (e) coth.

12. cosh(x 2 y) 5 cosh x cosh y 1 senh x senh y

25. Encuentre una solución alternativa para el ejemplo 3 haciendo y 5 senh21x y luego usando el ejercicio 9 y el ejemplo 1(a) en donde y reemplaza a x.

13. coth2x 2 1 − csch2x

26. Demuestre la ecuación 4.

14. tanhsx 1 yd −

tanh x 1 tanh y 1 1 tanh x tanh y

15. senh 2x 5 2 senh x cosh x 16. cosh 2x 5 cosh2x 1 senh2x 17. tanhsln xd −

x2 2 1 x2 1 1

1 1 tanh x 18. − e 2x 1 2 tanh x 19. (cosh x 1 senh x)n 5 cosh nx 1 senh nx (n cualquier número real) 20. Si tanh x − 12 13 , calcule los valores de las otras funciones hiperbólicas en x.

Stewart_ch03_260-269.indd 264

27. Demuestre la ecuación 5 utilizando (a) el método del ejemplo 3 y (b) el ejercicio 18 en donde y reemplaza a x. 28. Para cada una de las funciones siguientes (i) dé una definición como la (2), (ii) trace la gráfica, y (iii) encuentre una fórmula similar a la ecuación 3. (a) csch 21 (b) sech21 (c) coth21 29. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 6 para las derivadas de las funciones siguientes. (a) cosh21 (b) tanh21 (c) csch21 21 21 (d) sech (e) coth 30–45 Encuentre la derivada. Simplifique tanto como sea posible. 30. f sxd − e x cosh x 31. f sxd − tanh sx

32. tsxd − senh 2 x

09/06/17 3:12 a.m.

SECCIÓN 3.11 Funciones hiperbólicas

33. hsxd − senhsx 2 d

265

y

34. hsxd − lnscosh xd

35. tsxd − coshsln xd

¨

5

36. y − sech x s1 1 ln sech xd 1 1 senh t 1 2 senh t

37. y − e cosh 3x

38. f std −

39. tstd − t coth st 2 1 1

40. y − senh scosh xd

1 2 cosh x 41. Gsxd − 1 1 cosh x 42. y − x tanh21x 1 ln s1 2 x 2

44. y − sech21 se2x d 45. y − coth ssec xd

1 1 tanh x − 12 e xy2. 1 2 tanh x

46. Demuestre que

d dx

47. Demuestre que

d arctanstanh xd − sech 2x. dx

48. El arco Gateway en St. Louis fue diseñado por Eero Saarinen y construido empleando la ecuación y − 211.49 2 20.96 cosh 0.03291765x

;

para la curva central del arco, donde x y y se miden en metros y u x u < 91.20. (a) Trace la gráfica de la curva central. (b) ¿Cuál es la altura del arco en su centro? (c) ¿En qué punto la altura es de 100 m? (d) ¿Cuál es la pendiente del arco en el punto del inciso (c)? 49. Si una ola con longitud L se mueve con velocidad √ en un cuerpo de agua con profundidad d, entonces v−

Î

S D

tL 2 d tanh 2 L

donde g es la aceleración debida a la gravedad (véase la figura 5). Explique por qué la aproximación. v<

Î

tL 2

es apropiada en aguas profundas. ; 50. Un cable flexible colgante siempre forma una catenaria y 5 c 1 a cosh([email protected]), donde c y a son constantes y a . 0 (véanse la figura 4 y el ejercicio 52). Trace la gráfica de varios miembros de la familia de funciones y 5 a cosh([email protected]). ¿Cómo cambia la gráfica cuando a varía? 51. Un cable de teléfono cuelga entre dos postes que están separados entre sí 14 m y forma la catenaria y 5 20 cosh([email protected]) 2 15, donde x y y se miden en metros. (a) Encuentre la pendiente de esta curva donde se encuentra con el poste derecho. (b) Calcule el ángulo u entre el cable y el poste.

Stewart_ch03_260-269.indd 265

52. Usando principios de la física se puede demostrar que cuando un cable cuelga entre dos postes toma la forma de una curva y 5 f(x) que satisface la ecuación diferencial

Î S D dy dx

11

2

donde r es la densidad lineal del cable, g es la aceleración de la gravedad y T es la tensión del cable en su punto más bajo y el sistema coordenado se elige en forma adecuada. Compruebe que la función

21

4

7 x

0

d2y t − dx 2 T

43. y − x senh 21sxy3d 2 s9 1 x 2

Î

_7

y − f sxd −

S D

T cosh t

tx T

es una solución de esta ecuación diferencial. 53. Un cable con densidad lineal r 5 2 [email protected] se sujeta desde la parte alta de dos postes que están separados 200 m. (a) Utilice el ejercicio 52 para calcular la tensión T que hay en el cable cuando está en su punto más bajo a 60 m del suelo. ¿Qué tan altos son los postes? (b) Si se duplica la tensión, ¿cuál es el nuevo punto bajo del cable? ¿Qué tan altos son ahora los postes? 54. Un modelo para la velocidad de un objeto que está cayendo después de un tiempo t es v std −

Î

SÎ D

mt tanh t k

tk m

donde m es la masa del objeto, g 5 9.8 [email protected] es la aceleración debida a la gravedad, k es una constante, t se mide en segundos y √ en [email protected] (a) Calcule la velocidad terminal del objeto, es decir, límt:` √(t). (b) Si una persona cae desde un edificio, el valor de la constante k depende de su posición. Para una posición “pecho a tierra”, k 5 0.515 [email protected], pero para una posición de “pies por delante”, k 5 0.067 [email protected] Si una persona de 60 kg cae en posición pecho a tierra, ¿cuál es la velocidad terminal? ¿Y para pies por delante? Fuente: L. Long et al., “How Terminal Is Terminal Velocity?” American Mathematical Monthly 113 (2006): 752–755.

55. (a) Demuestre que cualquier función de la forma y 5 A senh mx 1 B cosh mx satisface la ecuación diferencial y 0 5 m2y. (b) Determine y 5 y(x) tal que y 0 5 9y, y(0) 5 24 y y9(0) 5 6. 56. Si x 5 ln(sec u 1 tan u), demuestre que sec u 5 cosh x.

09/06/17 3:12 a.m.

266

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

57. ¿En qué punto de la curva y 5 cosh x la tangente tiene pendiente 1?

59. Demuestre que si a  0 y b  0, entonces existen números a y b tales que ae x 1 be2x es igual

; 58. Investigue la familia de funciones

a senh(x 1 b)

fn(x) 5 tanh(n sen x)

a cosh(x 1 b)

En otras palabras, casi toda función de la forma f(x) 5 ae x 1 be2x es una función seno hiperbólico o coseno hiperbólico desplazada o estirada.

donde n es un entero positivo. Describa qué pasa con la gráfica de fn cuando n es muy grande.

3

o

REPASO

VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS

Las respuestas a la verificación de conceptos se encuentran en las páginas finales del libro.

1. Exprese cada una de las reglas de derivación siguientes, tanto en símbolos como en palabras. (a) Regla de la potencia (b) Regla del múltiplo constante (c) Regla de la suma (d) Regla de la diferencia (e) Regla del producto (f) Regla del cociente (g) Regla de la cadena 2. Obtenga las derivadas de cada una de las funciones siguientes. (a) y − x n (b) y − e x (c) y − b x (d) y − ln x (e) y − log b x (f) y − sen x (g) y − cos x (h) y − tan x (i) y − csc x ( j) y − sec x (k) y − cot x (l) y − sen 21x 21 21 (m) y − cos x (n) y − tan x (o) y − senh x (p) y − cosh x (q) y − tanh x (r) y − senh 21x 21 21 (s) y − cosh x (t) y − tanh x 3. (a) ¿Cómo se define el número e? (b) Exprese e como un límite. (c) ¿Por qué en cálculo se usa la función exponencial natural, y 5 e x, con más frecuencia que las demás funciones exponenciales, y 5 b x?

(d) ¿Por qué en cálculo se usa la función logarítmica natural, y 5 ln x, más que las demás funciones logarítmicas, y 5 logb x? 4. (a) Explique cómo funciona la derivación implícita. (b) Explique cómo funciona la derivación logarítmica. 5. Dé varios ejemplos de cómo se puede interpretar la derivada como una razón de cambio en física, química, biología, economía y otras ciencias. 6. (a) Escriba una ecuación diferencial que exprese la ley de crecimiento natural. (b) ¿En qué circunstancias es un modelo adecuado para el crecimiento de la población? (c) ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación? 7. (a) Escriba una expresión para la linealización de f en a. (b) Si y 5 f(x), escriba una expresión para la diferencial dy. (c) Si dx 5 Dx, dibuje un esquema para mostrar el significado geométrico de Dy y dy.

EXAMEN VERDADERO-FALSO Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero explique por qué. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute el enunciado. 1. Si f y g son derivables, entonces d f f sxd 1 tsxdg − f 9sxd 1 t9sxd dx 2. Si f y g son derivables, entonces d f f sxd tsxdg − f 9sxd t9sxd dx

4. Si f es derivable, entonces

d f 9sxd . sf sxd − dx 2 sf sxd

5. Si f es derivable, entonces

d f 9sxd . f ssx d − dx 2 sx

6. Si y 5 e 2, entonces y95 2e. 7.

d s10 x d − x10 x21 dx

9.

d d stan2xd − ssec 2xd dx dx

10.

d x 2 1 x − 2x 1 1 dx

3. Si f y g son derivables, entonces d f s tsxdd − f 9s tsxdd t9sxd dx

f

Stewart_ch03_260-269.indd 266

g

|

| |

8.

d 1 sln 10d − dx 10

|

09/06/17 3:12 a.m.

CAPÍTULO 3

11. La derivada de un polinomio es un polinomio.

267

Repaso

14. La ecuación de la recta tangente a la parábola y 5 x 2 en (22, 4) es y 2 4 5 2x(x 1 2).

12. Si f(x) 5 (x 6 2 x 4) 5, entonces f (31)(x) 5 0.

15. Si g(x) 5 x5, entonces lím

13. La derivada de una función racional es una función racional.

x:2

tsxd 2 ts2d − 80. x22

EJERCICIOS 1–50 Calcule y9 en cada una de las funciones siguientes. 1. y − sx 4 2 3x 2 1 5d 3 3. y − sx 1

1 sx 4

5. y − x 2 sen

x

7. y −

2. y − cosstan xd 4. y −

3

6. y − x cos21 x

t4 2 1 t4 1 1

8. xe y − y sen x

9. y − lnsx ln xd 11. y − sx cos sx 13. y −

e 1yx x2 2

15. y 1 x cos y − x y

t 1 1 t2

14. y − ln sec x

54. Determine f (n)(x) si f(x) 5 [email protected](2 2 x).

D

56. Evalúe lím

t: 0

23. y − s1 2 x 21 d21

3 24. y − 1ys x 1 sx

25. sensxyd − x 2 2 y

26. y − ssen s x

27. y − log 5s1 1 2xd

28. y − scos xd x

57. y − 4 sen 2 x,

31. y − x tan21s4xd

32. y − e cos x 1 cosse x d 34. y − 10

tan

36. y − st lnst 4d

37. y − sen stan s1 1 x 3 d

38. y − arctansarcsen sx d

39. y − tan2ssen d

40. xe y − y 2 1

sx 1 1 s2 2 xd5 sx 1 3d7

43. y − x senhsx d 2

Stewart_ch03_260-269.indd 267

42. y −

sx 1 d4 x4 1 4

sen mx 44. y − x

x2 2 1 , x2 1 1

s0, 21d

s0, 1d

60. x 2 1 4xy 1 y 2 − 13,

4

35. y − cots3x 2 1 5d

41. y −

58. y −

60–61 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las curvas siguientes en el punto que se especifica.

29. y − ln sen x 2 sen x

|

s y6, 1d

59. y − s1 1 4 sen x ,

sx 1 1d 30. y − s2x 1 1d 3s3x 2 1d 5 2

|

t3 . tan3s2td

57–59 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto dado.

22. y − secs1 1 x 2 d

33. y − ln sec 5x 1 tan 5x

xd

55. Utilice inducción matemática (página 72) para demostrar que si f(x) 5 xe x, entonces f (n)(x) 5(x 1 n)e x.

4

20. y − e x sec x

2

50. y − sen 2 scosssen

53. Encuentre y 0 si x6 1 y6 5 1.

21. y − 3 x ln x

1 2

49. y − cosse stan 3x d

51. Si f(t) 5 !4t 1 1, encuentre f 0(2).

18. y − cotscsc xd

S D

48. y − x tanh21sx

12. y − sarcsen 2xd 2

S

Z

47. y − cosh21ssenh xd

52. Si g(u) 5 u sen u, determine g0( [email protected]).

u21 u2 1 u 1 1

x2 2 4 2x 1 5

46. y − ln

10. y − e mx cos nx

16. y −

17. y − sarctan x 19. y − tan

tan x 1 1 cos x

Z

45. y − lnscosh 3xd

s2, 1d

61. y − s2 1 xde2x, s0, 2d ; 62. Si f(x) 5 xesen x, determine f9(x). Trace la gráfica de f y f9 en la misma pantalla y haga comentarios. 63. (a) Si f(x) 5 x !5 2 x, determine f9(x). (b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y 5 x !5 2 x en los puntos (1, 2) y (4, 4). (c) Ilustre el inciso (b) trazando la gráfica de la curva y las ; rectas tangentes, en la misma pantalla. (d) Verifique si su respuesta al inciso (a) es razonable compa; rando las gráficas de f y f9. ;

64. (a) Si f(x) 5 4x 2 tan x, [email protected] , x , [email protected], encuentre f9 y f 0. (b) Verifique si su respuesta al inciso (a) es razonable comparando las gráficas de f, f9 y f 0.

09/06/17 3:12 a.m.

268

CAPÍTULO 3

Reglas de derivación

65. ¿En qué puntos de la curva y 5 sen x 1 cos x, 0 < x < 2p, la tangente es una recta horizontal? 66. Encuentre los puntos sobre la elipse x 2 1 2y 2 5 1 donde la recta tangente tiene pendiente 1. 67. Si f(x) 5(x 2 a)(x 2 b)(x 2 c), demuestre que f 9sxd 1 1 1 − 1 1 f sxd x2a x2b x2c 68. (a) Al derivar la fórmula del coseno del doble del ángulo cos 2x 5 cos 2x 2 sen 2x obtenga la fórmula del doble del ángulo para la función seno. (b) Al derivar la fórmula de la adición sen(x 1 a) 5 sen x cos a 1 cos x sen a obtenga la fórmula de la adición para la función coseno. 69. Suponga que

(a) (b) (c) (d)

f s1d − 2

f 9s1d − 3

f s2d − 1

f 9s2d − 2

ts1d − 3

t9s1d − 1

ts2d − 1

t9s2d − 4

Si Si Si Si

Ssxd − f sxd 1 tsxd determine S9s1d. Psxd − f sxd tsxd determine P9s2d. Qsxd − f sxdytsxd determine Q9s1d. Csxd − f stsxdd determine C9s2d.

70. Si f y g son las funciones cuyas gráficas se muestran, sea P(x) 5 f(x) g(x), Q(x) 5 f(x)@g(x) y C(x) 5 f(g(x)). Encuentre (a) P9(2), (b) Q9(2) y (c) C9(2). y

f

1 x

1

71–78 Encuentre f9 en términos de g9. 71. f sxd − x 2tsxd

72. f sxd − tsx 2 d

73. f sxd − f tsxdg 2

74. f sxd − ts tsxdd

75. f sxd − tse x d

76. f sxd − e tsxd

|

77. f sxd − ln tsxd

|

78. f sxd − tsln xd

79–81 Determine h9 en términos de f9 y g9. 79. hsxd −

f sxd tsxd f sxd 1 tsxd

81. hsxd − f s tssen 4xdd

Stewart_ch03_260-269.indd 268

83. ¿En qué punto sobre la curva y 5 [ln(x 1 4)]2 es horizontal la recta tangente? 84. (a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 e x, que es paralela a la recta x 2 4y 5 1. (b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y 5 e x que pase por el origen. 85. Determine la parábola y 5 ax 2 1 bx 1 c que pasa por el punto (1, 4) y cuyas rectas tangentes en x 5 21 y x 5 5 tienen pendientes 6 y 22, respectivamente. 86. La función C(t) 5 K(e2at 2 e2bt), donde a, b y K son constantes positivas y b . a, se usa para modelar la concentración en el instante t de un medicamento que se inyecta en el torrente sanguíneo. (a) Demuestre que límt : ` C(t) 5 0. (b) Encuentre C9(t), la rapidez con la que cambia la concentración del medicamento durante la circulación. (c) ¿Cuándo esta rapidez es igual a 0? 87. Una ecuación de movimiento en la forma s 5 Ae2ct cos(vt 1 d) representa la oscilación amortiguada de un objeto. Encuentre la velocidad y la aceleración del objeto. 88. Una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal por lo que su coordenada en el instante t es x 5 !b 2 1 c 2t 2, t > 0, donde b y c son constantes positivas. (a) Encuentre las funciones velocidad y aceleración. (b) Demuestre que la partícula siempre se desplaza en dirección positiva.

g

0

; 82. (a) Trace la gráfica de la función f(x) 5 x 2 2 sen x en el rectángulo de vista [0, 8] por [22, 8]. (b) ¿Sobre qué intervalo es más grande la razón promedio de cambio: [1, 2] o [2, 3]? (c) ¿En qué valor de x es más grande la razón de cambio instantáneo: x 5 2 o x 5 5? (d) Compruebe sus estimaciones visuales del inciso (c) calculando f9(x) y comparando los valores numéricos de f9(2) y f9(5).

80. hsxd −

Î

f sxd tsxd

89. Una partícula se desplaza sobre una recta vertical de manera que su coordenada en el instante t es y 5 t 3 2 12t 1 3, t > 0. (a) Encuentre las funciones velocidad y aceleración. (b) ¿Cuándo se mueve hacia arriba la partícula y cuándo se mueve hacia abajo? (c) Determine la distancia recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo 0 < t < 3. (d) Grafique las funciones posición, velocidad y acelera; ción para 0 < t < 3. (e) ¿Cuándo la partícula aumenta su rapidez? ¿Cuándo disminuye su rapidez? 90. El volumen de un cono recto circular es V − 13 r 2h, donde r es el radio de la base y h es la altura. (a) Determine la razón de cambio del volumen respecto a la altura si el radio es constante.

09/06/17 3:12 a.m.

CAPÍTULO 3

(b) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto al radio si la altura es constante. 91. La masa de una parte de un alambre es x(1 1 !x) kilogramos, donde x se mide en metros desde uno de los extremos del alambre. Encuentre la densidad lineal del alambre cuando x 5 4 m.

100. Una esquiadora pasa encima de una rampa, como la que se ilustra en la figura, con una rapidez de 10 [email protected] ¿Qué tan rápido se eleva cuando abandona la rampa?

1m

92. El costo, en dólares, de producir x unidades de un cierto artículo es C(x) 5 920 1 2x 2 0.02x 2 1 0.00007x 3 (a) Encuentre la función de costo marginal. (b) Determine C9(100) y explique su significado. (c) Compare C9(100) con el costo de producir el artículo 101. 93. Inicialmente, un cultivo de bacterias contiene 200 células y crecen con una razón proporcional a su tamaño. Después de media hora la población se ha incrementado a 360 células. (a) Encuentre el número de bacterias después de t horas. (b) Calcule el número de bacterias después de 4 horas. (c) Encuentre la rapidez de crecimiento después de 4 horas. (d) ¿Cuándo la población alcanza 10 000? 94. El cobalto-60 tiene una vida media de 5.24 años. (a) Determine la masa que queda de una muestra de 100 mg después de 20 años. (b) ¿Cuánto tardaría la masa en decaer a 1 mg? 95. Sea C(t) la concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo. Cuando el cuerpo elimina el medicamento, C(t) disminuye con una rapidez que es proporcional a la cantidad de medicamento que está presente en el tiempo t. En estos términos C9(t) 5 2kC(t), donde k es un número positivo denominado constante de eliminación del medicamento. (a) Si C0 es la concentración en el tiempo t 5 0, determine la concentración en el tiempo t. (b) Si el cuerpo elimina la mitad del medicamento en 30 horas, ¿cuánto tiempo le toma eliminar 90% del medicamento?

5m

101. El ángulo de elevación del sol decrece a razón de 0.25 [email protected] ¿Qué tan rápido se incrementa la sombra de un edificio de 400 pies de altura cuando el ángulo de elevación del sol es [email protected]? ; 102. (a) Encuentre la aproximación lineal de f(x) 5 !25 2 x 2 cerca de 3. (b) Ilustre el inciso (a) trazando la gráfica de f y la aproximación lineal. (c) ¿Para qué valores de x es exacta la aproximación lineal dentro de 0.1? 3 103. (a) Determine la linealización de f(x) 5 ! 1 1 3x en a 5 0. Establezca la aproximación lineal correspondiente y utilícela para proporcionar un valor aproximado para 3 ! 1.03. (b) Determine los valores de x para los que la aproximación ; lineal dada en el inciso (a) sea exacta con una diferencia menor que 0.1.

104. Evalúe dy si y 5 x3 22x2 1 1, x 5 2 y dx 5 0.2. 105. Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un semicírculo. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 60 cm, con un posible error de 0.1 cm. Utilice diferenciales para estimar el máximo error posible al calcular el área de la ventana. 106–108 Exprese el límite como una derivada en cada una de las funciones siguientes y evalúelo. x 17 2 1 x21

96. Una taza con chocolate caliente tiene una temperatura de 80 °C en una habitación que se mantiene en 20 ºC. Después de media hora, el chocolate caliente se enfría a 60 °C. (a) ¿Cuál es la temperatura del chocolate después de otra media hora? (b) ¿Cuándo se enfriará el chocolate a 40 °C?

106. lím

97. El volumen de un cubo se incrementa a razón de 10 [email protected] ¿Qué tan rápido se incrementa el área superficial cuando la longitud de un lado es de 30 cm?

109. Evalúe lím

98. Un vaso de papel tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y radio de 3 cm (en la parte superior). Si el agua se vierte en el vaso a razón de 2 [email protected], ¿qué tan rápido sube el nivel del agua cuando tiene 5 cm de profundidad? 99. Un globo asciende con rapidez constante de 2 [email protected] Un niño va en bicicleta por un camino recto a una rapidez de 5 [email protected] Cuando pasa bajo el globo, este se halla a 15 m arriba de él. ¿Qué tan rápido se incrementa la distancia entre el niño y el globo 3 s más tarde?

Stewart_ch03_260-269.indd 269

269

Repaso

x :1

108. lím

: y3

cos

107. lím

h:0

4 16 1 h 2 2 s h

2 0.5 2 y3

x:0

s1 1 tan x 2 s1 1 sen x . x3

110. Suponga que f es una función derivable tal que f(g(x)) 5 x y f9(x) 5 1 1 [f(x)]2. Demuestre que g9(x) 5 [email protected](1 1 x2). 111. Encuentre f9(x) si se sabe que d f f s2xdg − x 2 dx 112. Demuestre que la longitud de la porción de cualquier recta tangente al astroide x [email protected] 1 y [email protected] 5 a [email protected] cortada por los ejes de coordenadas es constante.

09/06/17 3:12 a.m.

Problemas adicionales

Antes de trabajar en el ejemplo, cubra la solución e intente resolverlo usted primero. EJEMPLO 1 ¿Cuántas rectas son tangentes a las dos parábolas y 5 21 2 x 2 y y 5 1 1 x 2? Calcule las coordenadas de los puntos en los cuales estas rectas tangentes tocan a las parábolas. SOLUCIÓN Para entender este problema es esencial hacer un esquema. Por lo que se trazan las parábolas y 5 1 1 x 2 (que es la parábola estándar y 5 x 2 desplazada una unidad hacia arriba) y y 5 21 2 x 2 (que se obtiene al reflejar la primera parábola respecto al eje x). Si trata de dibujar una recta tangente para ambas parábolas, pronto descubrirá que solo hay dos posibilidades, que se ilustran en la figura 1. Sea P un punto en el cual una de estas rectas tangentes toca la parábola superior y sea a su coordenada x. (Es muy importante elegir la notación para la incógnita. Por supuesto podía haber escogido b o c o x0 o x1, en lugar de a. Sin embargo, no se recomienda utilizar x en lugar de a porque se podría confundir con la variable x de la ecuación de la parábola). Entonces, ya que P está en la parábola y 5 1 1 x 2, su coordenada y debe ser 1 1 a 2. Debido a la simetría que se muestra en la figura 1, las coordenadas del punto Q donde la recta tangente toca a la parábola inferior deben ser (2a, 2(1 1 a 2)). Para usar la información de que la recta es una tangente, iguale la pendiente de la recta PQ con la pendiente de la recta tangente en P. Se tiente

y

P 1

x _1

Q

FIGURA 1

mPQ −

1 1 a 2 2 s21 2 a 2 d 1 1 a2 − a 2 s2ad a

Si f(x) 5 1 1 x 2, entonces la pendiente de la recta tangente en P es f9(a) 5 2a. Por tanto, la condición que necesita utilizar es 1 1 a2 − 2a a y

3≈ ≈ 1 ≈ 2

Al resolver esta ecuación, se tiene 1 1 a 2 5 2a 2, por lo que a 2 5 1 y a 5 61. Por tanto, los puntos son (1, 2) y (21, 22). Por simetría, los dos puntos restantes son (21, 2) y (1, 22). n

0.3≈ 0.1≈

EJEMPLO 2 solución? x

0

y=ln x

FIGURA 2 y

y=c≈ c=?

0

a

y=ln x

FIGURA 3

270

Stewart_ch03_270-274.indd 270

x

¿Para cuáles valores de c la ecuación ln x 5 cx2 tiene exactamente una

SOLUCIÓN Uno de los principios más importantes de la solución de problemas es dibujar un diagrama, incluso si el problema, según se enuncia, no menciona en forma explícita una situación geométrica. Este problema se puede formular de nuevo en términos geométricos como sigue: ¿para cuáles valores de c la curva y 5 ln x intersecta la curva y 5 cx 2 exactamente en un punto? Empiece por trazar las gráficas de y 5 ln x y y 5 cx 2 para diversos valores de c. Se sabe que, para c  0, y 5 cx 2 es una parábola que se abre hacia arriba si c . 0 y, hacia abajo, si c , 0. En la figura 2 se muestran las parábolas y 5 cx 2 para varios valores positivos de c. La mayor parte no se cruzan con y 5 ln x y una la corta dos veces. Se tiene la sensación de que debe haber un valor de c (en alguna parte entre 0.1 y 0.3) para el cual las curvas se cruzan exactamente una vez, como en la figura 3. Para determinar ese valor de c en particular, sea a la coordenada x del punto único de intersección. En otras palabras, ln a 5 ca 2, por lo que a es la única solución de la ecuación dada. En la figura 3 las curvas solo se tocan, por lo que tienen una recta tangente común cuando x 5 a. Esto significa que las curvas y 5 ln x y y 5 cx 2 tienen la misma pendiente cuando x 5 a. Por tanto,

1 − 2ca a

09/06/17 3:12 a.m.

Resolviendo las ecuaciones ln a 5 ca 2 y [email protected] 5 2ca, se obtiene ln a − ca 2 − c ? y

1 1 − 2c 2

Por lo que a 5 e [email protected] y

y=ln x 0

c−

x

ln a ln e 1y2 1 − 2 − a e 2e

Para los valores negativos de c se tiene la situación que se ilustra en la figura 4: todas las parábolas y 5 cx 2 con valores negativos de c cruzan y 5 ln x exactamente una vez. Y no olvide lo referente a c 5 0. La curva y 5 0x 2 5 0 que es justamente el eje x, que interseca a y 5 ln x exactamente una vez. Para resumir, los valores requeridos de c son c 5 [email protected](2e) y c < 0. n

FIGURA 4

Problemas

1. Determine los puntos P y Q sobre la parábola y 5 1 2 x 2 de tal manera que el triángulo ABC formado por el eje x y las rectas tangentes en P y Q sea un triángulo equilátero. (Véase la figura.) y

A

P B

;

Q 0

C

x

2. Determine el punto donde las curvas y 5 x 3 2 3x 1 4 y y 5 3(x 2 2 x) son tangentes entre sí, es decir, tienen una recta tangente común. Ilustre mediante la representación gráfica de ambas curvas y la recta tangente. 3. Demuestre que las rectas tangentes a la parábola y 5 ax 2 1 bx 1 c en cualesquiera dos puntos con coordenadas x iguales a p y q se cruzan en un punto cuya coordenada x está a la mitad entre p y q. 4. Demuestre que d dx 5. Si f sxd − lím t:x

S

cos2 x sen 2 x 1 1 1 cot x 1 1 tan x

D

− 2cos 2x

sec t 2 sec x , encuentre el valor de f9([email protected]). t2x

6. Encuentre los valores de las constantes a y b tales que y

lím

x:0

3 5 ax 1 b 2 2 s − x 12

7. Demuestre que sen21(tanh x) 5 tan21(senh x).

x

FIGURA PARA EL PROBLEMA 8

Stewart_ch03_270-274.indd 271

8. Un automóvil viaja por la noche por una carretera que tiene forma de parábola con vértice en el origen (véase la figura). El automóvil parte del punto 100 m al oeste y 100 m al norte del origen, y se desplaza en una dirección hacia el este. Hay una estatua localizada 100 m al este y 50 m al norte del origen. ¿En qué punto de la carretera los faros del vehículo iluminarán a la estatua? 9. Demuestre que

dn ssen 4 x 1 cos4 xd − 4n21 coss4x 1 n y2d. dx n

271

09/06/17 3:12 a.m.

10. Si f es derivable en a, donde a . 0, evalúe el siguiente límite en términos de f9(a). lím

x:a

f sxd 2 f sad sx 2 sa

11. En la figura se muestra una circunferencia con radio 1 inscrita en la parábola y 5 x2. Encuentre el centro de la circunferencia. y

y=≈

1

1

0

x

12. Determine todos los valores de c tales que las parábolas y 5 4x 2 y x 5 c 1 2y 2 se intersequen en ángulos rectos. 13. ¿Cuántas rectas son tangentes a ambas circunferencias x 2 1 y 2 5 4 y x 2 1 (y 2 3) 2 5 1? ¿En qué puntos estas rectas tangentes tocan las circunferencias? x 46 1 x 45 1 2 , calcule f (46)(3). Exprese su respuesta utilizando notación factorial: 11x n! − 1 ? 2 ? 3 ? ∙ ∙ ∙ ? sn 2 1d ? n.

14. Si f sxd −

15. En la figura se muestra una rueda giratoria con radio de 40 cm y una barra AP de longitud 1.2 m. El extremo P de la barra se desliza hacia atrás y hacia adelante, a lo largo del eje x, conforme la rueda gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, con una rapidez de 360 revoluciones por minuto. (a) Encuentre la velocidad angular de la barra, dydt, en radianes por segundo, cuando  − y3. (b) Exprese la distancia x 5 u OP u, en términos de u. (c) Determine una expresión para la velocidad del extremo P, en términos de u. y

A å

¨

P (x, 0) x

O

16. Se trazan las rectas tangentes Tl y T2 en los dos puntos Pl y P2 sobre la parábola y 5 x 2 y se intersecan en un punto P. Se traza otra recta tangente T en un punto entre Pl y P2; esta interseca a Tl en Ql y T2 en Q2. Demuestre que

| PQ | 1 | PQ | − 1 | PP | | PP | 1

2

1

2

17. Demuestre que dn se ax sen bxd − r ne ax sensbx 1 n d dx n donde a y b son números positivos, r 2 5 a 2 1 b 2, y u 5 tan21([email protected]).

272

Stewart_ch03_270-274.indd 272

09/06/17 3:12 a.m.

18. Evalúe lím x:

e sen x 2 1 . x2

19. Sean T y N las rectas tangente y normal a la elipse x [email protected] 1 y [email protected] 5 1 en cualquier punto P de la elipse en el primer cuadrante. Sean xT y yT las intersecciones de T con los ejes x y y, y xN y yN las intersecciones respectivas de N. Conforme P se mueve a lo largo de la elipse en el primer cuadrante (pero no sobre los ejes), ¿qué valores pueden adoptar xT, yT, xN y yN? En primer lugar, intente inferir las respuestas con solo ver la figura. A continuación, utilice el cálculo para resolver el problema y vea qué tan acertada es su intuición.

y

yT

T

2

P xT

xN 0

yN

20. Evalúe lím

x:0

x

3

N

sens3 1 xd2 2 sen 9 . x

21. (a) Use la identidad para tan(x 2 y) [véase la ecuación 14b del apéndice D] para demostrar que si dos rectas L1 y L2 se intersecan a un ángulo, entonces tan  −

m 2 2 m1 1 1 m1 m 2

donde m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2, respectivamente. (b) El ángulo entre las curvas C1 y C2 en un punto de intersección se define como el ángulo entre las rectas tangentes a C1 y C2 en P (si estas rectas tangentes existen). Use el inciso (a) para determinar, redondeado al grado más cercano, el ángulo entre cada par de curvas en cada punto de intersección. (i) y − x 2 y y − sx 2 2d2 (ii) x 2 2 y 2 − 3 y x 2 2 4x 1 y 2 1 3 − 0 22. Sea P(x1, y1) un punto sobre la parábola y2 5 4px con foco F(p, 0). Sea a el ángulo entre la parábola y el segmento rectilíneo FP, y sea  el ángulo entre la recta horizontal y 5 y1 y la parábola, como en la figura. Demuestre que a 5 . (Por lo que, por un principio de óptica geométrica, la luz proveniente de una fuente colocada en F se reflejará a lo largo de una recta paralela al eje x. Esto explica por qué los paraboloides, las superficies que se obtienen al hacer girar las parábolas sobre sus ejes, se emplean como la forma de algunos faros delanteros de automóviles y espejos para telescopios.) y

å 0

∫ P(⁄, ›)

y=›

x

F( p, 0) ¥=4px

273

Stewart_ch03_270-274.indd 273

09/06/17 3:12 a.m.

Q

23. Suponga que remplaza el espejo parabólico que aparece en el problema 22 con un espejo esférico. Aunque el espejo no tiene foco, puede demostrar la existencia de un foco aproximado. En la figura, C es un semicírculo con centro O. Un rayo de luz que llega hacia el espejo paralelo al eje a lo largo de la recta PQ se reflejará hacia el punto R sobre el eje, de modo que /PQO 5 /OQR (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión). ¿Qué sucede con el punto R conforme P se acerca cada vez más al eje?

P

¨ ¨ A

R

O

24. Si f y g son funciones derivables con f(0) 5 g(0) 5 0 y g9(0)  0, demuestre que

C

lím

x:0

FIGURA PARA EL PROBLEMA 23 25. Evalúe lím

x:0

SAC

f sxd f 9s0d − tsxd t9s0d

sensa 1 2xd 2 2 sensa 1 xd 1 sen a . x2

26. (a) La función cúbica f(x) 5 x(x 2 2)(x 2 6) tiene tres ceros distintos: 0, 2 y 6. Trace la gráfica de f y sus rectas tangentes en el promedio de cada par de ceros. ¿Qué observa? (b) Suponga que la función cúbica f(x) 5 (x 2 a)(x 2 b)(x 2 c) tiene tres ceros diferentes: a, b y c. Demuestre, con ayuda de un sistema algebraico computacional, que una recta tangente dibujada en el promedio de los ceros a y b interseca la gráfica de f en el tercer cero. 27. ¿Para qué valor de k la ecuación e2x 5 k!x tiene exactamente una solución? 28. ¿Para qué números positivos a se cumple que ax > 1 1 x para toda x?

29. Si y−

x sa 2 2 1

demuestre que y9 −

2

2 sa 2 2 1

arctan

sen x a 1 sa 2 2 1 1 cos x

1 . a 1 cos x

30. Dada una elipse x [email protected] 2 1 [email protected] 2 5 1, donde a  b, encuentre la ecuación de todo el conjunto de puntos a partir de los cuales hay dos rectas tangentes a la curva cuyas pendientes son (a) recíprocos y (b) recíprocos negativos. 31. Encuentre los dos puntos sobre la curva y 5 x 4 2 2x 2 2 x que tienen una recta tangente en común. 32. Suponga que tres puntos sobre la parábola y 5 x 2 tienen la propiedad de que sus rectas normales se cruzan en un punto común. Demuestre que la suma de sus coordenadas x es 0. 33. Un punto de una red sobre el plano es un punto con coordenadas enteras. Suponga que se dibujan circunferencias con radio r usando todos los puntos de la red como centros. Encuentre el valor más pequeño de r tal que cualquier recta con pendiente 25 interseque alguna de estas circunferencias. 34. La punta de un cono de radio r centímetros y altura h centímetros se introduce con una rapidez de 1 [email protected] en un cilindro alto de radio R centímetros que contiene una parte de agua. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua en el instante en que el cono está totalmente sumergido? 35. Un recipiente en forma de cono invertido tiene una altura de 16 cm y su radio mide 5 cm en la parte superior. Está lleno en parte con un líquido que escurre por los lados con una rapidez proporcional al área del recipiente que está en contacto con el líquido. [El área superficial de un cono es prl, donde r es el radio y l es la altura inclinada.] Si vierte líquido en el recipiente a razón de 2 [email protected], entonces la altura del líquido disminuye a razón de 0.3 [email protected] cuando la altura es de 10 cm. Si el objetivo es mantener el líquido a una altura constante de 10 cm, ¿con qué rapidez debe verter líquido al recipiente?

274

Stewart_ch03_270-274.indd 274

09/06/17 3:13 a.m.

4

Cuando observa el mundo que lo rodea, la luz que entra al ojo cerca del centro de la pupila se percibe más brillante que la luz que entra más cerca de los bordes de la pupila. Este fenómeno, conocido como el efecto Stiles-Crawford, se explora conforme el radio de la pupila cambia en el ejercicio 80 de la página 313.

Aplicaciones de la derivada

© Tatiana Makotra / Shutterstock.com

YA SE HAN INVESTIGADO ALGUNAS de las aplicaciones de la derivada, pero ahora que se conocen las reglas de derivación se está en mejor posición para continuar con mayor profundidad con las aplicaciones de la derivada. Aquí se aprenderá cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica de una función y, en particular, cómo ayudan a localizar valores máximos y mínimos de funciones. Muchos problemas prácticos requieren minimizar un costo o maximizar un área, o encontrar el mejor resultado posible para una situación. En particular, se podrá investigar la forma óptima de una lata y explicar la ubicación de los arcoíris en el cielo.

275

Stewart_ch04_275-286.indd 275

09/06/17 10:45 a.m.

276

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

4.1 Valores máximos y mínimos Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se requiere encontrar la manera óptima (la mejor) para hacer algo. Algunos ejemplos de los problemas que se resolverán en este capítulo son:

• ¿Cuál debe ser la forma de una lata que minimice los costos de fabricación? • ¿Cuál es la aceleración máxima de un transbordador espacial? (Esta es una pre• •

Estos problemas pueden reducirse a encontrar los valores máximo o mínimo de una función. Para empezar, primero se explicará exactamente lo que son estos valores. En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f en la que el punto más alto es (3, 5). En otras palabras, el valor más grande de f es f(3) 5 5. Por otro lado, el valor más pequeño es f(6) 5 2. Se dice que f(3) 5 5 es el máximo absoluto de f y f(6) 5 2 es el mínimo absoluto. En general, se usa la definición siguiente:

y 4 2

0

4

2

x

6

1 Definición Sea c un número en el dominio D de una función f. Entonces f(c) es el de f sobre D si f(c) > f(x) para toda x en D. • valor

FIGURA 1

• valor

y

f(d) f(a) a

0

b

c

d

x

e

FIGURA 2

Mínimo absoluto f(a), máximo absoluto f(d), mínimos locales f(c), f(e), máximos locales f(b), f(d)

6

2

mínimo local

0

máximo local

I

J

K

8

12

FIGURA 3

Stewart_ch04_275-286.indd 276

de f sobre D si f(c) < f(x) para toda x en D.

Un máximo o mínimo absoluto se le llama a veces máximo o mínimo . Los valores máximo y mínimo de f se llaman de f. La figura 2 muestra la gráfica de una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a. Observe que (d, f(d)) es el punto más alto sobre la gráfica y (a, f(a)) es el punto más bajo. En la figura 2, si se consideran solo valores de x cercanos a b [por ejemplo, si se restringe la atención al intervalo (a, c)], entonces f(b) es el más grande de estos valores de f(x) y se llama valor máximo local de f. Por otro lado, f(c) se llama valor mínimo local de f porque f(c) < f(x) para x cercana a c [en el intervalo (b, d), por ejemplo]. La función f también tiene un mínimo local en e. En general, se tiene la definición siguiente.

• valor • valor

mínimo local y absoluto

4



2 Definición El número f(c) es un

y

4

gunta importante para los astronautas que tienen que soportar los efectos de la aceleración.) ¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire del modo más rápido al toser? ¿Qué ángulo deben formar los vasos sanguíneos al ramificarse, de modo que se minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre?

x



l de f si f(c) > f(x) cuando x está cerca de c.



de f si f(c) < f(x) cuando x está cerca de c.

En la definición 2 (y en otros lugares), si se dice que algo se cumple de c, significa que se cumple en algún intervalo abierto que contiene a c. Por ejemplo, en la figura 3 se ve que f(4) 5 5 es un mínimo local porque es el menor valor de f en el intervalo I. No es el mínimo absoluto porque f(x) tiene valores menores cuando x está cerca de 12 (en el intervalo K, por ejemplo). De hecho, f(12) 5 3 es un mínimo local y el mínimo absoluto. De modo similar, f(8) 5 7 es un máximo local, pero no el máximo absoluto porque f toma valores más grandes cerca de 1.

09/06/17 10:45 a.m.

SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

277

EJEMPLO 1 La función f(x) 5 cos x toma su valor máximo (local y absoluto) igual a 1, infinitas veces, ya que cos 2np 5 1 para cualquier entero n y 2 1 < cos x < 1 para toda x. (Véase la figura 4.) Del mismo modo, cos(2n 1 1)p 5 2 1 es su valor mínimo, donde n es cualquier entero. y

Máximo local y absoluto

0

π



FIGURA 4

Mínimo local y absoluto

y 5 cos x

y

y=≈

0

x

FIGURA 5 Valor mínimo 5 0. No hay máximo



x

n

EJEMPLO 2 Si f(x) 5 x2, entonces f(x) > f(0) porque x2 > 0 para toda x. Por tanto, f(0) 5 0 es el valor mínimo absoluto (y local) de f. Esto corresponde al hecho de que el origen es el punto más bajo sobre la parábola y 5 x2. (Véase la figura 5.) Sin embargo, no existe el punto más alto sobre la parábola, por lo que esta función no tiene valor máximo. n EJEMPLO 3 En la gráfica de la función f(x) 5 x3, que se muestra en la figura 6, se ve

que no tiene valor máximo absoluto ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco tiene valores extremos locales. n

y

EJEMPLO 4 La gráfica de la función

y=˛

0

f sxd − 3x 4 2 16x 3 1 18x 2

x

FIGURA 6 No tiene mínimo, ni máximo

21 < x < 4

se muestra en la figura 7. Se puede observar que f(1) 5 5 es un máximo local, en tanto que el máximo absoluto es f(21) 5 37. (Este máximo absoluto no es un máximo local porque se presenta en un punto final.) También, f(0) 5 0 es un mínimo local y f(3) 5 227 es un mínimo tanto local como absoluto. Observe que f no tiene máximo local ni absoluto en x 5 4. y (_1, 37)

y=3x$-16˛+18≈

(1, 5) _1

1

2

3

4

5

x

(3, _27)

FIGURA 7

n

Se ha visto que algunas funciones tienen valores extremos, mientras que otras no. En el teorema siguiente se dan las condiciones con que se garantiza que una función tenga valores extremos.

Stewart_ch04_275-286.indd 277

09/06/17 10:45 a.m.

278

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

3 Teorema del valor extremo Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d en [a, b]. En la figura 8 se ilustra el teorema del valor extremo. Observe que un valor extremo se puede tomar más de una vez. Aun cuando el teorema del valor extremo es muy fácil de aceptar a nivel intuitivo, su demostración es difícil, por lo que se omite. y

0

y

y

a

c

d b

0

x

a

c

d=b

x

0

a c¡

d

c™ b

x

FIGURA 8 Las funciones continuas en un intervalo cerrado siempre alcanzan valores extremos.

En las figuras 9 y 10 se muestra que una función no necesita tener valores extremos si no se satisface cualesquiera de las dos hipótesis (continuidad o intervalo cerrado) del teorema del valor extremo. y

y

3

1

0

y {c, f(c)}

{d, f (d )} 0

c

FIGURA 11

Stewart_ch04_275-286.indd 278

d

x

1

2

x

0

2

FIGURA 9

FIGURA 10

Esta función tiene un valor mínimo f(2)=0, pero no tiene valor máximo.

Esta función continua g no tiene máximo ni mínimo.

x

La función f, cuya gráfica se muestra en la figura 9, está definida sobre el intervalo cerrado [0, 2], pero no tiene valor máximo. (Observe que el rango de f es [0, 3). La función toma valores arbitrariamente cercanos a 3, pero nunca alcanza el valor 3.) Esto no contradice el teorema del valor extremo porque f no es continua. [Sin embargo, una función discontinua pudiera tener valores máximo y mínimo. Véase el ejercicio 13(b).] La función g que se muestra en la figura 10 es continua sobre el intervalo abierto (0, 2), pero no tiene valor máximo ni mínimo. [El rango de g es (1, `). La función toma valores arbitrariamente grandes.] Esto no contradice el teorema del valor extremo porque el intervalo (0, 2) no es cerrado. El teorema del valor extremo indica que una función continua sobre un intervalo cerrado tiene un valor máximo y uno mínimo, pero no dice cómo encontrarlos. Observe en la figura 8 que los valores máximo y mínimo absolutos que están entre a y b están en los valores máximo y mínimo, por lo que se debe empezar por buscar los valores extremos locales. La figura 11 muestra la gráfica de una función f con un máximo local en c y un mínimo local en d. Parece que en los puntos máximo y mínimo la recta tangente es horizontal y, por tanto, tiene pendiente 0. Se sabe que la derivada es la pendiente de la recta tangente, de modo que parece que f9(c) 5 0 y f9(d) 5 0. En el teorema siguiente se dice que esto siempre se cumple para las funciones derivables.

09/06/17 10:45 a.m.

SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

279

4 Teorema de Fermat Si f tiene un máximo o un mínimo local en c, y si f9(c) existe, entonces f9(c) 5 0. Fermat Se llama teorema de Fermat en honor de Pierre Fermat (1601-1665), un abogado francés que tomó las matemáticas como un pasatiempo. A pesar de su condición de aficionado, Fermat fue uno de los dos inventores de la geometría analítica (Descartes fue el otro). Sus métodos para encontrar rectas tangentes a las curvas y valores máximos y mínimos (antes de la invención del límite y de las derivadas) lo hicieron un precursor de Newton en la creación del cálculo diferencial.

DEMOSTRACIÓN Para tratar un caso concreto, suponga que f tiene un máximo local en c. Entonces, de acuerdo con la definición 2, f(c) > f(x) si x está suficientemente cerca de c. Esto implica que, si h está lo suficiente cerca de 0, con h positiva o negativa, entonces

f scd > f sc 1 hd y, por tanto, f sc 1 hd 2 f scd < 0

5

Se pueden dividir ambos lados de la desigualdad entre un número positivo. Así, si h . 0 y h es suficientemente pequeña, se tiene f sc 1 hd 2 f scd <0 h Tomando el límite por la derecha de ambos lados de la desigualdad (utilizando el teorema 2.3.2), se obtiene lím

h: 01

f sc 1 hd 2 f scd < lím1 0 − 0 h :0 h

Pero, dado que f9(c) existe, se tiene f 9scd − lím

h:0

f sc 1 hd 2 f scd f sc 1 hd 2 f scd − lím1 h :0 h h

y con esto se demuestra que f9(c) < 0. Si h , 0, entonces la dirección de la desigualdad (5) se invierte cuando se divide entre h: f sc 1 hd 2 f scd >0 h

h,0

Así que tomando el límite por la izquierda, se tiene f 9scd − lím

h:0

f sc 1 hd 2 f scd f sc 1 hd 2 f scd − lím2 >0 h : 0 h h

Ya se ha mostrado que f9(c) > 0 y también que f9(c) < 0. Puesto que ambas desigualdades deben ser verdaderas, la única posibilidad es que f9(c) 5 0. Ya se ha demostrado el teorema de Fermat para el caso de un máximo local. El caso de un mínimo local se puede demostrar de modo similar, o bien, puede usar el ejercicio 78 para deducirlo del caso que ya ha demostrado (véase el ejercicio 79). n Los ejemplos siguientes advierten contra la interpretación excesiva del teorema de Fermat: No se puede esperar localizar valores extremos haciendo simplemente f9(x) 5 0 y resolviendo para x.

Stewart_ch04_275-286.indd 279

09/06/17 10:45 a.m.

280

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

EJEMPLO 5 Si f(x) 5 x3, entonces f9(x) 5 3x2, de modo que f9(0) 5 0. Pero f

y

no tiene máximo o mínimo en 0, como se puede ver en la gráfica de la figura 12. (U observe que x3 . 0 para x . 0, pero x3 , 0 para x , 0). El hecho de que f9(0) 5 0 solo significa que la curva y 5 x3 tiene una recta tangente horizontal en (0, 0). En lugar de tener un máximo o un mínimo en (0, 0), la curva cruza allí con su recta tangente horizontal. n

y=˛

0

x

EJEMPLO 6 La función f(x) 5 u x u muestra un valor mínimo (local y absoluto) en x 5 0, pero ese valor no se puede determinar haciendo f9(x) 5 0 porque, como ya se demostró en el ejemplo 2.8.5, f9(0) no existe (véase la figura 13). n

FIGURA 12

Si f(x) 5 x3, entonces f9(0) 5 0, pero f no tiene máximo ni mínimo.

PRECAUCIÓN Los ejemplos 5 y 6 muestran que debe ser cuidadoso al aplicar el teorema de Fermat. El ejemplo 5 demuestra que aun cuando f9(c) 5 0, no necesariamente hay un máximo o un mínimo en c. (En otras palabras, el inverso del teorema de Fermat es en general falso.) Además, podría haber un valor extremo aun cuando f9(c) no exista, (como en el ejemplo 6). El teorema de Fermat sugiere en realidad que, por lo menos, se deben empezar a buscar los valores extremos de f en los números c, donde f9(c) 5 0 o donde f9(c) no existe. Estos números reciben un nombre especial.

y

y=| x| 0

x

FIGURA 13

Si f(x) 5 u x u, entonces f(0) 5 0 es un valor mínimo, pero f9(0) no existe.

6 Definición Un de una función f es un número c en el dominio de f tal que f9(c) 5 0 o f9(c) no existe.

EJEMPLO 7 Encuentre los números críticos de f(x) 5 [email protected](4 2 x). En la figura 14 hay una gráfica de la función f del ejemplo 7, que apoya nuestra respuesta, porque hay una recta tangente horizontal cuando x 5 1.5 [donde f9(x)5 0] y una recta tangente vertical cuando x 5 0 [donde f9(x) no está definida].

SOLUCIÓN La regla del producto da

f 9sxd − x 3y5s21d 1 s4 2 xd(53 x22y5) − 2x 3y5 1



3s4 2 xd 5x 2 y5

25x 1 3s4 2 xd 12 2 8x − 2y5 5x 5x 2y5

3.5

_0.5

5

_2

[Se obtienen los mismos valores escribiendo primero f(x) 5 [email protected] 2 [email protected]] Por tanto, f9(x) 5 0 si 12 2 8x 5 0; es decir x − 32 y f9(x) no existe cuando x 5 0. Por tanto, los números críticos son 32 y 0. n En términos de números críticos, el teorema de Fermat se puede replantear como sigue (compare la definición 6 con el teorema 4):

FIGURA 14

7 Si f tiene un máximo o un mínimo local en c, entonces c es un número crítico de f. Para encontrar un máximo o un mínimo absoluto de una función continua sobre un intervalo cerrado, observe que es un extremo local [en cuyo caso, según (7), se presenta un número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo, como se vio en los ejemplos de la figura 8. Por lo que el procedimiento de tres pasos siempre funciona.

Stewart_ch04_275-286.indd 280

09/06/17 10:45 a.m.

281

SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

Método del intervalo cerrado Para encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado [a, b]: 1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a, b). 2. Encuentre los valores de f en los puntos extremos del intervalo. 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto.

EJEMPLO 8 Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función 212 < x < 4

f sxd − x 3 2 3x 2 1 1

f

g

SOLUCIÓN Dado que f es continua sobre 2 21 , 4 , se puede utilizar el método del

intervalo cerrado:

f sxd − x 3 2 3x 2 1 1 f 9sxd − 3x 2 2 6x − 3xsx 2 2d Puesto que f9(x) existe para toda x, los únicos valores críticos de f ocurren cuando f9(x) 5 0; esto es, en x 5 0 o x 5 2. Observe que cada uno de estos números críticos está en el intervalo s212 , 4d. Los valores de f en estos números críticos son

y 20

y=˛-3≈+1

f s0d − 1

(4, 17)

Los valores de f en los puntos extremos del intervalo son

15 10

f s212 d − 18

5 1 _1 0 _5

f s2d − 23

2 3

x

4

(2, _3)

FIGURA 15

f s4d − 17

Comparando estos cuatro números, se ve que el valor máximo absoluto es f(4) 5 17 y el valor mínimo absoluto es f(2) 5 23. Observe que, en este ejemplo, el máximo absoluto ocurre en un extremo del intervalo, mientras que el mínimo absoluto ocurre en un número crítico. La gráfica de f se traza en la figura 15. n

Si tiene una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficos, es posible estimar los valores máximos y mínimos muy fácilmente. Pero, como se muestra en el ejemplo siguiente, es necesario el cálculo para encontrar los valores exactos.

EJEMPLO 9 (a) Utilice un dispositivo graficador para estimar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f(x) 5 x 2 2 sen x, para 0 < x < 2p. (b) Utilice el cálculo para encontrar los valores máximo y mínimo exactos.

8

SOLUCIÓN

0 _1

FIGURA 16

Stewart_ch04_275-286.indd 281



(a) La figura 16 muestra la gráfica de f en el rectángulo de vista de [0, 2p] por [21, 8]. Moviendo el cursor cerca del punto máximo, se ve que las coordenadas y no cambian mucho en las proximidades del máximo. El valor máximo absoluto es aproximadamente 6.97 y ocurre cuando x < 5.2. Del mismo modo, moviendo el cursor cerca al punto mínimo, se ve que el valor mínimo absoluto es alrededor de 20.68 y se presenta cuando x < 1.0. Es posible obtener estimaciones más precisas al hacer acercamientos

09/06/17 10:45 a.m.

282

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

hacia los puntos máximos y mínimos (o al utilizar una característica incorporada de máximos y mínimos), pero en vez de esto, se usará el cálculo. (b) La función f(x) 5 x 2 2 sen x es continua en [0, 2p]. Ya que f9(x) 5 1 2 2 cos x, se tiene que f9(x) 5 0 cuando cos x − 12 y esto ocurre cuando x 5 [email protected] o [email protected] Los valores de f en estos números críticos son f s y3d − y

f s5 y3d −

3

2 2 sen

3



3

2 s3 < 20.684853

5 5 5 2 2 sen − 1 s3 < 6.968039 3 3 3

Los valores de f en los puntos finales son f(0) 5 0

y

f(2p) 5 2p < 6.28

Comparando estos cuatro números y utilizando el método del intervalo cerrado, se ve que el valor mínimo absoluto es f([email protected]) 5 [email protected] 2 !3 y el máximo valor absoluto es f([email protected]) 5 [email protected] 1 !3. Los valores del inciso (a) sirven para verificar el resultado. n

EJEMPLO 10 El telescopio espacial Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de 1990, por el transbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del transbordador durante esta misión, desde el lanzamiento en t 5 0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprenden en t 5 126 s, está dado por vstd − 0.0003968t 3 2 0.02752t 2 1 7.196t 2 0.9397

© NASA

(en metros por segundo). Con este modelo, estime los valores máximo y mínimo absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares. SOLUCIÓN Se pide encontrar los valores extremos, no de la función velocidad dada, sino de la función aceleración. Por lo que primero se tiene que derivar para encontrar la aceleración:

astd − v9std −

d s0.0003968t 3 2 0.02752t 2 1 7.196t 2 0.9397d dt

− 0.0011904t 2 2 0.05504t 1 7.196 Ahora se aplica el método del intervalo cerrado a la función continua a en el intervalo 0 < t < 126. Su derivada es a9std − 0.0023808t 2 0.05504 El único número crítico ocurre cuando a9(t) 5 0: t1 −

0.05504 < 23.12 0.0023808

Evaluando a(t) en el número crítico y en los puntos extremos del intervalo, se tiene as0d − 7.196

ast1 d < 6.56

as126d < 19.16

Por lo que la aceleración máxima es aproximadamente 19.16 [email protected] y la aceleración mínima es aproximadamente 6.56 [email protected]

Stewart_ch04_275-286.indd 282

n

09/06/17 10:45 a.m.

283

SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

EJERCICIOS

4.1

1. Explique la diferencia entre un mínimo absoluto y un mínimo local. 2. Suponga que f es una función continua definida sobre un intervalo cerrado [a, b]. (a) ¿Qué teorema garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto de f? (b) ¿Qué pasos daría para encontrar los valores máximo y mínimo? 3–4 Para cada uno de los números a, b, c, d, r y s, indique si la función cuya gráfica se muestra, tiene un máximo o mínimo absolutos, un máximo o mínimo locales, o ni un máximo ni un mínimo. 3.

4.

y

(c) Trace la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y no es continua en 2. 12. (a) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que tiene un máximo absoluto, pero no máximo local. (b) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que tiene un máximo local, pero no máximo absoluto. 13. (a) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que tiene un máximo absoluto, pero no mínimo absoluto. (b) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que es discontinua, pero que no tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto. 14. (a) Trace la gráfica de una función que tiene dos máximos locales, un mínimo local y no tiene mínimo absoluto. (b) Trace la gráfica de una función que tiene tres mínimos locales, dos máximos locales y siete números críticos.

y

15–28 Trace a mano la gráfica de f y utilícela para encontrar los valores máximos y mínimos, absolutos y locales de f. (Utilice las gráficas y transformaciones de las secciones 1.2 y 1.3.) 0 a b

c d

r

s x

0

a

b

c d

r

s x

5–6 Utilice la gráfica para establecer los valores máximos y mínimos absolutos y locales de la función. 5.

y

6.

y

y=©

y=ƒ

1 0

1

1

x

0

1

x

15. f sxd − 12 s3x 2 1d, 16. f sxd − 2 2

1 3 x,

x<3

x > 22

17. f sxd − 1yx,

x>1

18. f sxd − 1yx,

1,x,3

19. f sxd − sen x,

0 < x , y2

20. f sxd − sen x,

0 , x < y2

21. f sxd − sen x,

2 y2 < x < y2

22. f std − cos t,

23 y2 < t < 3 y2

23. f sxd − ln x,

0,x<2

| |

24. f sxd − x

25. f sxd − 1 2 sx 7–10 Trace la gráfica de una función f que es continua sobre [1, 5] y tiene las propiedades dadas.

26. f sxd − e x

7. Máximo absoluto en 5, mínimo absoluto en 2, máximo local en 3, mínimos locales en 2 y 4

27. f sxd −

8. Máximo absoluto en 4, mínimo absoluto en 5, máximo local en 2, mínimo local en 3

28. f sxd −

9. Mínimo absoluto en 3, máximo absoluto en 4, máximo local en 2 10. Máximo absoluto en 2, mínimo absoluto en 5, 4 es un número crítico pero no hay máximo o mínimo local. 11. (a) Trace la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y es derivable en 2. (b) Trace la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y es continua, pero no derivable, en 2.

Stewart_ch04_275-286.indd 283

H H

x2 si 21 < x < 0 2 2 3x si 0 , x < 1 2x 1 1 si 0 < x , 1 4 2 2x si 1 < x < 3

29–44 Determine los números críticos de la función. 29. f sxd − 5x 2 1 4x

30. f sxd − x 3 1 x 2 2 x

31. f sxd − 2x 3 2 3x 2 2 36x

32. f sxd − 2x 3 1 x 2 1 2x

33. tstd − t 4 1 t 3 1 t 2 1 1

34. tstd − 3t 2 4

y21 35. tsyd − 2 y 2y11

p21 36. hs pd − 2 p 14

|

|

09/06/17 10:45 a.m.

284

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

37. hstd − t 3y4 2 2 t 1y4

3 38. tsxd − s 4 2 x2

67. f sxd − x sx 2 x 2

39. Fsxd − x 4y5sx 2 4d 2

40. ts d − 4 2 tan

68. f sxd − x 2 2 cos x, 22 < x < 0

41. f s d − 2 cos 1 sen 2

42. hstd − 3t 2 arcsen t

43. f sxd − x 2e 23x

44. f s xd − x 22 ln x

; 45–46 Se da una fórmula para la derivada de una función f. ¿Cuántos números críticos tiene f? 45. f 9sxd − 5e20.1 | x | sen x 2 1

46. f 9sxd −

100 cos 2 x 21 10 1 x 2

47–62 Determine los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de f en el intervalo dado. 47. f sxd − 3x 2 12x 1 5,

f0, 3g

2

48. f sxd − x 3 2 3x 1 1,

f0, 3g

49. f sxd − 2x 3 2 3x 2 2 12x 1 1, 50. f sxd − x 3 2 6x 2 1 5,

f22, 3g

52. f std − st 2 2 4d 3,

f22, 3g

f22, 3g

1 53. f sxd − x 1 , f0.2, 4g x x , f0, 3g 54. f sxd − 2 x 2x11 3 t, 55. f std − t 2 s

56. f std −

f0, 2g

57. f std − 2 cos t 1 sen 2t, 58. f std − t 1 cot sty2d, 59. f sxd − x22 ln x , 60. f sxd − xe xy2,

f0, y2g

f y4, 7 y4g

f 12 , 4g

f23, 1g

61. f sxd − lnsx 2 1 x 1 1d, f21, 1g 62. f sxd − x 2 2 tan21 x,

f0, 4g

63. Si a y b son números positivos, encuentre el valor máximo de f(x) 5 xa(1 — x)b, 0 < x < 1. ; 64. Utilice una gráfica para calcular los números críticos de f(x) 5 u 1 1 5x 2 x3 u redondeados a un decimal. ; 65–68 (a) Utilice una gráfica para estimar los valores máximo y mínimo redondeados a dos decimales. (b) Por medio del cálculo encuentre los valores máximo y mínimo. 65. f sxd − x 5 2 x 3 1 2, 21 < x < 1 66. f sxd − e x 1 e 22x, 0 < x < 1

Stewart_ch04_275-286.indd 284

modela la bac promedio, medido en [email protected], de un grupo de ocho sujetos masculinos después de t horas del consumo rápido de 15 mL de etanol (correspondiente a una bebida alcohólica). ¿Cuál es la bac promedio máxima durante las primeras 3 horas? ¿Cuándo ocurre? Fuente: Adaptado de P. Wilkinson et al., “Pharmacokinetics of Ethanol after Oral Administration in the Fasting State”, Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 5 (1977): 207–224.

70. Después de que se toma una tableta de antibiótico, la concentración del antibiótico en el torrente sanguíneo se modela por la función donde el tiempo t se mide en horas y C se mide en [email protected] ¿Cuál es la concentración máxima de antibiótico durante las primeras 12 horas? 71. Entre 0 °C y 30 °C, el volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura T está dado aproximadamente por la fórmula V − 999.87 2 0.06426T 1 0.0085043T 2 2 0.0000679T 3 Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima.

f21, 4g

st , 1 1 t2

Cstd − 1.35te22.802t

Cstd − 8se20.4t 2 e20.6t d

f23, 5g

51. f sxd − 3x 4 2 4x 3 2 12x 2 1 1,

69. Después de consumir una bebida alcohólica, la concentración de alcohol en sangre (bac, por sus siglas en inglés) surge conforme se absorbe el alcohol, seguido por un descenso gradual conforme se metaboliza el alcohol. La función

72. Un objeto con masa m se arrastra a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a través de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo u con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es F−

mt sen 1 cos

donde m es una constante positiva llamado el coeficiente de fricción y donde 0 < u < [email protected] Demuestre que F es minimizada cuando tan u 5 m. 73. Un modelo para el precio promedio en Estados Unidos de una libra de azúcar blanca desde 1993 a 2003 está dado por la función Sstd − 20.00003237t 5 1 0.0009037t 4 2 0.008956t 3 1 0.03629t 2 2 0.04458t 1 0.4074 donde t se mide en años desde agosto de 1993. Estime los años cuando el azúcar era más barata y más cara durante el período 1993-2003. ; 74. El 7 de mayo de 1992 el transbordador espacial Endeavour fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad fue instalar un nuevo motor de impulso en el perigeo de un satélite Intelsat de comunicaciones. En la tabla siguiente se dan los datos de la velocidad del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. (a) Utilice un dispositivo graficador o una computadora para encontrar el polinomio cúbico que modele de la mejor

09/06/17 10:45 a.m.

PROYECTO DE APLICACIÓN

manera la velocidad del transbordador para el intervalo de tiempo t [ [0, 125]. Luego, dibuje esta función polinomial. (b) Encuentre un modelo para la aceleración del transbordador y utilícelo para estimar los valores máximo y mínimo de la aceleración durante los primeros 125 segundos. Suceso

Tiempo (s) Velocidad ([email protected])

Lanzamiento Inicio de maniobra de giro Fin de maniobra de giro Acelerador al 89% Acelerador al 67% Acelerador al 104% Presión dinámica máxima Separación de los cohetes auxiliares de combustible sólido

0 10 15 20 32 59 62

0 56.4 97.2 136.2 226.2 403.9 440.4

donde k es una constante y r0 es el radio normal de la tráquea. La restricción sobre r se debe al hecho de que la pared de la tráquea se pone rígida bajo la presión y se impide una contracción mayor que 12 r0 (de lo contrario, la persona se sofocaría). (a) Determine el valor de r en el intervalo 21 r0 , r0 en el cual √ tiene un máximo absoluto. ¿Cómo se compara esto con la evidencia experimental? (b) ¿Cuál es el valor máximo absoluto de √ sobre el intervalo? (c) Trace la gráfica de √ sobre el intervalo [0, r0].

f

g

76. Demuestre que 5 es un número crítico de la función g(x) 5 2 1 (x 2 5) 3 pero g no tiene un valor extremo local en 5. 77. Demuestre que la función

125

1265.2

75. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba y causa un aumento en la presión de los pulmones. Esto viene acompañado por una contracción de la tráquea, con lo que se produce un canal más angosto por el que debe fluir el aire expelido. Para que escape una cantidad dada de aire en un tiempo fijo, este debe moverse con mayor rapidez por el canal más angosto que por el más ancho. Entre mayor sea la velocidad de la corriente de aire, mayor es la fuerza aplicada sobre el objeto extraño. Los rayos X muestran que el radio del tubo circular de la tráquea se contrae hasta alrededor de dos tercios de su radio normal durante un espasmo de tos. De acuerdo con un modelo matemático de la tos, la velocidad √ de la corriente de aire se relaciona con el radio r de la tráquea mediante la ecuación vsrd − ksr0 2 rdr 2

285

El cálculo de los arcoíris

1 2 r0

f sxd − x 101 1 x 51 1 x 1 1 no tiene ni máximo local ni mínimo local. 78. Si f tiene un valor mínimo local en c, demuestre que la función g(x) 5 2f(x) tiene un valor mínimo local en c. 79. Demuestre el teorema de Fermat para el caso en que f tiene un mínimo local en c. 80. Una función cúbica es una función polinomial de tercer grado; esto es, tiene la forma f(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d, donde a  0. (a) Demuestre que una función cúbica puede tener dos, uno o no tener números críticos. Proporcione ejemplos y trazos para ilustrar las tres posibilidades. (b) ¿Cuántos valores extremos locales puede tener una función cúbica?

< r < r0

PROYECTO DE APLICACIÓN EL CÁLCULO DE LOS ARCOÍRIS Los arcoíris se forman cuando las gotas de lluvia dispersan la luz solar. Han fascinado a la humanidad desde los tiempos más remotos y han inspirado intentos de explicación científica desde la época de Aristóteles. En este proyecto se siguen las ideas de Descartes y de Newton para explicar la forma, la ubicación y los colores de los arcoíris. å A del Sol





O

B ∫



å al observador

C

Formación del arcoíris primario

D(å )

1. En la figura se muestra un rayo de luz solar que atraviesa una gota esférica de lluvia en A. Algo de la luz se refleja, pero la recta AB muestra la trayectoria de la parte que entra a la gota. Observe que la luz se refracta hacia la recta normal AO y, de hecho, la ley de Snell dice que sen a 5 k sen b, donde a es el ángulo de incidencia, b es el ángulo de refracción y k < 43 es el índice de refracción para el agua. En B algo de la luz pasa por la gota y se refracta hacia el aire, pero la recta BC muestra la parte que se refleja. (El ángulo de incidencia es igual al de reflexión.) Cuando el rayo llega a C, parte de él se refleja; pero, por el momento, hay más interés en la parte que sale de la gota de lluvia en C. (Observe que se refracta alejándose de la recta normal.) El ángulo de desviación D(a) es la magnitud de la rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj que ha descrito el rayo durante este proceso de tres etapas. Por tanto, Dsd − s 2 d 1 s 2 2d 1 s 2 d −  1 2 2 4 Demuestre que el valor mínimo de la desviación es D(a) < 138° y ocurre cuando a < 59.4°.

Stewart_ch04_275-286.indd 285

09/06/17 10:45 a.m.

286

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

El significado de la desviación mínima es que cuando a < 59.4° se tiene D9(a) < 0, por lo que ∆[email protected]∆a < 0. Esto significa que muchos rayos con a < 59.4° resultan desviados en más o menos la misma cantidad. La concentración de los rayos que vienen de las cercanías de la desviación mínima crea el brillo del arcoíris primario. En la figura de la izquierda se muestra que el ángulo de elevación desde el observador hacia arriba hasta el punto más alto del arcoíris es 180° 2 138° 5 42°. (A este ángulo se le llama ángulo de arcoíris).

rayos del Sol

138° rayos del Sol

42°

2. En el problema 1 se explica la ubicación del arcoíris primario, pero ¿cómo explica los colores? La luz solar comprende una gama de longitudes de onda, desde el rojo hasta el naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Como Newton descubrió en sus experimentos con un prisma en 1666, el índice de refracción es diferente para cada color. (El efecto se llama dispersión.) Para la luz roja, el índice de refracción es k < 1.3318, en tanto que para la luz violeta es k < 1.3435. Al repetir el cálculo del problema 1 para estos valores de k, se demuestra que el ángulo del arcoíris es alrededor de 42.3° para el arco rojo y de 40.6° para el arco violeta. Por lo que el arcoíris consta en realidad de siete arcos separados que corresponden a los siete colores.

observador

C ∫

D





å al observador

∫ del Sol

∫ å



A

Formación del arcoíris secundario

B

3. Quizás haya visto un arcoíris secundario más tenue, arriba del arco primario. Se produce por la parte de un rayo que entra en una gota de lluvia y se refracta en A, se refleja dos veces (en B y C) y se refracta al salir de la gota en D (véase la figura que se encuentra a la izquierda). En esta ocasión, el ángulo de desviación D(a) es la magnitud total de rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj que describe el rayo en este proceso de cuatro etapas. Demuestre que Dsd − 2 2 6 1 2 y D(a) tiene un valor mínimo cuando cos  −

Î

k2 2 1 8

Tomando k − 43, demuestre que la desviación mínima es aproximadamente 129° y que el ángulo de arcoíris para el arcoíris secundario es aproximadamente de 51°, como se muestra en la figura a la izquierda. 4. Demuestre que los colores del arcoíris secundario aparecen en orden invertido al del primario.

© Pichugin Dmitry / Shutterstock.com

42° 51°

Stewart_ch04_275-286.indd 286

09/06/17 10:45 a.m.

287

SECCIÓN 4.2 Teorema del valor medio

4.2 Teorema del valor medio Se verá que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho central llamado teorema del valor medio. Pero para llegar a este teorema, se verá primero el resultado siguiente. Teorema de Rolle Sea f una función que satisface las tres hipótesis siguientes: 1. f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b]. 2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b). 3. f(a) 5 f(b). Entonces hay un número c en (a, b) tal que f9(c) 5 0.

Rolle El teorema de Rolle fue publicado en 1691 por el matemático francés Michel Rolle (1652-1719), en un libro titulado Méthode pour resoudre les Egalitez. Fue un crítico de los métodos de su tiempo y calificó al cálculo como una “colección de falacias ingeniosas”. Más tarde, sin embargo, se convenció de la esencial exactitud de los métodos del cálculo.

y

0

Antes de dar la demostración, se verán las gráficas de algunas funciones típicas que satisfacen las tres hipótesis. La figura 1 muestra las gráficas de cuatro de estas funciones. En cada caso parece que hay al menos un punto (c, f(c)) en la gráfica donde la recta tangente es horizontal y, por tanto, f9(c) 5 0. Por lo que, el teorema de Rolle es razonable. y

a



c™ b

x

0

y

a

(a)

FIGURA 1 SP Considere casos

c

b

x

0

(b)

y

a



(c)

c™

b

x

0

a

c

b

x

(d)

DEMOSTRACIÓN Hay tres casos:

CASO I f(x) 5 k, una constante Entonces f9(x) 5 0, por lo que el número c puede tomar cualquier número en (a, b). CASO II f (x) . f (a) para algún x en (a, b) [como en la figura 1(b) o (c)] Por el teorema del valor extremo (que se puede aplicar por la hipótesis 1), f tiene un valor máximo en algún lugar de [a, b]. Ya que f(a) 5 f(b), debe alcanzar este valor máximo en un número c en el intervalo abierto (a, b). Entonces f tiene un máximo local en c y, por la hipótesis 2, f es derivable en c. Por tanto, f9(c) 5 0 por el teorema de Fermat. CASO III f (x) , f (a) para algún x en (a, b) [como en la figura l (c) o (d)] Por el teorema del valor extremo, f tiene un valor mínimo en [a, b] y, como f(a) 5 f(b), alcanza este valor mínimo en un número c en (a, b). Otra vez, f9(c) 5 0 por el teorema de Fermat. n

EJEMPLO 1 Se aplicará el teorema de Rolle a la función posición s 5 f(t) de un objeto en movimiento. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes t 5 a y t 5 b, entonces f(a) 5 f(b). El teorema de Rolle dice que hay algún instante de tiempo t 5 c entre a y b donde f9(c) 5 0; es decir, la velocidad es 0. (En particular, se puede ver que esto es cierto cuando se lanza una bola directamente hacia arriba.) n EJEMPLO 2 Demuestre que la ecuación x3 1 x 2 1 5 0 tiene exactamente una raíz real. SOLUCIÓN Primero se utilizará el teorema del valor intermedio (2.5.10) para demostrar que existe una raíz. Sea f(x) 5 x3 1 x 2 1. Entonces f(0) 5 21 , 0 y f(1) 5 1 . 0.

Stewart_ch04_287-304.indd 287

09/06/17 10:55 a.m.

288

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

La figura 2 muestra la gráfica de la función f(x) 5 x3 1 x 2 1 analizada en el ejemplo 2. El teorema de Rolle muestra que no importa cuánto se amplíe el rectángulo de vista, nunca se podrá encontrar una segunda intersección con el eje x.

Ya que f es una función polinomial es continua, por lo que el teorema del valor intermedio establece que existe un número c entre 0 y 1 tal que f(c) 5 0. De lo que se deduce que la ecuación dada tiene una raíz. Para demostrar que la ecuación no tiene otras raíces reales, se utiliza el teorema de Rolle y se argumenta por contradicción. Suponga que se tienen dos raíces a y b. Entonces f(a) 5 0 5 f(b) y, como f es una función polinomial, es derivable en (a, b) y continua en [a, b]. Por tanto, por el teorema de Rolle, existe un número c entre a y b tal que f9(c) 5 0. Pero f9(x) 5 3x2 1 1 > 1

3

_2

2

para toda x

(ya que x2 > 0), por lo que f9(x) nunca puede ser 0. Esto conduce a una contradicción, por tanto, la ecuación no puede tener dos raíces reales. n El principal uso del teorema de Rolle es demostrar el siguiente teorema importante, establecido por primera vez por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange.

_3

FIGURA 2

El teorema del valor medio es un ejemplo de lo que se llama un teorema de existencia. Como el teorema del valor intermedio, el teorema del valor extremo y el teorema de Rolle, este garantiza que existe un número con cierta propiedad, pero no indica cómo encontrar el número.

Teorema del valor medio Si f es una función que satisface las hipótesis siguientes: 1. f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b]. 2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que 1

f 9scd −

o en forma equivalente 2

f sbd 2 f sad b2a

f sbd 2 f sad − f 9scdsb 2 ad

Antes de demostrar este teorema, se puede ver su interpretación geométrica. Las figuras 3 y 4 muestran los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)) en las gráficas de dos funciones derivables. La pendiente de la recta secante AB es 3

mAB −

f sbd 2 f sad b2a

que es la misma expresión que en el lado derecho de la ecuación 1. Dado que f9(c) es la pendiente de la recta tangente en el punto (c, f(c)), el teorema del valor medio, en la forma dada por la ecuación 1, indica que hay al menos un punto P(c, f(c)) en la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secante AB. En otras palabras, hay un punto P donde la recta tangente es paralela a la recta secante AB. (Imagine una recta paralela a AB, moviéndose desde lejos manteniéndose paralela hasta que toque la gráfica por primera vez.) y

y



P { c, f(c)}

B

P™

A

A{ a, f(a)} B { b, f(b)} 0

a

FIGURA 3

Stewart_ch04_287-304.indd 288

c

b

x

0

a



c™

b

x

FIGURA 4

09/06/17 10:55 a.m.

289

SECCIÓN 4.2 Teorema del valor medio

y

h(x)

A

y=ƒ

DEMOSTRACIÓN Se aplicará el teorema de Rolle a una nueva función h definida como la diferencia entre f y la función cuya gráfica es la recta secante AB. Mediante la ecuación 3, se ve que la ecuación de la recta AB se puede escribir como

ƒ B 0

x

a

f(a)+

b

x

f(b)-f(a) (x-a) b-a

o como

y 2 f sad −

f sbd 2 f sad sx 2 ad b2a

y − f sad 1

f sbd 2 f sad sx 2 ad b2a

Así, como se muestra en la figura 5,

FIGURA 5

4 Lagrange y el teorema del valor medio El teorema del valor medio fue formulado primero por Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), nacido en Italia, de padre francés y madre italiana. Fue un niño prodigio y se convirtió en profesor en Turín a la tierna edad de 19 años. Lagrange hizo grandes contribuciones a la teoría de números, teoría de las funciones, teoría de las ecuaciones y a la mecánica celeste y analítica. En particular, aplicó el cálculo en el análisis de la estabilidad del sistema solar. Por invitación de Federico, el Grande, sucedió a Euler en la Academia de Berlín y, cuando Federico murió, Lagrange aceptó la invitación a París del rey Luis XVI, donde recibió apartamentos en el Louvre y un cargo de profesor en la Escuela Politécnica. A pesar de todos los lujos y la fama, era un hombre tranquilo, que vivía solo para la ciencia.

hsxd − f sxd 2 f sad 2

f sbd 2 f sad sx 2 ad b2a

Primero, se debe verificar que h satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle. 1. La función h es continua en [a, b] porque es la suma de f y una función polinomial de primer grado, ambas continuas. 2. La función h es derivable en (a, b) ya que f y la función polinomial de primer grado son derivables. De hecho, se puede calcular h9 directamente de la ecuación 4: h9sxd − f 9sxd 2

f sbd 2 f sad b2a

(Observe que f(a) y [f(b) 2 f(a)]@(b — a) son constantes.) 3.

hsad − f sad 2 f sad 2

f sbd 2 f sad sa 2 ad − 0 b2a

hsbd − f sbd 2 f sad 2

f sbd 2 f sad sb 2 ad b2a

− f sbd 2 f sad 2 f f sbd 2 f sadg − 0 Por tanto, h(a) 5 h(b). Dado que h satisface las hipótesis del teorema de Rolle, que indica que existe un número c en (a, b) tal que h9(c) 5 0, entonces se tiene 0 − h9scd − f 9scd 2 por lo que

f 9scd −

f sbd 2 f sad b2a

f sbd 2 f sad b2a

n

EJEMPLO 3 Para ilustrar el teorema del valor medio con una función específica, se debe considerar f(x) 5 x3 — x, a 5 0, b 5 2. Puesto que f es una función polinomial, es continua y derivable para toda x, por lo que es ciertamente continua sobre [0, 2] y derivable sobre (0, 2). Por tanto, por el teorema del valor medio, existe un número c en (0, 2) tal que f s2d 2 f s0d − f 9scds2 2 0d Ahora, f(2) 5 6, f(0) 5 0 y f9(x) 5 3x2 — 1, por lo que la ecuación resulta 6 − s3c 2 2 1d2 − 6c 2 2 2 que da c 2 − 43, esto es, c 5 [email protected]!3. Pero c debe estar en (0, 2), por lo que c 5 [email protected]!3.

Stewart_ch04_287-304.indd 289

09/06/17 10:55 a.m.

290

CAPÍTULO 4 y

Aplicaciones de la derivada

La figura 6 ilustra este cálculo: la recta tangente en este valor de c es paralela a la recta secante OB. n

y=˛- x B

EJEMPLO 4 Si un objeto se mueve en línea recta de acuerdo con la función posición s 5 f(t), entonces la velocidad promedio entre t 5 a y t 5 b es

O c

FIGURA 6

2

f sbd 2 f sad b2a

x

y la velocidad en t 5 c es f9(c). Por lo que, el teorema del valor medio (en la forma de la ecuación 1) indica que en algún momento t 5 c entre a y b la velocidad instantánea f9(c) es igual a la velocidad promedio. Por ejemplo, si un automóvil viajaba 180 km en 2 horas, entonces el velocímetro debía tener una lectura de 90 [email protected] por lo menos una vez. En general, el teorema del valor medio se puede interpretar diciendo que existe un número para el cual la razón de cambio instantáneo es igual a la razón de cambio promedio a lo largo de un intervalo. n El principal significado del teorema del valor medio es que permite obtener información acerca de una función a partir de aquella acerca de su derivada. En el caso siguiente se proporciona un ejemplo de este principio.

EJEMPLO 5 Suponga que f(0) 5 2 3 y f9(x) < 5 para todos los valores de x. ¿Qué tan grande puede ser f(2)? SOLUCIÓN Se parte del hecho de que f es derivable (y, por tanto, continua) en todo su dominio. En particular, se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [0, 2]. Existe un número c tal que

f s2d 2 f s0d − f 9scds2 2 0d por lo que

f s2d − f s0d 1 2f 9scd − 23 1 2f 9scd

Se tiene que f9(x) < 5 para toda x, por lo que, en particular, se sabe que f9(c) < 5. Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por 2, se tiene 2f9(c) < 10, por lo que f s2d − 23 1 2f 9scd < 23 1 10 − 7 El mayor valor posible para f(2) es 7.

n

El teorema del valor medio se puede utilizar para establecer algunos de los hechos básicos del cálculo diferencial. Uno de estos hechos básicos es el teorema siguiente. Otros se encontrarán en las secciones siguientes. 5 Teorema Si f9(x) 5 0 para toda x en un intervalo (a, b), entonces f es constante en (a, b). DEMOSTRACIÓN Sean x1 y x2 dos números cualesquiera en (a, b), con x1 , x2. Dado que f es derivable sobre (a, b), debe ser derivable sobre (x1, x2) y continua sobre [x1, x2]. Aplicando el teorema del valor medio a f sobre el intervalo [x1, x2], se obtiene un número c tal que x1 , c , x2 y

6

f sx 2 d 2 f sx 1d − f 9scdsx 2 2 x 1d

Puesto que f9(x) 5 0 para toda x, se tiene f9(c) 5 0, por lo que la ecuación 6 resulta f sx 2 d 2 f sx 1 d − 0

Stewart_ch04_287-304.indd 290

o

f sx 2 d − f sx 1 d

09/06/17 10:55 a.m.

SECCIÓN 4.2 Teorema del valor medio

291

Por tanto, f tiene el mismo valor que cualesquiera dos números x1 y x2 en (a, b). Esto significa que f es constante en (a, b). n El corolario 7 dice que si dos funciones tienen las mismas derivadas en un intervalo entonces sus gráficas deben ser las traslaciones verticales entre sí. En otras palabras, las gráficas tienen la misma forma, pero podrían estar corridas hacia arriba o hacia abajo.

7 Corolario Si f9(x) 5 g9(x) para toda x en un intervalo (a, b), entonces f 2 g es constante sobre (a, b); esto es, f(x) 5 g(x) 1 c donde c es una constante. DEMOSTRACIÓN Sea F(x) 5 f(x) 2 g(x). Entonces

F9sxd − f 9sxd 2 t9sxd − 0 para toda x en (a, b). Así, por el teorema 5, F es constante; esto es, f 2 g es constante. n NOTA Cuidado al utilizar el teorema 5. Sea f sxd −

H

x 1 si x . 0 − x 21 si x , 0

| |

El dominio de f es D 5 {x u x  0} y f9(x) 5 0 para toda x en D. Pero f, evidentemente, no es una función constante. Esto no contradice el teorema 5 porque D no es un intervalo. Observe que f es constante sobre el intervalo (0, `) y también sobre el intervalo (2`, 0).

EJEMPLO 6 Demuestre la identidad tan21 x 1 cot21 x 5 [email protected] SOLUCIÓN Aunque no es necesario utilizar el cálculo para demostrar esta identidad, la demostración mediante él es muy sencilla. Si f(x) 5 tan21 x 1 cot21 x, entonces

f 9sxd −

1 1 2 −0 1 1 x2 1 1 x2

para todos los valores de x. Por tanto, f(x) 5 C, una constante. Para determinar el valor de C, se pone x 5 1 [porque se puede evaluar f(l) exactamente]. Entonces C − f s1d − tan21 1 1 cot21 1 −

   1 − 4 4 2

Así, tan21 x 1 cot21 x − y2.

4.2

n

EJERCICIOS

1. Se muestra la gráfica de una función f. Verifique que la función satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 8]. Después encuentre todos los números c en ese intervalo, que satisfacen la conclusión del teorema de Rolle. y

y=ƒ

3. Se muestra la gráfica de una función g. y y=©

1 0

1 0

1

x

2. Dibuje la gráfica de una función definida en [0, 8] tal que f(0) 5 f (8) 5 3 y la función no satisface la conclusión del teorema de Rolle en [0, 8].

Stewart_ch04_287-304.indd 291

1

x

(a) Verifique que g satisface las hipótesis del teorema de valor medio en el intervalo [0, 8]. (b) Calcule el(los) valor(es) de c que satisfacen la conclusión del teorema de valor medio en el intervalo [0, 8]. (c) Calcule el(los) valor(es) de c que satisfacen la conclusión del teorema de valor medio en el intervalo [2, 6].

09/06/17 10:55 a.m.

292

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

4. Dibuje la gráfica de una función que es continua en [0, 8] donde f (0) 5 1 y f(8) 5 4 y no satisface la conclusión del teorema de valor medio en [0, 8]. 5–8 Verifique que la función satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo dado. Luego encuentre todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema de Rolle. 6. f sxd − x 3 2 2x 2 2 4x 1 2, f22, 2g

8. f sxd − x 1 1y x,

26. Suponga que 3 < f9(x) < 5 para todos los valores de x. Demuestre que 18 < f(8) 2 f(2) < 30.

fy2, 3y2g

f 12 , 2g

27. ¿Existe una función f tal que f(0) 5 21, f(2) 5 4 y f9(x) < 2 para toda x?

9. Sea f(x) 5 1 2 [email protected] Demuestre que f(21) 5 f(1), pero no hay ningún número c en (21, 1) tal que f9(c) 5 0. ¿Por qué no contradice esto el teorema de Rolle? 10. Sea f(x) 5 tan x. Demuestre que f(0) 5 f(p) pero no hay un número c en (0, p) tales que f9(c) 5 0. ¿Por qué esto no contradice el teorema de Rolle? 11–14 Verifique que la función satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo dado. Después encuentre todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema del valor medio. 11. f sxd − 2x 2 2 3x 1 1,

f0, 2g

12. f sxd − x 3 2 3x 1 2,

f22, 2g

13. f sxd − e 22x,

f0, 3g

28. Suponga que f y g son continuas sobre [a, b] y derivables sobre (a, b). Suponga también que f(a) 5 g(a) y f9(x) , g9(x) para a , x , b. Demuestre que f(b) , g(b). [Sugerencia: utilice el teorema del valor medio para la función h 5 f 2 g.] 29. Demuestre que sen x , x si 0 , x , 2p. 30. Suponga que f es una función impar y es derivable sobre todo su dominio. Demuestre que para todo número positivo b, existe un número c en (2b, b) tal que f9(c) 5 f(b)@b. 31. Utilice el teorema del valor medio para demostrar la desigualdad u sen a 2 sen b u < u a 2 b u

14. f sxd −

x , x12

f1, 4g

; 15–16 Encuentre el número c que satisface la conclusión del teorema del valor medio sobre el intervalo dado. Trace la gráfica de la función, la recta secante a través de los puntos finales y la recta tangente en (c, f(c)). ¿Son paralelas la recta secante y la tangente? 15. f(x) 5 !x, f0, 4g

24. (a) Suponga que f es derivable en  y tiene dos raíces. Demuestre que f9 tiene al menos una raíz. (b) Suponga que f es dos veces derivable en  y tiene tres raíces. Demuestre que f 0 tiene al menos una raíz. (c) ¿Puede generalizar los incisos (a) y (b)? 25. Si f(1) 5 10 y f9(x) > 2 para 1 < x < 4, ¿qué tan pequeño puede posiblemente ser f(4)?

5. f sxd − 2 x 2 2 4 x 1 5, f21, 3g 7. f (x) 5 sen 1x22,

(b) Demuestre que una polinomial de grado n tiene como máximo n raíces reales.

16. f sxd − e2x,

f0, 2g

para toda a y b

32. Si f9(x) 5 c (c es una constante) para toda x, utilice el corolario 7 para demostrar que f(x) 5 cx 1 d para alguna constante d. 33. Sea f(x) 5 [email protected] y tsxd −

1 x 11

si x . 0 1 x

si x , 0

Demuestre que f9(x) 5 g9(x) para toda x en su dominio. ¿Se puede concluir del corolario 7 que f 2 g es constante?

17. Sea f(x) 5 (x 2 3)22. Demuestre que no hay ningún valor de c en (1, 4) tal que f(4) 2 f(1) 5 f9(c)( 4 2 1). ¿Por qué no contradice esto el teorema del valor medio?

34. Utilice el método del ejemplo 6 para demostrar la identidad

18. Sea f(x) 5 2 2 u 2x 2 1 u. Demuestre que no hay valor c tal que f(3) 2 f(0) 5 f9(c)(3 2 0). ¿Por qué esto no contradice el teorema del valor medio?

35. Demuestre la identidad arcsen

19–20 Demuestre que cada una de las ecuaciones siguientes tiene solo una raíz real. 19. 2 x 1 cos x − 0

20. x 3 1 e x − 0

21. Demuestre que la ecuación x3 2 15x 1 c 5 0 tiene como máximo una raíz en el intervalo [22, 2]. 22. Demuestre que la ecuación x4 1 4x 1 c 5 0 tiene como máximo dos raíces reales. 23. (a) Demuestre que una polinomial de grado 3 tiene a lo sumo tres raíces reales.

Stewart_ch04_287-304.indd 292

2 sen21x 5 cos21(l 2 2x2)

x>0

x21 − 2 arctan sx 2 . x11 2

36. A las 14:00 horas el velocímetro de un automóvil marca 50 [email protected] A las 14:10 horas marca 65 [email protected] Demuestre que en algún momento entre las 14:00 y 14:10 horas la aceleración es exactamente 90 [email protected] 37. Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan en un empate. Demuestre que en algún momento durante la carrera tienen la misma velocidad. [Sugerencia: considere f(t) 5 g(t) 2 h(t), donde g y h son las funciones de posición de los dos corredores.] 38. Un número a se llama punto fijo de una función f si f(a) 5 a. Demuestre que si f9(x)  1 para todos los números reales x, entonces f tiene a lo sumo un punto fijo.

09/06/17 10:55 a.m.

SECCIÓN 4.3 Cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica

293

4.3 Cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica

y

Muchas de las aplicaciones del cálculo dependen de nuestra capacidad para deducir hechos acerca de una función f a partir de la información que se obtiene de sus derivadas. Ya que f9(x) representa la pendiente de la curva y 5 f(x) en el punto (x, f(x)), indica la dirección de la curva en cada punto. Así, es razonable esperar que la información relacionada con f9(x) proporcione información asociada con f(x).

D B

¿Qué dice f 9 respecto a f ? C

A

x

0

FIGURA 1

Para ver cómo la derivada de f puede decir dónde una función es creciente o decreciente, véase la figura 1. (Las funciones crecientes y las decrecientes fueron definidas en la sección 1.1.) Entre A y B y entre C y D, las rectas tangentes tienen pendiente positiva, por lo que f9(x) . 0. Entre B y C, las rectas tangentes tienen pendiente negativa, por lo que f9(x) , 0. Por lo que parece que f crece cuando f9(x) es positiva y decrece cuando f9(x) es negativa. Para demostrar que este siempre es el caso, se usa el teorema del valor medio. Prueba creciente/decreciente

Se abrevia el nombre de esta pr